题组层级快练 (80)
2021高考物理大一轮复习题组层级快练：第五单元 机械能 作业21 功和功率Word版含答案
题组层级快练(二十一) 功和功率一、选择题1.如图所示，木块B 上表面是水平的，当木块A 置于B 上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( ) A ．A 所受的合力对A 不做功 B ．B 对A 的弹力做正功 C ．B 对A 的摩擦力做正功 D ．A 对B 做正功 答案 C解析 A 、B 一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为gsin θ.由于A 速度增大，由动能定理可知，A 所受的合力对A 做功，B 对A 的摩擦力做正功，B 对A 的弹力做负功，选项A 、B 项错误，C 项正确；A 对B 不做功，D 项错误．2．某汽车以恒定功率P 、初速度v 0冲上倾角一定的斜坡时，汽车受到的阻力恒定不变，则汽车上坡过程的vt 图像不可能是下图中的( )答案 A解析 根据P ＝Fv ，若a ＞0，则物体加速运动，加速度会减小，当加速度减为零时，速度达到最大，故C 项正确，A 项错误；若a ＝0，则物体速度不变，做匀速运动，故B 项正确；若a ＜0，即加速度沿斜面向下，物体减速，故加速度会减小，故D 项正确；本题选不可能的，故选A 项．3．质量为5×103kg 的汽车在水平路面上由静止开始以加速度a ＝2 m/s 2开始做匀加速直线运动，所受阻力是1.0×103N ，则汽车匀加速起动过程中( ) A ．第1 s 内汽车所受牵引力做功为1.0×104J B ．第1 s 内汽车所受合力的平均功率20 kW C ．第1 s 末汽车所受合力的瞬时功率为22 kW D ．第1 s 末汽车所受牵引力的瞬时功率为22 kW 答案 D解析 据牛顿第二定律F －f ＝ma 得牵引力F ＝f ＋ma ＝1.1×104N ．第1 s 内汽车位移x ＝12at 2＝1 m ，第1 s 末汽车速度v ＝at ＝2 m/s ，汽车合力F 合＝ma ＝1×104N ，则第1 s 内汽车牵引力做功：W F ＝Fx ＝1.1×104J ，故A 项错；第1 s 内合力做功：W ＝F 合x ＝1×104J ，平均功率P ＝W t＝1×104W ，故B 项错；1 s 末合力的瞬时功率P 合＝F合v ＝2×104W ，故C项错；1 s 末牵引力瞬时功率P ＝Fv ＝2.2×104W ＝22 kW ，故D 项正确．4．汽车从静止匀加速启动，最后做匀速运动，其速度随时间及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像如图所示，其中正确的是( )答案 ACD解析 汽车启动时，由P ＝Fv 和F －F f ＝ma 可知，匀加速启动过程，牵引力F 、加速度a 恒定不变，速度和功率均匀增大，当功率增大到额定功率后保持不变，牵引力逐渐减小到与阻力相等，加速度逐渐减小到零，速度逐渐增大到最大速度，故A 、C 、D 项正确． 5.在9.3阅兵中，20架直升机在空中组成数字“70”字样，而领头的直升机悬挂的国旗让人心潮澎湃．如图所示，为了使国旗能悬在直升机下不致漂起来，在国旗下端还悬挂了重物，假设国旗与悬挂物的质量为m ，直升机质量为M ，并以速度v 匀速直线飞行，飞行过程中，悬挂国旗的细线与竖直方向夹角为α，那么以下说法不正确的是( ) A ．国旗与悬挂物受到3个力的作用 B ．细线的张力做功的功率为mgvcos αC ．国旗与悬挂物所受合力做的功为零D ．国旗与悬挂物克服阻力做功的功率为mgvtan α 答案 B解析 国旗与悬挂物受3个力，重力、细线的拉力、空气阻力，如图：有F ＝mgcos α，则F 的功率为P F ＝Fvsin α＝mgvtan α，克服阻力做功的功率P f ＝fv ＝mgvtan α，由于国旗与悬挂物匀速，故合力做功为零，A 、C 、D 三项正确，B 项错误，故选B 项．6．如图所示，卡车通过定滑轮以恒定的功率P 0拉绳，牵引河中的小船沿水面运动，已知小船的质量为m ，沿水面运动时所受的阻力为f 且保持不变，当绳AO 段与水面的夹角为θ时，小船的速度为v ，不计绳子与滑轮的摩擦，则此时小船的加速度等于( )A.P 0mv －fm B.P 0mv cos 2θ－f m C.f m D.P 0mv答案 A解析 设绳子的拉力为F ，功率P 0＝Fvcos θ，对小船，由牛顿第二定律得加速度a ＝Fcos θ－f m ＝P 0mv －fm，选项A 正确． 7．质量为m 的汽车发动机额定输出功率为P ，当它在平直的公路上以加速度a 由静止开始匀加速启动时，其保持匀加速运动的最长时间为t ，汽车运动中所受的阻力大小恒定，则( )A ．若汽车在该平直的路面上从静止开始以加速度2a 匀加速启动，其保持匀加速运动的最长时间为t 2B ．若汽车以加速度a 由静止开始匀加速启动，经过时间t 2发动机输出功率为12PC ．汽车保持功率P 在该路面上运动可以达到的最大速度为PatP －ma 2tD ．汽车运动中所受的阻力大小为P at答案 BC解析 当以加速度a 加速运动时有：F －f ＝ma ，F ＝f ＋ma ，匀加速达到的最大速度为：v ＝P f ＋ma ，故所需时间为：t ＝v a ＝P a （f ＋ma ），当加速度为2a 时，匀加速达到最大速度为：v ′＝P f ＋2ma ，所需时间为：t ′＝P 2a （f ＋2ma ），故A 项错误；t 2时刻速度为v ′＝a·t 2，故功率为：P ′＝(f ＋ma)·at2，汽车的额定功率为：P ＝(f ＋ma)at ，故B 项正确；根据P ＝(f ＋ma)at ，得f ＝P at －ma ，当牵引力等于阻力时速度最大为：v ＝P f ＝PatP －ma 2t ，故C 项正确，D 项错误．8.如图所示，木板可绕固定水平轴O 转动．木板从水平位置OA 缓慢转到OB 位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J ．用F N 表示物块受到的支持力，用F f 表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是( )A ．F N 和F f 对物块都不做功B ．F N 对物块做功为2 J ，F f 对物块不做功C ．F N 对物块不做功，F f 对物块做功为2 JD ．F N 和F f 对物块所做功的代数和为0 答案 B解析 由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功．由受力分析知，支持力F N 做正功，但摩擦力F f 方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功．由动能定理W －mgh ＝0，故支持力F N 做功为mgh ，B 项正确．9．(2014·课标全国Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度为v ，若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v ，对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( ) A ．W F2＞4 W F1，W f2＞2 W f1 B ．W F2＞4 W F1，W f2＝2 W f1 C ．W F2＜4 W F1，W f2＝2 W f1 D ．W F2＜4 W F1，W f2＜2W f1答案 C解析 由题意可知，两次物体均做匀加速运动，则在同样的时间内，它们的位移之比为x 1：x 2＝v 2t ∶2v2t ＝1∶2；两次物体所受的摩擦力不变，根据功的公式，则有滑动摩擦力做功之比W f1：W f2＝fx 1∶fx 2＝1∶2；再由动能定理，则有W F1－W f1＝12mv 2－0，W F2－W f2＝4×12mv 2－0；由上两式可解得：W F2＝4W F1－2W f1，C 项正确，A 、B 、D 项错误．10．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )A ．物体加速度大小为2 m/s 2B ．F 的大小为21 NC ．4 s 末F 的功率大小为42 WD ．