Kantorovich不等式的推广

- ma ) (M - m ) (Mm ) ]
推论 1 设 ai > 0( i = 1, 2, , n), > 0, >
0, M = m ax { a1, , an }, m = m in{ a1, , an }m, M > m > 0, 则
1 n
ai
1 n
1 ai
(M + - m + ) 2
( 7)
(p2 +1 - p +1 - pa + 1)
=
4( p
n2m + 1 - 1) ( p - 1)2
(p + 1 - 1) ( p - 1)
( p + 1 - 1) (p - 1)
=
4( p
n2m + 1 - 1) (p -
1)
(p +1 - 1) 2
所以
fk (m )
的 最 大 值是
(P + 1 - 1)2m 4( p - 1) ( p - 1)M
4(M - m ) (M - m ) (Mm )
证明 在 ( 4) 中用 ai 代替 ai, 这时 M, m, 应
当 用 M , m , 代 替, 而 K (M , m , ) =
4 (M
(M + - m + ) 2
,
- m ) (M - m ) (Mm )
这样就证明了
( 7) 以下记 L (M, m, , ) = (M + - m + ) / [ 4(M
,
n}
若所有
u
2 i
都是正有理数,
当
u2i
第 2期
续铁权: K an torov ich不等式的推广
# 83
= 1, 设 u2i =
ki, p
ki,
p
是自然数,
且
ki = p, 以
( 1, , 1, , n, , n, ) 代 替 ( a1, a2, , an ),
k1
kn
由 ( 4) 式得到
1 p
1 引言与引理
2 主要结果
文 [ 1] 介绍了两个重要不等式:
S chw e itzer不等式 若 0 < m ai M, i = 1,
2, , n, 则
1 n
ai
1 n
1 a
(M + m ) 2 4M m
( 1)
K an to rov ich不等式 若 0 < m i M, i = 1,
2, , n, 则
它是 k的二次函数, 记 p = M , p > 1, A = p + 1 - 2p m
+ 1, B = p + 1 - 2p + 1, 则当
k = n (M + 1 + m + 1 - 2M m ) 2(M - m ) (M - m )
=
n ( p + 1 - 2p + 2(p - 1) (p -
a
i
k M- + ( n - k - 1)m- + l- ,
这里 l = s - kM - ( n - k - 1)m, m l M
故
1 n
ai
1 n
ai -
sk n2 M
+ n- km
1+
1 l
=
kM +
(n - kn2
1)m +
l
( n - k - 1)M + km (Mm ) a
+
1 l
= fk ( l)
立, 所以任取 k, 1 k n - 1, 都有
fk ( l)
(M + 1 - m + 1 ) 2 4(M - m ) (M - m ) (Mm )
( 6)
综合 ( 5), ( 6), 就证明了 ( 4) 式 注 1 当 = 1, 由 ( 4) 式可得 S chw e itzer不等
式 所以 ( 4) 式是 Schw e itzer不等式的指数推广
x [ 2] 引理
x [ n] 设 0< m
ai M, i = 1, 2, , n, 记
s = ai, 若 M + ( n - 1)m s ( n - 1)M + m,
则存在 k N, 1 k n - 1, 使
M, , M, l, m, , m ( a1, a2, , an ) ( 3)
k
m - k- 1
2
2 i i, j
i, j a
K (M, m, a)
22 i, j
i
( j = 1, 2, ), 令 j , 即得 ( 8) 式
如果 M m ax { 1, , n } 或 m m in { 1, , n }, 我们可以 在集合 { 1, , n } 中添 加 n+ 1 = M ( n+ 2 = m ), 并令相应的 un+ 1 = 0( un+ 2 = 0), 即 可归结为前面的情形
= fk+ 1 (m )
下面把 k 看作实数, 求出使 f k (m ) 取最大值的
k, 把 f k (m ) 的分子记做 h ( k ) h( k ) = [ kM + ( n - k )m ] [ ( n - k )M a + km a ] = k2Mm a + ( n - k ) 2M am + k ( n - k ) (M a+ 1 + m a+ 1 ) = - (M a - ma ) (M - m ) k2 + n (M a+ 1 + ma+ 1 - 2M am ) k + n2M am,
(
iu2i )
1 u2i
i
1 4
2
M m
+
m M
(
ห้องสมุดไป่ตู้
u2i )2
(2)
当 ui = 1( i = 1, 2, , n) 时, 由 ( 2) 式可得到 ( 1) 式, 所 以 K antorov ich 不 等 式 可 以 看 作 S chw e itzer不等式的推广
S chw e itzer不等式和 Kanto rov ich 不等式有多
种推广形式 ( 参看 [ 1] , [ 2] , [ 3] ) , 本文的三个定
理是 Schw e itzer不等式和 K an torov ich不等式的指
数推广
在下文中使用的概念和记号参看 [ 4] 特别对 于 x = (x1, x2, , xn ) R n, 把它的分量排成递减
的次序后记作 x = ( x[ 1 ] , x[ 2] , , x[ n ] ), 即 x [ 1]
ki i
1 p
ki K (M, m, a),
i
即 ( 8) 式成立 当
u2i
1, 以
u
2 i
代替
u
2 i
u2i,
同样
可得到 ( 8) 式
若 u2i 不都是 正有理 数, 取 n 个 正有 理数 列
{
2 i, ,
j
}
(
i
=
1,
2,
, n; j = 1, 2,
), 使当 j
,2 i, j
u2i , 则由前面的证明知
b ], 0 p ( x ) P 则
b
fp
a
bp a fa
b2
K (M, m, ) p a
( 10)
证明
设 ti = m +
i n
(M
-
m
),
E
i,
j
=
{ x: ti
f (x)
<
ti+ l;
jP n
p (x ) <
( j + 1)P }, n
Ej
=
{x:
jP n
p (x )
<
(
j
+ 1)P n
}
=
式得
fk (m ) = { [ kM + ( n - k )m ] [ ( n - k )M a + km a ] } /n2 (Mm )a
fk (M ) = { [ ( k + 1)M + ( n - k - 1)m ] [ ( n - k - 1)M a + ( k + 1)m a ] } /n2 (Mm )a
E i, j, i, j = 0, 1 n 由 ( 8)
i
ti
i, j
jp n
K (M, m,
= K (M, m,
m (Ei, j )
)
jp
i, j n
)
jp
jn
1 jp
ta
i, j i
n
2
m (Ei, j )
2
m (Ej )
m (E i, j )
令n m ( Ei, j )
, 由控制收敛定理 [ 6] , ti
1 ai
(M + 1 - m + 1 ) 2 4(M - m ) (M - m ) (Mm )
( 4)
证明 记 S = ai, 则 M + ( n - 1)m s ( n - 1)M + m, 由引理知存在 k N, 1 k n 1, 使 ( 3) 式成立 又易证 x- 是 I = ( 0, + ) 上 的凸函数, 所以 x-i 是 In 上的 S - 凸函数 [ 4] , 由 (3) 式知
注 3 当 = 1, 由 ( 8) 式可得 K an to rov ich不