能量泛函正则化模型理论分析及应用(李旭超 著)思维导图
基于相对梯度正则化的Retinex变分模型及其应用
·66·
通 信
学
报
第 38 卷
模型。该模型通过最小化反射分量与阈值梯度的之 差的范数来获取图像的反射分量。Ngቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等[15]提出了 一种 Retinex 全变分模型。该模型假设了反射分量 具有分片常数的性质（piecewise continuity） ，因此， 属于有界变分 （BV, bounded variation） 的函数空间， 进而使用全变分来对反射分量进行正则化约束。 Wang 等 [16] 将非局部有界变分（ NLBV, nonlocal bounded variation）技术引入到 Retinex 变分模型。 它假设在非局部有界变分函数空间中，反射分量包 含了纹理分块的一个稀疏集，从而使用非局部总变 分来对反射分量进行正则化。Zosso 等[17]给出了一 个非局部 Retinex（non-local Retinex）的统一框架。 该框架引入非局部微分算子（non-local differential ，并在它的基础上构建了基于阈值梯度的 operator） 广义保真项， 从而对反射分量进行约束。 最近， Dou [18] 等 假设照度分量在多数区域是空间平滑的，但包 含局部非平滑区域， 因此， 使用变指数函数 （variable exponent functional）来对照度分量进行约束，从而 更加合理地估计照度分量。 本文分析了全变分 Retinex 模型使用反射分量 的全变分作为正则项存在的不足， 同时借鉴 Ma 等[14] 使用阈值梯度构建反射分量正则项的思路，将相对 梯度的概念引入到 Retinex 模型，提出一种新的 Retinex 变分模型。 进而， 在传统的增强模型的基础 上，提出一种同时考虑反射分量和照度分量的图像 综合增强模型，并用于细节增强、高范围动态图像 压缩、非均匀照度图像增强等图像处理领域。
线性泛函分析
线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论． 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立．此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的．在Schmidt ，Fischer ，Riesz 为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究．第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家E ．H ．Moore ，他从1906年开始这一工作． Moore 认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方．他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形．他用的是公理方法．我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法．另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难．在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt 和Frechet 在1907年采取的．Hilbert 在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier 系数给定的．这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些x i 的值，都是使21n x ∑∞成为有限的序列{x n }．然而，Hilbort 并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet 采取的． 把每一个序列{x 。
}看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点．Sohmidt 不仅把实数而且把复数引入序列{x 0}中．这样的空间从此以后被称为Hilbort 空间．我们的叙述 按照Schmidt 的工作．Schmidt 的函数空间的元素是复数的无穷序列z ＝{z n }，使得.21∞∑∞=＜zp p Schmidt 引入记号;211⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=-p p p z z 来表示z ；z 后来就称为z 的范数(norm)．按照Hilbert ，Sehmidt 用记号).,(,),(1-∞==∑z z z 所以z 表示z p p pωω(现在通用的记号是把)),(1p p p z 定义义z -∞=∑ωω．空间中两个元素z 和ω称为正交的，当且仅当.0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ωz Schmidt ；接着证明了广义的Pythagoras 定理：如果z 1， z 2， …，z n 是空间的n 个两两正交的元素，则由∑==n p p z 1ω知 .212p n p z ∑==ω由此可推出n 个两两正交的元素是线性无关的．