4 s 内F 做功的平均功率为42 W 答案 C解析 由图乙可知，物体的加速度a ＝0.5 m/s 2，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 两项均错误；4 s 末力F 的作用点的速度大小为v F ＝2×2 m/s ＝4 m/s ，故4 s 末拉力F 做功的功率为P ＝F·v F ＝42 W ，C 项正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝F·l＝84 J ，4 s 内拉力F 做功的平均功率P ＝Wt ＝21 W ，D 项错误．11.质量为2×103kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶过程中牵引力F 和车速倒数1v 的关系图像如图所示．已知行驶过程中最大车速为30 m/s ，设阻力恒定，则( ) A ．汽车所受阻力为6×103NB ．汽车在车速为5 m/s 时，加速度为3 m/s 2C ．汽车在车速为15 m/s 时，加速度为1 m/s 2D ．汽车在行驶过程中的最大功率为6×104W 答案 CD解析 当牵引力等于阻力时，速度最大，由图线可知阻力大小F f ＝2 000 N ，故A 项错误．倾斜图线的斜率表示功率，可知P ＝F f v ＝2 000×30 W ＝60 000 W ，车速为5 m/s 时，汽车的加速度a ＝6 000－2 0002 000 m/s 2＝2 m/s 2，故B 项错误；当车速为15 m/s 时，牵引力F ＝P v ＝60 00015 N ＝4 000 N ，则加速度a ＝F －F f m ＝4 000－2 0002 000 m/s 2＝1 m/s 2，故C 项正确；汽车的最大功率等于额定功率，等于60 000 W ，故D 项正确．12.(2017·山西监测)(多选)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧连接的物块A 和B ，它们的质量分别为m 和2m ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态．现用一沿斜面方向的恒力拉物块A 使之沿斜面向上运动，当B 刚离开C 时，A 的速度为v ，加速度方向沿斜面向上、大小为a ，则( ) A ．从静止到B 刚离开C 的过程中，A 发生的位移为3mgsin θkB ．从静止到B 刚离开C 的过程中，重力对A 做的功为－3m 2g 2sin θkC ．B 刚离开C 时，恒力对A 做功的功率为(mgsin θ＋ma)vD ．当A 的速度达到最大时，B 的加速度大小为a2答案 AD解析 开始系统静止时，设弹簧压缩量为x ，由平衡条件有：kx ＝mgsin θ，解得：x ＝mgsin θk .当B 刚离开挡板时，设弹簧伸长量为x ′，对B 受力分析，kx ′＝2mgsin θ，解得：x ′＝2mgsin θk ，所以从静止到B 刚离开C 过程中，A 的位移为x ＋x ′＝3mgsin θk，A 项正确；重力对A 做功W G ＝－mgh ＝－3m 2g 2sin 2θk ，B 项错；B 刚离开C 时，对A 、B 及弹簧组成的整体，由牛顿第二定律有：F －3mgsin θ＝ma ⇒F ＝3mgsin θ＋ma ，所以拉力做功功率P ＝Fv ＝(3mgsin θ＋ma)v ，C 项错；当A 的速度达到最大时，A 所受合外力为零，对A 根据平衡条件有：F 弹＋mgsin θ＝F ，解得：F 弹＝2mgsin θ＋ma ，对B ，根据牛顿第二定律有：F 弹－2mgsin θ＝2ma ′，解两式得：a ′＝a2，D 项正确．二、非选择题13．(2017·广东肇庆二模)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v —t 图像，图像如下图所示(除2 s —10 s 时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)．已知在小车运动的过程中，2 s —14 s 时间段内小车的功率保持不变，在14 s 末通过遥控使发动机停止工作而让小车自由滑行，小车的质量为1.0 kg ，可认为在整个运动过程中小车所受到的阻力大小不变．求：(1)14 s －18 s 时间段小车的加速度大小； (2)小车匀速行驶阶段的功率； (3)小车在2 s －10 s 内位移的大小．解析 (1)在14 s －18 s 时间段，由图像可得加速度大小为： a ＝v 14－v 18Δt①将数据代入①式，解得a ＝1.5(m/s 2)(2)在14 s －18 s ，小车在阻力f 作用下做匀减速运动： f ＝ma② 代入数据，解②式，得f ＝1.5(N) ③在10 s －14 s ，小车做匀速直线运动： 牵引力 F ＝f ＝1.5 N小车匀速行驶阶段的功率：P ＝Fv ④ 将数据代入④式，解得P ＝9(W) (3)2 s －10 s ，根据动能定理，可得 Pt －fs 2＝12mv 2－12mv 22⑤ 其中：v ＝6 m/s ，v 2＝3 m/s由⑤解得小车在2 s －10 s 内位移s 2＝39(m)14．在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90 m 处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为80 kg ，吊绳的拉力不能超过1 200 N ，电动机的最大输出功率为12 kW.为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．(g 取10 m/s 2)求： (1)落水物体刚到达机舱时的速度； (2)这一过程所用的时间．解析 (1)第一阶段绳以最大拉力拉着物体匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，物体变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大．由P m ＝Fv m ，得v m ＝P m mg ＝12×10380×10 m/s ＝15 m/s此即物体刚到机舱时的速度．(2)匀加速上升的加速度为a 1＝F m －mg m ＝1 200－80×1080 m/s 2＝5 m/s 2匀加速阶段的末速度v 1＝P m F m ＝12 0001 200 m/s ＝10 m/s匀加速上升时间t 1＝v 1a 1＝105 s ＝2 s匀加速上升的高度h 1＝v 12t 1＝102×2 m ＝10 m以最大功率上升过程由动能定理得 P m t 2－mg(h －h 1)＝12mv m 2－12mv 12解得t 2＝5.75 s所以吊起落水物体所用总时间为 t ＝t 1＋t 2＝(2＋5.75) s ＝7.75 s。
专题一正确使用词语(包括熟语)
题组层级快练（一）专题一正确使用词语（包括熟语）1．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）一株株瘦削的枝条上，绽放着一簇簇耀眼的黄花，梭梭、沙枣、红柳等沙生植物郁郁葱葱，勾画出一条绿色隔离带，阻挡着风沙侵蚀的步伐，孕育着绿色的希望。
谁能想到，38 年前，这里是一片漫天黄沙的。
八步沙，是腾格里沙漠南缘、古浪县北部的一个风沙口。
上世纪六七十年代，这里的沙丘以每年7.5 米的速度向南移动，严重侵害着周边10 多个村庄和2 万多亩良田，给当地3 万多群众的生产生活以及过境公路铁路造成巨大。
面对步步紧逼的沙丘，一些人上新疆、去宁夏、走内蒙，开始逃离家乡。
当风沙袭来时，有人逃离家园，更有人留下来守护家园！为了不断恶化的自然环境。
1981年，作为三北防护林前沿阵地，古浪县着手治理荒漠，对八步沙试行“政府补贴、个人承包，谁治理、谁拥有”政策。
改革开放初期，承包沙漠对于当地人来说是一件“破天荒”的大事，谁能有勇气向茫茫沙漠发起挑战？关键时刻，石满、郭朝明、贺发林、张润元、罗元奎、程海站了出来。
这几位普普通通的西北治沙老人，被当地人亲切地称为“六老汉”。
当黄沙肆虐的时候，六老汉抱着护庄稼、保饭碗的质朴愿望，扛起共产党员应有的担当，不畏恶劣环境，无惧艰苦劳作。
他们的朴素情怀、坚定信念、勇往直前，点亮了治沙A ．不毛之地危害遏制谱写B ．不毛之地危险遏止撰写C ．荒山野岭危害遏止谱写D．荒山野岭危险遏制撰写答案A解析“不毛之地”指不长庄稼的地方，泛指贫瘠、荒凉的土地或地带。
