微专题47 等差数列的前n项和Sn的最值问题
(文章)等差数列前n项和最值的求法
等差数列前n 项和最值的求法根据等差数列{a n }的前n 项和公式S n =na 1+2)1(-n n d=2d n 2+（a 1-2d ）n ，当a 1＞0，d ＜0时，S n 有最大值，当a 1＜0，d ＞0时，Sn 有最小值。
下面以最大值为例，探讨求Sn 的最值的一般方法。
方法一：S n =2d n 2+（a 1-2d ）n ，d ＜0，S n 可看作开口向下的抛物线，离对称轴最近的自然数n 是S n 取得最大值的n 。
（注：若对称轴为212+n ，则S n 与S n+1同时取得最大值） 方法二：由⎩⎨⎧≥+001n a an ，解出n 的范围，从而确定此范围中的自然数n 。
方法三：设法确定前几项为正，或是否有零项，那么所有非负数项的和最大，若有零项，会有两个和相等并且最大例1 等差数列{a n }中，a 1＞0，公差d ＜0，如果S 7=S 12，求数列{a n }前n 项和S n 的最大值。
分析：用上述三种方法分别求。
解法一：由S 7=S 12，得d=-91a 1，∴S n =na 1+21n （n-1）d=-181a 1（n-219）2+72361a 1。
故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法二：由S 7=S 12，得d=-91a 1，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=+=≥-=-+=+0)9(910)10(91)1(11111n a nd a a n a d n a a n n 得9≤n ≤10，故当n=9，n=10时，（9-219）2=（10-219）2，所以S 9=S 10并且最大。
解法三：由S 7=S 12，得d=-91a 1＜0，知{a n }是递减的等差数列。
∵S 7=S 12，∴a 8+a 9+…+a 12=0∴5a 10=0，由此必有a 1＞a 2＞…＞a 10=0＞a 11＞…，故S 9=S 10并且最大。
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
4.2.2等差数列的前n项和的最值课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
课后练习
练习2. 已知{an }是等差数列,
若
a11 a10
1,
且它们的前n项和 Sn有最大值,
则使 Sn 0的最大正整数n是 ___________ .
解 :
a11 a10
1,
且S
有最大值，
n
数列{an}是递减数列, a10 0, a11 0,
则由 a11 a10
1得a11
a10 ,
即 a10
记{an}的前n项和为Sn .
①n
5时,Tn
Sn
(a1
an )n 2
10n
n2
②n 6时,Tn | a1 | | an | (a1 a5 ) (a6 a7 an )
S5 (Sn S5) 2S5 Sn 2 (10 5 52 ) 10n n2
n2 10n 50
等差数列前n项和Sn的最值问题
[变式1]等差数列{an}中, a1 0, S9 S12,则前n项和Sn取得最小值时n _10_或__1_1.
数形结合：对称轴为n 9 12 10.5
解 : 设公差为d ,由S9 S12得,
2
9a1
98 2
d
12a1
12 11 d , 2
a1
10 d ,
n 18或19时Sn取得最小值..
等差数列中的最值问题
[例2]等差数列{an}的前n项和Sn中,只有S7最大,且 a7 a8 , 则使Sn 0的n的最大值为__1_3__. 析 : S7最大,Sn先增后减,an先正后负,即a1 0, d 0.
{an}为递减数列, a7 0, a8 0,
S5 (Sn S5) 2S5 Sn
2 (10 5 52 ) 10n n2 n2 10n 50
2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。
微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题答案
微专题471．答案：7或8.解析：有条件得a n ＝40－5n 7，所以数列{a n }单调递减，而a 7>0，a 8＝0，a 9<0，所以，当n ＝7或8时，数列{a n }的前n 项和S n 最大．2．答案：1 024.解析：由条件解得：a 1＝16，q ＝12.故a n ＝25－n ，所以a 1a 2……a n ＝24＋3＋…＋(5－n )，故令a n ＝25－n ≥1，解得n ≤5，即有a 1>a 2>a 3>a 4>a 5＝1>a 6>…，所以a 1a 2……a n 的最大值为a 1a 2a 3a 4＝a 1a 2a 3a 4a 5＝24·23·22·21·20＝210＝1 024.(本题主要考查等比数列的通项公式及等差数列的性质．)3．答案：6.解法1由题意得a 6>0，a 7<0，由单调性可知S 6最大；解法2由S n 为n 的二次函数，S 12>0，S 13<0，可得，对称轴为x ＝k (6<k <6.5)，所以S 6最大．4．答案：(－1，－78)． 解法1由题意知，{a n }递减即d <0，且a 8>0>a 9，所以⎩⎨⎧a 8＝7＋7d >0，a 9＝7＋8d <0，解得－1<d <－78. 解法2因为S n ＝7n ＋n （n －1）2d 当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 7<S 8，S 9<S 8， 即⎩⎨⎧49＋21d <56＋28d ，63＋36d <56＋28d ，解得－1<d <－78. 5．答案：19或1.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设d <0，由a 11a 10<－1，可知a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，故S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10>0，S 20＝20（a 1＋a 20）2＝20（a 10＋a 11）2<0，1与19到对称轴的距离相等，∴S 1＝S 19.所以n ＝19或1.6．答案：12.