一元二次方程专题复习资料全
一元二次方程专题复习
知识盘点
1．方程中只含有个未知数.并且整理后未知数的最高次数是.这样的方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式( a 、b 、c 、为常数.a)。 2. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方.而另一
边是一个时.可以根据的意义.通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02
≠=++a o c bx ax
的一般步骤是：
①化二次项系数为.即方程两边同时除以二次项系数；
②移项.使方程左边为项和项.右边为项； ③配方.即方程两边都加上的平方； ④化原方程为2
()x m n +=的形式.
如果n 是非负数.即0n ≥.就可以用法求出方程的解。 如果n ＜0.则原方程。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠.当24b ac -_______ 0时.x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
①将方程的右边化为；
②将方程的左边化成两个的乘积； ③令每个因式都等于.得到两个方程；
④解这两个方程.它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .
（1）ac b 42->0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根, 即
-----=-----=2,1x x
（2）ac b 42-=0?一元二次方程有两个的实数根.即-----==21x x , （3）ac b 42-<0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。 4.一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x . 则12x x +=.12x x =
提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时.一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样.即审、找、设、列、解、答六步。
考点一一元二次方程的基本概念及解法
例1、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0).则a－b的值为A．－１ B．0 C．1 D．2
例2、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）
A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
考点二一元二次方程根的判别式
例3、关于x的方程2210
++-=的根的情况描述正确的是( )．
x kx k
A．k为任何实数．方程都没有实数根
B.k为任何实数．方程都有两个不相等的实数根
C．k为任何实数．方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
例4、已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根.
则a的取值X围是（）
A、a＜2
B、a＞2
C、a＜2且a≠l
D、a＜﹣2
考点三一元二次方程根与系数的关系
例5、关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2。 （1）求k 的取值X 围；
（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数.求k 的值。
【对应训练】已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x .且满足12123320x x x x ---=.求242
(1)4a a a
++?-的值。
考点四 列一元二次方程解应用题
例6为落实国务院房地产调控政策.使“居者有其屋”.某市加快了廉租房的建设
力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米.预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房.若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变.求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．
【对应训练】某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售.由于国务院有关房地产的新政策出台后.购房者持币观望.房地产开发商为了加快资金周转.对
价格经过两次下调后.决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房.开发商给予以下两种优惠方案以供选择： ①打9.8折销售；
②不打折.一次性送装修费每平方米80元. 试问哪种方案更优惠？
误区点拨
一、忽视等式的基本性质.造成失根 例1、解方程：2(1)3(1)x x x +=+.
错解：两边同除以(1)x +.得23, 1.5x x ==
剖析：方程两边同除以一个式子时忽略了式子可能为0.
正解：
二、忽视二次项系数a≠0.导致字母系数取值X 围扩大
例2、如果关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0.求m 的值．
错解：将x ＝0代入方程中.得22(2)03040m m -?-?+-=.
24m =.2m =±.
剖析：由一元二次方程的定义知：20m -≠.
而上述解题过程恰恰忽略了这一点.
正解:
三、忽视一元二次方程有实根的条件Δ≥0.导致错解 例3、已知：1x 、2x 是方程22(2)350x k x k k --+++=的两实根.
求22
12x x +的最大值.
四、忽略挖掘题目中的隐含条件导致错解
例4、若2222(1)(3)5x y x y +++-=,则22x y +=_________.
