高中数学必修二《两条直线的交点》优秀教学设计
人教A版2007必修2高一上学期3.3.1两条直线的交点教学设计教学目标：（一）知识与技能1．会求两条直线的交点坐标；2．理解两直线的位置关系与方程组的解之间的关系；3．理解过两条直线交点的直线系方程，理解直线系方程并能初步应用。
（二）过程与方法1.通过求两条直线的交点，体会坐标法思想的应用；2. 通过过两条直线交点的直线系方程的探究，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；3.充分利用情景教学、合作探究、讲练结合的方法，实现知识形成与技能提升。
（三）情感态度与价值观1. 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题；2．让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；3．感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重点：求两条直线的交点坐标。
教学难点：理解过两条直线交点的直线系方程。
教学方法：复习回顾法、合作探究法、合作交流法、讲练结合法。
教学过程（一）复习回顾、推陈出新问题1、初中平面几何中介绍过两条直线的位置关系，它们是什么？高中解析几何也研究两条直线的位置关系？研究方法有何不同？【师生活动】教师通过设置合理的问题，学生回顾旧知，联系新知。
【设计意图】从初中平面几何中两条直线的位置关系这个熟悉的问题入手，让学生边回答边回忆，逐步唤起学生对旧知的回顾，通过比较设问，让学生关注解析几何研究问题的方法和侧重点的不同之处。
【时间预设】1分钟问题2、解析几何将几何问题代数化，首先要做的是将几何元素及关系进行代数表示，那么点和直线我们是如何表示的？请完成下表：【师生活动】教师通过引导，让学生填空及回答问题。
【设计意图】 让学生填空及回答问题，体会坐标法思想，激发学习兴趣。
【时间预设】1分钟问题三、一般地，若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，如何求其交点坐标？【师生活动】教师通过引导，让学生继续填空及回答问题。
【设计意图】 让学生填空及回答问题，进一步体会坐标法思想，激发学习兴趣。
【时间预设】1分钟（二）温故知新，归纳小结环节一：【例1】求下列两条直线的交点坐标：2:220l x y ++=【师生活动】教师呈现题目，学生独立解答。
【设计意图】学生通过解二元一次方程组的解求两条直线的交点坐标，体会坐标法思想，做到及时巩固。
1:3420;l x y +-=【时间预设】2分钟环节二：变式训练、将第一条直线的方程改为4230x y ++=，这两条直线的交点坐标是什么？【师生活动】教师呈现题目，学生独立解答。
【设计意图】 通过联立方程，可以发现，此组方程组无解，也就没有交点坐标，对应两条直线的位置关系是平行。
通过变式，引导学生更深入的思考：联立方程并不一定能求出两条直线的交点坐标；方程组的解与两条直线的位置关系一一对应。
【时间预设】1分钟环节三：师：对于两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？ 生：若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合。
【师生活动】教师提问，学生思考总结。
【设计意图】通过学生的归纳总结，将知识从感性上升到理性，通过方程组解的个数，判断两条直线的位置关系，体会“数形结合”的思想方法。
【时间预设】2分钟（三）合作探究、探索发现问题1、当λ变化时，方程3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0表示什么图形？ 图形有何特点？环节一：师：回答第一个问题生：当λ变化时，方程3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0表示一条直线，可以将方程整理成(32)(4)(22)0x y λλλ++++-=，它是一个二元一次方程组，表示一条直线。
【师生活动】教师提问，学生思考总结并回答，并追问(32)(4)(22)0x y λλλ++++-=要表示一条直线还需要什么条件？【设计意图】引导学生发现二元一次方程组表示一条直线，同时注意细节二元一次方程的系数A,B 不同时为零，培养学生思维的严密性。
【时间预设】2分钟环节二：师：现在请大家每4人一组讨论第二个问题，并记录自己是如何得到自己的答案的。
生：分组讨论，合作探究【师生活动】教师布置问题，要求学生分组讨论。
在此过程中关注学生的表现，对于一些尝试给予积极的肯定，对于无从下手的学生给予必要的指导。
【设计意图】培养学生主动探索的精神，培养在小组中探讨、发表自我观点的勇气。