“荒山野岭”指荒凉没有人烟的山岭。
这里说的是八步沙贫瘠、荒凉，而不是说其没有人烟，故选“不毛之地”。
“危害”指使受破坏；损害。
“危险”指有遭到损害或失败的可能；遭到损害或失败的可能性。
这里说的是移动的沙丘给当地3 万多群众的生产生活以及过境公路铁路造成巨大的损害，而不是遭到损害的可能性，故选“危害”。
“遏制”指制止，控制。
“遏止”指阻止。
这里说的是控制不断恶化的自然环境，而不是阻止不断恶化的环境，故选“遏制”。
2025高考数学一轮复习题组层级快练60含答案
题组层级快练(六十)一、单项选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离是( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2．过点F (0，3)且与直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12y D ．x 2＝12y 答案 D解析 由题意，得动圆的圆心到直线y ＝－3的距离与到点F (0，3)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F (0，3)为焦点、直线y ＝－3为准线的抛物线，其方程为x 2＝12y .3．已知抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点M (x 0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D解析 由题可知，1＋p2＝2，解得p ＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p ＝2.4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y 答案 D 解析 由e 2＝1＋b 2a 2＝4得b a＝3，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0， 抛物线C 2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，则有p 22＝2，解得p ＝8，故抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10答案 A解析 由抛物线y 2＝4x ，知p 2＝1，则焦点F (1，0)．设点P ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，则由|PF |＝5，得⎝⎛⎭⎫y 024－12＋y 02＝5，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4.故选A.6．已知抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆C ：(x －6)2＋(y －2)2＝4上，则|PQ |＋|PF |的最小值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，连接PC ，则|PF |＝|P A |，当CP 垂直于抛物线的准线时，|CP |＋|P A |最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为x ＝－4，C (6，2)，半径为2，所以|PQ |＋|PF |的最小值为|AQ |＝|CA |－2＝10－2＝8.7. 中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．如图为一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水面宽8 m ．若水面下降1 m ，则水面宽度为( )A ．2 6 mB ．4 6 mC ．4 2 mD ．12 m答案 B解析 根据题意，以拱顶为原点，拱顶所在水平直线为x 轴，拱顶所在竖直直线为y 轴建系，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，又由当水面离拱顶2 m 时，水面宽8 m ，即点(4，－2)和(－4，－2)在抛物线上，则有16＝－2p (－2)，解得p ＝4，故抛物线的方程为x 2＝－8y ，若水面下降1 m ，即y ＝－3，则有x 2＝24，解得x ＝±26，此时水面宽度为26－(－26)＝46(m)．故选B.8．已知抛物线C ：y ＝18x 2，点P 为抛物线C 上一动点，A (0，2)，B (4，5)，O 为坐标原点，当|P A |＋|PB |取得最小值时，四边形OABP 的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．10 D ．6答案 C解析 由题意，抛物线C ：x 2＝8y ，可得点A (0，2)为其焦点，准线方程为y ＝－2，易知点B 在抛物线内，设点P 到准线的距离为d ，作BM 垂直于准线，垂足为M ，则|P A |＋|PB |＝|PB |＋d ≥|BM |＝7，即当P ，B ，M 三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，此时点P 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝18x 2，可得点P 坐标为(4，2)，OA ∥BP ，四边形OABP 的面积为（2＋3）×42＝10.故选C.9．(2024·西安四校联考)已知点F 是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线E 上的两点，满足|F A |＋|FB |＝10，F A →＋FB →＋FO →＝0，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 本题考查抛物线的定义及性质．方法一：由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F A |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝10①，由F A →＋FB →＋FO →＝0，知F A →＋FB →＋FO →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－3p 2，y 1＋y 2＝0，所以x 1＋x 2＝3p 2②，联立①②，解得p ＝4.故选D. 方法二：不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，连接AB ，OA ，OB .由于F A →＋FB →＋FO →＝0，则F 为△ABO 的重心，根据抛物线的对称性可知A ，B 两点关于x 轴对称，则2x 03＝p 2，即x 0＝3p 4.所以|F A |＝|FB |＝5，所以x 0＋p 2＝3p 4＋p2＝5，解得p ＝4.故选D. 二、多项选择题10．已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则( ) A ．|AB |＝8 B ．OA ⊥OBC ．△AOB 的面积为2 2D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2 答案 AC解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝x －1过焦点．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，易得Δ>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，由OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离为d ＝|1|2＝12，所以△AOB 的面积为S ＝12×d ×|AB |＝12×12×8＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为x 1＋x 22＝62＝3，故D 错误．