解析：数列{a n }是递减数列且a 6>0，a 7<0，则a 6<－a 7，a 6＋a 7<0，S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)<0，而S 11＝11a 6>0，所以使S n <0的n 的最小值是12.7．答案：[2－12，2－37)． 解析：b 1＝3，公差d ＝log 2q <0，S n ＝d 2n 2＋(3－d 2)n ，因为{b n }的前7项的和S 7最大，且S 7≠S 8，所以132≤－3－d 2d <172，所以－12≤d <－37，即q ∈[2－12，2－37)． 8．答案：当n ＝12或13时，S n 取得最大值为130.解法1因为S 10＝S 15，所以S 15－S 10＝0，即a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，也即5a 13＝0，所以a 13＝0，即a 1>a 2>…>a 12>a 13＝0>a 14>a 15>…，故当n ＝12或13时，S n 取得最大值为13（a 1＋a 13）2＝13（20＋0）2＝130. 解法2设公差为d .因为S 10＝S 15，所以10a 1＋10×92d ＝15a 1＋15×142d ，代入a 1＝20，得d ＝－53.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－56n 2＋1256n ＝－56(n 2－25n )，所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值为12a 1＋12×112×(－53)＝130.。
微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题
微专题47 等差数列的前n项和S n的最值问题例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S10＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n 7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n 7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．16n＋15(n≥2，n∈N*)．若对任意的n∈N*，总有S n≤S k，求正整数k的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分 又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分 所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．。
与等差数列前n项和Sn有关的最值问题教学讲义
与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题教学讲义 例5 (文)(2018·福州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝10或11，S n 的最大值为55.[分析] 求出数列的公差，再根据通项公式或前n 项和公式求解．[解析] 解法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ， 所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.解法二：同解法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418. 因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 解法三：同解法一求得d ＝－1.又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.∴a 1>a 2>…>a 10>a 11＝0，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.例5 (理)(1)(2018·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2018·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0.∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…，∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法1知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1. ∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)(－213a 1)≥0，a 1＋n (－213a 1)≤0，解得132≤n ≤152. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝7或8； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为15；③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝10.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨 ☞求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(2018·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ．。
等差数列的前n项和Sn的最值问题的研究
模一
根 据 已 知 条 件 与 求 解 目标 ， 把 已 知 量
由 ＢＡＣ 一 １ ２ Ｏ 。 ， 知 ＡＣＢ 为 锐 角 ， 则
ｃ 。ｓ Ａ ｃＢ 一 。
与 求 解 量 尽 量 集 中 在 有 关 的 角 形 中 ， 建 立
一
个 解 斜 三 角 形 的 数 学 模 型 ； 第 ｉ 步 ，求
Ｃ． Ｓ１ ． ． 或 Ｓｌ 解 析 ： “１ 一
十百 “ 。
冈 为 ａ． ＞ ０， ”∈ Ｎ 。 所 以 当 ”一 ８或 ”一