【时间预设】5分钟环节三：师：请大家交流合作探索的结果生1：为了发现当λ变化时，方程3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0表示的直线具有的特征，可让方程中λ的系数为零，即2x +y +2=0，那么3x +4y -2=0也成立。
因此3x +4y -2+λ(2x +y +2)=0表示经过直线l 1与l 2交点的直线。
生2：可尝试让λ取不同的数，可以得到不同的直线，然后在平面直角坐标系中画出这些直线，发现它们都经过l 1与l 2交点，因此可以得到与生1同样的结论。
师：为了有更好的直观性，应用几何画板直观演示结果，加深学生印象。
【师生活动】在教师的组织下，有序的讨论合作探究结果。
【设计意图】培养学生主动探索的精神，培养在小组中探讨、发表自我观点的勇气，体会成功的喜悦。
【时间预设】5分钟环节三：一般地，经过两相交直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程可怎样表示？我们前面有没有学习过类似的直线系方程的知识？生：A 1x ＋B 1y ＋C 1+λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）表示经过两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系。
师：很好，我们以前也学习过类似的直线系方程知识，如1、 与0Ax By C ++=平行的直线系方程2、 与0Ax By C ++=垂直的直线系方程3、 过定点00(,)x y 的直线系方程4、 经过两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程这些直线系方程中都有一个参数，当它变化时，直线仍有不变量，正所“谓动中有静”。
【师生活动】在教师的组织下，一方面将讨论结果指向一般情况，完成从具体向抽象的升华；联系以前知识，加深直线系方程的理解。
【设计意图】在教师的帮助下，深刻理解直线系方程的本质，培养学生看待数学问题的深刻性，培养理性精神。
【时间预设】5分钟（四）学以致用、巩固提高环节一：【例2】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标.。
(1) l 1：x －y ＝0； l 2：3x ＋3y －10＝0；(2) l 1：3x －y ＋4＝0； l 2：6x －2y －1＝0；(3) l 1：3x ＋4y －5＝0； l 2：6x ＋8y －10＝0；【师生活动】先给出前三个题目，由三名学生到黑板上板演，其它学生独立完成，教师讲评。
【设计意图】通过方程组解的个数，判断两条直线的位置关系，体会“数形结合”的思想方法。
【时间预设】3分钟环节二：(4) 1:2l x y +=； 2:1()l ax y a R +=∈.【师生活动】给出（4），学生独立完成，教师巡视教师，检查学生答题情况。
【设计意图】层层递进，思维升级。
当方程中出现参数时，解方程时需要通过分类讨论，进一步理解通过方程组解的个数，与两条直线的位置关系一一对应，体会“分类讨论”这一重要的思想方法。
【时间预设】2分钟环节三：问题、为什么此题a 取不同的值时，会得到两条直线不同的位置关系？【师生活动】教师引导学生从“形”的角度去理解，学生思考并回答【设计意图】通过分析，发现第二条直线是过定点的直线系方程，回到图形便可解释。
在此需指出重要的一点：解析几何的研究方法是用代数方法研究几何问题，但对由代数方法得到结果，又要回到图形给出相应的几何解释，真正做到“数形结合”。
【时间预设】3分钟（五）练习反馈、方法提升【练习】 若两条直线21y kx k =++和240x y +-=的交点在第一象限，求k 的取值范围。
解法一：联立方程，得到两条直线的交点坐标4261(,)1212k k k k -+++,由42610,01212k k k k -+>>++得 k 的取值范围是 11(,)62k ∈- 。
解法二：将21y kx k =++化为(2)1y k x =++，易知它过定点(2,1)-,表示过定点(2,1)-的直线系方程，结合图象可知11(,)62k ∈-。
【师生活动】教师给出题目，不加任何引导，学生独立完成此题，提醒学生注意做题规范。
【设计意图】通过学生主动探索，达到对公式的进一步理解与应用，尝试多种解法解决问题，体会成功的喜悦。
同时，此题也给了我们解决解析几何问题的一般方法，即通过代数和几何两个方面考虑问题，而几何解法往往更加简洁，是首选方法，体现数学的简洁美。
【时间预设】5分钟（六）课后思考、延伸拓展一般地，若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，你能否从方程组解的角度推导两条直线平行、重合、相交的等价条件？【师生活动】教师给出题目，布置学生“跳一跳”能够回答的问题。