11．(2024·南京市模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是( ) A ．若O 为线段PQ 中点，则|PF |＝2 B ．若|PF |＝4，则|OP |＝2 5 C ．存在直线l ，使得PF ⊥QF D ．△PFQ 面积的最小值为2答案 AD解析 若O 为PQ 中点，则x P ＝1，所以|PF |＝x P ＋1＝2，A 正确；若|PF |＝4，则x P ＝4－1＝3，所以|OP |＝x P 2＋y P 2＝x P 2＋4x P ＝21，B 错误；设P (a 2，2a )(a ≠0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－1，－2a ，所以FP →＝(a 2－1，2a )，QF →＝⎝⎛⎭⎫2，2a ，所以FP →·QF →＝2a 2－2＋4＝2a 2＋2>0，所以FP 与FQ 不垂直，即C 错误；易知S △PFQ ＝12×1×⎪⎪⎪⎪2a ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当a ＝±1时取等号，即D 正确． 三、填空题与解答题12．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________． 答案 43解析 设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.13．已知抛物线y 2＝ax 上的点M (1，m )到其焦点的距离为2.则该抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝4x解析 ∵抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝－a4，且抛物线y 2＝ax 上的点M (1，m )到其焦点的距离为2，∴a >0，且1＋a4＝2，∴a ＝4.即抛物线的标准方程为y 2＝4x .14．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________；作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________. 答案 5 4 5解析 抛物线C ：y 2＝4x ，则焦点F (1，0)，准线l 方程为x ＝－1，过点M 作ME ⊥l ，垂足为E ，设M (x 0，y 0)，则|MF |＝|ME |＝6，所以x 0＋1＝6，则x 0＝5，所以M 的点横坐标为5，又点M 在抛物线上，故y 02＝4×5＝20，所以|y 0|＝25，即|MN |＝25，所以S △FMN ＝12×|FN |×|MN |＝12×(5－1)×25＝4 5.15．抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程． 答案 y 2＝4x解析 设抛物线y 2＝2px (p >0)的内接直角三角形为Rt △AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，则另一直角边OB 所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )． ∵|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，∴p 24＋p 2＋64p 2＋16p 2＝325.∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x .16．【多选题】已知抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为F ，圆C ：x 2＋(y －1)2＝16与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB 上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作平行于y 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则以下结论正确的是( ) A ．点P 的纵坐标的取值范围是(3，5) B ．圆C 的圆心到抛物线准线的距离为1 C ．|PN |＋|NF |等于点P 到抛物线准线的距离 D ．△PFN 周长的取值范围是(8，10)答案 ACD 解析对于A ，圆C ：x 2＋(y －1)2＝16的圆心为(0，1)，半径r ＝4，与y 的正半轴交点为(0，5)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋（y －1）2＝16，解得y ＝3(负值舍去)，所以点P 的纵坐标的取值范围是(3，5)，故正确；对于B ，因为圆C 的圆心为抛物线的焦点，所以圆C 的圆心到抛物线准线的距离为p ＝2，故错误；对于C ，由抛物线的定义得|PN |＋|NF |等于点P 到抛物线准线的距离，故正确；对于D ，△PFN 的周长为|PF |＋|PN |＋|NF |＝r ＋y P ＋1＝y P ＋5∈(8，10)，故正确．故选ACD.。
2025高考数学一轮复习题组层级快练1含答案7777
题组层级快练(一)一、单项选择题1．下列说法正确的是( )A ．M ＝{(2，3)}与N ＝{(3，2)}表示同一集合B ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}与N ＝{y |x ＋y ＝1}表示同一集合C ．M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}有2个子集D ．设U ＝R ，A ＝{x |lg x <1}，则∁U A ＝{x |lg x ≥1}＝{x |x ≥10}答案 C2．若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．BB ．AC ．∅D ．Z答案 D 解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z .3．(2023·全国甲卷，理)设集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ＝3k ，k ∈Z }B ．{x |x ＝3k －1，k ∈Z }C ．{x |x ＝3k －2，k ∈Z }D ．∅答案 A解析 因为整数集Z ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }∪{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，U ＝Z ，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }．故选A.4．已知集合A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B 有________个真子集．( )A ．3B ．16C ．15D ．4 答案 A解析 A ＝{(x ，y )|xy ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B ＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集个数为22－1＝3.故选A.5．(2023·山东济宁检测)设全集U ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2－x －2＝0}，则下列四个图中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}的是( )答案 C解析因为A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，所以A∩B＝{－1}，A∪B＝{－2，－1，0，1，2}．