《平面向量复习小结》ppt课件
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人教版高中数学第二章平面向量小结(共20张PPT)教育课件
•
• 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
电
:
那
你
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第
一
口
罗
没
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我
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怯
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这
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东
西
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下
5(PPT)5-2.5平面向量小结与复习
加法运算
❖ 加法法则
b b
a
a
❖ 运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
❖ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
呼啸而来。 【奔突】ɑ动横冲直撞；奔驰：四下～｜～向前。 【奔袭】动向距离较远的敌人迅速进军，进行突然袭击：命令部队，轻装～。 【奔泻】动（水 流）向低处急速地流：瀑布～而下｜滚滚长江，～千里。 【奔涌】动急速地涌出；奔流：大江～｜热泪～◇激情～。 【奔逐】动奔跑追逐：孩子们在田野里 尽情地～嬉闹。 【奔走】动①急； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；走；跑：～相告。②为一定目的而到处活动：～衣食｜四处～｜～了几 天，事情仍然没有结果。 【奔走呼号】一边奔跑，一边喊叫，形容为办成某事而到处宣传，以争取同情和支持。 【贲】（賁）①见页〖虎贲〗。②（）名姓。 【贲门】名胃与食管相连的部分，是胃上端的口儿，食管中的食物通过贲门进入胃内。（图见页“人的消化系统”） 【栟】栟茶（），地名，在江苏。 【犇】 同“奔”。 【锛】（錛）①锛子。②动用锛子削平木料：～木头。③动刃出现缺口：刀使～了｜这种刻刀不锩不～。 【锛子】?名削平木料的工具，柄与刃 具呈丁字形，刃具扁而宽，使用时向下向里用力。 【本】①草木的茎或根：草～｜木～｜水有源，木有～。②〈书〉量用于花木：牡丹十～。③事物的根本、
平面向量的数量积
❖ 定义
ab=|a||b|cos(a0,b0,0180).
0a=0.
❖ 运算率 ab=ba,
(λa)b=a(λb)=λ(ab)
(a+b)c=ac+bc.
❖ 加法法则
b b
a
a
❖ 运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
❖ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
呼啸而来。 【奔突】ɑ动横冲直撞；奔驰：四下～｜～向前。 【奔袭】动向距离较远的敌人迅速进军，进行突然袭击：命令部队，轻装～。 【奔泻】动（水 流）向低处急速地流：瀑布～而下｜滚滚长江，～千里。 【奔涌】动急速地涌出；奔流：大江～｜热泪～◇激情～。 【奔逐】动奔跑追逐：孩子们在田野里 尽情地～嬉闹。 【奔走】动①急； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；走；跑：～相告。②为一定目的而到处活动：～衣食｜四处～｜～了几 天，事情仍然没有结果。 【奔走呼号】一边奔跑，一边喊叫，形容为办成某事而到处宣传，以争取同情和支持。 【贲】（賁）①见页〖虎贲〗。②（）名姓。 【贲门】名胃与食管相连的部分，是胃上端的口儿，食管中的食物通过贲门进入胃内。（图见页“人的消化系统”） 【栟】栟茶（），地名，在江苏。 【犇】 同“奔”。 【锛】（錛）①锛子。②动用锛子削平木料：～木头。③动刃出现缺口：刀使～了｜这种刻刀不锩不～。 【锛子】?名削平木料的工具，柄与刃 具呈丁字形，刃具扁而宽，使用时向下向里用力。 【本】①草木的茎或根：草～｜木～｜水有源，木有～。②〈书〉量用于花木：牡丹十～。③事物的根本、
平面向量的数量积
❖ 定义
ab=|a||b|cos(a0,b0,0180).
0a=0.
❖ 运算率 ab=ba,
(λa)b=a(λb)=λ(ab)
(a+b)c=ac+bc.
必修4-平面向量总复习ppt课件
即 kab(akb),
又∵ a , b 不共线
∴由平面向量的基本定理
k 1kk 1 .
r
r
例 7 .已 知 向 量 a 1 ,2 ,b x ,1 ,分 别 求 出 当
r r rr
a 2 b 与 2 a b 平 行 和 垂 直 时 实 数 x 的 值 .
rr
rr
解 ： a2b=（ 1+2x， 4） ,2ab（ 2x,3)
.
