《离散数学》试卷

离散数学
一． 填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,把答
案填在题中横线上):
1.P ，Q 为两个命题，当且仅当 P,Q 同时为1 时，P ∧Q 的真值为1，当且仅当 P,Q 同时为0 时，P ∨Q 的真值为0。

2.给定两个命题公式A ，B ，若P,Q 的真值相同时，则称A 和B 是等值的，记作A ↔B.
3. 通常一元谓词表示 个体的性质 ，多元谓词表示 个体之间的关系 。

4. 设Q(x )：x 是偶数，P(x )：x 是素数，则命题“存在惟一的偶素数”符号化为
∃x (Q(x )∧P(x )∧∀y (Q(y )∧P(y ))→y =x ).
5. 公式∀x ∀y (P(x ,y )∧Q (y ,z ))∧∃x P(x ,y )中，∀x 的辖域是∀y (P(x ,y )∧Q(y ,z ))，∀y 的辖域是(P(x ,y )∧Q(y ,z ))，∃x 的辖域是P(x ,y )。

6. 公式∀x (P(x )→Q (x ,y ))∨∃zR (y ,z )→S(x )中，自由变元为y , x ，约束变元为 z , x 。

7. 用列举法或描述法表示函数6
12-+=
x x y 的定义域集合{x |x ≠-3∧x ≠2∧x ∈R }。

8. 设集合A={1,2,3},B={1,2},则A ∪B={1 , 2 , 3}, A ∩B= { 1 , 2} 。

9. 设集合A={1,2},B={a,b,c}，则B⨯A={(a,1),(a,2),(b,1), (b,2), (c,1),(c,2)}。

10. 图G有15条边，每个结点的度数均为2，则G有15 个结点。

二．选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,把答案填在题中括弧内)
1.下面联结词不具有交换律的是( A )
(A)→(B) ∧(C) ∨(D)↔
2.下面语句是真命题的为( C )
(A)我正在说谎。

(B)如果1+2=3,则雪是黑色的。

(C)如果1+2=5,则雪是黑色的。

(D)上网了吗?
3.重言式的否定为( B )
(A) 重言式(B) 矛盾式
(C)可满足式(D) 蕴含式
4. 设A(x):x是人,B(x):x犯错误.命题“没有不犯错误的人”可以符号化为( D)
(A)∀x(A(x) ∧B(X)) (B) ⌝∃x(A(x) →⌝B(x))
(C) ⌝∃x(A(x)∧B(X)) (D) ⌝∃x(A(x)∧⌝B(X))
5. 设集合A={2,a,{3},4},那么下列命题中错误的是( A )
(A){a}∈A (B){a,4,{3}}⊆A
(C) {a}⊆A (D)∅⊆A
6. 由集合运算的定义,下列命题正确的是( D )
(A)(A-B)⋃B=A (B)(A⋃B)-A=B
(C)A⊕A=A (D)(A⋂B)-A=∅
7. 设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={(a,a),(a,c),(b,
d)},则关系R2=( C )
(A){(a,a)} (B){(a,c)}
(C){(a,a),(a,c)} (D){ (a,a),(a,c),(b,d)}
8. 设R为实数集,函数f：R→R，f(a)=-a2+2a-1，则f是( D )
(A)单射而非满射(B) 满射而非单射
(C) 双射(D) 既不是单射也不是满射
9. 设集合A={1,2,…,10}，下面定义的二元运算*关于集合不是封闭的是( D )
(A)x*y=max(x,y)(B) x*y=min(x,y) (C) x*y=gcd(x,y) (x,y的最大公约数) (D) x*y=lcm(x,y)
(x,y的最小公倍数)
10. 集合A和二元运算*，不构成代数系统的是(B,C)
(A) 设A=R，∀a，b∈A，a*b=ab
(B)设A={1,2,…,8}，∀a，b∈A，a*b=lcm(a,b)( a,b的最小公倍数)
(C)设A={1,-1,2,3,4,-5}，∀a，b∈A，a*b=| b|
(D)设A=Z，∀a，b∈A，a*b=|a-b|
三．(6分)设P：天下雪。

Q：我进城。

R：我有时间。

将下列命题形式化：
1)天没有下雪，我也没有进城。

2)如果我有时间，我将进城。

3)如果天不下雪而我又有时间，我将进城。

四．(8分)试证：P∨Q，P→R，Q→S⇒S∨R。

五．(10分) 设A={1,2,3,4,5}，其中ρ={(a,b)|(a,b)∈A2∧(a-b)/3∈I} 。

判断二元关系ρ的性质，并作出其关系图和
关系矩阵
解：由题设知
ρ={(1,1),(1,4),(2,2),(2,5),(3,3),(4,1),(4,4),(5,2),(5,5)}.
从而可知二元关系是自反、对称、传递的。

ρ的关系矩阵为：
M
10010
01001
00100
10010
01001ρ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
ρ的关系图为：
六．(10分)设R是实数集，令R*=R-{0}，在集合R⨯ R*中定义二元运算◦为
(a ，b )◦(c ，d )=(ac ，bc+d )
证明代数系统(R ⨯ R*，◦)是一个群。

证明：任取(a,b ),(c,d ),(e,f )∈R*⨯R 。

1)由定义，(a,b )◦(c,d )= (ac ，bc+d )，∵a , c ∈R*,∴ac ∈R*,而bc+d ∈R ，∴(a,b )◦(c,d ) ∈R*⨯R.因此运算◦在R*⨯R 上是封闭。

2) ∵((a,b )◦(c,d ))◦(e,f )= (ac ，bc+d )◦(e,f )
= (ace ，(bc+d )e+f )= (ace ，bce+de+f )
(a,b )◦((c,d )◦(e,f ))= (a ，b )◦(ce,de+f )= (ace ，bce+de+f ) ∴((a,b )◦(c,d ))◦(e,f )= (a,b )◦((c,d )◦(e,f )).
因此运算◦在R*⨯R 上是可结合的。

3) ∵∀(a,b ) ∈R*⨯R, (a,b )◦(1,0)=(1,0)◦(a,b )=(a,b ) 因此运算◦在R*⨯R 上有单位元(1,0)。

4) ∵∀(a,b ) ∈R*⨯R, a ∈R*,即 a ≠0, ∴有
(a,b )◦(1/a,-b/a )= (1/a,-b/a )◦(a,b )=(1,0).
从而知∀(a,b )有逆元(1/a,-b/a )。

综合以上讨论，根据群的定义知代数系统(R ⨯ R*，◦)是一个群。

七． (6分)已知图G 的邻接矩阵如
下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0111010111
110001*********A 请画出图G 的图形。

解：根据图与邻接矩阵之间的关系，
可以画出图G 的图形为。