考研高数知识总结
高考研高数一知识点总结
高考研高数一知识点总结高考、研究生考试的数学一科目一直以来都是考生们最为头疼的一门考试科目，而高数一作为其中的一大知识点，更是备受关注。
今天，我们就来总结一下高数一中的一些重要知识点。
一、极限与连续极限与连续是高数一中的基础知识点，掌握好了这部分内容，不仅能够帮助我们理解数学中的各种定理，也能为我们后面的学习打下坚实的基础。
极限的概念从直观上来讲，就是函数在某一点上无限接近一个确定的值。
而数学中，极限的概念有一套明确的定义和性质。
通过理解这些定义和性质，我们可以求解函数的极限，判断函数是否连续，还可以应用到一些微积分的问题中。
二、导数与微分导数与微分是高数一的重要知识点之一，也是微积分的基本概念。
导数的定义是函数在某一点上的变化率，它的几何意义是函数曲线在该点的斜率。
而微分则是导数的一个应用，它描述了一个函数在某一点上的局部线性近似。
通过掌握导数与微分的概念和性质，我们可以求解函数的导数，进而求解曲线的斜率，判断函数的单调性和极值点等问题。
在应用上，导数与微分也被广泛地应用于物理、经济等领域中。
三、定积分与不定积分定积分与不定积分是微积分的另一个重要知识点。
定积分的概念是曲线下的面积，它可以帮助我们求解曲线与坐标轴之间的几何关系。
而不定积分是定积分的逆运算，它可以帮助我们求解函数的原函数。
通过掌握定积分和不定积分的概念和性质，我们可以求解函数的定积分和不定积分，解决一些具体问题，如求解曲线下的面积、求解定积分方程等。
四、级数与数列级数与数列也是高数一的重要知识点之一，它们是数学中的一种重要的数学对象。
数列是按照一定规则排列起来的一串数，而级数则是数列的和。
通过掌握级数和数列的概念和性质，我们可以求解数列的极限，讨论级数的敛散性，掌握级数的收敛性判断方法等。
在应用上，级数和数列也被广泛地应用于物理、工程等领域中。
总结起来，高考研高数一中的重要知识点主要包括极限与连续、导数与微分、定积分与不定积分以及级数与数列等。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结一、函数、极限与连续1. 函数的概念与性质- 有界性- 奇偶性- 单调性- 周期性- 复合函数- 反函数2. 极限的定义与性质- 数列极限- 函数极限- 极限的四则运算- 极限存在的条件- 无穷小与无穷大的比较3. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质（确界存在定理、零点定理、介值定理）二、导数与微分1. 导数的定义- 概念与几何意义- 左导数与右导数- 高阶导数2. 导数的计算- 基本初等函数的导数 - 导数的四则运算- 链式法则- 隐函数求导- 参数方程求导3. 微分- 微分的定义- 微分的几何意义- 微分形式的变换三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值问题- 最值问题- 曲线的凹凸性与拐点 - 函数的渐近线四、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数的积分2. 定积分- 定义与性质- 微积分基本定理- 定积分的计算- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量等）3. 积分技巧- 特殊技巧（三角函数的积分、积分区间的变换等） - 积分证明五、多元函数微分学1. 多元函数的基本概念- 定义域- 偏导数- 全微分2. 多元函数的极值问题- 偏导数与极值- 拉格朗日乘数法六、重积分1. 二重积分- 直角坐标系下的二重积分- 极坐标系下的二重积分- 积分的换元法2. 三重积分- 直角坐标系下的三重积分- 柱坐标系与球坐标系下的三重积分七、级数1. 数项级数- 收敛性的判别- 无穷级数的性质- 级数的运算2. 幂级数- 幂级数的收敛半径- 泰勒级数- 函数展开成幂级数八、常微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次微分方程- 一阶线性微分方程2. 二阶微分方程- 二阶线性微分方程- 常系数线性微分方程- 变系数线性微分方程九、傅里叶级数与变换1. 傅里叶级数- 三角级数- 傅里叶级数的收敛性- 正弦级数与余弦级数2. 傅里叶变换- 傅里叶变换的定义- 傅里叶变换的性质- 快速傅里叶变换（FFT）以上是考研高数的主要知识点总结。
考研数学高数重要公式总结
考研数学高数重要公式总结高等数学是考研数学中的重要科目之一，公式的掌握对于解题非常重要。
下面是高等数学中一些重要的公式总结：1.导数公式：(1)基本公式：若y=f(x)是可导函数，则有：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h(2)常见函数的导数：（仅列举部分）常数函数k'(x)=0幂函数x^n的导数[nx^(n-1)]指数函数a^x的导数[a^x×ln(a)]对数函数log(a)x的导数[1/x×ln(a)](3)导数运算公式：[cf(x)]'=cf'(x)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)[f(x)×g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(g(x))]'=f'[g(x)]×g'(x)2.泰勒公式：设在x=a处进行n阶导数的计算，则：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!×f''(a)+⋯+(x-a)^n/n!×f^(n)(a)3.不定积分公式：(1)基本公式：∫f'(x)dx=f(x)+C(2)常见函数的不定积分：（仅列举部分）∫c dx=cx+C∫x^(n)dx=x^(n+1)/(n+1)+C (n≠-1)∫a^xdx=a^x/ln(a)+C∫du/u=ln，u，+C(3)积分运算公式：∫[cf(x)+g(x)]dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dx∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C4.定积分公式：(1)基本公式：∫[a, b]f(x)dx=F(b)-F(a)(2)常见函数的定积分：（仅列举部分）∫[a, b]dx=b-a∫[a, b]x^(n)dx=(b^(n+1)-a^(n+1))/(n+1) (n≠-1)∫[a, b]e^xdx=e^b-e^a∫[a, b]sinθdθ=-cosθ，^b_a(3)积分运算公式：∫[a, b][cf(x)+g(x)]dx=c∫[a, b]f(x)dx+∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]f(g(x))g'(x)dx=∫[g(a), g(b)]f(u)du (令u=g(x))以上仅是高等数学中的一部分重要公式总结，实际上还有许多其他公式和定理。
高数考研知识点总结
高数考研知识点总结一、微积分微积分是一门研究变化的学问。
微积分包括微分学和积分学两个部分。
微分学主要包括导数的概念和性质、高阶导数、隐函数及参数方程求导，微分中值定理，泰勒公式及其应用，不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的计算方法，微分方程的基本概念和初等解法，以及常见微分方程的应用等知识点。