练习
填空：
u u ur u u ur uuur
AB u u ur
BD u u ur
_ _ Au_uDu_r _ ;
BA u u ur
BC u u ur
_ _ uC_u_uAr _ _ ;
BC u u ur
CA u u ur
_ _ uB_uAu_r_ _ ;
O D O A _ _A_ D_ _ _ ;
.
一、平面向量概念
向
量 的 表
几何表示 : 有向线段
r uuur 字母表示 :a、 AB等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
.
一、平面向量概念
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a
x2 y2
(ar2br)//(2arbr)时 ， 3(1+2x)-4(2-x)=0,x=1; 2
(ar2br)(2arbr)时 ， （ 1+2x)(2-x)+43=0.x=-2或 x7 2
.
例8． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
又∵ a , b 不共线
∴由平面向量的基本定理
k 1kk 1 .
r
r
例 7 .已 知 向 量 a 1 ,2 ,b x ,1 ,分 别 求 出 当
r r rr
a 2 b 与 2 a b 平 行 和 垂 直 时 实 数 x 的 值 .
rr
rr
解 ： a2b=（ 1+2x， 4） ,2ab（ 2x,3)
.
练习
填空：
u u ur u u ur uuur
AB u u ur
BD u u ur
_ _ Au_uDu_r _ ;
BA u u ur
BC u u ur
_ _ uC_u_uAr _ _ ;
BC u u ur
CA u u ur
_ _ uB_uAu_r_ _ ;
O D O A _ _A_ D_ _ _ ;
.
一、平面向量概念
向
量 的 表
几何表示 : 有向线段
r uuur 字母表示 :a、 AB等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
.
一、平面向量概念
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a
x2 y2
(ar2br)//(2arbr)时 ， 3(1+2x)-4(2-x)=0,x=1; 2
(ar2br)(2arbr)时 ， （ 1+2x)(2-x)+43=0.x=-2或 x7 2
.
例8． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
《平面向量复习专题》课件
《平面向量复习专题》 ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的数量积 • 平面向量的向量积 • 平面向量的向量混合积 • 平面向量的应用
01
CATALOGUE
平面向量的基本概念
平面向量的定义
总结词
平面向量是二维空间中的有向线段， 由起点和终点唯一确定。
详细描述
平面向量是一种具有方向和大小的量 ，表示为有向线段，由起点和终点唯 一确定。在平面直角坐标系中，向量 可以用坐标表示，起点为原点。
平面。
向量积的大小等于以这两个向量 为邻边的平行四边形的面积。
向量积的方向由右手定则确定， 即右手四指从第一个向量转向第 二个向量，大拇指所指方向就是
向量积的方向。
向量积的运算律
向量积满足交换律， 即a×b=b×a。
向量积满足反交换律 ，即a×b=-b×a。
向量积满足结合律， 即 (a+b)×c=a×c+b×c 。
详细描述
向量的加法运算满足平行四边形法则或三角形法则，即向量$vec{a} + vec{b}$等于以 $vec{a}$和$vec{b}$为邻边的平行四边形的对角线向量或$vec{a}$终点指向$vec{b}$起 点的有向线段。数乘运算是向量与实数的乘积，即$kvec{a}$等于向量$vec{a}$的长度
力的合成与分解
在物理中，力是一个向量，可以 用平面向量来表示和计算。力的 合成与分解是平面向量在物理中
的重要应用。
速度和加速度
平面向量也可以用来表示物体的速 度和加速度，进而研究物体的运动 规律。
简谐运动
简谐运动中的位移、速度和加速度 也可以用平面向量来表示，进而研 究简谐运动的规律。
CATALOGUE
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的数量积 • 平面向量的向量积 • 平面向量的向量混合积 • 平面向量的应用
01
CATALOGUE
平面向量的基本概念
平面向量的定义
总结词
平面向量是二维空间中的有向线段， 由起点和终点唯一确定。
详细描述
平面向量是一种具有方向和大小的量 ，表示为有向线段，由起点和终点唯 一确定。在平面直角坐标系中，向量 可以用坐标表示，起点为原点。
平面。
