【矩阵论】第四章向量范数与矩阵范数
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
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A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
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2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
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对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
向量和矩阵范数
|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||
证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )
数值分析 向量范数与矩阵范数
x
5
3、范数的等价性
如
n 则 x R 设
x 2 x1 n x
2
P20习题14
二、矩阵范数 1、定义 2、矩阵范数与向量范数的相容性 3、诱导矩阵范数（矩阵的算子范数） 4、常用的矩阵范数
二、矩阵范数 1、定义
二、矩阵范数 1、定义 2、矩阵范数与向量范数的相容性
3、诱导矩阵范数（矩阵的算子范数）
思考：A的P-范数如何计算？
A的P-范数的计算 定理1.4 设
A R
n i 1
nn
则 A的列范数
证明
A 1 max aij
1 j n
A 2 max ( A A)
T
A的谱范数
A max aij
1 i n j 1
n
A的行范数
其中
max ( AT A) 表示矩阵 AT A 的最大特征值.
AB A B
x 1
AB max ABx max A Bx
A max Bx A B
x 1
证毕
4、常用的矩阵范数 （1）A的P-范数 （2）A的F-范数
★A的P-范数(由向量范数诱导的矩阵范数) 向量范数 x 且
p
矩阵范数
p
A p max Ax
x p 1
p
Ax p A p x
x2 x x
T
kx 2 (kxi ) k xi2 k x
2 i 1 i 1
n
n
2
x 2 xi2 xT x
i 1
n
x y 2 ( x y)T ( x y) xT x xT y yT y yT x x 2 2x y y
5-3 向量范数和矩阵范数的相容
的向量范数。 的向量范数。如果对任意的 A ∈ C n×n ( R n×n ), x ∈ C n ( R n ) 都有： 都有： Ax α ≤ A β x α
Department of Mathematics
则称矩阵范数 A β 与向量范数 x α 是相容的
定理1： 范数和F- 范数分别与 定理 ：在Cn×n上的矩阵 m − 1 范数和 上的向量1–范数和 范数和2–范数相容 定义 在 Cn 上的向量 范数和 范数相容
≤ =
∑ [(∑
n i=1 n
n
k =1
aik )(∑k=1 ξk )]
2 2
∑ ∑
i=1
n k =1
aik
∑
n k =1
ξk
2
= AF⋅ x 2
所以,矩阵的 范数与向量的2 所以 矩阵的F – 范数与向量的 – 范数相容 矩阵的
Department of Mathematics
定理2： 上的矩阵 m∞ − 上的向量1定理 ： n×n 范数与Cn上的向量 、2 -、 、 C 范数均相容 ∞− 证明： 证明：矩阵 m∞ − 范数与向量∞−范数的相容性
(1), (2),
A = max Ax
x γ =1
γ γ
y = x ⇔ x v =1 令 yv
A = max Ax
x γ ≤1
都是由 • γ 诱导出的算子范数
y = max A y≠0 yv
证(1) A = max
y≠0
Ay v yv
Ay = max y≠0 yv : x v = 1}
v
v
= max{ Department of MathematicsAx v
x≠0
矩阵范数理论及其应用
第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。
(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。
(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。
则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。
易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。
若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。
例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。
分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。
注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。
性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。
向量和矩阵的范数
|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||
1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||
max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)
向量与矩阵的范数-PPT
|| A ||2
A'
A
10 14
15
14 20
221 5.46
|λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
注：
A F
nn
a 2 ——弗罗贝尼乌斯
ij
(Frobenius)范数
j1 i1
简称F范数
|| A ||F 30 5.477
几种常用的矩阵范数：
n
max a11
a12
a1n
A1 1jn
则称该实数||X||为向量X的范数
几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)T
（1）向量的1—范数：
n
|| X ||1 | xi | | x1 | | x2 | ... | xn | i 1
（2）向量的2—范数：
n
|| X ||2
xi2 x12 x22 ... xn2
i 1
例：方程组
22.x0101xx21
x2 1
1
此方程组的准确解为x1=0, x2=-1。现将其右 端加以微小的扰动使之变为：
绝对误差
22.x0101xx12
x2 1
1.0002
b
0.00002
经计算可得它的解为x1=2, x2=-3.