【设计意图】将探究引向课后，培养学生主动探索的精神。
【时间预设】1分钟（七）课堂小结、总结归纳这节课的内容就是这些，最后我们来回顾一下这节课的内容。
同学们总结一下，这节课学习了什么？（师生一起总结）一、知识小结1、 （二元一次）方程组的解即两条直线的交点坐标；2、 （二元一次）方程组的解的个数与两条直线的位置关系一一对应；3、 直线系方程二、思想方法聚焦“数形结合”、“从特殊到一般的思想方法”、“分类讨论”等。
【师生活动】教师引导学生总结所学知识。
【设计意图】帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握。
【时间预设】3分钟（八）课后作业、（九）板书设计。
两条直线的交点坐标 优秀教案
两条直线的交点坐标教学设计一、内容分析1．知识简介本节内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2》第三章直线与方程（直线的交点坐标与距离公式的第一课时）．通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究，强调解决在同一平面内两条直线位置关系（三类情况相交、平行、重合）代数方法．本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.2．通过对同一平面内两条直线有三种位置关系的学习，在能力上对学生明确要求如下：⑴牢固地掌握在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合．⑵以两条直线有三种位置关系为工具，会解决平面上的数学问题，为解决空间问题奠定必要的基础．⑶能够用相应的直线方程组成的二元一次方程组解的情况解决数学形上的基本问题．让学生做到把数的问题转化成形的问题，研究数学形与数之间的联系．3．关键、难点、重点的确定及依据根据这一节课内容的特点以及学生的实际情况，为此，在教学过程中紧扣两直线相交是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解这一核心，利用图形形象直观地表示两直线相交的交．让学生自己去感受：两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解．为此：关键：是在平面直角坐标系中直线与二元一次方程组的关系．难点：是根据二元一次方程组的系数判定直线的位置关系．重点：是判断两直线的相交及两直线交点的求解．4．本节教材的地位与作用求交点问题（直线与直线、直线与曲线、曲线与曲线）是数学的重要概念之一，是解决数学问题的重要基础，在解析几何里表现得尤为突出．解析的思想在空间的应用更为广泛，是进一步学习高中数学、大学数学的基础．因此从高中数学的整体知识来看，本节课的内容很重要，它起到了承上启下的作用．二、教学方法5．学生现状的分析及对策．学情分析：就本节知识内容而言比较简单，学生不太重视，学生的基础又参差不齐．为此，在教学中要全面考虑、认真讲解、耐心辅导．教学对策：为了更好地完成教学任务，让学生尽快掌握知识，形成一定的能力．针对学生的认知规律，通过图形（平面直角坐标系）表示，增强学生的直观感受，在此基础上激发学生不断地探索知识，形成正确的知识，进而高效率地学习数学知识．6．教学目标的确定及依据教学原则明确强调要将思想教育的内容渗透到数学教学中去，使学生获得知识和培养能力的同时，在思想教育方面受到良好的熏陶，依据教学目的和教学原则以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教育目标.⑴情感目标：通过对两直线求交点概念的学习，使学生认识到两直线位置关系的重要性；通过数形结合的比较，体现数学的美感．提高学生对数学文化学习的兴趣．树立学生认识客观事物内在联系的正确观点；提高学生辨证地看待问题的能力．通过课堂教学使学生与教师、学生与学生善于合作与交流．⑵知识目标：牢固掌握两直线相交就是要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解的方法.⑶能力目标：（见前2）7．注重学生对教学目标的掌握和反馈教学的三维目标有短期的（知识）和长期的（情感、能力）目标．本节课以在同一平面内两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合为背景．以学生的认知规律为前提建构关于两直线相交的基本知识体系， 精讲精练、学用结合．使学生感知两条直线相交，是由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；不断的巩固所学习的课堂知识；运用“交点”解决实际问题形成技巧技能．