数列综合二轮复习(PPT)5-3
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2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：五 数列
(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－
1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋
a1(n≥2)．
(5)已知
an＋1 an
＝f(n)，求an，用累乘法：an＝
an an－1
·aann－ －12
·…·aa21
·a1＝
[必会结论]
1．判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－
an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：①当an>0时，则
an＋1 an
>1⇔数列{an}是递增数
列；0<
an＋1 an
<1⇔数列{an}是递减数列；
＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，SS偶奇＝aamm＋1.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项 之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－
1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，
x q
，x，xq；四
个数成等比数列，通常设这四个数分别为qx3，qx，xq，xq3.
提醒 (1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{Aan}(Aan总有 意义)必成等比数列．
(2)如果数列{an}成等比数列，且an>0，那么数列{logaan}(a>1 且a≠1)必成等差数列．
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是 非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等 比数列的必要不充分条件．
5-3第三节 等比数列(2015年高考总复习)
第三节
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新课标A版数学
题型一
等比数列基本量的计算
【例 1】 (2013· 湖北卷)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和， S4，S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3＋a4＝－18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2 013？若存在，求出符合条 件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由． 【思维启迪】 (1)由条件易得公比 q 与首项 a1 的关系式，从 而求得 a1 与 q，再求得通项公式；(2)先求出 Sn，再由 Sn>2 013 得 出关于 n 的不等式，再通过分类讨论得出 n 是否存在．
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第五章 数列
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第三节 ►►等比数列
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研考点· 知规律
拓思维· 培能力
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第五章
第三节
解析
a2＋a4＝20， a3＋a5＝40，
2 a1q1＋q ＝20， 即 2 2 a q 1 ＋ q ＝40， 1
两式相除得 q＝2，代入 a1q(1＋q2)＝20 得 a1＝2， a11－qn 21－2n ∴Sn＝ ＝ ＝2n＋1－2. 1－q 1－2
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第五章
第三节
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1 1 又 cn＝an－1，故{cn}是以－ 为首项， 为公比的等比数列． 2 2 (2)由(1)可知
1 1 － 1 n 1 n ， cn＝－2· ＝－ 2 2
必修5第二章数列章末复习课件人教新课标
1．裂项求和 3．错位相减
2．分组求和 4．倒序相加
1．裂项求和
把通项公式分成若干个已知数列的和，分别用公
式求这些数列的和，从而求出原数列的和.
例 : 求Sn
22 13
42 35
(2n
(2n)2 1)(2n 1)
an
1
1 (2n 1)(2n
1)
1
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
n
1 2
2．利用前n项和与通项的关系求通项公式
an
S1 ( n Sn
1) Sn1
(n
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
3．利用递推关系，构造新数列。
①an an1 f (n)型
（叠加）
2 22
3 23
n 2n
1 2
Sn
1 22
2 23
n 2n
1
n 2n1
相减得：(1
1 2
)
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
1 2
Sn
1 2
1
1 2n
1 1
n 2n1
2
Sn
2
1 2n1
n 2n
4．倒序相加求和
仿推导等差数列和的方法，把某些数列首尾 对称的项对应相加，有时也可得到不错的效果.
其实关键还是"理解"...多做题,多总结 规律!...
要点总结
定义
项、通项
数列基础知识
数列表示法
数
人教A版高中数学必修五第二章《数列复习》
aan1
n(n1)
2 2 (n
2)
n(n1)
经验证a1符合an 2 2
练习:已知a1
3, an1
3n 1 3n 2
an ,则通项公式an
________
key
பைடு நூலகம்
: an
6. 3n 1
类型三 : 线性递推式an1 pan q( p 0, p 1, q 0)
例3、已知a1 1, an 3an1 1(n 2).求an .
2
四、裂项相消求和法：
例4.求和Sn
1 13
1 35
1
(2n 1)(2n 1)
解:
11 1
an
2
( 2n
1
2n
) 1
1 111
11
Sn 2 (1 3 3 5
) 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按 此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和 方法称为裂项相消法.
列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
练习:
• ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458.
• ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _
6.
• ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =___2_70_或__-2_7_0_.
a
2
a 2an1 (1 a)2
(2n 1)an1 1 a
(a 1)
高中数学模块复习2数列课件新人教B版必修5
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要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)数列{an}和集合{a1,a2,a3,a4,…,an}是一回事. ( ) (2)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (3)若数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N+,都有an=Sn-Sn-1. ( ) (4)等差数列的单调性是由公差决定的. ( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) (6)若对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立,则数列{an}一定为等 差数列. ( )
(2)等比数列: ������������1 ,������ = 1, Sn= ������1 -������������������ = ������1 (1-������������) ,������ ≠ 1,可采用错位相减法得到该公式.