９时 ， ｓ 有 最 大 值 。
ｄ ， 解 得 ｄ 一一２ 。 ×（ 一２ ） 一 －ｎ ２ ＋ 解 法 ２ ： 设 等 差 数 列 ｛ “ ｝ 的 公 差 为 ， 同
所 以 ｎ一 １ ５时 ， ｓ 取 得 最 大 值 。
【 变 式一 】 若 将 条件“ “． 一２ ９， Ｓｍ— Ｓ 。 ” 改 为“ “ ＞ ０， Ｓ — Ｓ， ” ， 如何 求解 ？ 解 法 】 ： 设 等 差 数 列 ｛ “ ｝ 的 公 差 为 ｄ， 由
一
１
ｚ一
２＋
＞
。
【
所 以 ５ ． ５ ＜ ＜ ７ ， 放 ， ， 一６ ， 即 Ｓ 最 大 。 巾 Ｊ ： 例 Ⅱ 丁 总 结 求 等 荭 数 列 前 ”项 和 ｓ 的最值 的方 法 ：
１ ．■ 次 数 法 ： 将 等 堆数 列 的前 ， 项 和
解 法１ 得 一 专 “ ・ ＜ 。 。
＝ 可
●里 ＝ Ｉ＝ 口
一
高 级 中 学
谢 忑 远
数 列 足 一
Ｓ ５ 一 Ｓｌ ２ 得 ， ５ ａ１ ＋ｌ Ｏ ｄ一 １ ２ ａ１ ４ － ６ ６ ｄ， 解 得 ｄ—
以形助数,对等差数列前n项和Sn的最值分析
由 ＝ ｓ － 需推 出 一 １ ｎ － ＞ ０
，
再 推 算 出 一昔ｎ
（ ｎ 一 １ ９ ） ， 经过 配 方 可 得 ， 当 ｎ的 值 为 ９或 １ ０时 Ｓ 取
下 面将从 ｓ 固有 的 函数 关系式 的图像 人手 ，分 析等差数列前 ， ｚ 项和Ｓ 的最值 问题 ．
ｒ ｔ ，即 ｎ 取 ９ 或 １ ０ ．
，
过两交点 的中点． ｄ ＞ ０时 ，抛物线开 口向上 ，
二
ａ
如图２ ；ｄ ＜ ０时 ，抛物线开 口向下 ；
③当ｄ ＝ ０（ ａ ｌ ≠Ｏ ）时 ， ） ＝ ｏ 。 为正 比例函数 ．
（ 一） 的最值分析
由
．
【 解答 】由上面分析可知 ，答案选 ｃ ． 【 点评 】以形助数 ，方便快捷 ． 由于二次 函数 图像
２ ． 当公差 ｄ ＞ Ｏ ，首项 Ⅱ 。 ＝ ０时 ，抛物线开 Ｅ ｌ 向上 ， 对称轴方程为 ＝ １
，
故 在对 称轴 右边 ｓ 仍然单调递
增 ，Ｓ ｌ － ０最小 ，无最大值． 其 图像如图 ４ ．
－ １
．
１
２
４
、ｎ 、
４
， ●
，
图６
，
一
●
在求等差 数列 的前 项 ｔ ｌ ， 和ｓ 的最值 时 ，应理 解 把握 ａ ｄ ＜ Ｏ时出现 的第 ３ 、第 ４种情形． ５ ． 当公差 ｄ ＜ Ｏ ，首项 矾＝ ０时 ，抛物线开 口向下 ，
ｙ＝ ｆ － ５・ ２ ＿ ０ ． １
ｄ＝ １ ，口 ｌ ＝ ０
一 ＜ ， 因为 ｎ ｅ Ｎ ， 故在对称轴
便知 Ｓ 应 在 抛 物 线顶 点 附 近 取 得 最 小 值 ． 倘 若 不 借 助
等差数列前n项和Sn的最值问题
方法总结
1．已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0， Sn 存在最大值，
方法一：若 am 使 Sn 取得最大值，则 am 满足： aamm≥ ＋1≤0，0．
方法二：Sn＝n×a1＋n(n2-1)×d＝d2n2＋(a1－d2)n，
分析对称轴，离对称轴最近的整数使 Sn 取得最大值．
2．已知等差数列{an}，a1＜0，d＞0， Sn 存在最小值，
由
aann1
0
0
得 13 n 15
2
2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0
解法1 由S3=S11得
Байду номын сангаас
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
例2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
d
将等差数列的通项公式和前n项和公式进
行整理得：
an nd (a1 d )
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
对称 轴 n 1 a1 2d
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说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式 1”中不含为 0 的项， 因此前 n 项和 Sn 取得最值时，n 的值只有一解，“变式 2”中含有数 值为 0 的项，因此前 n 项和 Sn 取得最值时，n 的值有两解！请同 学们仔细体会其中的差别．
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40－5n 串讲 1 已知数列{an}的通项公式 an＝ 7 ，记 Tn＝an＋an＋1＋…＋ an＋6，当|Tn|取最小值时，n 的值为多少？
an≥0， －2n＋15≥0， 13 15 令 得 所以 2 <n≤ 2 ， an＋1<0， －2n＋13<0，
9分
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又 n∈N*，所以 n＝7，即数列{an}的前 7 项和为 S7 最大，所以 k＝ 7. 14 分 解 法 2 因 为 an － Sn ＝ n2 － 16n ＋ 15(n≥2 ， n∈N*) ， 所 以
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答案：(1)an＝48－8n；(2)Sn＝－4n2＋44n；(3)n＝5 或 6 时，Sn 最 大，Sn＝120.
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解析：(1)因为 a3＝24，S11＝0.
a1＋2d＝24， 所以 11× 10 d＝0， 11a1＋ 2 a1＝40， 解得 d＝－8，
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说明：等差数列的前 n 项和 Sn 最值问题的研究有两种主要思路： 其一，利用 Sn＝an2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线
an≥0， 图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由 求得 Sn an＋1<0， an≤0， 取得最大值时 n 的条件， 同样由 求得 Sn 取得最小值时 n 的条 an＋1>0，
答案：k＝7.