Schrnidt 在他的一般空间中还得到了Bessel 不等式：如果{z n }是标准正交元素的无穷序列，即ωδ而z z pq q p ,),(=-是任何一个元素，那末21,(-∞=∑p p z ω≤.2ω 此外，还证明了范数的Schwarz 不等式和三角不等式．元素序列{z n }称为强收敛于z ，如果z z n -趋向于0，而每个强Cauehy 序列，即每个使q p z z -趋于0 (当p ，q 趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z ，从而序列空间是完备的．这是一条非常重要的性质．Schmidt 接着引进了(强)闭子空间的概念．他的空间H 的一个子集A 称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果ω1与ω2是A 的元素，那末2211ωωa a +也是A 的元素，其中a 1，a 2是任何复数．可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列{z n }，并取{z n }中元素的所有有限线性组合．全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间．现在，设A 是任一固定的闭子空间．Schmidt 首先证明，如果z 是空间的任一元素，则存在唯一的元素ω1和ω2，使得z ＝ω1+ω2，其中ω1属于A ， ω2和A 正交，后者是指ω2和A 的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；ω1就是z 在A 中的投影)进一步，,min 2z y -=ω 其中y 是A 的变动元素，而且极小值只在21.ωω时达到y =称为z 和A 之间的距离．在1907年，Schmidt 和Frechet 同时注意到，平方可和(Lebesgue 可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert 空间． 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz 运用在Lebesgue 平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer'定理指出，在平方可和函数的集合L 2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何． L 2中，定义在区间[a ， b]上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet 定义的，他把它定义为(1) ⎰-b a dx x g x f ,)]()([2其中积分应理解为Lebesgue 意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的．距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差．f 和g 的内积定义为⎰=ba dx x g x f g f )()(),(． 使(f ，g) = 0的两个函数f 与g 称为是正交的．Schwarz 不等式 dx x g x f ba )()(⎰≤dx g dx fb a b a ⎰⎰22以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间．特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间．这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier 系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的．在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz 引入的空间L p (1<p<∞)．这些空间对度量pb a p dx f f f f d 12121),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰ 也是完备的．虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子．在刚才引述的对空间L 2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet 证明了，对于定义在L 2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L 2中唯一的一个u(x)，使得对L 2的每个f 都有⎰=ba dx x u x f f U .)()()( 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果．1909年Riesz 推广了这个结果，用Stieltjes 积分表示U(f)，也就是⎰=ba x du x f f U ).()()(Riesz 自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对L p 中所有的f)(f A ≤p ba p dx x f M /1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰其中M 只依赖于A ．这样，存在L q 中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对L p 中所有的f(2) ⎰=b a dx x f x a f U .)()()( 这个结果称为Riesz 表示定理。