积分学主要包括定积分的概念和性质，定积分的计算方法，换元积分法，分部积分法，定积分的几何应用，定积分的物理应用，不定积分和定积分的基本定理，微分方程的解法和应用，广义积分，数列的敛散，函数项级数的一致收敛性等知识点。
二、级数级数是指由一列数按照一定规律相加而得到的一种算术运算。
级数分为数列和级数的概念，各种级数的审敛性的判别法，幂级数，傅里叶级数，函数项级数的一致收敛性，泰勒级数和洛朗级数等知识点。
三、空间解析几何空间解析几何是指研究空间内点、直线、平面、曲线、曲面及它们之间的相互位置关系等问题的一门数学学科。
空间解析几何主要包括三维空间中的向量及其运算，直线和平面的向量方程和参数方程，空间曲线的方程和参数方程，空间曲面的方程和参数方程，以及常见空间曲线和曲面的性质及应用等知识点。
四、常微分方程常微分方程是指自变量只有一个的微分方程，它是描述动力系统中的基本方程。
常微分方程包括一阶常微分方程的基本概念和解法，高阶常微分方程的概念和求解方法，常系数线性微分方程的解法，解微分方程的初值问题，二阶常微分方程常见的特殊解法，欧拉方程，伯努利方程，克莱罗方程，常见的非齐次线性微分方程的解法等知识点。
五、多元函数微分学多元函数微分学是研究多变量函数的导数、偏导数及其应用的一门数学学科。
多元函数微分学包括二元函数的概念及性质，多元函数的极值及其应用，隐函数存在定理，非线性方程组的解法，多元函数的泰勒公式，梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子，二元函数积分学，重积分的概念和性质，重积分的计算方法，重积分的几何物理应用，累次积分的计算次序等知识点。
考研高数38个高频知识点汇总
考研⾼数38个⾼频知识点汇总 在2020年考研数学的备考过程中，⾼数是很重要的⼀部分。
为此,⼩编整理了相关内容，希望能帮助到您。
考研⾼数38个⾼频知识点汇总 ⼀、函数极限连续 1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。
2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。
掌握利⽤两个重要极限求极限的⽅法。
理解⽆穷⼩、⽆穷⼤以及⽆穷⼩阶的概念，会⽤等价⽆穷⼩求极限。
3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最.⼤值、最⼩值定理和介值定理)，并会应⽤这些性质。
重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：lim(sinx/x)=1，lim(1+1/x)=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。
难点是分段函，复合函数，极限的概念及⽤定义证明极限的等式。
⼆、⼀元函数微分学 1、理解导数和微分的概念，导数的⼏何意义，会求平⾯曲线的切线⽅程，理解函数可导性与连续性之间的关系。
2、掌握导数的四则运算法则和⼀阶微分的形式不变性。
了解⾼阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的⼀阶、⼆阶导数。
会求隐函数和由参数⽅程所确定的函数的⼀阶、⼆阶导数及反函数的导数。
3、理解并会⽤罗尔中值定理，拉格朗⽇中值定理，了解并会⽤柯西中值定理。
4、理解函数极值的概念，掌握函数最.⼤值和最⼩值的求法及简单应⽤，会⽤导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形⽔平铅直和斜渐近线。
5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交⾓。
6、掌握⽤罗必塔法则求未定式极限的⽅法，重点是导数和微分的概念，平⾯曲线的切线和法线⽅程函数的可导性与连续性之间的关系，⼀阶微分形式的不变性，分段函数的导数。
罗必塔法则函数的极值和最.⼤值、最⼩值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。
考研高数英语知识点归纳
考研高数英语知识点归纳考研数学是许多考生的难点，尤其是高等数学部分，它涵盖了微积分、线性代数和概率论等多个分支。
英语作为考研的另一大科目，同样需要系统地复习和归纳知识点。
以下是考研高等数学和英语的知识点归纳。
高等数学知识点归纳：1. 微积分：- 极限的概念与性质- 导数的定义、几何意义、物理意义- 微分中值定理- 不定积分和定积分的计算方法- 无穷级数的收敛性判断- 多元函数的偏导数和全微分2. 线性代数：- 矩阵的运算、秩、特征值和特征向量- 线性空间和线性变换- 向量空间的基和维数- 线性方程组的解法3. 概率论与数理统计：- 随机事件的概率- 随机变量及其分布- 大数定律和中心极限定理- 统计量的分布- 参数估计和假设检验英语知识点归纳：1. 词汇：- 考研英语词汇量大，需要掌握高频词汇及其用法 - 学习词根、词缀，提高词汇记忆效率2. 语法：- 掌握基本的英语语法规则- 熟悉各种时态和语态的使用- 理解并运用各种从句3. 阅读理解：- 提高快速阅读和精读能力- 学会通过上下文推断词义- 掌握文章主旨和细节信息的把握4. 写作：- 掌握考研英语写作的基本格式和结构- 学习如何组织论点和论据- 练习使用多样的句式和词汇5. 翻译：- 理解英汉语言结构的差异- 掌握直译和意译的技巧- 练习将复杂句子准确翻译成目标语言6. 听力：- 熟悉各种口音和语速- 练习捕捉关键信息和细节- 提高对听力材料的理解能力结束语：考研是一个长期而艰苦的过程，需要考生有计划、有系统地复习。
对于高等数学和英语这两门科目，理解基本概念、掌握解题技巧、进行大量练习是提高成绩的关键。
希望以上的知识点归纳能够帮助考生们更好地准备考研，最终取得理想的成绩。
考研高数每章总结知识点
考研高数每章总结知识点一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 一元函数的极限3. 函数的连续性4. 导数与微分5. 多元函数的极限6. 多元函数的连续性7. 偏导数与全微分在这一章节中，我们需要深入理解函数的概念与性质，掌握一元函数的极限和导数与微分的计算方法，以及多元函数的极限、连续性、偏导数与全微分的性质和应用。
二、微分学1. 函数的微分学2. 隐函数与参数方程的微分法3. 高阶导数与微分的应用4. 泰勒公式与函数的逼近5. 不定积分6. 定积分与广义积分7. 定积分的应用在这一章节中，我们需要掌握函数的微分学的相关知识，包括隐函数与参数方程的微分法、高阶导数与泰勒公式的应用，以及不定积分、定积分与广义积分的计算方法及其应用。
三、级数与一些其他杂项1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 傅立叶级数5. 常微分方程在这一章节中，我们需要掌握数项级数、幂级数和函数项级数的相关知识，包括傅立叶级数的表示和计算方法，以及常微分方程的解法和应用。
四、空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 空间点、向量和坐标3. 空间中的直线和平面4. 空间中的曲线5. 空间中的曲面6. 空间曲线和曲面的切线与法线在这一章节中，我们需要掌握空间中的点、向量和坐标的表示和计算方法，以及空间中的直线、平面、曲线和曲面的性质和应用，包括曲线和曲面的切线与法线的计算方法。
五、多元函数微分学1. 函数的极值2. 条件极值与 Lagrange 乘数法3. 二重积分4. 三重积分5. 重积分的应用在这一章节中，我们需要掌握多元函数的极值和条件极值的求解方法，包括 Lagrange 乘数法的应用，以及二重积分和三重积分的计算方法及其应用。
