【推荐】精选九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第1课时增长率和销售问题导学课件新版
2.5 一元二次方程的应用
目标突破
目标一 能利用一元二次方程解决平均变化率问题
例1 高频考题 2017·烟台 今年，我市某中学响应习总 书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动， 现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品 牌足球2015年单价为200元/个，2017年单价为162元/个．
2019/8/4
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运算公式：(1)(售价－进价)×销售量＝利润；(2)销售总 金额－进价总金额＝利润．
2.5 一元二次方程的应用
反思
小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条 件：如果一次性购买不超过10件，那么单价为80元；如果一次性 购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元， 但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装 付了1200元，则她购买了多少件这种服装？
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
2.5 一元二次方程的应用
[解析] 设每件童装降价 x 元，则每件的利润是(40－x)元，因每件童装降 价 4 元，平均每天就可多售出 8 件，则每天售出20＋8×x4件，根据总利润列出 方程求解．
2.5 一元二次方程的应用
解：设每件童装应降价 x 元，则根据题意可得 (40－x)20＋8×x4＝1200， 解得 x1＝20，x2＝10. 因为要尽快减少库存，所以 x＝20. 答：每件童装应降价 20 元．
2.5 一元二次方程的应用
【归纳总结】 有关平均变化率问题中的数量关系 平均变化率问题 ―→ a（1±x）n＝b
说明：(1)公式中的 a 为基础数，x 为平均增长(或降低)率，n 为 增长(或降低)次数，b 为增长(或降低)后的量；
(2)注意检验方程的根是否符合题意．
2.5 一元二次方程的应用
目标二 能利用一元二次方程解决销售利润问题
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
2.5 一元二次方程的应用
【归纳总结】 销售利润问题中的数量关系 1．利润问题常用数量关系： ①利润＝售价－进价； ②利润率＝利 进润 价＝售价进－价进价×100%； ③总利润＝单件利润×销售量； ④售价＝进价×(1＋利润率)．
打折数 2．折扣问题常用数量关系：实际售价＝标价× 10 .
2.5 一元二次方程的应用
第2章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用
第2章 一元二次方程
第1课时 平均变化率 和销售问题
知识目标
目标突破
总结反思
2.5 一元二次方程的应用
知识目标
1．通过自学、讨论，理解平均变化率问题中各个量之间的 数量关系，并能建立一元二次方程解决实际问题．
2．回顾销售问题中常用的数量关系，并能用这些数量关系 解决实际问题．
总结反思
小结
知识点一 平均变化率问题
设基数为a，平均增长率或降低率为x，则第一次增长或降低后的 值为a(1±x)，两次增长或降低后的值为a(1±x)2.
关系式：a(1±x)n＝b.其中a为基数，n为变化次数，b为n次变化后 的量(值)，x为平均增长率或降低率．
2.5 一元二次方程的应用
知识点二 销售与利润问题
解：设她购买了x(x＞10)件这种服装，根据题意得[80－2(x－ 10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30.
