勒让德legendre多项式及其性质

勒让德(legendre)多项式及其性质

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勒让德（legendre ）多项式及其性质

一． 勒让德多项式

勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：

2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）

它的幂级数解如下：

12y y y =+ （1.2）

其中：

224

1200

(1)(2)(1)(3)[1]2!4!k

k k n n n n n n y a x a x x ∞

=+-++==-+⋅⋅⋅∑ （1.3）

21

35

22110

(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!

k k k n n n n n n y a x

a x x x ∞

++=-+--++==-++⋅⋅⋅∑ （1.4）

由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和

2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当

n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有

界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第

一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n

P x 的表达式。

① 当n 为正偶数时

1y 退化为n 次多项式。为求得()n P x 的表达式，

在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式：

2(2)(1)()(1)

k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）

在（1.5）式中取2k

n =-，得：

2(1)

2(21)

n n n n a a n --=-

- （1.6）

习惯上取n a 为 2

(2)

2(!)n n

n a n = （1.7）

于是有：

2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-

----

(22)!

2(1)!(2)!n

n n n -=--- （1.8）

在（1.5）式中取4k

n =-，并利用2n a -之值得：

4

2(2)(3)4(23)

n n n n a a n ----=--

2

(2)(3)(22)!

(1)

4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----

2

(24)!

(1)2(2!)(2)!(4)!n

n n n -=--- （1.9）

一般地，我们有

()

()222!

12!()!(2)!m

n m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2

n

m =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1.10）

我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：

2

20

(22)!()(1)2!()!(2)!

n m

n m

n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）

这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。 ② 当n 为正奇数时

2y 退化为n 次多项式，我们把2y 记作()n P x ，同理可得：

1

2

20

(22)!

()(1)2!()!(2)!n m

n m n n m n m p x x m n m n m --=-=---∑ （1.12）

把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得

[]

2

2

(22)!

()(1)

2!()!(2)!

n

m n m

n n

m

n m

p x x

m n m n m

-

=

-

=-

--

∑（1.13）

其中[]

2

n

表示

2

n

的整数部分

由上述讨论可知，当n为非负整数时，

1

y和

2

y中有一个是n阶勒让德多项式，而另一个是无穷

级数，记作()

n

Q x，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：

12

()()

n n

y c P x c Q x

=+（1.14）特别当0,1,2,3,4,5

n=时，由（1.11）和（1.12）式得：

()1

P x=

1

()

P x x

=2

2

1

()(31)

2

P x x

=-

3

3

1

()(53)

2

P x x x

=-42

4

1

()(35303)

8

P x x x

=-+53

5

1

()(637015)

8

P x x x x

=-+它们的图形如下：