《等差数列》教学设计

《等差数列》教学设计
一、教学目标：
教学目标：
知识与技能目标:
（1）知识目标：
理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；
了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，并能用通项公式解决一些简单的实际问题．
（2）过程与方法目标:
会判断一个数列是等差数列，会用等差数列通项公式，由an ，a1，n，d的三个量求另外一个量．
经历等差数列的探究过程，发展学生观察分析、归纳总结能力，及知识、方法的迁移能力．
（2）情感与态度目标：
通过对等差数列定义的研究，养成学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；
通过对等差数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神．二、教学的重点、难点
重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.
2.等差数列的通项公式的推导及应用.
难点：1.理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；
2.从方程的观点看通项公式并解决一些简单的实际问题．
三、课型:新授课
四、教具学具准备:多媒体、课件.
五、教学方法:启发发现法、诱导思维法、类比分析法、分组讨论法、讲练结合法．
六、教学过程：
（一）创设情境引入课题(约2分钟)
通过上节课学习内容，引入本节课.前面我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法—通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映了数列的特点，本节课我们来研究一
个特殊的数列．
幻灯片展示两则小故事，引导阅读两则小故事，激发学生学习的兴趣, 引入新课．1．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000 她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…
（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）
2．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…
（问：多少天后他的单词量达到3000？）
学生仔细观察，认真思考．
（板书课题）
（教学设想：创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到
一般的认知能力．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．）（二）、新课探究，推导公式
1.等差数列的概念．(约10分钟)
引导学生观察下面几组列数，并分析它们的共同特点，归纳出等差数列的定义．观察下面几组列数，并分析它们的共同特点：
38,40,42,44,46,48,50,52,54,56.
10500, 10000, 9500, 9000, 8500,8000,7500.
2，2，2，2，2，2，2 ，2……
学生积极思考，找出上述数列的共同特点．师生共同归纳出等差数列的定义．定义：一般地,如果一个数列从第２项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
数学语言：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
师生共同分析等差数列的定义，对等差数列进一步的理解，培养学生的观察归纳能力．
强调定义的理解：
第二项起；
每一项与它的前一项的差,不能颠倒；
“同一个常数”，可以是整数，也可以是0和负数；
求公差d时，可以用d=an–an－1 ，也可以用d=an+1–an；
d =an–an－1或d=an+1–an是证明或判断等差数列的依据；
公差d∈R，当d=0时，数列为常数列，d>0时,数列为递增数列，d<0时,数列为递减数列．
练习：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d.
(1)3，0，-3，-6，-9；
(2)
(3)lg1，lg2，lg4，lg8，lg16；
(4)
(5)
(6) –1，1，-1，1，–1，1．
（教学设想：通过练习，加深对概念的理解）
2．等差数列的通项公式：(约8分钟)
方法一：不完全归纳法
如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：即：
即：
即：
……
［提出问题］：如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么这个等差数列的通项公式如何表示？
由此可得：
验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就
是等差数列{an}的通项公式.
［教师此时指出］：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明］．
在这里向大家介绍另外一种求数列通项公式的办法-叠加法：
方法二：叠加法
将这（n－1）个等式左右两边分别相加，则可得：
an-a1=(n-1)d an=a1+(n-1)d
验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而
它就是等差数列{an}的通项公式.
由此得到等差数列的通项式
an=a1+(n-1)d
an第n项a1首项n项数d公差
强调理解：
已知a1与d,可以求得数列中的任一项，也可以检验某数是否为该数列中的一项；在an，a1，n，d这四个变量中，知道其中三个量就可以求余下的一个量，即知
三求一.
（三）应用例解: (约15分钟)
例1.(1)求等差数列8，5，2,……的第20项．
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13……的项？如果是，是第几项？
(1) 分析：由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20，强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字．
解：由题意得，a1=8,d=-3
∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49
(2) 分析：实际上是求一个方程的正整数解的问题．这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an =-401成立．
解：由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401
an=a1+(n-1)d
-401=-5+(n-1)×(-4)
∴n=100
∴-401是这个数列的第100项．
例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d．
分析：等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系．当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量．
解：由题意，
即
解之得a1=-2 d=3.
思考: 已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组．现在能求出任一项吗？比如能求出a25吗？
解：由上面所解得：
若不求首项只求公差，能求出a25吗？这种题型有简便方法吗？
通项公式的推广公式：
思考：已知等差数列{an}中，am,d是常数，如何任一项an的值.试求an的值. 解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
- 得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
由此得到通项公式的推广公式：an=am +(n-m)d
注意本公式当m≠n有一个变式：
强调理解：已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项.
例3.已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12和a3n.
分析：已知等差数列中的a3和a9，可以先利用公式求出公差d，再用公式求出a12和a3n.
解:由公式得：
(四)．练习反馈强化目标(约8分钟)
P113练习第1题和第2题．
（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问，教学设想：对学生进行基本技能训练,培养学生的计算速度和计算能力.）
（五）归纳小结提炼精华(约2分钟)
本节课我们主要学习了：
1.等差数列的概念及数学表达式：an-an-1=d(n≥2)，要会由定义判定一个数列是否等差数列.
2.等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d（n∈N*），能灵活应用通项公式（应用方程的思想，会知三求一）.
3.还要注意对一个重要的推广公式an=am+(n-m)d的理解与应用．
（六）课后作业运用巩固．
（1）课本P114习题3.2 第1，2，3题．
（2）预习课本P112-113.
预习提纲：1. 例三，例四，如何由等差数列的定义及通项公式解决实际问题；
2.什么是数列的等差中项，它有哪些性质？
3.如何从函数观点来理解数列的通项公式?
板书设计：
§3.2等差数列
1、定义
2、数学表达式
3、等差数列的通项公式
4、推广公式
例1（略）
例2（略）
例3（略）
本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，因此把强调的问题放在较醒目的位置，突出了重点，同时还给学生留有作题的地方，整个板面看上去自然、清晰、美观，还能充分表现出精讲多练的教学方法．。