人教版九年级上册课本基础知识

第二十一章 二次根式1.二次根式的意义

形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式

二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。

如：)0(2

),1(1,2≥-≥+a a

x x 等都是二次根式。 2.最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 3.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

4.二次根式的主要性质

（1）（a 2

)=a )0(≥a 。

（2）⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2

a a a a a a a

(3) ).0,0(≥≥⋅=

b a b a ab （4）

a

b a

b = )0,0(≥≥a b

5.二次根式的运算 （1）因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。 （2）有理化因式与分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 （3）二次根式的加、减法

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 （4）二次根式的乘、除法

二次根式相乘（除），把被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方

数，并将运算结果化为最简二次根式。

（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。 1、根式

)0,0(>≥a b a

b

的化简方法 （1）把

a b 化为,a

b

然后分母有理化为

.a ab （2）利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即

a b =.2a

ab a ab = （2）运用积的算术平方根的性质[

)0,0(,ab ≥≥⋅=b a b a ],二次根式的性质

[)0(2≥=a a a ]及因式分解等知识化简二次根式K （K 的值为大于或等于零的整式）。注意：K 是多项式时要先分解因式，K 为整数时要先分解质因数

（4）利用（a ）a =2

给多项式在实数范围内分解因式。如：)

)((2b a b a b a -+=-（b 为大于零的常数） 2、分母有理化的方法与技巧

分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：①根据（a ）a =2

)0(≥a 可知a

的有理化因式是;a ±②根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a μ，

y b x a ±的有理化因式是y b x a μ

分母有理化有时可通过约分来解决，如：

(

)(

)().0y 0x y x y x y

x y

x y

x y -x 〉〉=

±-+=

±，（μ

(

)

() 0,0x y

x y

x y 2x 2

〉〉±=+±=

±+±y x y x y

x y

等。

第二十二章 一元二次方程 一元二次方程的概念

只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 解一元二次方程的方法：

①配方法 <即将其变为)0()(2

≥=+p p n mx 的形式>

步骤：移（移常数项到方程的右边）变（变二次项系数为1）配（两边同加系数

b

a

的一半的平方）写（左边写成完全平方的形式，右边进行计算）开（.如果右边的常数是非负数,那么就开平方）解（分别求出两个一元一次方程的解即可）

②公式法 a

ac

b b x 242-±-= （注意在找ab

c 时须先把方程化为一般形式）

③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

根与系数的关系：当b 2

-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2-4ac<0时，方程无实数根。

如果一元二次方程02

=++c bx ax 的两根分别为

x 1、x 2，则有：

a

c x x a

b x x =

⋅-

=+2121。 一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式： ①212

212

22

12)(x x x x x x -+=+ ②

2

12

12111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-

④

2

1221214)(||x x x x x x -+=- ⑤

||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+

⑥)(3)(21213

213

23

1x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。 （3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(2122

1=++-x x x x x x