云南师范大学数学学院

课程名称 《高等几何》 教学周数 第三周
第一章：仿射几何学的基本概念 第 1.5 节～第 2.1 节
第二章：欧氏平面的拓广
1.教学内容： （1）平面仿射变换式 （2）仿射变换式的应用 （3）中心投影（透视）与理想元素 2.教学关键点与教学逻辑关系分析： 关键点： 教 学 方 案 （1）平面仿射变换式的推导； （2）平面仿射变换式的应用； （3）中心投影的概念与理想元素的引出，以及引出理想元素后 几何直观性及观念的改变。 教学逻辑关系分析： 本周教学将结束第一章并引入第二章. 在 1.5 节教学中重点解决两个问题：①几何变换在几何方法 上由作图体现，而在代数方法上则需先建立坐标系，再由向量的 概念导出代数表达式.②仿射变换式的应用， 并由此看出射影几何 中“综合法”与“代数式”的结合是解决问题的钥匙。 2.1 节是一节观念课，为了保留映射的完备性，需约定两平 行线交于“理想点” ，两平行平面交于“理想线” 。正是由于理想 元素的导入，改变了欧氏几何的结构。若 2.1 节讲授得好，同学 们能较好的领会“公理化”的思想及“公理化”对数学的意义。 3.日期： 2005 年 3 月 10 日～ 11 日
“转化”及“换元法”
教师周教学方案
课程名称 《高等几何》 教学周数 第（六）周
第（二）章：一维射影几何学 第（3.3）节～第（3.4）节：3.3 线束的交比；3.4 一维射影对应
1.教学内容： （1）线束的交比；①定义，②计算，③几何意义，④调和线束 （2）一维射影对应；①定义，②性质，③一维射影几何基本定理 2.教学关键点与教学逻辑关系分析： 关键点： （1）线束交比的定义与计算； （2）调和线束及几何特征； 教 学 方 案 （3）一维射影定义； （4）一维射影对应的确定； （5）如何建立射影对应表达式。 教学逻辑关系分析： （1）3.3 节的教学，应向同学们介绍线束交比定义的两种方法： 其一是教材上的方法，即用“化归思想”将线束的交比化归为点 列的交比，类别点列的交比的计算得到线束交比的计算，最后介 绍线束交比的几何意义，另一种方法以梅向明先生所编教材为代 表，两相比较，教材上的方法更简明一些。 （ 2 ） 3.4 节 的 教 学 ， 其 关 键 是 让 同 学 理 解 一 维 基 本 图 形
3.日期： 2005 年 3 月 24 日～ 25 日
教师教学周日记
课程名称 章节名称 教 学 关 键 点 《高等几何》 日期 2005 年 3 月 25 日
第三章：一维射影几何学，3.2 点列的交比
（1） 交比的概念（借助“度量”建立） ； （2） 交比的计算（化归思想的体现） ； （3） 交比的性质； （4） 调和比。
（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等） 交比的计算主要结论是教材 P.29 定理 1 和 P.30 定理 2 这两个定理的证明过程较好的体现了“化归”的思想。 定理 1.设取 A 和 B 为基底，将这四点的齐次坐标顺次表达为：
教 学 日 记
a, b, a 1b1 , a 2b2
1 2 3 n
s2 k1s1
T 1
T2
Tn1
s3 k2 s2 k2k1s1
s3 kn1 k1s1
T Tn1 T2T1, k k1k2 kn1
则SAn BnCn kSABC
或 SAn BnCn SABC k
教师周教学方案
b3 b , 2 3 a3 a3 ④ 利用交比计算=简比的比=分割比的相反数，得出结论。
公式计算出 1
定理 2.设点列上四点 A, B, C , D 的齐次坐标为 p : q(i 1, 2,3, 4) ，则 ( 3 )( 2 4 ) ( AB, CD) 1 ( 1 4 )( 2 3 ) 其证明过程是：①换底：通过坐标变换将 A,B 换为基底。 ②利用定理 1 得到结论。 这两个定理的证明过程较好的体现了“化归”的思想。 对证明思路的重点分析，有助于同学们领会数学证明的一个一般性方法：
教师周教学方案
课程名称 《高等几何》 教学周数 第二周
第一章：仿射几何学的基本概念 第 1.2 节～第 1.4 节
1.教学内容： （1）仿射不变性与仿射不变量（定理 5） （2）平面到自身的透视仿射 （3）平面内的一般仿射 2.教学关键点与教学逻辑关系分析： 关键点： 教 学 方 案 （1）图形面积的比是仿射量。 （2）平面内的透视仿射由对应轴与其外一对对应点完全决定。 （3）平面仿射几何基本定理。 教学逻辑关系分析： 本周教学的关键是介绍射影几何处理几何问题的方法。 在 1.2 节定理 5 的证明中，关键是介绍教材处理的技巧： “程序教学法” 。 即将教材分成具有逻辑联系的小块，对每块进行强化处理。 1.3 节教学的关键是：教材为何先证明平面到自身的透视仿 射？这是逻辑上的需求，需先证明透视仿射的存在，再讨论透视 仿射的确定才有意义。 1.4 节教学的关键仍旧是“存在性”与“惟一性”的问题。 同时，平面仿射几何基本定理的处理，仍旧采用程序教学法，以 体现知识的产生是由局部累积到整体的过程。 本周教学的要求应该是让学生逐步领悟射影几何中 “综合法” 处理问题的思路、方法和步骤。 3.日期： 2005 年 3 月 3 日～3 月 4 日