所以她购买了20件或30件这种服装． 上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由．
2.5 一元二次方程的应用
解：不正确．理由：因为题目中要求单价不得低于50元， 当x＝20时，80－2(20－10)＝60(元)＞50(元)，符合题意； 当x＝30时，80－2(30－10)＝40(元)＜50(元)，不合题意，应舍去． 所以她购买了20件这种服装．
答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10%. (2)100×1110＝101100≈90.91(个)，在 A 商场需要的费用为 162×91＝14742(元)， 在 B 商场需要的费用为 162×100×190＝14580(元)． 因为 14742＞14580， 所以去 B 商场购买足球更优惠．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百 分率；
2.5 一元二次方程的应用
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促 销方案：
图 2－5－1 则去哪个商场购买足球更优惠？
2.5 一元二次方程的应用
解：(1)设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根 据题意得 200×(1－x)2＝162，解得 x＝0.1＝10%或 x＝1.9(舍去)．
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用课件 (新版)湘教版.pptx
例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实 惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元将 为81元，求平均每次降价的百分率。
分析：问题中涉及的等量关系是： 原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价
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解:设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得
100(1-x)2=81 整理，得(1-x)2=0.81 解得 x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去）
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归纳总结
列：方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么? 2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
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解：根据等量关系得 (x-21)(350-10x)=400
整理，得 x2-56x+775=0 解得 x1=25，x2=31 又因为21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，
所以x=31不合题意，应当舍去，故x=25，从而卖 出350-10x=350-10×25=100（件） 答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价 是25元。
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由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是： 今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率
设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据等量关
系，可列出方程：
40%(1+x)2=90% 整理，得(1+x)2=2.25 解得x1=0.5=50%，x2= -2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%。
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题
12．如图，已知一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警 报，台风中心正以 40 海里/时的速度由南向北移动，距台风中心 20 10 海里的 圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到 A 处时，测得台风中心移到位 于点 A 正南方向的 B 处，且 AB＝100 海里，若这艘轮船自 A 处按原速度继续 航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风； 若不会，＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也 随之停止． (1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2? (2)几秒后，PQ的长度等于5 cm? (3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
4．(2020·西藏)列方程(组)解应用题 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下， 围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶 园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．
知识点二：用一元二次方程解决动态几何图形问题 5．如图，AB⊥CB，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只螳螂从A点出发， 以2 cm/s的速度向B爬行，与此同时，一只蝉从C点出发，以1 cm/s的速 度向B爬行，当螳螂和蝉爬行x s后，它们分别到达了点M，N的位置， 此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，根据题意可得方程( D )
A.2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48
6．(教材 P53 习题 2.9T2 变式)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6 厘米，BC＝12 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动(到点 B 终止)， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动(到点 C 终止)，若两
湘教版九年级多媒体课堂教学课件第2章 2-5 一元二次方程的应用 第1课时
6．(素养提升题)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千 克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一 天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y(千克) … 34.8 32 29.6 28 … 售价x(元/千克) … 22.6 24 25.2 26 … (1)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量； (2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？
基础达标练
(打“√”或“×”)
1．单件利润＝单件进价—单件成本．( ×) 2．总利润＝单件利润×销售件数＝总售价－总成本．( √ ) 3．利润＝售价×利润率．(× ) 4．售价＝进价×(1－利润率).( ×)
知识点1 列一元二次方程解决增长率类问题 1．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6
两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是(C )
A．60(1＋2x)＝100 B．100(1＋x)2＝60 C．60(1＋x)2＝100 D．60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2＝100
2．(2020·桂林中考)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比
赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是( D )
每天盈利6 000元，每千克应涨价(D )
A．15元或20元 B．10元或15元
C．10元
D．5元或10元
3．(易错警示题)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次) 的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但 一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1 120元，且同一天所生产的产
九年级数学上册第二章一元二次方程2.6应用一元二次方程(第一课时)课件(新版)北师大版
为64cm2的矩形.设矩形的一边长xcm，则可列方程
为
．
【解析】设矩形的一边长为xcm，则矩形的另一边长
为（20-x）cm，可列出方程x（20-x)=64.
答案：x（20-x)=64
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着 宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
——雷巴柯夫
长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花
圃的宽AB为x米，面积为S米2. a
A
D
B
C
如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
【解】设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，此时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x
由条件可知-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0.解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得 14 ≤x＜8
（2）设ys后P移到BA上，且AP=（14－y）cm，点Q在AC上
距离A点为AQ=（2y-8）cm，如图，过Q作QD⊥BA于D，则
∆AQD∽∆ACB
∴ QD AQ
CB AC
∴QD=
6 ( y 4) 5
由题意有 1 (14 y) 6 ( y 4) 12.6
2
5
整理得 y2 -18y 77 0
D
东
一批物品送达军舰.
BE F
C
(1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中 与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海 里?(结果精确到0.1海里,其中 6 2.449 )
【例1】如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海 里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要 目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位 于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发, 经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向 匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1) 小岛D和小岛 F相距多少海里?