力学中的泛函分析和变分原理第十二讲
������
������ ⋅ ������������������ −
������������
������ ⋅ ������������������
其中，������������������ = 2 ������������,������ + ������������,������ , ������������������ = ������������ , in ������; ������������ = ������������ , on ������������ .
用方程(6.1.10)式，试探函数用分片线性函数，可得有限元方程，这与Ritz法相
同。具体如下：
令：������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, ������ = ������������; ������ = ������������, 则有 ������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ ������ ������ ������������ ������ ������ ������ =
§6.1 最小势能原理及弹性力学方程的近似解法
近似解法—Galerkin法(虚功原理)-(2)
Ritz法的可取函数是������ 0 类，即函数本身连续即可，但直接用(b)式，则需������ 1 类
函数，因������������������,������ 中包含位移的二阶导数。为使本方法也用������ 0 类函数，可用分部
积分，在(b)式中： ������������������,������ ������������ ������������ −
力学中的泛函分析和变分原理第八讲
如果对于某个������0 , 使得������ ������0 = ������0 ������0 有非零解，则称������0 为������的固有值，������0 称
为相应������0 的固有元素，显然固有值属于谱。
课 程 回 顾
不动点
设������为Banach空间，ℱ 为由������到������的算子，且������ ℱ ⋂������ ℱ 非空，如果点 ������ ∗ ∈ ������, 满足ℱ ������ ∗ = ������ ∗ , 则称������ ∗ 为算子ℱ的不动点，或者说不动点������ ∗ 是算 子方程������ = ℱ ������ 的解。
3
§4.2 某些空间的共轭
力学中的共轭空间
令������和������是应力和应变空间，线弹性体应变能是 1 ������ = 2 间的共轭空间。 物体的总势能： Π= 对 ������������������ , ������������ ∈ ������ × ������∗ 是对 1 2 ������������������ ������ ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������
称算子 ������ 强收敛于������. ������
→ 0, 则
课 程 回 顾
逆算子
设有算子������: ������ → ������, 如果对于每一个������ ∈ ������ ������ 均有唯一的������ ∈ ������ ������ 与之对 应， 使得������ ������ = ������, 则称算子������是一对一的(或单射的)，这些确定了一个由 ������到������的算子，称为������的逆算子，记为������ −1 . 定理：线性算子������是一对一的充分必要条件是其零空间只含零元素。
L1正则化和L2正则化有什么区别在模型训练中的作用是什么
L1正则化和L2正则化有什么区别在模型训练中的作用是什么L1正则化和L2正则化是机器学习领域中常用的正则化方法，它们在模型训练过程中起着重要的作用。
本文将深入探讨L1正则化和L2正则化的区别以及它们在模型训练中的作用。
第一章：L1正则化和L2正则化的原理及区别在介绍L1正则化和L2正则化之前，我们先简单回顾一下正则化的概念。
正则化是指在模型训练过程中为了防止过拟合而引入的一种惩罚项，通过向损失函数中添加正则化项来限制模型的复杂度，从而提高模型的泛化能力。
L1正则化和L2正则化分别是对模型参数的不同约束方式。
L1正则化通过向损失函数中添加参数的绝对值之和来限制模型参数的大小，其数学表达式为：L1(w) = ||w||_1，其中||w||_1表示参数向量w的L1范数。
而L2正则化则是通过向损失函数中添加参数的平方和来限制模型参数的大小，其数学表达式为：L2(w) = ||w||_2^2，其中||w||_2表示参数向量w的L2范数。
L1正则化和L2正则化的主要区别在于对模型参数的惩罚方式不同。