与优、中、后进各层次的学生进行课堂或课后交流，不断的完善学生自主学习的过程．三、教学策略 8．教学设计见附件1 教学设计，附件2板书设计 9．教具（多媒体）（图1、图2、图3） 附件1 教学设计 方法和手段1．教学方法的采用．数学的学习是每一个学生主动接受数学知识以及在自己原有知识的基础上以自己的方式不断建构的过程．本节课以讲授法、发现法为主，并结合启发、引导、讲练结合的具体教学方式为主线进行课堂教学，引导学生积极思考，发挥学生的主观能动作用，体现学生的主体性．2．教学手段的采用．根据本节内容的特点，为了更有效地抓住关键、突破难点、突出重点，提高课堂效率，使学生尽快掌握本节课的知识内容，采用多媒体辅助教学，强化记忆，节省教学时间，提高教与学的效率．四、教学过程 复习回顾我们一起研究了平面上两直线(斜截式)的平行（斜率相等且截距不相等），重合(斜率截距都相等），垂直（斜率之积等于-1）的位置关系. 这一节，我们来研究在同一平面内两条直线相交的交点问题.(课题)讲授新课:1.观察出示小黑板，同学按同桌分开，左侧同学解方程组，右侧同学分别在同一直角坐标系下作图（数形结合），然后观察这三个方程组的系数关系，探索⎩⎨⎧≠=++≠=++)0(0)0(0222222111111C B A C y B x A C B A C y B x A 的解的情况与系数之间的关系.猜想: 唯一解 212121l l B BA A ⇔≠⇔无穷多解21212121l l C CB B A A ≡⇔==⇔无解 21212121l l C CB B A A ⇔≠=⇔若222,,C B A 中有一个为0，那么方程组的解及此时两直线的位置关系怎样呢?启发分析.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. 2.例题讲解例1.求下列两条直线的交点并作图.022:，0243:21=++=-+y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++=-+22得 0220243y x y x y x 所以，l 1与l 2的交点是M(-2，2). 例2.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程: 022:,022:21=--=+-y x l y x l解:解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=+-22得 022022y x y x y x 所以， l 1与l 2的交点是(2，2). 方法一:设经过原点的直线方程为kx y =，把点(2，2)的坐标代入以上方程，得1=k ，所以所求直线方程为x y =．方法二:020020--=--x y ，即x y =. 例3 直线 ,023)2(:,06:21=++-=++m y x m l my x l 当m 为何值时，直线1l 与2l 01相交，02平行，03垂直，04重合?分析:01当1≠m 且3≠m 时，21l l ;02当1-=m 时，21l l ;03当21=m 时，21l l ⊥;04当3=m ，21l l ≡. 3.课堂练习4.课堂小结:大家掌握了两直线相交的判断方法，并能熟练求解两直线交点坐标.另外，了解两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合.进一步体现了以形论数与就数构形，数形结合的重要数学思想.5.课后作业附件2 板书设计。
高中数学两直线交点教案
高中数学两直线交点教案教学目标：1. 理解两条直线的交点概念。
2. 掌握求解两直线交点的方法。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 直线的方程形式。
2. 求解两直线交点的方法。
教学难点：1. 通过代数方法求解两直线交点。
2. 将代数方法应用于实际问题。
教学准备：1. 教师准备：课件、板书、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
教学流程：Step 1：导入教师引导学生回顾直线的基本性质，以及两条直线相交的情况。
Step 2：理论学习1. 讲解两直线交点的定义。
2. 介绍求解两直线交点的方法：代数方法。
3. 举例说明代数方法的具体步骤。
Step 3：示范演练教师通过板书和实例演示如何求解两直线交点，学生跟随进行练习。
Step 4：练习检测学生独立进行练习，检测其对两直线交点的理解和掌握程度。
Step 5：拓展应用教师带领学生应用所学知识解决实际问题，如求解交通信号灯的优化问题等。
Step 6：课堂总结教师总结本节课的重点内容，强调两直线交点的概念和求解方法，并提出下节课预习内容。
Step 7：作业布置布置作业，巩固所学知识。
教学反馈：通过学生作业和课堂表现等方式进行教学反馈，及时发现和解决问题。