湘教版数学九年级上册_同步练习：一元二次方程的应用(第1、2、3课时)
2.5 一元二次方程的应用第1课时增长(降低)率问题01 基础题知识点增长(降低)率问题1．(随州中考)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次．设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(C) A．20(1＋2x)＝28.8B．28.8(1＋x)2＝20C．20(1＋x)2＝28.8D．20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.82．(衡阳中考)某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得(B)A．168(1＋x)2＝128B．168(1－x)2＝128C．168(1－2x)＝128D．168(1－x2)＝1283．某县政府2014年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2016年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2014年到2016年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是(B)A．30% B．40%C．50% D．60%4．(天水中考)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%．5．(广东中考)某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.02中档题6．股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停．已知一只股票某天涨停，之后两天时间又跌回原价，若这两天此股票股价的平均下跌的百分率为x，则x满足的方程是(B)A．1－2x＝1011B．(1－x)2＝1011C．1－2x＝910D．(1－x)2＝9107．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是(A)A．10% B．11.5%C．12% D．21%8．(黔西南中考)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(C)A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1969．(永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 120元．第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意，得400(1－x)2＝324，解得x＝0.1＝10%或x＝1.9(不合题意，舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，根据题意，得[400(1－10%)－300]m＋(324－300)(100－m)≥3 120，解得m≥20.答：第一次降价后至少要售出该种商品20件．10．(沈阳中考)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品的利润每月的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x，依题意，得20(1＋x)2－20(1＋x)＝4.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－1.2(不合题意，舍去)．答：这个增长率是20%.11．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年的春季都上山植树，已知这些学生在初一时植树400棵，设植树数的年平均增长率为x.(1)用含x的代数式表示这些学生在初三时的植树数；(2)若树木成活率为90%，三年来共成活了1 800棵，求x的值．(精确到1%)解：(1)这些学生在初三时的植树数为400(1＋x)2.(2)由题意，得90%×[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]＝1 800，解得x1≈56%，x2≈－356%(不合题意，舍去)．答：x的值约为56%.03综合题12．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0＜x＜0.5)．注：步数×平均步长＝距离．(1)根据题意完成表格填空；(2)求x；(3)王老师发现好友中步数排名第一为24 000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24 000步，求王老师这500米的平均步长．解：(2)由题意，得10 000(1＋3x)·0.6(1－x)＝7 020，解得x1＝1730＞0.5(舍去)，x2＝0.1.答：x的值为0.1.(3)两次锻炼结束的步数为10 000＋10 000×(1＋0.1×3)＝23 000(步)，500÷(24 000－23 000)＝0.5(米)．答：王老师这500米的平均步长为0.5米．第2课时利润问题01 基础题知识点利润问题1．(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．(武陵区校级期末)经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产量x(件)的关系式为L＝－x2＋2 000x－10 000(0<x<1 900)，若要使总利润达到99万元，则这种产品应生产(A)A．1 000件 B．1 200件C．2 000件 D．10 000件3．某超市购进某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件，设每件商品提高x元出售，平均每天利润为1 210元，根据题意可列方程为(200－10x)(x ＋2)＝1__210．4．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%，若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少？解：由题意，得(170－5x)(x－16)＝280，解得x1＝20，x2＝30.∵每件商品的利润不得超过30%，∴x＝30不合题意，舍去．答：每件商品的售价应定为20元．5．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100元？解：由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达到2 100元．6．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．(1)设该经营户将每千克小型西瓜降价x元，请用代数式表示每天的销售量；(2)若该经营户每天的房租等固定成本共24元，该经营户想要每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？解：(1)每天的销售量为(200＋400x)千克．(2)设应将每千克小型西瓜的售价降低y元，根据题意，得(3－y－2)(200＋400y)－24＝200，整理，得50y2－25y＋3＝0，解得y1＝0.2，y2＝0.3.答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．02中档题7．某玩具厂生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为M(元)，售价为每只N元，且M、N与x的关系式为M＝500＋30x，N ＝170－2x，当日产量为多少时，每日获得的利润为1 750元？依题意列方程得(170－2x)x－(500＋30x)＝1__750．8．某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1 000个，市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个．已知进价为每个20元，当鼠标垫的售价为32或28元/个时，这星期利润为9 600元．9．(淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x件这种服装，根据题意，得[80－2(x－10)]x＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．∴x＝20.答：她购买了20件这种服装．10．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少元？ 解：(1)设y 与x 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)， 根据题意，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝90.解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝150.故y 关于x 的函数表达式为y ＝－x ＋150(20＜x ≤90)． (2)根据题意，得(－x ＋150)(x －20)＝4 000， 解得x 1＝70，x 2＝100＞90(不合题意，舍去)．答：该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元．11．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但日产量减少5件，若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次． 解：设该产品的质量档次为x ，根据题意，得 [6＋2(x －1)]×[95－5(x －1)]＝1 120， 整理，得x 2－18x ＋72＝0，解得x 1＝6，x 2＝12(不合题意，舍去)． 答：该产品为第6档次的产品．03综合题12．某文具店去年8月底购进了一批文具1 160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出；若每涨价0.1元．销售量就减少2件．(1)该文具店在9月份销售量不低于1 100件，则售价应不高于多少元？(2)由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少215m%.结果10月份利润达到3 388元，求m的值(m＞10)．解：(1)设售价应为x元，依题意，得1 160－2（x－12）0.1≥1 100，解得x≤15.答：售价应不高于15元．(2)10月份的进价：10(1＋20%)＝12(元)，由题意，得1 100(1＋m%)[15(1－215m%)－12]＝3 388，设m%＝t，化简得50t2－25t＋2＝0，解得t1＝25，t2＝110，∴m1＝40，m2＝10.∴m＞10，∴m＝40.答：m的值为40.第3课时面积问题01 基础题知识点1 面积问题1．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为(C)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为(A)A．1米 B．1.5米C．2米 D．2.5米3．如图，在长70 m，宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x应满足的方程是(B)A．(40－x)(70－x)＝350B．(40－2x)(70－3x)＝2 450C．(40－2x)(70－3x)＝350D．(40－x)(70－x)＝2 4504．如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：x(x＋1)＝3．5．为了绿化校园，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多4米，面积是320平方米，则操场的长为20米，宽为16米．6．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去，∴AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．知识点2 动点问题7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B开始同时移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．若点Q运动t s时，△PBQ的面积为15 cm2，则t的值为(B)A．2B．3C．4D．58．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?解：设x s后△DPQ的面积等于28 cm2，根据题意，得6×12－12×12x－12×2x(6－x)－12×6×(12－2x)＝28，即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于28 cm2.02中档题9．如图，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2米．10．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求AE的长(用x的代数式表示)；(2)当y＝108时，求x的值．解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍．∴AE＝2BE.设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a，∴8a＋2x＝80.∴a＝－14x＋10.∴AE＝2a＝－12x＋20.(2)∵S矩形ABCD＝AB·BC，∴3(－14x＋10)·x＝108.整理，得x2－40x＋144＝0.解得x＝36或4.故当y＝108时，x的值为36或4.11．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．(1)当通道宽a为10米时，花圃的面积为800平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽．解：根据题意，得(40－2a)(60－2a)＝58×60×40，解得a1＝5，a2＝45(舍去)．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3∶5，此时通道的宽为5米．12．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?解：设经过t秒后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB＝6－t，QB＝2t，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE＝12QB＝t.根据题意，得12·(6－t)·t＝4.即t2－6t＋8＝0.解得t1＝2，t2＝4.当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意，舍去，∴t＝2.答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.03综合题13．某小区有一长100 m，宽80 m的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等的矩形，设矩形的长边长为x m，短边比长边少10 m)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m，不大于60 m，预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：3≈1.732)解：由题意可得4x(x－10)×50＋[80×100－4x(x－10)]×60＝469 000，整理，得x2－10x－275＝0.∴x＝5±103(负值舍去)．∴x＝5＋103≈22.32.∵50≤100－2x≤60，∴20≤x≤25.∴投资46.9万元能完成工程任务．又∵小区投资46.9万元，x取整数，∴x≥23且x为整数．∴方案一：一块矩形绿地的长为23 m，宽为13 m；方案二：一块矩形绿地的长为24 m，宽为14 m；方案三：一块矩形绿地的长为25 m，宽为15 m.。
2020年秋九年级数学上册 第2章 2.5 一元二次方程的应用 第1课时 增长率问题和营销问题同步