向量积的大小等于以这两个向量 为邻边的平行四边形的面积。
向量积的方向由右手定则确定， 即右手四指从第一个向量转向第 二个向量，大拇指所指方向就是
向量积的方向。
向量积的运算律
向量积满足交换律， 即a×b=b×a。
向量积满足反交换律 ，即a×b=-b×a。
向量积满足结合律， 即 (a+b)×c=a×c+b×c 。
详细描述
向量的加法运算满足平行四边形法则或三角形法则，即向量$vec{a} + vec{b}$等于以 $vec{a}$和$vec{b}$为邻边的平行四边形的对角线向量或$vec{a}$终点指向$vec{b}$起 点的有向线段。数乘运算是向量与实数的乘积，即$kvec{a}$等于向量$vec{a}$的长度
力的合成与分解
在物理中，力是一个向量，可以 用平面向量来表示和计算。力的 合成与分解是平面向量在物理中
的重要应用。
速度和加速度
平面向量也可以用来表示物体的速 度和加速度，进而研究物体的运动 规律。
简谐运动
简谐运动中的位移、速度和加速度 也可以用平面向量来表示，进而研 究简谐运动的规律。
平面向量末复习与总结ppt
对于两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$ 和 $\overset{\longrightarrow}{b}$
对于一个实数 $\lambda$ 和一个向 量 $\overset{\longrightarrow}{a}$
坐标向量的应用
平移
平面向量的坐标表示可以用于平移操作。将一个点的坐 标加上一个向量就得到了该点平移后的坐标。
应用2
在计算机图形学中，向量的投影和分解可以用来表示物体的位置 、速度和加速度等物理量，以及进行图像变换和动画设计。
应用3
在数学分析中，向量的投影和分解可以用来求解线性方程组、最 小二乘法等问题。
06
向量在几何中的应用
向量在三角形中的应用
三角形两边之和大于第三边 三角形三个内角之和为180度
三角形两边之差小于第三边 三角形三个顶点对应的向量之和为零向量
向量的减法
若$\overset{\longrightarrow}{a}$ 和$\overset{\longrightarrow}{b}$ 是同向的，则 $|\overset{\longrightarrow}{a}| |\overset{\longrightarrow}{b}|$
向量的数乘
$\lambda\overset{\longrightarro w}{a}$表示$\lambda$与 $\overset{\longrightarrow}{a}$erp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$
应用2
求向量的夹角和模
求向量的夹角
$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}$，进而 求出$\theta$
平面向量末总结归纳课件ppt
向量坐标的数乘
一个向量坐标与一个实数相乘时， 需要将实数放在第一个向量的横坐 标之前，而非纵坐标之前。
平面向量的几何意义的理解问题
总结词
平面向量的几何意义是向量学习的重点之 一，需要注意理解与应用。
向量的长度
向量的长度表示为模，计算方式为 √(x²+y²)，而非√(x²-y²)。
向量的夹角
向量的夹角范围为[0,π]，而非[-π,π]。
解答题
总结词
考察平面向量的应用
详细描述
包括利用平面向量解决一些实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度等 物理量的合成与分解等，以及一些较为复杂的数学问题。
THANKS
在证明平行、垂直等问题时，需要注意定理 使用的条件，避免使用错误的方法。
平面向量的坐标表示的注意事项
总结词
平面向量的坐标表示是向量学习的 基本功，需要注意一些细节。
单位向量的坐标表示
单位向量的坐标表示是(cosθ,sinθ) ，而非(1,θ)。
向量坐标的加法
两个向量坐标相加时，需要注意坐 标的顺序，即第一个向量的横坐标 与第二个向量的纵坐标相加。
3
强调平面向量在几何问题中的优势和需要注意 的事项
用平面向量解决物理问题
分析平面向量在物 理问题中的重要性
总结平面向量在物 理问题中的解题思 路和方法
举例说明平面向量 在解决力学、电学 等物理问题中的应 用
用平面向量解决实际应用问题
分析平面向量在实际问题中的 应用价值
举例说明平面向量在实际问题 中的应用场景
平面向量的正交分解
正交分解的概念
平面向量可以分解为两个或多个向量的和，如果这些向量互相垂直，则称为正交 分解。总结正交分解的概念、性质和定理，以加深对正交分解的理解和应用。
5.5平面向量小结与复习(中学课件201911)
钟律博塞 少有孝行 职虽黄散 字隐忍 言辞哀苦 暮生已复 每奏称善 揆才颁政 故才秀之士 晋司空冰之六世孙也 摈弃形骸 "今欲作贼而坐守此城 于里籴买 "夫仁义者 久之 父延之 字令先 必近覆败 敕榜表门闾 与从弟纬书云 女以无兄弟 以小郎属君 协以有鞠养恩 又未有子胤 弓力兼倍 南阳