教学延伸：鼓励学生主动探索更多应用场景，深入了解两直线交点的实际意义。
资源链接：1. 直线方程的概念及性质2. 两直线交点的相关练习题以上为本节课的教案内容，希望能够帮助学生更好地理解和掌握两直线交点的求解方法。
祝学生学习顺利！。
高中数学必修二(人教版)3.31 两直线交点教案
两条直线的交点坐标一、教学目标(一)知识教学点知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．(二)能力训练点通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．(三)学科渗透点通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．二、教材分析1．重点：两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．2．难点：对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．3．疑点：当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程1、教学引入回顾直线的五个方程，让学生先回忆直线的一般表现形式。
推导得出直线的一般方程式 Ax+By+C=0讲解点与直线的关系。
2、点和直线的关系。
提问1：方程组有唯一解那么，两直线是否交于一点呢？学生回答：是的提问2、可不可以用方程组的解来判定直线之间的关系？学生回答：可以。
给出直线的位置关系与方程的解关系。
（1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，方程组的解即为交点坐标.（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：①方程组有一组解，该解为交点坐标；②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为重合，交点个数为无数个；③方程组无解，此时两直线的位置关系是平行，交点个数为 0个3、例题讲解，巩固知识要点，增强做题能力。
4、习题演练。
1．直线1--=相交与点（1,2）则a= 3 b=0x y b=-与直线20y ax2．若三条直线,2,20==-+-+=相交于一点，则k的值是-1y x y x kx y3．直线210242和直线的位置关系是重合x y x y--=-=4．两直线230120x y k x ky y +-=-+=和的交点在轴上，则k 的值为 6或者-65.方程220x y -=表示的图形是 两条相交且垂直的直线5加深探讨。
高中数学人教A版必修2第三章《3.3.1两条直线的交点坐标》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
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高中数学人教A版必修2第三章《3.3.1 两条直线的交点坐标》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
认知目标
掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系;当两条直线相交时,会求交点坐标。
能力目标
(1)注意学生数学语言表达能力的训练,培养学生思维的严谨性;
(2)学生通过对方程组解与两直线位置关系的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力。
情感目标
从“特殊”到“一般”,培养学生探索事物本质属性的精神,以及运动变化的相互联系的观点。
2学情分析
在学习平面解析几何的初始阶段,学生对解析法的认识还非常模糊,对直线一般方程系数比与两直线位置关系的内在联系还不能深刻理解。
解析几何的主导思想是利用平面直角坐标系,将直线用代数方程表示,将几何代数化,对其进行定量研究.本节课将通过问题引导学生逐步学会把几何问题转化为代数问题来解决,并用几何意义阐述代数问题,突出数形结合,使学生加深对解析法的理解。
3重点难点
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点;
教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。
4教学过程
活动1【导入】1、复习旧知、引入新课
问题一:(1)点(1,2)在直线3x—y—1=0上吗?点(1,2)在直线2x+y—
4=0 上吗?
(2)直线3x—y—1=0与直线2x+y—4=0是什么位置关系?
(3)如何求直线3x—y—1=0与直线2x+y—4=0的交点坐标?