L1正则化会让部分参数变为0，从而实现特征选择的功能，即可以通过L1正则化将不重要的特征的权重置为0，从而达到特征筛选的效果；而L2正则化则会让所有参数都变小但不为0，能够更好地控制模型的复杂度。
第二章：L1正则化和L2正则化在模型训练中的作用L1正则化和L2正则化在模型训练中起着重要的作用，主要体现在以下几个方面：1. 防止过拟合：正则化可以有效地防止模型过拟合训练数据，提高模型的泛化能力。
L1正则化和L2正则化都是常用的正则化方法，可以通过控制模型参数的大小来避免模型在训练集上过度拟合，提高模型在测试集上的表现。
2. 特征选择：L1正则化可以实现特征选择的功能，即可以通过L1正则化将不重要的特征的权重置为0，从而达到特征筛选的效果。
这对于高维数据中选择最重要的特征变量非常有帮助，可以提高模型的解释性和泛化能力。
人工智能之知识图谱
图表目录图1知识工程发展历程 (3)图2 Knowledge Graph知识图谱 (9)图3知识图谱细分领域学者选取流程图 (10)图4基于离散符号的知识表示与基于连续向量的知识表示 (11)图5知识表示与建模领域全球知名学者分布图 (13)图6知识表示与建模领域全球知名学者国家分布统计 (13)图7知识表示与建模领域中国知名学者分布图 (14)图8知识表示与建模领域各国知名学者迁徙图 (14)图9知识表示与建模领域全球知名学者h-index分布图 (15)图10知识获取领域全球知名学者分布图 (23)图11知识获取领域全球知名学者分布统计 (23)图12知识获取领域中国知名学者分布图 (23)图13知识获取领域各国知名学者迁徙图 (24)图14知识获取领域全球知名学者h-index分布图 (24)图15 语义集成的常见流程 (29)图16知识融合领域全球知名学者分布图 (31)图17知识融合领域全球知名学者分布统计 (31)图18知识融合领域中国知名学者分布图 (31)图19知识融合领域各国知名学者迁徙图 (32)图20知识融合领域全球知名学者h-index分布图 (32)图21知识查询与推理领域全球知名学者分布图 (39)图22知识查询与推理领域全球知名学者分布统计 (39)图23知识查询与推理领域中国知名学者分布图 (39)图24知识表示与推理领域各国知名学者迁徙图 (40)图25知识查询与推理领域全球知名学者h-index分布图 (40)图26知识应用领域全球知名学者分布图 (46)图27知识应用领域全球知名学者分布统计 (46)图28知识应用领域中国知名学者分布图 (47)图29知识应用领域各国知名学者迁徙图 (47)图30知识应用领域全球知名学者h-index分布图 (48)图31行业知识图谱应用 (68)图32电商图谱Schema (69)图33大英博物院语义搜索 (70)图34异常关联挖掘 (70)图35最终控制人分析 (71)图36企业社交图谱 (71)图37智能问答 (72)图38生物医疗 (72)图39知识图谱领域近期热度 (75)图40知识图谱领域全局热度 (75)表1知识图谱领域顶级学术会议列表 (10)表2 知识图谱引用量前十论文 (56)表3常识知识库型指示图 (67)摘要知识图谱（Knowledge Graph）是人工智能重要分支知识工程在大数据环境中的成功应用，知识图谱与大数据和深度学习一起，成为推动互联网和人工智能发展的核心驱动力之一。
运用变分法计算Ginzburg-Landau能量时的“涡旋”模型
运用变分法计算Ginzburg-Landau能量时的“涡旋”模型何健【摘要】为给出Ginzburg-Landau能量的变分集合,本文讨论了一简化办法:以“涡旋”的增减对应的能量表述来实现集合的构建.为此,文章首先对Ginzburg-Landau能量的泛函性质给予了说明,然后针对相变区域,提出“涡旋”模型并进行了数学描述,最后详细计算了涡旋自能、互能及总能.在分析过程中所做的一些模型的构建、数学技巧的使用及辅助办法的引入对于处理“涡旋”类拓扑缺陷都有重要意义,具有一定示范作用.【期刊名称】《绵阳师范学院学报》【年(卷),期】2018(037)002【总页数】7页(P33-39)【关键词】金斯堡-朗道能量;涡旋;流密度;调和方程;能量泛函【作者】何健【作者单位】绵阳师范学院数理学院,四川绵阳621006【正文语种】中文【中图分类】O4690 引言Ginzburg-Landau模型最初是为描述超导现象而提出的唯象模型［Ginzburg、Landau于1950［1］，后来被视作量子理论（BCS理论）的极限近似［2］］.该模型的实质是一类相变型问题，描述了物质的不同“相”在同一样品中的共存以及如何由不同界面分开的情形；从数学角度来讲，Ginzburg-Landau模型与超流的Gross-Pitaevskii模型、Bose-Einstein condensation的反转模型极其相似［3］：都存在一类拓扑结构——“涡旋”.这类型问题被统称为Ginzburg-Landau问题，其数学实质是考虑狄利克雷型能量（由一复函数描述）的变分问题，难点在于拓扑缺陷引入的带有“源”性质的潜在项的复杂性.本文的目的是针对这类特殊问题，分析其物理的、数学的特点，讨论“涡旋”的追踪办法进而给出Ginzburg-Landau能量的低维描述，为变分法的应用建立理论基础.本文分为三个部分：首先简要介绍超导理论中的Ginzburg-Landau理论，提出“涡旋”概念；之后给出“涡旋”的追踪办法并计算其能量，这包括“涡旋”自能以及彼此间的相互作用能；最后得出总能解析表达式并给予分析.1 超导Ginzburg-Landau模型1.1 能量泛函Ginzburg-Landau模型描述了在一系列降维处理下的超导样品态，在低于转变温度下，吉布斯自由能形式为［4］：其中Ω代表样品分布的曲面区域，H⇀0是外磁场，Ψ是序参量——这是一个复值且紧致的波函数，用以描述超导物质的局域态，或者伦敦方程中的“相”.