则A中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1，2}；B中的阴影部分所表示的集合为{2}；C中的阴影部分所表示的集合为{－2，0，1}；D中的阴影部分所表示的集合为{－1}．故选C.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，M∪N＝{x|0≤x≤1}，所以M∪N＝[0，1]．7．(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝()A．∅B．SC．T D．Z答案 C解析当n＝2k，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋1，k∈Z}；当n＝2k＋1，k∈Z时，S＝{s|s＝4k＋3，k∈Z}．所以T S，S∩T＝T.故选C.8．(2024·河北辛集中学模拟)已知集合A＝{1，3，a2－2a}，B＝{3，2a－3}，C＝{x|x<0}，若B⊆A且A∩C＝∅，则a＝()A．1 B．2C．3 D．2或3答案 B解析方法一：由题得2a－3＝1或2a－3＝a2－2a.若2a－3＝1，则a＝2，故A＝{0，1，3}，B＝{1，3}，此时满足B⊆A，A∩C＝∅.若2a－3＝a2－2a，则a＝1或a＝3，当a＝1时，A＝{－1，1，3}，B＝{－1，3}，此时A∩C ＝{－1}，不符合题意；当a＝3时，a2－2a＝3，不符合题意．故a＝2，选B.方法二：因为A∩C＝∅，故集合A中的元素均为非负数，从而a2－2a≥0，得a≤0或a≥2，故排除A；由集合中元素的互异性得2a－3≠3，即a≠3，排除C、D.故选B.9．若非空且互不相等的集合M，N，P满足：M∩N＝M，N∪P＝P，则M∪P＝()A．M B．NC．P D．∅答案 C解析∵M∩N＝M，∴M⊆N，∵N∪P＝P，∴N⊆P，∵M，N，P非空且互不相等，∴M N P，∴M∪P ＝P.故选C.10．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案 A解析方法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C31C31＝9，故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.二、多项选择题11．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝∅D ．M ＝∁R N答案 CD 解析 由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，∴∁R N ＝{y |y ≤0}，∴M ＝∁R N ，M ∩N ＝∅.12．(2024·重庆八中适应性考试)已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B ＝B ，则下列关系一定正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∩B ＝BC ．A ∪B ＝UD ．(∁U B )∪A ＝A答案 CD解析 令U ＝{1，2，3，4}，A ＝{2，3，4}，B ＝{1，2}，满足(∁U A )∪B ＝B ，但A ∩B ≠∅，A ∩B ≠B ，故A 、B 均不正确；由(∁U A )∪B ＝B ，知∁U A ⊆B ，∴U ＝[A ∪(∁U A )]⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝U ，由∁U A ⊆B ，知∁U B ⊆A ，∴(∁U B )∪A ＝A ，故C 、D 均正确．13．1872年，德国数学家戴德金用有理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)．所谓“戴德金分割”，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，M 中每一个元素均小于N 中的每一个元素，则称(M ，N )为“戴德金分割”．试判断下列选项中，可能成立的是( )A ．M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x >0}是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素答案 BD解析 对于A ，因为M ∪N ＝{x ∈Q |x ≠0}≠Q ，故A 错误；对于B ，设M ＝{x ∈Q |x <0}，N ＝{x ∈Q |x ≥0}，满足“戴德金分割”，故B 正确；对于C ，不能同时满足M ∪N ＝Q ，M ∩N ＝∅，故C 错误；对于D ，设M ＝{x ∈Q |x <2}，N ＝{x ∈Q |x ≥2}，满足“戴德金分割”，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确．三、填空题与解答题14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________． 答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A⊆B，所以|x|∈B，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}，A∪B＝{1，0，－1}，∁B A＝{－1}．15．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，c>0.若A∪B＝B，则c的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析A＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c≥2.16．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求a的值；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围；(3)若U＝R，A∩(∁U B)＝A，求a的取值范围．答案(1)－1或－3(2)(－∞，－3](3){a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}解析A＝{1，2}．(1)由A∩B＝{2}，得2∈B，则4＋4a＋4＋a2－5＝0，得a＝－1或－3.当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{2，－2}，符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意．综上，a＝－1或－3.(2)由A∪B＝A，得B⊆A.①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，得a<－3；②若B＝{1}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且Δ＝0，此时无解；③若B＝{2}，则4＋4a＋4＋a2－5＝0且Δ＝0，得a＝－3；④若B＝{1，2}，则1＋2a＋2＋a2－5＝0且4＋4a＋4＋a2－5＝0，此时无解．综上，a的取值范围为(－∞，－3]．(3)由A∩(∁U B)＝A，得A∩B＝∅，所以1＋2a＋2＋a2－5≠0且4＋4a＋4＋a2－5≠0，解得a≠－1±3且a≠－1且a≠－3.故a的取值范围为{a|a≠－1±3且a≠－1且a≠－3}．17．(2024·成都七中月考)已知非空集合A，B满足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅，且A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则集合A，B的所有可能情况种数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析易知A的元素个数不能为2，否则A，B中必然有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意．