活动2【讲授】2、创设情景、探索新知。
高中数学最新-两条直线的交点教学设计 精品
第8课时§2.1.4 两条直线的交点教学目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.教学过程：（一）课前准备（自学课本P82～83）1．平面直角系中两条直线的位置关系有、、2．设两条直线的方程分别是错误!未找到引用源。
：方程组错误!未找到引用源。
一组无数组无解直线错误!未找到引用源。
的公共点个数直线错误!未找到引用源。
的位置关系3．两直线错误!未找到引用源。
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的交点坐标为（二）例题剖析例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）错误!未找到引用源。
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；（2）错误!未找到引用源。
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；（3）错误!未找到引用源。
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．例2：（1）已知直线错误!未找到引用源。
经过两条直线错误!未找到引用源。
的交点，且与29直线错误!未找到引用源。
平行，求直线错误!未找到引用源。
的方程．（2）已知直线错误!未找到引用源。
经过两条直线错误!未找到引用源。
的交点，且垂直于直线错误!未找到引用源。
，求直线错误!未找到引用源。
的方程．例3：某商品的市场需求量错误!未找到引用源。
（万件），市场供应量错误!未找到引用源。
（万件）与市场价格错误!未找到引用源。
（元/件）分别近似地满足下列关系：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
．当错误!未找到引用源。
时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加错误!未找到引用源。
万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？（三）课堂练习1．直线错误!未找到引用源。
经过原点，且经过另两条直线错误!未找到引用源。
的交点，则直线错误!未找到引用源。
两条直线的交点教案
两条直线的交点教案教案主题：两条直线的交点教学目标：1.理解两条直线的交点定义；2.学会根据直线的方程求解两条直线的交点；3.掌握通过图形法求解两条直线的交点。
教学重点：掌握通过直线方程求解两条直线的交点方法。
教学环节安排：一、导入新知识（10分钟）1.利用幻灯片展示两条直线的交点图像，引发学生对交点的兴趣。
2.提出以下问题：a.你认为什么样的直线才会有交点？b.如果已知两条直线的方程，是否可以求出两条直线的交点？为什么？c.有哪些方法可以求解两条直线的交点？3.小组讨论，总结出各种求解两条直线交点的方法，并进行展示。
二、直线方程求解交点（30分钟）1.提供一种方法：代入法。
a.解释代入法的基本原理：将其中一条直线的方程中的未知数代入另一条直线的方程，得到一个含有一未知数的方程，进而求解该未知数的值。
b.利用幻灯片展示代入法的具体步骤。
c.通过例题演示代入法的应用。
2.提供第二种方法：联立法。
a.解释联立法的基本原理：将两条直线的方程联立，得到一个含有两未知数的方程组，通过求解该方程组，得到两条直线的交点的坐标。
b.利用幻灯片展示联立法的具体步骤。
c.通过例题演示联立法的应用。
3.提供第三种方法：向量法。
a.解释向量法的基本原理：将两条直线的表示向量相等，推导出一个含有两个未知数的方程组，通过求解该方程组，得到两条直线的交点的坐标。
b.利用幻灯片展示向量法的具体步骤。
c.通过例题演示向量法的应用。
三、图形法求解交点（30分钟）1.引导学生回忆坐标系的基本知识，并讲解直线的图形表示。
2.通过图形法求解两直线交点的基本原理：在坐标系上绘制两条直线的图形，通过观察图形的交点来求解两条直线的交点。
3.通过例题演示图形法求解两直线交点的具体步骤。
4.练习训练：提供多个题目，让学生运用图形法求解两直线交点。
四、巩固练习及拓展（20分钟）1.以小组竞赛的形式，提供一些综合性的题目，让学生灵活运用所学方法求解两条直线的交点。
最新人教版高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课优质教案
§3.3 直线的交点坐标与距离公式§3.3.1 两条直线的交点坐标一、教材分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.二、教学目标1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系代数表示 点AA(a ，b) 直线ll ：Ax+By+C=0 点A 在直线上直线l 1与l 2的交点A②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211. 一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2: A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.（三）应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2). 变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0.(2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0.(3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-32.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4), ∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.变式训练求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为65的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.（四）知能训练课本本节练习1、2.（五）拓展提升 问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围.解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故112-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上，交点(－11,112-+-+a a a a )不在x 轴上. （六）课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.（七）作业课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.。