而BCS理论中，｜Ψ｜2正是超导电子的“库柏对”密度．经归一化处理后有｜Ψ｜≤1，其不同取值对应材料的不同状态：｜Ψ｜→1为超导态，｜Ψ｜→0即为正常态，故样品中允许两态共存.由此可见，系统的吉布斯自由能是序参量的泛函，在获得关于能量的分布集合之后，便可以变分法给出序参量的函数形式，从而获得超导的相关信息，这便是Ginzburg-Landau理论的最终目的［5］.是磁场的矢量势，在数学上是一个从Ω→R3的映射，样品中的感生磁场便由的旋度给出．▽A标记了一个协变的算符：▽-iA⇀．已知序参量的情形下，超导电流密度矢量即为注意上式中使用的尖括号是为了与对易子进行区分人为规定的符号．最后，参数ε是两相区域边界的物理描述，其定义为其中κ是穿透深度与相干长度之比，也被称作“GL参数”，仅由物质本身性质决定.Ginzburg-Landau模型的变分技术的研究目的是找到外加磁场与涡旋能量的关系，但三维情形是很复杂的，为更简洁的说明其物理情景，本文首先限制该曲面区域Ω为平面，此时所有物理量均与垂直方向无关，若同时将外部磁场布置为此方向，则原模型可视作一薄层［6］，此时吉布斯自由能可表为系统的稳定态正是Gε的转变温度，可由Ginzburg-Landau方程求［7］解得到.可进一步对外磁场做出限制，使其与感应磁场相消，得到一简化模型，此时其吉布斯能量为：此处用u表示简化版的序参量，但它依然是复值函数.1.2 涡旋与转变磁场现在本文将给予“涡旋”以更精细的描述.二维情形下，一个涡旋就是以u（或Ψ）的孤立零点为中心的客体，此客体对应的u（或Ψ）的相位有一个被称为“涡旋的度”的非零环绕数．这是一类最简单的拓扑缺陷．当X0为零点时，其环绕数（即“度”）定义［4］为一闭合曲线积分：其中为涡旋的度（*此处用符号表示度，以区别于微分号 d），r足够小，φ是 u的相位，即：u＝｜u｜eiφ.注意到积分号内被积部分的表述方式较为特殊：采用了自然坐标系的基矢——这正是本文处理二维问题时的一个重要技巧，本文后面会在讨论中看到这种自然坐标与极坐标结合的表达方式对于Nabla算子的处理是多么的巧妙.此处给一简单实例：若相位φ＝dθ，则：而现在本文尚未对相位函数φ以严格定义，因其多值性，本文需要将其限定在0～2π之间，然后证明一个重要结论其中δpi表示在pi处的狄拉克测度，pi为u的零点.证，故针对一闭合区域，式左边积分故多个零点共存的情况应当为（由线性系统的叠加原理）∑i2πdi右边积分得证2 能量的计算Ginzburg-Landau的变分法是通过以质量或某种客体的增减对应的能量表述来实现的，本文将这种客体选择为“涡旋”，这就要求发展相应的数学工具来描述“涡旋”的特征（尤其是如何给予已给定的序参量的“涡旋结构”以恰当的定义），并且能计算每一个涡旋的能量代价以及它们的相互作用能.这使本文可获得吉布斯自由能的变分集合.也即是说，若要导出Γ极限［3］，或者简化问题，基于“涡旋”的变分技术将会大大优于传统的泛函理论.因此，本文接下来的目标便是给予“涡旋”以细致的数学描绘，给予变分所需的能量集合计算.2.1 涡旋的描绘最简单的描绘方式即用“流密度”的形式＜iu，▽u＞（在磁能部分未消除时用超导电流密度矢量iΨ，▽AΨ＞），其中记号＜A，B＞定义为（前面已叙述）．在此，讨论ε→0的极限情形，因为此类结论在实验上已有一定的结果可供与理论进行对比分析．这样一来，流密度的旋度正是u的涡旋表示，这与流体力学类似．因此，（其中ρ＝｜u｜→1，这是由时的剧烈震荡特性所要求的，pi表示涡旋位置，i是相应的度），考虑磁场未相消时，表达式需做一些变形处理：2.2 单个涡旋的能量首先计算一个度为的涡旋的能量下限.之前已经讨论过吉布斯自由能在ε→0时的强烈畸变特性，为避免发散，数学上必须将u的模（即ρ）处理为：现针对一给定半径为R的涡旋，抠掉零点的区域后的能量为：这便是一个独立涡旋的吉布斯自由能的下限，且由上述分析可知，U的相位引发的能量需求远大于其幅值（后者在计算中是近似为零处理的）.（*需注意这段推导不针对区域B内还有其他零点的情形）2.3 涡旋间的相互作用能以固定尺寸ρ为半径，挖去所有零点（对应位置为pi），剩余区域受制于吉布斯自由能关于零点的畸变（如前所述），｜u｜＝1，故u＝eiφ．能量下限的讨论便可等同于如下泛函极值问题：，这是一个调和图问题，相当于求解u对应的相位函数φ的拉普拉斯方程：直接进行计算是困难的，在此充分考虑到“二维”的特性，利用矢量微分算符在二维情形下的一些特点，引入相位函数φ的“共轭”函数φ，两者满足关系，其中，易见，根据微分方程理论［8］，φ也应当满足类似方程：式中，为法向基矢．引入φ的好处在于其与φ满足的相似的方程结构可以充分利用已知关系（8），以便于针对整个区域进行积分．在全区域Ω上这样便可对涡旋剩余区域及涡旋相互作用能进行下限的计算：通过逐项分析，考虑到：因此，全域的能量为挖去的小洞部分可作如下处理：上式第二项容易处理：第一项的处理可再度利用积分定理：由此得，2.4 总能在给出总能量的下限之前还必须说明一个事件：前面无论针对涡旋抑或抠掉涡旋区域的计算，都没有包含零点本身，即针对｜X-X0｜＜ε的区域，本文还应当考虑畸变项——因此时这一项会出现型的积分核，这导致的结果未必是零，然而因其积分区域无穷接近于零，可猜测此积分值一定有限，而且绝对值不大，此项的讨论目前没有更好的理论直接给出解析结果，因此，本文在给定尺度ρ的情况下暂且将其表为一常数项C，事实上正如前所述，此值可由实验上直接给出．