高数下练习题(考研基础)

第十章 重积分（测试题）

一．

填空题

1． 设20 ,10:≤≤≤≤y x D ，则σd x y

D

⎰⎰+1=_________________________。 2． 设1|| ,3|:|≤≤y x D ，则σd y x x D

⎰⎰+)(=___________________________。

3． 设

D 是由0,1,1==-=+x y x y x 围成的闭区域，则

σd y D

⎰⎰3

sin

=_________________________。

4． 若

),(y x f 在

1

0,10:≤≤≤≤y x D 上连续，且

2)),((dxdy y x f x D

⎰⎰=2

1

),(-

y x f ，则=),(y x f _____________________。（可设,),(k y x f =两边再做二重积分）

5． 若Ω由曲面16),(32

2

2

2

2

2

=+++=z y x y x z 所围，则三重积分

⎰⎰⎰Ω

dv

z y x f ),,(表示成直交坐标系下的三次积分为

_____________________,

柱面坐标系下的三次积分为_________________________________________,

球面坐标系下的三次积分为________________________________________.。

6． 试用二重积分表示由曲面2

223y x a z --=及az y x 22

2

=+所围立体

的表面积=S ____________________________________。 7． 已知D 是区域： 10;≤≤≤≤y b x a ，且

1

)(=⎰⎰σd x yf D

，则

⎰

=b

a

dx x f )(__________________.。

8． 若D 是由1=+y x 和两坐标轴围成的三角形区域，且

=⎰⎰

dxdy x f D

)(⎰1

)(dx x ϕ,则=)(x ϕ______________________________。

9． 积分⎰

⎰=-1

1

2

x y dy e

dx __________________________。（先交换积分次序）

10． 换二次积分的积分次序

⎰

⎰

--=0

1

1 2

),(y

dx y x f dy ___________________。

二．

选择题

1． 若σd x I D )1(1

1⎰⎰+=

，其中1

D 是1||,1||≤≤y x ；σyd x I

D ⎰⎰=2

2

，其中2D 是

122≤+y x ，则21,I I 的值为 _________________________________。

（A ）0,021=I I ；（C ）0,021>=I I ；（D ）0,021<>I I 2．),(y x f 在12

2

≤+y x 上连续，使

⎰⎰

⎰⎰-≤+=1

1 0

1

2

22),(4),(x y x dy y x f dx dxdy y x f

成立的充分条件为_____________________________________________。

(A) ),(),(),,(),(y x f y x f y x f y x f -=-=-； (B) ),(),(),,(),(y x f y x f y x f y x f =-=-； （C ）),(),(),,(),(y x f y x f y x f y x f -=--=-； （D ）),(),(),,(),(y x f y x f y x f y x f =--=-。 3．设=

I ⎰⎰⎰

Ω

zdv 其中Ω为1,2

22=+=z y x z 围成的立体，则正确的为_______。 （A ）⎰

⎰⎰=

π

θ2 0

1 0

1 0 zdz rdr d I ；（B ）⎰

⎰⎰=π

θ2 0

1 0

1

r

zdz rdr d I

(C) ⎰

⎰⎰=

π

θ2 0

1

1

r

rdr dz d I ；（D ） ⎰⎰⎰=1

z

π

θzrdr d dz I .。

4．设Ω由0,10,10,≥≤≤≤≤≤++z y x K z y x 所确定，其中K 是大于2的常

数及

⎰⎰⎰Ω

=

4

7

xdxdydz ，则K =__________________________。 (A) 5 ；（ B ）3 ；（C ）

314 ；（D ） 3

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