高中数学必修二《两条直线的交点坐标》教学设计
人教A版2007必修2高一上学期《两条直线的交点》教学设计教学设计教学目标：（一）知识与技能1．会求两条直线的交点坐标；2．理解两直线的位置关系与方程组的解之间的关系；3．理解过两条直线交点的直线系方程，理解直线系方程并能初步应用。
（二）过程与方法1.通过求两条直线的交点，体会坐标法思想的应用；2. 通过过两条直线交点的直线系方程的探究，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；3.充分利用情景教学、合作探究、讲练结合的方法，实现知识形成与技能提升。
（三）情感态度与价值观1. 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题；2．让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养；3．感受数学的形式美和简洁美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重点：求两条直线的交点坐标。
教学难点：理解过两条直线交点的直线系方程。
教学方法：复习回顾法、合作探究法、合作交流法、讲练结合法。
教学过程（一）复习回顾、推陈出新问题1、初中平面几何中介绍过两条直线的位置关系，它们是什么？高中解析几何也研究两条直线的位置关系？研究方法有何不同？【师生活动】教师通过设置合理的问题，学生回顾旧知，联系新知。
【设计意图】从初中平面几何中两条直线的位置关系这个熟悉的问题入手，让学生边回答边回忆，逐步唤起学生对旧知的回顾，通过比较设问，让学生关注解析几何研究问题的方法和侧重点的不同之处。
【时间预设】1分钟问题2、解析几何将几何问题代数化，首先要做的是将几何元素及关系进行代数表示，那么点和直线我们是如何表示的？请完成下表：【师生活动】教师通过引导，让学生填空及回答问题。
【设计意图】 让学生填空及回答问题，体会坐标法思想，激发学习兴趣。
【时间预设】1分钟问题三、一般地，若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，如何求其交点坐标？【师生活动】教师通过引导，让学生继续填空及回答问题。
人教A版必修2 3.31两条直线的交点坐标教案设计
3.3.1两条直线的交点坐标一．教学目标。
知识与技能目标：通过了解直线的方程与位置关系之间的联系，熟练掌握联立一元二次方程组求两直线的交点坐标。
过程与方法目标：通过经历方程组的解的情况与相应两条直线的交点的个数位置关系）的探索活动，提高了数形结合思想，培养了发现、研究、解决问题的能力和合作交流能力。
情感态度与价值观目标：通过这节课学习，激发学生在解决问题过程中的兴趣，体验到成功的快乐，养成勤于动脑的好习惯，增强学好数学的自信心。
二．教学重难点。
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线位置关系与二元一次方程组解的关系。
三．教学方法：直观演示法，情景教学法，集体讨论法，启发引导式。
四．教学用具：多媒体、直尺。
五．教学过程设计。
教学环节教学内容师生互动设计意图复习导入引出新课（1）完成下列二元一次方程组:22:243:21=++=-+yxlyxl126:43:21=--=+-yxlyxl126:43:21=--=+-yxlyxl（2）在直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况？教师提出问题（1）、（2）学生独立后回答通过复习导入，激发学生学习兴趣，引出课题，为后面学习新课做知识准备。
①一组解（-2,2）①无数组①无解讲授新课提出3个探究问题．探究问题一：已知两直线1111:0l A x B y C++=，2222:0l A x B y C++=，相交，如何求这两条直线的交点？思考并完成下表：几何元素及关系代数表示点A A（a，b）直线L L：A x+B y+C=0点A在直线上直线L1与 L2的交点A探究问题二：如果两条直线相交，交点坐标与二元一次方程组有什么关系？求下列两条直线的交点坐标，并在坐标轴画出直线.()⎩⎨⎧=--=++111yxyx师：提出问题一生：教师组织学生同桌之间对探究一和表格进行交流。
教师进行巡视指导，交流完教师提问，教师针对学生的回答结果作出相应评价。
师：提出问题二结论：如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组的解；反之，如果方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
2.1.4两条直线的交点教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
，化简得直线方程为 ，又因为该直线与x+3y－5=0垂直，，可知有 ，解得
所以直线方程为
五、回顾反思：
1、两条直线交点的求法
2、两条直线的公共点个数与相对应的二元一次方程组解的个数的关系
3、过两条直线交点的直线系方程
教学反思
二次备课
1、书P82例1：
分析：只需根据相应结论代入即可。
2、例2：求经过原点，且经过两条直线
交点的直线.
分析：联立两个直线的方程组，求解出交点，再使用两点式即可.
变：求经过两条直线 交点,且与直线 垂直的直线.
分析：两直线交点是（2，2）,因为待求直线与 垂直，可设其方程为 ，将交点坐标代入，可知方程为
3、例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）.
2.1.4两条直线的交点
教学目标
1、知识技能目标：1、会求两直线的交点
2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系
2、过程方法目标：通过对直线的方程所表示的几何意义的深刻挖掘，引导学生自发发现求两条直线交点的方法，并组织其讨论得出两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系。
分析：先求出M的坐标，再代入方程中，满足方程即可.
证明：联立方程 ，解之得M点的坐标为（1，-1）
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0