第2章一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第1课时增长率问题和营销问题知识点 1 增长率问题1．某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是( ) A．180(1＋x%)＝300 B．180(1＋x%)2＝300C．180(1－x%)＝300 D．180(1－x%)2＝3002．2016·恩施州某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为( )A．8 B．20 C．36 D．183．某车间1月份生产产品7000个，3月份生产产品8470个，求该车间这两个月生产产品的月平均增长率．4．2017·巴中巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．知识点 2 营销问题5．某商店进了一批服装，进价为50元/件，按60元/件出售时，可销售800件；若单价每提高2元，则其销售量就减少40件，今商店计划获利12000元，则销售单价应定为________元/件．6．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，经市场调研表明：当销售价定为每台2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天为5000元，每台冰箱的定价应为多少元？7．商场某种商品平均每天可销售30件，每件赢利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加________件，每件商品赢利________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日赢利可达到2100元？8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的产量增长率为x，那么x满足的方程是( )A．50(1＋x)2＝182B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50(1＋2x)＝182D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1829．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批良种西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了减少库存，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天赢利200元，应将每千克良种西瓜的售价降低多少元？10．2017·眉山某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．经调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕属于第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？11．2017·南宁为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)．该阅览室2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，则a的值至少是多少？12．某汽车销售公司5月份销售某种型号的汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x之间的函数表达式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月的销售利润为25万元，那么该月需要售出多少辆汽车(注：销售利润＝销售价－进价)?1．B [解析] 当商品第一次提价x %时，其售价为180＋180x %＝180(1＋x %)；当商品第二次提价x %后，其售价为180(1＋x %)＋180(1＋x %)x %＝180(1＋x %)2，∴180(1＋x %)2＝300.故选B.2． B [解析] 根据题意，得100(1－x %)2＝100－36，解得x ＝20或x ＝180(不合题意，舍去)，故选B.3．解：设该车间这两个月生产产品的月平均增长率为x %，根据题意，得7000(1＋x %)2＝8470，∴(1＋x %)2＝1.21，即1＋x %＝± 1.21＝±1.1，∴x %＝0.1＝10%或x %＝－2.1(不合题意，舍去)．答：该车间这两个月生产产品的月平均增长率为10%.4．解：设平均每次下调的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x )2＝4050，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每次下调的百分率为10%.5．70或806．解：设每台冰箱的定价为x 元，依题意得(x －2500)(8＋2900－x 50×4)＝5000，解得x 1＝x 2＝2750，经检验x 1＝x 2＝2750符合题意．答：每台冰箱的定价应为2750元．7．解：(1)2x (50－x )(2)由题意，得(50－x )(30＋2x )＝2100.化简得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，∴x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日赢利可达到2100元．8．B [解析] 50(1＋x )2 万个只表示六月份的产量，不包含四、五月份的产量，182万个是第二季度生产零件的总产量，包含四、五、六月份的产量．9．解：设每千克良种西瓜的售价降低x 元．由题意，得(3－x －2)(200＋40x 0.1)－24＝200， 解得x 1＝0.2，x 2＝0.3.∵该经营户想要减少库存，∴x ＝0.2不合题意，应舍去，∴x ＝0.3.答：应将每千克良种西瓜的售价降低0.3元．10．解：(1)由题意可知，生产的蛋糕每提高一个档次，该产品每件利润提高2元，14－102＝2，所以生产提高了两个档次，所以此批次蛋糕属于第三档次产品．(2)设该烘焙店生产的是第x 档次的产品，则每件利润为[10＋2(x －1)]元，每天的产量为[76－4(x －1)]件．根据题意，得[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝1080，整理，得x 2－16x ＋55＝0，解得x 1＝5，x 2＝11(不合题意，舍去)．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品．11．解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x ，根据题意得7500(1＋x )2＝10800，即(1＋x )2＝1.44，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.(2)10800×(1＋0.2)＝12960(本)，10800÷1350＝8(本)，12960÷1440＝9(本)，(9－8)÷8×100%＝12.5%.答：a 的值至少是12.5.12．解：(1)当0<x ≤5时，y ＝30；当5＜x ≤30时，y ＝－0.1x ＋30.5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0<x ≤5且x 为整数），－0.1x ＋30.5（5<x ≤30且x 为整数）.(2)当0<x ≤5时，(32－30)×5＝10(万元)＜25万元，不合题意；当5＜x ≤30时，(32＋0.1x －30.5)x ＝25，即x 2＋15x －250＝0，解得x 1＝－25(舍去)，x 2＝10.答：该月需要售出10辆汽车．。
九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用教案湘教版
教材P53 A组1、2题
个案修改
过程与方法：通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
情感态度与价值观：使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活
分析：问题中涉及的等量关系是：
原价×（1-平均每次降价的百分率) 2=现行售价
解：略
例2某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
重点
列一元二次方程解增长率、利润问题应用题.