因此，有：，针对上面挖去涡旋时的固定尺寸，上式可改写为最后，得出3 分析由结论（20）可见，涡旋之间的相互作用能具有如下特点：（1）以自然对数形式出现，若将负号置入对数部分，所得的能量可看做与尺度呈一次方反比的势的积分；（2）拥有相同符号的度的涡旋之间彼此排斥，而拥有异号度的涡旋相互吸引，这两点都与电荷的情形相似.很显然这一项表示涡旋的自能，也即是涡旋中心以ρ为尺寸区域的能量．上述讨论过程中为简明地抓出“涡旋”的物理实质，在模型构建上有所简化——仅仅针对二维情形作了分析，且通过外磁场的控制，去掉了式（3）中能量泛函｜部分的影响．因此，后续工作是将二维涡旋模型推广到三维情形，并考虑一般化的外磁场分布，在做此项工作过程中，仍应牢牢把握住涡旋的一般化性质，但会因为数学结构上的差异导致公示表达发生较大变化.同时，前面推导过程中已经明确地展示了这一特点：鉴于二维情形的特点，同时建立自然坐标系及平面极坐标系对于描述涡旋这类拓扑缺陷将会很有好处；同时注意矢量分析的高斯公式及斯托克斯公式在降维处理时并非简单的去掉一个坐标，还需要考虑面线关系，尤其针对基矢特点需要做细致的分析——这启发本文启用了辅助函数，成功避开了矛盾（见（13）～（16））——然而这些特殊技巧都是针对二维平面设计的，对三维情况是否适合则需要进一步研究.参考文献：［1］Tinkham M.Introduction to Superconductivity［M］.2ndedn.McGraw-Hill，New York：Dover Publications，2004-6-14.［2］DeGennes PG.Superconductivity of Metal and Alloys［M］.New York：Benjamin，1966.［3］Bethuel F，Brezis H，Hélein F.Ginzburg-Landau Vortices［M］.Boston：Birkhäuser，1994.［4］Jeerard R L，Soner C.The Jacobian and the Ginzburg-Landau energy ［J］.Caculus of Variations and Partial Differential Equations，2002，14（2）：151-191.［5］Sandier E，Serfaty S.Vortices in the Magnetic Ginzburg-Landau Model［M］.Boston：Birkhäuser，2007.［6］Lawrence W E，Doniach S.Development of low temperature physics.Present situation Proceedings of the Twelfth International Conference on Low Temperature Physics［C］.Kyoto，Japan：Kanda，1970.［7］黄昆，韩汝琦.固体物理学［M］.北京：高等教育出版社，1988，10：481-484.［8］四川大学数学系高等数学、微分方程教研室.数学物理方法：第4册［M］.北京：高等教育出版社，1985，6：236-240.。
数字图像处理大作业(DOC)
大作业指导书题目：数字图像处理院（系）：物联网工程学院专业: 计算机班级：计算机1401-1406指导老师：学号：姓名：设计时间： 2016-2017学年 1学期摘要 (3)一、简介 (3)二、斑点数据模型.参数估计与解释 (4)三、水平集框架 (5)1.能量泛函映射 (5)2.水平集传播模型 (6)3.随机评估方法 (7)四、实验结果 (8)五、总结 (11)基于水平集方法和G0模型的SAR图像分割Abstract（摘要）这篇文章提出了一种分割SAR图像的方法，探索利用SAR数据中的统计特性将图像分区域。
我们假设为SAR图像分割分配参数，并与水平集模型相结合。
分布属于G分布中的一种，处于数据建模的目的，它们已经成功的被用于振幅SAR图像中不同区域的建模。
这种统计数据模型是驱动能量泛函执行区域映射的基础，被引用到水平集传播数值方案中，将SAR 图像分为均匀、异构和极其异构区域。
此外，我们引入了一个基于随机距离和模型的评估过程，用于量化我们方法的鲁棒性和准确性。
实验结果表明，我们的算法对合成和真实SAR 数据都具有准确性。
+简介1、Induction（简介）合成孔径雷达系统是一种成像装置，采用相干照明比如激光和超声波，并会受到斑点噪声的影响。
在SAR图像处理过程中，返回的是斑点噪声和雷达切面建模在一起的结果。
这个积性模型（文献[1]）因包含大量的真实SAR数据，并且在获取过程中斑点噪声被建模为固有的一部分而被广泛应用。
因此，SAR图像应用区域边界和目标检测变得更加困难，可能需要斑点去除。
因此，斑点去除是必需的，有效的方法可以在文献[2][3][4][5][6][7][8][9][10]中找到。
对于SAR图像分割，水平集方法构成一类基于哈密顿-雅克比公式的重要算法。
水平集方法允许有效的分割标准公式，从文献[12]中讨论的传播函数项可以得到。
经典方法有着昂贵的计算成本，但现在的水平集的实现配置了有趣的低成本的替换。