4金融工程 无套利原理应用

远期利率协议(FRA)
远期利率协议(FRA)是买卖双方同意从未 来某一确定时刻T开始的一定时期[T, T*]内 按协议利率借贷一笔数额确定并以具体货 币表示的名义本金的协议。
远期协议利率也称为远期利率，记为rF
rF (T * T ) r *(T * t) r(T t)
其中r是[t,T]内的即期利率，r*为[t,T*]内的
远期外汇协议
远期外汇协议是以某种外汇为标的资产，双 方约定在未来某一时间按约定的远期汇率买 卖一定金融该种外汇的合约。
利率平价关系： Ft =Ste(r-rf )(T-t)
若rf > r, 则远期汇率小于现货汇率，即外汇远 期贴水；
若rf < r,则远期汇率大于现货汇率，即外汇远 期升水。
$2.5是在策略投资人不用任何投入的情况 下，获得的无风险收益。
远期价格为$39时的套利机会
策略2：卖空股票获得$40，存入银行，同 时买入一份3个月期的股票远期合约(远期 价格$39)。
3个月到期后，该策略的收益为 $(40.50-39)=$1.5。
同样，$1.5是该策略所得的无风险收益。
Short：借钱买入S 并交纳存储费，同 时持有远期空头
因此，对于消费类商品的远期价格应满足
F0 (S0+U)exp{rT}。
对于投资资产的远期 这时也存在套利机会： 卖出S并持有远期多头。
便利收益
对于消费类商品，通过持有现货，即实际 商品可以使生产商从暂时的当地商品短缺 中获利，或者具有维持生产线运行的能力。
复利计算的零息票无风险利率。
投资资产的远期价格 现货-远期平价公式
在有效期内，不支付收益证券的远期合约 的远期价格为
F0=S0exp{rT} (1) 在有效期内，已知红利或利息收益的现值
为I，相应远期合约的远期价格为 F0=(S0-I)exp{rT} (2)
在有效期内，标的证券红利率为q，其远 期合约的远期价格为
即期利率。
练习
已知3个月期和6个月期的无风险利率分别为 3.8%和4%，以某不支付红利的股票为标的 资产的3个月远期合约的远期价格为$20，6 个月期的远期价格为$21，那么该如何进行 套利操作？
6个月远期价格为20.21.因此，持有6个月远 期的空头，持有3个月远期的多头。
3个月后借钱20执行多头； 6个月后执行空头，获益21-20(1+2%-0.95%)=0.79
摩擦市场的定价-存在交易成本
假定标的资产每笔交易的费率为Y ，那么 不存在套利机会的远期价格区间为
[St(1 Y )er(T t),St(1 Y )er(T t)]
期初：持有远期多头且卖空S；期末：执行远 期并还S。期末收益=(1-Y)Sexp{r(T-t)}-F ；
期初：持有远期空头且借钱买S；期末：执行 远期并还钱。期末收益=F-(1+Y)Sexp{r(T-t)}。
有效期内远期合约的价值
Vt 表示t时刻远期合约多头的价值
Ft 表示在t时刻新签的到期日为T的远期合 约中的远期价格
St 表示t时刻标的资产价格
由公式(1)知，
F0
Ft
ST
Ft= Stexp{r(T-t)}
于是
0
t
T
Vt = St- F0exp{-r(T-t)}
=(Ft- F0)exp{-r(T-t)}
投资资产是众多投资者仅为了进行投资而 持有的资产。只要有利可图，这些投资者 会卖出他们的持有物并买入远期。
消费商品的远期价格
消费商品(石油，玉米)一般不支付收益， 但会有大的贮存成本。设成本现值为U。
如果某消费商品的远期价格F0满足
F0 > (S0+U)exp{rT}, 那么市场上存在套利机会。
资产或无价值 Call (Asset-or-nothing Call): VT = ST ，当 ST > K 时； VT =0， 当 ST K 时.
C0 =VA - KVC
贷款的价值（1）
考虑一笔1年期 银
贷款，到期还款
行 收
数额为B。借款 益
企业在一年内用
该笔贷款进行投 B 资生产，在贷款
若该合约远期价格为$43，是否有套利机会?
空头方有 套利机会
若该合约远期价格为$39，是否有套利机会?