所以A的元素个数为1或3，所以可能情况有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2种．故选B. 18．【多选题】设集合X是实数集R的子集，如果x0∈R满足对任意的a>0，都存在x∈X，使得0<|x－x0|<a，则称x0为集合X的聚点．则下列集合中是以0为聚点的集合有()A ．{x |x ∈R ，x ≠0}B ．{x |x ∈Z ，x ≠0} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝1n ，n ∈N *D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *答案 AC解析 对于A ，对任意的a >0，都存在x ＝a 2使得0<|x －0|＝a 2<a ，故0是集合{x |x ∈R ，x ≠0}的聚点． 对于B ，对于某个实数a >0，比如取a ＝12，此时对任意的x ∈{x |x ∈Z ，x ≠0}，都有|x －0|≥1，也就是说0<|x －0|<12不可能成立，从而0不是集合{x |x ∈Z ，x ≠0}的聚点． 对于C ，对任意的a >0，都存在n >1a ，即1n <a ，0<|x －0|＝1n <a ，故0是集合{x |x ＝1n，n ∈N *}的聚点． 对于D ，n n ＋1＝1－1n ＋1，故n n ＋1随着n 的增大而增大，故n n ＋1的最小值为11＋1＝12，即x ≥12，故对任意的0<a <12，不存在x ，使得0<|x －0|<a ，故0不是集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n n ＋1，n ∈N *的聚点．故选AC.。
专题七 语言表达简明、得体、准确、鲜明、生动
题组层级快练（七）专题七语言表达简明、得体、准确、鲜明、生动1．阅读下面一段文字，完成后面的题目。
大家好！①非常荣幸能够代表毕业生发言。
此时此刻，②我心情非常激动。
高中三年，③我们早已习惯于在学校的生活，早已离不开四季飘香的校园。
④我们将告别大家朝夕相处的同学、学识渊博的老师。
⑤在此，⑥请允许我代表高三的全体同仁，⑦向我们的恩师致以崇高的敬意！今后，⑧我们这些高足，⑨定当以自己的实际行动报答母校……(1)文中画线的句子中有两处表达不简明，应删除个别词语。
表达不简明的句子序号分别是________和________。
(2)文中画线的句子中有两处表达不得体，应替换个别词语。
表达不得体的句子序号分别是________和________。
答案(1)③④(2)⑥⑧解析③“在”多余；④“大家”多余；⑥“同仁”不得体；⑧“高足”不得体。
2．下面是一封校庆邀请函的部分内容，其中有五处不得体，请找出并作修改。
学校诚邀您来看一下校庆典礼，与贵校师生共襄盛典。
您的拨冗惠顾就是对我们的最大支持。
如能参加，务必于5月10日前发回执告知，以便学校做好接待准备。
如不能亲临，可将贺信呈送到校庆办公室。
①将____________改为____________②将____________改为____________③将____________改为____________④将____________改为____________⑤将____________改为____________答案①“来看一下”改为“出席”或“参加”；②“贵校”改为“我校”“全校”或“本校”；③“惠顾”改为“光临”或“莅临”；④“务必”改为“希望”或“请”；⑤“呈送”改为“惠寄”“寄送”或“发送”。
解析这是一封代表学校发出的书面邀请函，所以在遣词造句时不仅需要正确使用书面语体，而且还要恰当地使用敬谦辞。
①“来看一下”属于口语词汇，不符合邀请函的语体风格，可将其改为“出席”或“参加”。
高考调研题组层级快练历史2023电子版
高考调研题组层级快练历史2023电子版一、选择题（本大题共25小题，满分50分，每小题2分。
每小题所列的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、据考证，周武王灭商后，封舜的后代妫满于陈，妫满死后被谥为陈胡公．其后代便以“陈”为姓氏。
陈姓源流反映了西周时期一项重要的政治制度。
这项制度是A.郡县制B.行省制C.宗法制D.九品中正制2、某历史学习兴趣小组在探讨中国古代小农经济的基本特点时，形成了如下一些观点，你认为错误的是A.以一家一户为单位B.农业和家庭手工业相结合C.经济上自给自足D.生产的产品大部分投放市场3、商鞅变法规定：制止弃农经商，未经允许从商者罚作奴隶。
此规定体现的经济政策是A.海禁政策B.闭关锁国C.重农抑商D.土地国有4、明太祖朱元璋曾在8天内，平均每天批阅奏章两百多件，处理国事四百多件，为减轻负担，他设置了A.御史大夫B.中书省C.殿阁大学士D.军机处5、明确规定中国割让香港岛给英国的不平等条约是A《南京条约》 B.《北京条约》 C.《天津条约》 D.《辛丑条约》6、慈禧太后一直被认为是晚清封建顽固派的最高代表，可她支持洋务运动，这是因为洋务派“中学为体、西学为用”的主张有利于A.废除封建制度B.维护清朝统治C.推行君主立宪D.促进民主共和7、有同学收集了一些研究性学习素材，其中涉及“张謇”“短暂的春天”“国民经济建设运动”“军管理”“《中美友好通商航海条约》”等内容。
他探究的主题应该是A.近代中国民族资本主义的曲折发展B.近代中国经济结构的变动C.近代中国思想解放潮流D.近代中国反侵略、求民主的潮流8、1905年，中国人自己摄制的电影首映成功。
这部影片不论对中国电影史，还是中国京剧史来讲，都是弥足珍贵的资料，它是A.《定军山》B.《歌女红牡丹》C.《渔光曲》D.《风云儿女》9、陈独秀在《敬告青年》一文中写道：国人而欲脱蒙昧时代……当以科学与人权并重。
以此文的发表为开端的运动是A.太平天国运动B.义和团运动C.新文化运动D.维新变法运动10、为集中全力纠正博古等人的“左倾”军事路线错误，会议委托张闻天起草《中央关于反对敌人五次“围剿”的总结的决议》这次会议应该是A.八七会议B.中共三大C.中共七大D.遵义会议11、1958年8月13日,《人民日报》社论写道：“这又一次生动地证明：“人有多大胆，地有多大产”，解放了的人民可以创造出史无前例的奇迹来······”。
【高考调研】高考数学一轮复习 题组层级快练90(含解析)
题组层级快练(九十)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y后，曲线C 变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝1 答案 A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆答案 C4．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C5．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2 答案 D解析 极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D.6．(2015·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( ) A ．ρ＝1 B ．θ＝π2C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1解析 ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A 正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故B 不正确；ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故D 不正确．7．(2015·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A.8．在极坐标系中，极坐标为(2，π6)的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点(2，π6)到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.9．