难点
发现实际问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题
教学方法
课型
教具
教学过程：
一、复习回顾，引入新知
1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？
①列一元一次方程解应用题；
②列二元一次方程组解应用题；
③列分式方程解应用题
提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样
2.5一元二次方程的应用
课题
2.5一元二次方程的应用
本课（章节）需课时，本节课为第课时，为本学期总第课时
教学目标
知识与技能：1．使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率和利润问题；2.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法；3.通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程。
北师大版2020年数学九年级上册第二章《2.6 应用一元二次方程(第1课时 )》课件
解：设道路宽为x米， 如图(2)利用平移知识可列方程为 (32－2x)(20－x)＝570， 化简得x2－36x＋35＝0， 解这个方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合题 意，舍去)， ∴道路宽应为1米．
图(1) 图(2)
课堂练习
1．用长为100cm的金属丝制成一个矩形 框子，框子的面积不可能是( D )
得x1＝20(舍去)，x2＝12. ∴该矩形草坪BC边长为12米．
总结新知
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么
关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单
位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活
北师大版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
2．6 应用一元二次方程
第1课时 利用一元二次方程求解几何问题
学习目标
1．使学生会用一元二次方程解应用题． 2．进一步培养学生将实际问题转化为数 学问题的能力和分析问题、解决问题的能 力，培养学生运用数学的意识． 3．通过列方程解应用题，进一步体会运 用代数中方程的思想方法解应用题的优越 性．
(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF
分别是多少？
在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中 的等量关系即： 速度等量：V军舰＝2×V补给船；时间等量：t军舰＝t补给船； 三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2. 弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE 表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程． 在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE、EF的长， 根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．
冀教版九年级数学上册《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第1课时)
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
湘教版-数学-九年级上册 2.5一元二次方程的应用 优质课件
在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方 向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗 正 （1面）矩求形菱面形积的的51两．条对角线的长度； （2）求组成菱形的每一根铁条的长度．
例5 如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在
个城市的人口的平均年增长率．
答：1%.
小结与复习
建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程 的解，这是数学的基本功之一.
一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科 学和生产生活中，都有重要应用．
一元二次方程可以写成右端为0，而左端是只含 一个未知数的二次多项式，它的一般形式是
ax2+bc+c=0(a，b，c是已知数，a≠0)．
答：没有一种砌法使花园面积大于12.5m2. 根据条件得方程2x2-10x+12.55=0； 因为b2-4ac=100-100.4=-0.4<0，此方程无实数 根，故花园面积不能为12.55m2.由此可得出，
当 花园面积大于12.5m2时，建立的一元一次方程无 实根.所以没有一种砌法使花园面积大于12.5m2.
12.55m2？设 与已有墙面垂直的每一面墙的长度为x m，则与已有墙面平
行的一面墙的长度为(10-2x)m.根据题意， 列出议程 x(10-2x)=12.55. 这个方程可以写成 2x2-10x+12.55=0. 讨论这个方程有没有实数解. 由从此上可面以这看个出具，体是例否子可受以到使启花发园，面你积能为不12能.55讲m出2. 花园面积不 可能大于12.5m2的理由？
4.0
2.8
12.32
4.2