五、忽视“方程有实根”的含义.导致字母系数取值X 围缩小
例5、.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=.当k 为何值时.方程有实数根？
六、忽略实际问题中对方程的根的检验.造成错解
例6.有一块长80cm.宽60cm的薄铁片.在四个角截去四个相同的小正方形.然后
做成一个底面积为1500cm2的没有盖子的长方体盒子.求截去的小正方形的边长。
单元训练
一、选择题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A ．2
2
1
0x x +
= B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=
D ．223250x xy y --=
2. 若关于x 的一元二次方程0235)1(2
2
=+-++-m m x x m 有一根为0.则m 的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0 3. 关于x 的一元二次方程240x x c ++=中.0c <.该方程的解的情况是:
( )
A ．没有实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．不能确定
4. 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根.则这个方程的另一个根是（ ） A.－2 B. 2 C. 5 D. 6
5.用配方法解方程23610x x -+=.则方程可变形为（ ）
A ．2
1(3)3
x -=
B ．2
13(1)3
x -=
6.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根.则22a a b ++的值为（ ） A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
7. 方程29180x x -+=的两根分别是是等腰三角形的底和腰.则这个三角形的周长为（ ）
A ．12
B ．12或15
C ．15
D ．不能确定
8．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值X 围是( )
A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<2
9.某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )
A. ()2
2891256x -= B. ()2
2561289x -=
C.289(1-2x)=256
D.256(1-2x)=289
10.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根x 1.x 2满足x 1+x 2=4和
x 1?x 2=3.那么二次函数ax 2+bx+c （a ＞0）的图象有可能是（ ）
一元二次方程应用一对一辅导讲义
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
第二章一元二次方程培优奥赛讲义
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题） 1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为． 3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是． 4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是． 5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为． 6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=． 7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=． 10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是． 13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为． 14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染． 15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．
一元二次方程的应用(专题训练)上课讲义
一元二次方程的应用(专题训练)
一元二次方程的实际应用 （1）与数字有关的问题 例1 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数 解： 练习题一 1．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 2、某两位数的十位数字是082=-x x 的解，则其十位数字是多少；某两位数的个位数字是方程082=-x x 的解，则其个位数是多少？ 3、一个两位数，个位上数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x ，求这个两位数？ 4、一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数？ 5、一个三位数，百位上数字为2，十位上数字比个位上数字小3，这个三位数个位、十位、百位上的数字之积的6倍比这个三位数小20，求这个三位数？
例2 三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个数？ 解： 练习题二 1、两个数的和为16，积为48，则这两个正整数各是多少？ 2、若两个连续正整数的平方和为313，则这两个正整数的和是多少？ 3、三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数从小到大依次是多少？ 4、三个连续偶数，使第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这三个数？ 5、有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数？
（2）与几何图形面积有关的问题 例3 一个直角三角形三边的长是三个连续整数，求这三条边的长和它的面积 解： 练习题三 1．直角三角形两直角边的比是8：15，而斜边的长等于6.8cm ，那么这个直角三角形的面积等于多少？ 2、直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为多少？ 3、用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形，则两直角边的长是多少？ 4、一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程0121022=+-x x 的解，则三角形的周长为多少 6、若三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为多少？
讲义一元二次方程讲义
考点一、概念 (1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则 a b b a +的值为 。 针对练习：
一元二次函数解法 辅导讲义
课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
一元二次方程专题能力培优含答案
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领
中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义12 一元二次方程(教师版)
专题12 一元二次方程 考点总结 【思维导图】
【知识要点】 知识点一一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 20(0) ax bx c a ++=≠。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【注意】 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（） ①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1 x =4，④x2=0，⑤x2- 3 x +3=0 A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤ 【答案】B 【详解】 ①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B. 2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常
数）一个解的范围是（ ） A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 【答案】C 【详解】 观察表格可知ax 2+bx+c 的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x 的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是3.24＜x ＜3.25； 故选C. 3．（2019·广东中考模拟）方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．3、2、5 B ．2、3、5 C ．2、﹣3、﹣5 D ．﹣2、3、5 【答案】C 【详解】2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5. 故选C. 4．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2 2 1 0x x + = B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x -+= D ．223250x xy y --= 【答案】C 【详解】 A. 是分式方程，故此选项错误； B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误； C. 是一元二次方程，故此选项正确； D. 是二元二次方程，故此选项错误； 故选：C. 5．（2018·湖北中考模拟）下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．x ﹣1=0 B ．x 2+3x ﹣5=0 C ．x 3+x=3 D ．ax 2+bx+c=0 【答案】B 【详解】
二次函数与一元二次方程讲义
二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc
一元二次方程 ●夯实基础 例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________． 例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程． 例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一 一元二次方程的定义 板块二 一元二次方程的解与解法