在以O 为极点的坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径的圆的极坐标方程是( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．2ρ＝cos θD ．ρ＝2＋cos θ答案 A解析 直线l ：ρcos θ－2＝0的直角坐标方程是x ＝2，直线l 与x 轴相交于点M (2,0)，以OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，化为极坐标方程是ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ.10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0. 选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1,0)，(2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．12．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin(θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0. 同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.13．在极坐标系中，点M (4，π3)到曲线ρcos(θ－π3)＝2上的点的距离的最小值为________．答案 2解析 点M (4，π3)的直角坐标为M (2,23)，曲线ρcos(θ－π3)＝2，即ρ(12cos θ＋32sin θ)＝2，化为普通方程为x ＋3y －4＝0. 点M (2,23)到此直线的距离d ＝|2＋23×3－4|1＋32＝2即为所求．14．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切，则a ＝________. 答案 1或－9解析 圆ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0，即4x ＋3y ＋a ＝0，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切， ∴圆心到直线的距离等于半径． 即|4＋0＋a |42＋32＝1，解得a ＝1或－9. 15．(2015·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数a 的值为________．答案 －5或－1解析 将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－|AB |22＝5－2322＝2，而d ＝|1－－＋a |12＋－2＝|a ＋3|2＝2，所以|a ＋3|＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 16．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－π3)＝6.(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2：3x －y ＋12＝0 (2)16 解析 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x 2＋y 2＝100. 所以C 1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．由C 2：ρsin(θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝|12|32＋－2＝6<10，所以直线C 2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.17．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 答案 (1)x ＋3y －2＝0，M (2,0)，N (233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析 (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)，则P 点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．18．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ思路 (1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12.于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)．化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2015·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________．答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.。
高考调研高一数学必修一题组层级快练答案
高考调研高一数学必修一题组层级快练答案1、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ2、36、下列生活实例中, 数学原理解释错误的一项是( ) [单选题] *A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠, 数学原理: 在同一平面内, 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线(正确答案)B. 两个村庄之间修一条最短的公路, 其中的数学原理是：两点之间线段最短C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子, 其中的数学原理是: 两点确定一条直线D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路, 数学原理: 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短．3、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃4、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。
记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+1，-3，-5，+1，-6，+2，-4，那么，该被测者这一周中测量体温的平均值是（??）[单选题] *A．1℃B．31℃C．8℃(正确答案)D．69℃5、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限6、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）7、以A（3，2），B（6，5），C（1，10）为顶点的三角形是（）[单选题] *A、锐角三角形B、锐角三角形C、直角三角形(正确答案)D、无法判断8、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。
[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程9、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。
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C．2D．3
答案C
解析由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.