1-������ 1-������
2
2
7.等差数列、等比数列前n项和的性质 (1)等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列. (2)等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等思考辨析
5.等差中项与等比中项 (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c. (2)若a,b,c成等比数列,则b2=ac. 6.等差数列、等比数列的前n项和公式 (1)等差数列: ������(������-1) ������(������1 +������������ ) na + d 1 Sn= =_______________ ,可采用倒序相加法得到该公式.
������������+1 = ������(������∈N+,������为非零常数) ������������ ������(������1 +������������) ������(������-1) = ������������1 + ������ 2 2
必修5数列复习课件ppt
an amqnm
中项
A ab 2
G2 ab
性质
an am ap aq an am 2ap
an am ap aq an am ap2
Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等差 Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等比
求和 公式
Sn
n(a1 an ) 2
若TSnn＝7nn＋＋32，求ab55.
9a1＋a9
an S2n1 bn T2n1
解： ab55＝22ab55＝ab11＋ ＋ab99＝9b12＋b9 ＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
2
7.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( A )
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时,
aann100 Sn是最小值
２．当a1＞0,d＜0时, 思路1：寻求通项
aann100 Sn是最大值
即：3a1
9a1
30d
1 9 (9 1) d
2
d
1 10
a1
12a1
是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
9设a1等 差12 数9列(9｛1a)n｝d 的 1公2a差1 为12d,1则2由 (1题2 意1)得 d:
即： 3a1 30d a1 10d ∵a1<0, ∴ d>0,
精选-高考数学二轮复习专题三数列第二讲数列的综合应用课件理
a3
＋n≥…2＋，21nan＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为( B )
A两 ∴．式 aan＝n相＝2减n2＋可n1＋，得 1 n，≥a22nn，＝n2B∈n．＋N*5a.－n＝2(n12－4n＋，11)，－n＝n5≥＝1，22，
C当．na＝n＝1 2时n ，a21＝7，∴Da．1＝an1＝4，2n＋2
等差数列的 命题分析
Ⅱ
基本运
数列在解答题中的考查常从数列的相关项
卷
算·T17
以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项的
关系入手，结合数列的递推关系式与等差数
列或等比数列的定义展开，求解数列的通
2016
等比数列的
项、前 n 项和，有时与参数的求解、数列不
Ⅲ 通项公式、
等式的证明等加以综合．试题难度中等．
Ⅱ 通项公式和 或等比数列的定义展开，求解数列的通项、 2018
卷 前 n 项和公 前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式
式·T17
的证明等加以综合．试题难度中等． 学科素养
通过递推关系求通项，根据通项结构选择恰
当的求和方法求和.
考情分析 明确方向
卷 考查角度及 年份
别 命题位置
命题分析及学科素养
考点一 由递推关系求通项
[全练——快速解答]
由题意可知，数列{an}满足条件12a1＋212a2＋213a3＋…＋21nan＝2n＋
1．(2018·洛
5，则 n≥2
阳时四，有校12联a1＋考21)2已a2＋知21数3a3列＋{…an＋}满2n1－足1a条n－1件＝122(an1－＋121)＋2a25＋，213
考点一 由递推关系求通项
2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n② 由①－②得 －Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋2×2－12－n－21×2－(2n－1)×2n ＝(3－2n)×2n－3， 所以 Tn＝(2n－3)×2n＋3.
高考数学总复习 第五章第5课时 数列的综合应用课件 新人教版
an＝a(1＋r)n,属于等比模型.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的 前后两项之间的关系不固定,随项的变 化而变化时,应考虑是an与an＋1之间的
递推关系,还是前n项和Sn与前n＋1项和
Sn＋1之间的递推关系.
课前热身
1.(2012· 盘锦调研 ) 已知 {an},{bn} 均为
等差数列 , 且 a2 ＝ 8,a6 ＝ 16,b2 ＝ 4,b6 ＝ a6, 则由 {an},{bn}的公共项组成的新数 列{cn}的通项公式cn＝( A.3n＋4 ) B.6n＋2
低题目的难度,解题时有时还需利用条
件联立方程求解.
例1
已知等差数列 {an}的前四项的和
A4＝60,第二项与第四项的和为 34,等比
数列{bn}的前四项的和 B4＝120,第二项
与第四项的和为90. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设 cn ＝ an· bn, 且 {cn} 的前 n 项和为 Sn, 求Sn.