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解 法 1 因 为 an － Sn ＝ n2 － 16n ＋ 15(n≥2 ， n∈N*) ， 所 以
a2－S2＝－13， a1＝13， 也即 a3－S3＝－24， a1＋a2＝24，
解得 a1＝13，a2＝11，所以 d＝a2－a1＝－2，故 an＝－2n＋15， 5分
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an≥0， 的(其中 k＝d，l＝a1－d，d 为公差)的函数特征来研究，即由 an＋1<0 an≤0， 求得 Sn 取得最大值时 n 的条件， 由 求得 Sn 取得最小值时 n 的 an＋1>0
条件，此种方法称为“邻项变号法”.
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例题：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝24，S11＝0. (1)求 an； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn； (3)当 n 为何值时，Sn 最大，并求 Sn 的最大值．
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变式 2 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且公差 d<0，若 S10＝S23，则数 列{an}的前多少项的和最大？
答案：16 或 17.
解析： 由 S10＝S23， 得 a11＋a12＋…＋a23＝0， 即 a17＝0， 又因为 d<0， 所以 a16>0，a18<0，所以，数列{an}的前 16 项或 17 的和最大．
答案：－16.
解析：设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15.由 a1＝－7 得 d ＝2.所以{an}的通项公式为 an＝2n－9.所以 Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所 以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16.
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(2018· 苏州第一学期期初调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2， n∈N*)． 若对任意的 n∈N*， 总有 Sn≤Sk， 求正整数 k 的值．
微专题47
等差数列的前n项和Sn的最 值问题
热点追踪
数列是一种特殊的函数， 因此高考题中常常会出现研究数列的单调 性、 最值等问题． 其中， 等差数列是一种最基本、 最简单的数列模型． 在 研究等差数列的前 n 项和 Sn 的最值问题时，既可以利用公式 Sn＝an2＋ d d bn(其中 a＝2，b＝a1－2，d 为公差)的函数特征来研究，即当 d>0 时， Sn 有最小值，当 d<0 时，Sn 有最大值．另外，也可以从通项 an＝kn＋l
a2－S2＝13， a1＝13， 也即 a3－S3＝－24， a1＋a2＝24，
解得 a1＝13，a2＝11，
7分
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所以 d＝a2－a1＝－2，故 an＝－2n＋15， n(n－1) Sn＝13n＋ 2 × (－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， 所以数列{an}的前 7 项和为 S7 最大，故 k＝7.
件．
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变式 1 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且公差 d<0，若 S9＝S23，则数列 {an}的前多少项的和最大？
答案：16.
解析：由 S9＝S23，得 a10＋a11＋…＋a23＝0，即 a16＋a17＝0，又因 为 d<0，所以 a16>0，a17<0，所以，数列{an}的前 16 项的和最大．
所以 an＝48－8n.
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(a1＋an)n (40＋48－8n)n (2)由(1)知， a1＝40， an＝48－8n， 所以 Sn＝ ＝ 2 2 ＝－4n2＋44n. 112 (3)解法 1：由(2)有，Sn＝－4n ＋44n＝－4n－ 2 ＋121，故当 n＝5
2
或 n＝6 时，Sn 最大，且 Sn 的最大值为 120.
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an≥0， 解法 2 ：由 an＝48－8n， an＋1<0， 48－8n≥0， 即 得 5<n≤6，又 n∈N*，所以 n＝6，即该数列 48－8(n＋1)<0，
前 5 项都是正数， 第 6 项为 0， 所以前 5 项和、 前 6 项的和同为最大值， 最大值为 120.
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答案：n＝5 或 6.
40－5n 解析：由 an＝ 7 ，知{an}递减且 a8＝0，又 Tn＝an＋an＋1＋…＋ an＋5，式子右边有 6 项，结合等差数列的对称性知，当下标 n＋(n＋5) ＝2× 8± 1，即就是 n＝5 或 6 时，|Tn|取得最小值．
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(2018· 全国Ⅱ卷改编)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， 已知 a1＝－ 7，S3＝－15.求 Sn，并求 Sn 的最小值．
答案：n＝5.
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40－5n 解析：由 an＝ 7 ，知{an}递减且 a8＝0，又 Tn＝an＋an＋1＋…＋ an＋6＝7an＋3，考虑到|Tn|≥0，且由 n＋3＝8，得 n＝5，即满足|Tn|取得最 小值的正整数 n＝5.
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40－5n 串讲 2 已知数列{an}的通项公式 an＝ 7 ，记 Tn＝an＋an＋1＋…＋ an＋5，当|Tn|取最小值时，n 的值为多少？
9分 12 分 14 分
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说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法 1”采用了“邻项 变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住 了等差数列的项 an 对和 Sn 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．
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