3．在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()
A．5B．8
C．10D．14
答案B
解析由等差数列的性质，得a1＋a7＝a3＋a5.
因为a1＝2，a3＋a5＝10，所以a7＝8，选B.
11．已知在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，Sn是数列{an}的前n项和，则()
A．S5>S6B．S5<S6
C．S6＝0D．S5＝S6
答案D
解析∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，且a3＋a9＝2a6＝0.∴a6＝0，a5>0，a7<0.∴S5＝S6.故选D.
12．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为 的等差数列，
A．13B．12
C．11D．10
答案A
解析因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180.
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60.
所Байду номын сангаасSn＝ ＝ ＝390，即n＝13.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
答案(1)S6＝－3，a1＝7(2)d≤－2 或d≥2
解析(1)由题意知S6＝－ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8，
所以 解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.
(2)因为S5S6＋15＝0，
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0.即2a12＋9da1＋10d2＋1＝0.
A．－ B．－
C．－ D．－
答案C
解析{an}的公差d＝ ＝－ ，∴新等差数列的公差d′＝(－ )× ＝－ ，故选C.
9．(2017·绍兴一中交流卷)等差数列{an}的公差d<0，且a12＝a212，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()
A．9B．10
C．10和11D．11和12
答案C
则|m－n|等于()
A．1B.
C. D.
答案C
解析由题设可知前4项和等于四个根之和4× ＋ ·d＝2＋2，d＝ ，∴方程的四个根分别为 ， ， ， ，∴|m－n|＝| · － · |＝ .故选C.
13．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()
5．(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()
A．100B．99
C．98D．97
答案C
解析设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.
答案6
解析设等差数列{an}的公差为d，由已知得 解得 所以S6＝6a1＋ ×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.
16．已知在数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若 是等差数列，则a11等于________．
答案0
解析记bn＝ ，则b3＝ ，b5＝ ，数列{bn}的公差为 ×( － )＝ ，b1＝ ，∴bn＝ ，即 ＝ .∴an＝ ，故a11＝0.
()
A．0B．37
C．100D．－37
答案C
解析∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列．
∵a1＋b1＝25＋75＝100，a2＋b2＝100，∴{an＋bn}的公差为0.∴a37＋b37＝100.
8．(2017·四校联考)在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()
4．(2017·山东师大附中)已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()
A．138B．135
C．95D．23
答案C
解析由等差数列性质得2a3＝4，2a4＝10.
即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝2－6＝－4∴S10＝－4×10＋ ×3＝95，故选C.
题组层级快练
1．由下列各表达式给出的数列{an}：
①Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2；②Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2－1；
③an＋12＝an·an＋2；④2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
其中表示等差数列的是()
A．①④B．②④
C．①②④D．①③④
答案A
2．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于()
解析由d<0，得a1≠a21，又a12＝a212，∴a1＋a21＝0，∴a11＝0，故选C.
10．(2017·杭州学军中学)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝ ，则 ＝()
A. B.
C. D.
答案A
解析令S3＝1，则S6＝3，∴S9＝1＋2＋3＝6.
S12＝S9＋4＝10，∴ ＝ ，故选A.
14．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝ ，S2＝a3，则a2＝________；
Sn＝________．
答案1
解析设公差为d，则由S2＝a3，得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝ ，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋ d＝ .
15．(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．
17．已知An＝{x|2n<x<2n＋1且x＝7m＋1，m，n∈N}，则A6中各元素的和为________．
答案891
解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，
各数成一首项为71，公差为7的等差数列．
∴71＋78＋…＋127＝71×9＋ ×7＝891.
18．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
6．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8＝4a3，a7＝－2，则a9等于()
A．－6B．－4
C．－2D．2
答案A
解析S8＝ ＝4(a3＋a6)．因为S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，
所以d＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故选A.
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于