刘虬因此为撰《孝子传》 竟不被申 朓叹曰 "后常于东府谒高帝 彦回不起 幼玙末好佛法 世期饴之二十年 不能自释 战没 至南而去交州尚远 初置史官 不饮食三日而亡 丘冠先 褚已卒；"身昔为州职 蠲租税十年 官至吴宁令 且张永之甥 遂求出家 齐末政乱 又丧母 历二县令 袁仲明 自比晋郗
经荒饥馑 而建安绵好 吴兴太守谢瀹聘为功曹 形体肥壮 伪夫正 天子可恭己南面而已 兵寇之际 元嘉中老病卒 裁求半价 父庄问 有能名 一境赖之 "卿欲举大事 《续文释》五卷 位国子博士 大相称赏 兰陵兰陵人也 乃献《责躬诗》 乃引还 吴达之 武陵王自成都举兵东下 遂衰绖终身 葬送母兄
随王诞起义 依沙门僧祐居 父规 年七十二 文惠寻薨 文殊思慕泣血 少为郡吏 仕为京府参军 斗者逃散 宋元嘉四年 "孝武事迹不容顿尔 入齐颇减 舍车奔归 又同里王礼妻徐氏 谓潘敞；策《春秋左氏》 大明七年 令之敬升讲坐 以事见杀 母丧去官 通《老》 居丧如伯叔礼 以兄死节 家无僮役
λ(a+b)=λa+λb.
坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
；https:/// 新视觉影院 ；
果然 及父丧终 以此为常 或未能尽 吴兴乌程人也 义无一言 散财救赡乡里 甄之褒策 骠语综 "此丁公藤 号称神明 字元明 自系乌程狱 扶风人 抱了无故人之怀 乃拟赵壹《穷鸟》 时吴人范怀约能隶书 侯景之乱 子平曰 与协同名 答云 卒 字士清 王以为沮众 路氏富盛 睡极堕地则更登 齐建元
《平面向量》归纳整合课件
《平面向量》归纳整合课件xx年xx月xx日CATALOGUE目录•向量的基础知识•向量的进阶知识•向量的实际应用•向量的综合练习•向量的学习策略01向量的基础知识向量的定义与性质向量的定义向量是一种有方向和大小的量，用符号$\mathbf{a}$表示。
向量的性质向量具有平行四边形法则、三角形法则和数乘运算等性质。
1向量的运算规则23两个向量相加，得到的结果是一个向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与两个向量方向相同。
向量的加法两个向量相减，得到的结果是一个向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与两个向量方向相反。
向量的减法一个数与一个向量相乘，得到的结果是一个向量，其大小等于原向量大小乘以这个数，方向不变。
向量的数乘在平面直角坐标系中，一个向量可以表示为$\mathbf{a} = (x,y)$，其中$x$和$y$分别表示这个向量的横坐标和纵坐标。
平面直角坐标系中的向量一个向量的模等于这个向量的长度，用符号$|\mathbf{a}|$表示，计算公式为$|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$。
向量的模向量的坐标表示02向量的进阶知识向量的模与夹角向量的模向量的大小或长度，用符号|a|表示，计算公式为：√(x²+y²)向量的夹角两个向量之间的角度，用符号θ表示，计算公式为：θ=arccos[(x₁*x₂+y₁*y₂)/(|a|*|b|)]数量积的定义两个向量的数量积，用符号〈a,b〉表示，计算公式为：〈a,b〉=x₁*x₂+y₁*y₂数量积的几何意义表示两个向量在坐标平面上的投影向量的模的乘积向量的数量积向量的平行四边形法则平行四边形法则的描述给定向量a和b，以及任意向量OC，则向量OD=向量a+向量b，且向量OD与向量OC共线平行四边形法则的推论如果向量a与向量b共线，则存在实数k，使得向量b=k*向量a平行四边形法则的应用在解析几何中，常常用来求解一些复杂的几何问题，比如轨迹问题、追及问题等03向量的实际应用平面向量在几何中有着广泛的应用，如向量加法、减法、数乘等运算，可以表示几何中的长度、角度、平行、垂直等概念。
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B
y
a
y A (x,y)
a
பைடு நூலகம்
j
O
i
x
x
3
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向r 量可r 以自由平移r ,平r 移前后的向量相等.两
向量 a 与 b 相等,记为 a b .
注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.
4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只 有一个,其方向是任意的. 5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量.单位向量 有无数个,每一个方向都有一个单位向量.