多头方有 套利机会
远期价格为$43时的套利机会
策略1：以5%的年利率借入$40，买入股票， 同时卖出3个月期的远期合约(远期价格为 $43)。
3个月到期后，该策略的收益为 $(43-40.5)=$2.5
远期合约和期权合约价值的讨论
远期合约与期货
两种合约在签定时的价值为0，在签定后， 合约的价值可正可负，这主要取决于原生 资产价格的变动。
两种合约的签定双方在交割日都必须履行 协议内容，不考虑信用风险。
利率是常值或是时间的确定函数时，远期 价格等于期货价格。
投资资产的远期价格-例
考虑一个有效期为3个月的不支付红利的股 票远期合约。股票当前价格$40，3个月期的 无风险利率为5%(年利率)，$40三个月后值 40e0.05/4= $40.50。
非完美市场的定价公式
如果上述三种情况同时存在，远期和期货 价格区间为： [(1 X )St(1 Y )erl(T t),St(1 Y )erb(T t)]
完美市场可以看成是X = 0, Y = 0, rb = rl= r 的特殊情况。
消费资产
消费资产主要是为了进行消费而持有的资 产。消费资产的使用者认为持有实实在在 的商品要比持有期货或远期合约更有好处。
无套利原理的应用
主要内容
无套利原理 远期和期权的合约价值讨论
远期价格
投资资产 消费资产
期权价格的上下限
无红利情形 有红利情形
二元期权(binary)
现金或无价值 Call (Cash-or-nothing Call): 到期收益为 VT = R，当 ST > K 时； VT =0，当 ST K 时.
对[0,T)中的任意时刻t,有 (St –Ke-r(T-t))+ < ct <St (Ke-r(T-t) -St )+ < pt < Ke-r(T-t)
平价公式(call-put parity) ct + Ke-r(T-t) = pt + St ，
对[0,T]中的所有时刻t都成立。
不支付红利：Put-Call Parity
否则，F2>F1exp(r(T2-T1))。这时持有到期 为T1的多头，和到期T2的空头。在T1时借 F1买入商品并持有到T2；在T2时用商品换 成F2，并还钱F1exp(r(T2-T1)), 套利出现。
0
T1
T2
练习
黄金的现价为每盎司$1100, 一年后交割的黄 金远期价格为每盎司$1300。 一位套利者可 以10%的年利率借到钱。问：套利者该如何 操作才能获利？假设黄金本身不产生收入， 储存费用为U且到期支付。
总结
由现货-远期平价公式知
远期(期货)与现货的相对价格只与持有成本有 关，与预期未来现货的涨跌无关。
标的资产的现货价格对同一时刻的远期(期货) 价格有重要的制约关系。
理论上远期(期货)价格取决于现货价格，但在 实际中体现为远期(期货)价格与现货价格同时 对新信息做出反应。实证表明远期(期货)价格 有价格发现功能。
摩擦市场的定价-存在借贷利差
用rb 表示借入利率，用rl 表示借出利率，显 然rb > rl 。这时远期和期货的价格区间为 [Sterl(T t ),Sterb(T t )]
对于远期多头，期初卖空S，期末执行远期还S， 则收益= Sexp{rl(T-t)}-F；
对于远期空头，期初借钱买入S，期末执行远期 还钱，则收益= F-Sexp{rb(T-t)}。
F0=S0exp{(r-q)T} (3)
构造策略
投资策略1：以利率r借$S0购买股票，并持 有到T时刻, 到期收益=ST-S0exp{rT}.
投资策略2：初始时刻持有股票远期多头， 到期日T，远期价格为F0， 到期收益=ST-F0.
两个投资策略在T时刻都是持有股票ST， 故收益应相等，否则存在套利机会。
远期价格的期限结构
考虑：相同标的资产，不同到期期限的远期价 格间的关系。
F0为到期日为T的远期价格，F0= S0exp{rT} F*0为到期日为T*的远期价格，F*0= S0exp{r*T*} r为[0,T]内的无风险利率；r*为[0,T*]内的无风险
利率。 于是有
F*0= F0exp{r*T*-rT}； F*t= Ftexp{r*(T*-t)-r(T-t)}。
期权价格的性质
期权价格的上限
看涨期权在任何情况下，其价值都不会超
过股票的价值，即
c0 S0，C0 S0
否则，卖出C买入S
看跌期权在任何情况下，其价值都不会超
过敲定价格K的现值，即
p0 Ke-rT，P0 K
否则，卖出P并存入银行
c和p表示欧式期权，C和P表示美式期权。
欧式期权价值的估计
这种持有实际商品现货带来的好处称为商 品的便利收益。
如果已知贮存成本的现值U,那么使得 F0exp{gT}=(S0+U)exp{rT}
成立的g，就定义为便利收益。
期限结构
设F1和F2是基于同一种商品的两份期货， 到期日分别为T1 和 T2，且T2>T1，则 F2 F1exp{r(T2-T1)}。
到期日，银行的
收益如右图
A
B
C 企业资产V
贷款的价值（2）
银行放贷后，其在到期日的收益和某看跌 期权收益相似。
设企业的资产价值为V，则在贷款到期日T， 贷款的价值 = 银行的收益，即 银行的收益= min { VT,B } =B-max{B-VT,0} =B-(B-VT)+