总结起来，考研高数的每个章节都包含了大量的知识点，要想取得好成绩就需要对每个章节的知识点有一个深入的了解和掌握。
在备考的过程中，应该注重理论知识的掌握和应用能力的提升，多做习题和模拟题，以增强对知识点的理解和记忆。
考研高数知识点超强归纳
(t )
连续，
公 式 2 ． lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n = e ； lim⎜⎛1 + 1 ⎟⎞u = e ；
n→∞⎝ n ⎠
u→∞⎝ u ⎠
lim (1
+
v
)1 v
=
e
v→0
则 dy dx
=
f [ϕ2 (x)]ϕ2′ (x) −
f [ϕ1(x)]ϕ1′(x)
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2
( )e x ′ = e x
de x = e x dx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′(t)存在，且ϕ ′(t) ≠ 0 ，则
(arcsin x)′ = 1
1− x2
d arcsin x = 1 dx 1− x2
(arccos x)′ = − 1
d arccos x = − 1 dx
1− x2
1− x2
连续，则 f (x) 必在 [a,b]上有界。
定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭
区间 [a, ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f (x0 ) = M 是区间 [a,b]上某点 x0 处的函数
且有
dy = dy du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)
dx du dx
对应地 dy = f ′(u)du = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x)dx
由于公式 dy = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量
6．隐函数运算法则
设 y = y(x) 是由方程 F (x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方
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考研数学讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。
但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。
实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。
数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。
形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。
而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。
不过，《概率》不是第一层次基础课程。
学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。
更不会从概念出发分析解决问题。
基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。
这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。
教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。
这正好击中考生的软肋。
在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。
”原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。
而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。
你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。
文献浩如烟海，知识千锤百炼。
非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。
方法十分经典，概念非常重要。
学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。
当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
阳春三月风光好，抓好基础正当时。
考研数学讲座（2）笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。
”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。
考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。
动笔的时间很少。
数学书不比小说。
看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。
求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。
你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。
在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。
下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样？”写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。
（穷尽法）。
如果，“连续A + 不连续B = 连续C”移项，则“连续C －连续A = 不连续B”这与定理矛盾。
所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。
能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。
比如，题面上有已知条件 f ′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出h趋于0时， lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。
而写不出的人就抓瞎了。
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式 Aα=λα，α≠ 0 ，要是移项写成（A－λE）α= 0，α≠ 0，这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是“发散性”。
一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。
望山跑死马。
思考一步写一步，观测分析迈下步。
路只能一步步走。
陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。