教 学 日 记
（4）由此概括： ①“实”与“虚”在几何直观上的差别； （联系实曲线与虚曲线） ②由于射影平面（射影与观念）中没有度量的概念，无穷远元素，事实 上脱离了距离，伸手可及。 ③数学概念是逐级抽象的。在高等数学中，学习者更应重视从已知数学 问题中进一步抽象、概括出新的概念；数学概念（观念）的严谨性更多的是 建立在逻辑的基础上，建立在公理体系上，而不依赖于直观性。 ④引发“认知冲突”是建构概念（观念）的常见途径。
教师教学周日记
课程名称 章节名称 教 学 关 键 点
《高等几何》
日期
2004 年 3 月 3 日
1.2：仿射不变性与不变量
定理与证明的思路分析
（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等） 定理 1.5.在仿射变换下，任何一对对应三角形面积之比是仿射不变量。 证明分析： 1 设 T 是一透视仿射。 先证一个引理：在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴距离之比是一个常
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教师周教学方案
课程名称：高等几何 任课教师：朱维宗
教师周教学方案
课程名称 《高等几何》 教学周数 第一周
第一章：仿射几何学的基本概念 第 1.1 节～第 1.1 节
1.教学内容： （1）绪言（2 课时） （2）1.1 平行射影与仿射对应 （3）仿射不变性与仿射不变量（定理 1-定理 4） 2.教学关键点与教学逻辑关系分析： 关键点： 教 学 方 案 （1）高等几何学研究的主要内容、方法及射影几何的意义。 （2）平行射影的概念、几何特征；仿射对应的概念、不变元素与 性质。 （3）仿射不变性与仿射不变量的概念及主要结论。 教学逻辑关系分析： 根据《高等几何》的结构以及高等几何的抽象性、形式化较 高的特点，教学基本方式采用格式塔教学理论较好。所谓格式塔 教学理论是对每章、每节先介绍教材设计的整体特点、主要内容， 以及各部分的逻辑联系；再将内容细化，详细讲解难重点及结构 特点；最后进行总结。让学生对学习情况整体及各部分内容有了 较好了解后， “顿悟”教学内容。 教材第一章将欧氏几何利用仿射变换（对应）扩张到仿射几 何，重点是仿射对应的概念、性质、不变性与不变量，其教学对 同学学习射影几何至关重要，在教学过程中将向同学介绍“类比 学习” ，以期取得较好的效果。 3.日期： 2005 年 2 月 24 日～2 月 24 日
②叙述已知射影命题的对偶命题。 （3）虚圆点。
（记录有意义的一个教学过程，教师的教学得失及学生课堂表现等） （1）介绍教材 P.26 EX2.17，引出虚圆点 I (1, i,0) 和 J (1, i,0) （2）提出问题，两个椭圆相交最多有四个交点，两个圆相交，最多只有两 个交点，为什么？缺图 （3）圆是椭圆的特例，两个圆相交仍为四个交点，两实，两虚（虚圆点）
教 学 日 记
数。即
AA0 , B0 分别为A, B, A, B在自对应轴g上的射影，则 AA k (常量)。 A0 , B0 , A0 0
T : A A, B B
方法：设 f、g 是两个函数，若对任意的独立变量 x、y，有
f ( x) f ( y ) f , 则 k (常数) g ( x) g ( y ) g 转化 BB0 AA0 AA0 k 证 故证 AA0 AA0 BB0 2 设 T 是仿射
教师周教学方案
课程名称
《高等几何》
教学周数
第（四）周
第二章：欧式平面的拓广 第 2.2 节～第 2.4 节：齐次坐标；对偶原理；复元素
1.教学内容： （1）齐次坐标； （2）对偶原理； （3）复元素 2.教学关键点与教学逻辑关系分析： 关键点： （1）齐次坐标，点坐标与线坐标； 教 学 方 案 （2）对偶原理 （含对偶元素，对偶图形，射影命题及对偶命题） ； （3）复元素及其性质。 教学逻辑关系分析： 本周教学内容仍属于“射影观念”的建立。教学各内容的逻 辑关系为： 缺一部分 其中，学生较难接受的概念是“线坐标” ， “射影命题” ， “虚 圆点” 。 学生不适应的问题是： （1）作对偶图形； （2）叙述已知的射 影命题的对偶命题。 教学上的对应措施是： (1) (2) 扣紧概念（尤其是点线的结合性） ； 较多的范例讲解，概括性的方法介绍。
则 ( AB, CD)
其证明的过程是（化归思想的具体化体现） ：
1 2
① 将 A、B 两点的坐标非齐次化（目的是为了使用解析几何中的定比分割 公式） ；
② 利用一维几何流形中动点的表示方法写出 C、D 的坐标。 ③ 分别设点 C、D 分割线段 AB 的分割比为 , ，利用解析几何中的定比分割
教师教学周日记
课程名称 章节名称 教 学 关 键 点