＋
① －②得：
－ 2Sn ＝ 9· 3 ＋ 4· 32 ＋ 4· 33 ＋…＋ 4· 3n － (4n＋ ＋ 5)· 3n 1 3 1－3 ＝ 27＋4· 1－3 ＝ 27＋2· 3
n＋ 1 2 n－1
－ (4n＋5)· 3n
n＋ 1
＋1
－ 18－(4n＋5)· 3
,
1 n＋ 1 ∴ Sn＝ [(4n＋ 3)· 3 － 9]. 2
答案：B
4.某种产品三次调价,单价由原来的每克
512 元降到 216 元 , 则这种产品平均每次
降价的百分率为________. 答案：25%
5.(2012· 威海调研 )已知函数 f(x)＝a· bx 的图 1 象过点 A(2, ),B(3,1),若记 an＝ log2f(n)(n∈ 2 N*),Sn 是数列 {an}的前 n 项和 ,则 Sn 的最小 值是________.
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①指凝结呈花纹的薄薄冰层（多在玻璃窗上）。②把花卉、水草、水果、活鱼等实物用水冻结，形成冰罩的艺术品。②雾凇。 【冰激凌】īī名一种半固体的 冷食，用水、牛奶、鸡蛋、糖、果汁等调和后，一面加冷一面搅拌，使凝结而成。［英ɑ］ 【冰窖】ī名贮藏冰的地窖。 【冰晶】īī名在℃以下时空气中的水 蒸气凝结成的结晶状的微小颗粒。 【冰冷】ī形； ；状态词。①很冷：手脚冻得～｜不要躺在～ 的石板上。②非常冷淡：表情～。 【冰凉】ī形状态词。（物体）很凉：浑身～｜～的酸梅汤。 【冰凌】ī名冰。 【冰溜】ī名冰锥。 【冰轮】ī〈书〉名指月 亮。 【冰排】ī名大块浮冰。 【冰片】ī名中上指龙脑。 【冰品】ī名雪糕、冰棍儿、冰激凌等冷食的统称。 【冰瓶】ī名大口的保温瓶，通常用来盛冰棍儿等 冷食。参看页〖保温瓶〗。 【冰期】īī名①地质历史上气候非常寒冷，陆地被大规模冰川覆盖的时期。②指一次冰期中冰川活动剧烈的时期。 【冰淇淋】ī名 冰激凌。 【冰橇】ī名雪橇。 【冰清玉洁】īī比喻高尚纯洁。也说玉洁冰清。 【冰球】ī名①一种冰上运动，用冰球杆把球打进对方球门得分，分多的为胜。 ②冰球运动使用的球，饼状，用黑色的硬橡胶做成。 【冰人】ī〈书〉名媒人。 【冰山】ī名①积雪和冰长年不化的大山。②浮在海洋中的巨大冰块，是两极 冰川末端断裂，滑落海洋中形成的。③比喻不能长久依赖的靠山。 【冰山一角】īī比喻事物已经显露出来的一小部分：媒体揭露出的问题只是～，实际情况 要严重得多。 【冰上运动】ī体育运动项目的一大类，包括在冰上进行的各种运动，如速度滑冰、花样滑冰、冰球等。 【冰释】ī动像冰一样融化，比喻嫌隙、 怀疑、误会等完全消除：涣然～。 【冰霜】ī〈书〉名①比喻坚贞的节操。②比喻严肃的神情：凛若～。 【冰炭】ī名比喻互相对立的两种事物：～不相容 （比喻两种对立的事物不能并存）。 【冰糖】ī名一种块状的食糖，用白糖加水使溶化成糖汁，经过蒸发，结晶而成。透明或半透明，多为白色。 【冰糖葫 芦】ī?（～儿）名糖葫芦。 【冰天雪地】ī形容冰雪漫天盖地，非常寒冷。 【冰坨】ī名水或含水的东西冻结成的硬块。 【冰箱】ī名①冷藏食物或品用的器具， 里面放冰块，保持低温。②电冰箱的简称。 【冰消瓦解】ī比喻完全消释或崩溃。 【冰鞋】ī名滑冰时穿的鞋，皮制，鞋底上装着冰刀。 【冰镇】ī动把食物或 饮料和冰等放在一起使凉：～西瓜｜这汽水是～过的。 【冰柱】ī名冰锥。 【冰砖】ī名一种冷食，把
一、考试要求
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式 的意义，了解递推公式是给出数列的一种方 法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列 的通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实 际问题．
四、例题
1、已知等比数列{an}中a2=sinα＋cosα， a3=1＋sin2α，其中0<α<π。
（1）问2sin2α－ 第几项？
1 2
cos4α＋
项和是Sn，若
lim
n
Sn存
在，求α的取值范围。