这两个方程组的解相差很大，说明方程组的 解对常数项b的扰动很敏感。
3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数： 对n维实空间Rn中任一向量X ，按一定规则有一确
定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足下 面三个性质： (1)(非负性)||X||0，||X||=0当且仅当X=0。 (2)(齐次性)对任意实数 ，|| X||=| | ||X||。 (3)(三角不等式)对任意向量YRn，||X+Y||||X||+||Y||
2. 预备知识：向量与矩阵范数
向量与矩阵范数,,,(1):0,00(2):,(3):,,.n nnR RY X Y X Y R X R X X X X X λX λX λX X ≥=⇔==∀∈+≤+∀∈在向量空间中任意向量定义一种运算使其与一个实数对应并且满足:正定性齐次性三角不等式则称为空间定义1向量 的范数 22212122,,(,,,),,.T n n n X XX x x x X x x x X X R ==+++=∈利用向量的内积运算给出向量的一种范数:回顾知识：通常记为{}111112,max (),1n i i i n i p p p p n P Xx X x Xx x x p ∞≤≤====+++≤<+∞∑在实际问题中经常使用的范数:()1222124,3(13)=101=1,0,3XX X X ∞===+，例()()122123,(3=1,0,31,0,3)=3X Y Y X Y X X Y εεεεεεε∞-=-=-==+++例2，，()()n m R n m A a B b A B ij n m ij n m⨯⨯==⨯⨯表示实数域上所有阶矩阵的集合，,如何刻画与的逼提出问题：近程度？(),,,(1):0,00(2):,(3):,,.2:n mn m R A a ij n mA A A A A A RA B A B A B R A A λλλ⨯⨯=⨯≥=⇔==∀∈+≤+∀∈对于中的任意一个矩阵定义一种运算使其与一个实数对应并且满足正定性齐次性三角不等式则定称为矩阵的范数义下面给出矩阵范数的定义.()()()1111121()max .m 2ax 1-.()2-,).3(mij i n j n ij j m i T T T A a ij n mA a A A a A A A A A A A A A ρρ∞≤≤=≤≤==⨯===∑∑常用的矩阵范数如下:为矩阵的行范数或无穷范数为矩阵的列范数或范数为矩阵的范数为的最大特征值112345615103001A AA ∞⎛⎫ ⎪=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭，例21000505001B B ⎛⎫ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭1023406109000A B A BA B ∞⎛⎫ ⎪-=⇒-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，,.3:,n m b mb b b A R A X AX A X X R A X ⨯∈≤∀∈设矩阵范数和一个向量范数满足关系则称矩阵范数定和向量范数是相容的义1()max ,()m X a A AX a X R ==∀∈与向量范数相容的矩阵范数可以通过式来定义,(),,,:.1n m mn m A R a A AX A X X R AB R AB A B ⨯⨯∈≤∀∈∈≤设式定义的满足矩阵范数的定义并且有以及对于任意有定理111222:)2(m ij n m A a X R AXA X AXA X AX A X⨯∞∞∞=∀∈≤≤≤设，,成立:定理121212121212122112121212221212121211,,,,,,,,,4,:n X R c XX c X e X X e X d XX d X r X X r X c c d d e e h XX h X r r h h s s s X X s X ∞∞∞∞∞∞∀∈≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,成立:为例非零正实数{}{}12,,,,k k k k k X X X X X X X X ∞---不同的度量是否改变的收敛与发提出问题：散判断？()222212211122212121,=max max =111:n n i i i n i nn i n i X R X x x x n x n x n X X x x x x n X ≤≤≤≤=∀∈+++≤=≤≤++++++=∑证明{}12,k k k X X X X X --判断敛散性结论一致.121X X n X n ≤≤121212121212122112121212221212121211,,,,,,,,,:,n m A R c A A c A e A A e A d A A d Ar A A r A c c d d e e h A A h A r r h h s s s A A s A ⨯∞∞∞∞∞∞∀∈≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,成立:为非例5零正实数。