一元二次方程知识点复习及典型题讲解
一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例
例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：
2020届中考数学专题复习《一元二次方程》专题训练
一元二次方程 A级基础题 1．一元二次方程x2－3x＝0的根是( ) A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．(2017浙江舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( ) A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(2017年江苏南京改编)解方程(x－5)2＝19，用以下哪种方法最恰当( ) A．配方法 B．直接开平方法 C．因式分解法 D．公式法 4．(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( ) A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 5．(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 6．如图2-1-4，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) 图2-1-4 A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m 7．(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 8．一元二次方程x2－2x＝0的解是____________． 9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为____________． 10．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
5一元二次方程的应用尖子班讲义
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．
初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用
课
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题
一元二次方程全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解一元二次方程及有关概念； 2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程； 3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程???→ 降次一元一次方程
2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42 -=?. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解 决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习 一、选择题 1、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 2、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 3、方程组的解是（） A．B． … C．Ｄ． 4、若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l），则a 的取值范围是（） A． B． C． D． 5、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 6、方程的根是( ) A．B．C． D． 7、已知代数式的值为9，则的值为（）
A．18 B．12 C．9 D．7 8、关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 9、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 A．1 B．2 C．1或2 D．0 10、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（） A． B． C．D． ' 11、一元二次方程x一2x=0的解是( ) A．0 B．2 C．0，一2 D．0，2 12、设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（） A．B． C．D． 13、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（） 或13 14、关于的一元二次方程的解为( )．
A.=1，=－1 B.==1 C. ==－1 D.无解 15、将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为 ( ) A．(x+2)2=3 B．(x+4)2=3 C．(x+2)2=-3 D. (x+2)2=-5 16、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为 ( ) A.－1或 B.－1 C. D.不存在 17、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（） A．1 B．12 C．13 D．25 & 二、填空题 18、设一元二次方程的两个实数根分别为和，则 ， ． 19、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ． 20、已知一元二次方程的一个根为，则． 21、方程的较大根为，方程的较小根为，则 。
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。
中考数学一元二次方程专题(附答案)
中考数学一元二次方程专题（附答案） 一、单选题（共12题；共24分） 1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（） A. x2﹣2x+1=0 B. 2x2﹣x+1=0 C. 4x2﹣2x﹣3=0 D. x2﹣6x=0 2.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是（） A. －2或3 B. 3 C. －2 D. －3或2 3.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数 的图象可能是: A. B. C. D. 5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（） A. x2﹣8=0 B. 2x2﹣4x+3=0 C. 9x2﹣6x+1=0 D. 5x+2=3x2 6.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于的一元二次方程 的两个根，则k的值等于 A. 7 B. 7或6 C. 6或 D. 6 7.方程（x-1）?（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（） A. 14 B. 13 C. －14 D. －20 8.一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 9.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 10.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ). A. Δ=16S2 B. Δ=-16S2 C. Δ=16S D. Δ=-16S 11.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）. A. x2-4x+4=0 B. x2+3x-1=0 C. x2+x+1=0 D. x2-2x+3=0 12.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（） A. a≥ B. 0 解一元二次方程 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．无实数根 【答案】D 【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程， 由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019， ①（x﹣2019）2≥0， ﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D. 讲解用时：2分钟 解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。 教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。 难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】 已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。 A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D 【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程， n， mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣ m ①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D. 讲解用时：2分钟 n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣ m 根据偶次幂的非负性可得mn异号。 教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。 难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】 在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。 【答案】x1=6，x2=﹣6 【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程， 根据新定义可以列方程： （42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13， ∴49﹣x2=13，则x2=36， ①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.人教版数学九年级上册 课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版