求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。
好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。
对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。
掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。
我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。
在限定的考试时间内作某年研考的全巻。
中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。
看看成绩多少。
不要以为你已经看过这些试卷了。
就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。
考研数学讲座（3）极限概念要体极限概念是微积分的起点。
说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。
”近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。
他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。
”国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。
而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。
极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类，一类是x →x0 ；一类是x →∞，“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”如果是，则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。
但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。
学习体验相应的发展趋势。
其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。
按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。
x →0+ 时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。
x →∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。
在物理学中，正弦y = sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。
当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。
具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x = 0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。
函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。
在x = 0的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是“电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。
1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。
）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）“跑得更快”。
这就是高阶，低阶概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。
这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。
没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。
但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。
数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。
研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。
这就是“若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 总有f（x）＞0 ”*“若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”这是已知函数的极限而回头观察。
逆向思维总是更加困难。
不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。
除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值恒小于1若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点x0 ，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值全大于1*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1 ）没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。
你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。
考研数学讲座（4）“存在”与否全面看定义，是数学的基本游戏规则。
所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。
讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。
1．海涅定理观察x 趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ；我们总是向未来，看发展。
因而最直观的等价条件就是海涅定理：定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限A存在。
这个定理条件的“充分性”没有实用价值。
事实上我们不可能穷尽x 逼近x0的所有方式。
很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。
即唯一性定理：“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。
”唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。
2．用左右极限来描述的等价条件用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。