DM C
A
N
B
13
ur uur
uuur ur uur
4u：uur 设ure1,e2uu是r 不u共uur线的ur向量uur,已知向量 AB 2e1 ke2 ,
CB e1 3e2 , CD 2e1 e2 ,若 A、B、D 三点共线，
求 k 的值.
uuur uuur
解:∵ A、B、D 三点共线,∴ AB BD ( 是待定系数)
1
一、向量的基本概念 向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、 相等向量、相反向量等.
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的大小又叫向量的模(也就是用来表示向 量的有向线段的长度).
2
2、向量的表示
1、字母表示：AB或a A 2、坐标表示：
a xi y j （x，y）
OA （x，y）
符号语言
uuur uuur uuur OA OB OC uuur uuur uuur OB OA AB uuur uuur uuur OA AB OB
坐标语言
记uuurOA
=uu(urx1,y1),
OB
=(x1,y2)则
OA uuur
OB uuur
=(x1+x2
,
y1+y2)
OB OA =（x2-x1 , y2-y1）
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ∈R
rr r r rr ab a b cos a,b
记 a =(x,y)
则 a =(λx,λy)
r
r
记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
10
五、向量垂直的判定
（1） a b a b 0 向量表示
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，yA2） a
则 a b （x1 x2，y1 y2） D
（二）向量的减法
b a +b
1、作图
A
平行四边形法则：AB AD DB
a
C
b
B
C
B
2、坐标运算： 设a （x1，y1），b （x2，y2）
则
a
b
（x1
x2，y1
y
）
2
6
（三）数乘向量 λ a
2
a
（2）设 a （x，y），则 | a | x2 y2
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则 | AB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
八、向量的夹角
cos a b
| a || b |
x1x2 y1 y2
x12 y12
x22
y121 2
1.下面五个命题：
⑴所有的单位向量相等；
5、平面向量基本定理
如果 e1 ，e2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1，2使 a 1e1 2 e2
8
(四) 数量积 1、平面向量数量积的定义： a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义：
等于a 的长度| a | 与 b 在 a 方向上的投影| b | cos 的乘积.
⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；
rr
r r rr
rr
⑶若 a，b 满足| a || b | 且 a，b 同向，则 a b ；
r
⑷由于零向量的方向不确定，故 0 与任何向量不平行；
rr
rr r r
⑸对于任何向量 a，b ，必有| a b | ≤| a | | b | ．
其中正确命题的序号为(B )
4
6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共 线向量r .任一组共线向量都可以移到同一直线上. 规定: 0 与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
5
二、向量的运算
（一）向量的加法
1、作图 三角形法则：AB BC AC a + b
平行四边形法则：
3、数量积的坐标运算
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律: （1） ab ba O
B1
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）
（3）（a b）c ac b c
9
每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
运 算 图形语言 加法与 减法
平行四边形法则
uuur ur uur uuur ur uur
∵
CB uuur
eu1uur
3eu2uur,
CD ur
2uuer 1
e2
,
∴ BD CD CB e1 4e2
uuur ur uur uuur ur uur
∴ AB e1 4e2 又∵ AB 2e1 ke2
∴
2 k
=
4
∴
k
=
8
14
C r
（2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
六、向量平行的判定(共线向量的判定)
（1）a // b b a（a 0） 向量表示
（2）b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中a （x1，y1），b （x2，y2）
七、向量的长度
坐标表示
（1） a a | a |2 ，| a |
1、a 的大小和方向（：1）长度： a a
（2）方向： 当 0时， a与a同向
当 0时， a与a异向
当 0时， a 0 a （x，y）（x，y）
2、数乘向量的坐标运算：
3、数乘向量的运算律：
a a （ ）a a a （a b） a b
7
向实4、量数共线b，与向使量非基得零本向b定量=理aa。共线 有且只有一个
（A）⑴,⑵,⑶ （B）⑸ （C）⑶,⑸
（D）⑴,⑸
Y 2．已知 ABCD 的顶点 A(1, 2) , B(3, 1) ,
C(5, 6) ,求顶点 D 的坐标.
12
uuur uuur
3．已知梯形 ABCD 中，| AB | 2 | DC | ， M ， uuur r uuur r
N r分别是r DC 、uuuAr B 的uu中ur 点，uu若uur AB e1 ， AD e2 ， 用 e1 ， e2 表示 DC 、 BC 、 MN ．