高二数学下 13.1《复数的概念》教案(1) 沪教版
13.1复数的概念
一、教材分析
复数是在研究三次方程的求根公式时引进的，通过一段时间的发展和完善，经数学家的证明，终于被人们接受，并在电学、空气动力学、通讯技术等方面有着广泛的应用.复数的概念是复数的第一节课，是本章的基础.通过本节课的学习不仅可以了解复数引入的必要性、数系的发展与分类，掌握复数的相关概念，也为今后“复数的坐标表示”、“复数的向量表示”、“复数的四则运算”、“复数平方根与立方根”和“实系数一元二次方程”的学习作好必要准备.
另外，复数相等的学习进一步向学生渗透了转化的思想；特别地，通过复数概念引入的学习，既可提高学生自主探索问题的能力，也增强了学生的创新意识.
二、教学目标
（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念.
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想；
（４）通过虚数的引入，形成科学的探索精神和创新能力．
三、教学重点及难点
重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用.
难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解.
四、教学用具
多媒体、实物投影仪
五、教学流程
六、教学过程
一、情景引入
1.展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼.
同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的.那么什么叫复数呢？复数又是如何引入的呢？这就是我们本节课将研究的问题.
问题1：请问无理数是如何引入的？
一方面，在有理数范围内2没有平方根，另一方面，单位正方形的对角线无法用有理数表示，为解决这个问题从而引入了无理数.
设计意图：通过类比引出问题2.
问题2：已知三次方程x 3
+px+q=0的求根公式是：
33233227422742p q q p q q x +--+++-=. 易知三次方程x 3
－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算.那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？
设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解.由此引入新课.
二、学习新课
1．规定：（1）1i 2-=,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2）0i 0=∙，i 能与实数
进行四则运算，如)R b (bi i b ∈=∙，)R b (bi bi 0∈=+等.
问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a （a>0）的平方根呢？ i ±，i 2±，i 5±，i a ±.
设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础.
问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？ 如：i 5.0-，i 22
1--，5i 2-等. 问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明.
能，如：i 0+π=π，i 033+=等.
问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？
)R b ,a (bi a ∈+
设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力.
2．复数的概念
一般地，形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做复数，常用一个小写字母z 表示，即)R b ,a (bi a z ∈+=，其中)R b ,a (bi a ∈+叫做复数的代数形式，实数．．b ,a 分别叫做复数z 的实部与虚部，分别记作Rez 和Imz.复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示.
在上述复数中，如i ±，i 2±，i 5±，i a ±，i 5.0-，i 22
1--，5i 2-这样的数称之为虚数，如i ±，i 2±，i 5±，)0a (i a >±的数称为纯虚数.
问题7： 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？ 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数的充要条件是0≠b ；
复数)R b ,a (bi a z ∈+=为纯虚数的充要条件是00a b =≠且；
复数)R b ,a (bi a z ∈+=为实数的充要条件是0＝b .
3．复数的分类
⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎩⎨⎧=∈+时为纯虚数）（虚数无理数
有理数实数复数0)0
()0(),(a b b R b a bi a 4.例题选讲
例1 指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？
巩固练习：练习13.1（1）第2题
例2 m 是什么实数时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别（1）是实数，(2)是虚数，
（3）是纯虚数，（４）0.
巩固练习：练习13.1（1）第3、4题
5.复数相等
问题8：类比实数相等，可得：
如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.
例3 已知i y i y x )3(2)2(--=+-，其中R y x ∈,，求x,y 的值.
巩固练习：练习13.1（2）第3、4题
小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法. 问题9：两个复数能比较大小吗？
组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.
例4 若复数i m m m m )2410(1222+-+--大于0，则方程x x m m 2log sin =π的解的个数是 .
设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）.
三、巩固练习
练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题
ei R a ai i i i i ),(3,32,0,5sin 5cos ,42,2∈---+-π
四、课堂小结
1.本节课学习了复数的哪些概念？
2.复数bi a z +=的虚部是b 吗？
3.两个复数的关系如何？
４.复数相等渗透了什么数学思想？
五、作业布置
习题13.1A 组第3、4、5和B 组第2、3、４题.
七、教学设计说明
高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系.
本节课复数的概念较多，且比较抽象，因此，教学中我作了分散处理，并用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，实行权力下放，充分发挥主体作用，进而提高学生提出的能力，增强学生的创新意识.
具体地说，就是通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i 后，完成了数的概念的扩展.坚持用启发式教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神.同时，在学习运用复数相等过程中，把复数问题转化为实数问题，从而对转化思想有了进一步理性的思考.。
沪教版高二下册数学复数的概念教案二级第二学期
13.1复数的概念一、教材分析复数是在研究三次方程的求根公式时引进的，通过一段时间的发展和完善，经数学家的证明，终于被人们接受，并在电学、空气动力学、通讯技术等方面有着广泛的应用.复数的概念是复数的第一节课，是本章的基础.通过本节课的学习不仅可以了解复数引入的必要性、数系的发展与分类，掌握复数的相关概念，也为今后“复数的坐标表示”、“复数的向量表示”、“复数的四则运算”、“复数平方根与立方根”和“实系数一元二次方程”的学习作好必要准备.另外，复数相等的学习进一步向学生渗透了转化的思想；特别地，通过复数概念引入的学习，既可提高学生自主探索问题的能力，也增强了学生的创新意识.二、教学目标（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念.（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想；（４）通过虚数的引入，形成科学的探索精神和创新能力．三、教学重点及难点重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用.难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解.四、教学用具多媒体、实物投影仪五、教学流程六、教学过程 一、情景引入1.展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼.同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的.那么什么叫复数呢？复数又是如何引入的呢？这就是我们本节课将研究的问题.问题1：请问无理数是如何引入的？一方面，在有理数范围内2没有平方根，另一方面，单位正方形的对角线无法用有理数表示，为解决这个问题从而引入了无理数.设计意图：通过类比引出问题2.问题2：已知三次方程x 3+px+q=0的求根公式是：33233227422742pq q p q q x +--+++-=.易知三次方程x 3－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算.那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解.由此引入新课.二、学习新课1．规定：（1）1i 2-=,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2）0i 0=•，i 能与实数进行四则运算，如)R b (bi i b ∈=•，)R b (bi bi 0∈=+等.问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a （a>0）的平方根呢？i ±，i 2±，i 5±，i a ±.设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础.问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？ 如：i 5.0-，i 221--，5i 2-等. 问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明. 能，如：i 0+π=π，i 033+=等.问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？)R b ,a (bi a ∈+设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力.2．复数的概念一般地，形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做复数，常用一个小写字母z 表示，即)R b ,a (bi a z ∈+=，其中)R b ,a (bi a ∈+叫做复数的代数形式，实数．．b ,a 分别叫做复数z的实部与虚部，分别记作Rez 和Imz.复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示.在上述复数中，如i ±，i 2±，i 5±，i a ±，i 5.0-，i 221--，5i 2-这样的数称之为虚数，如i ±，i 2±，i 5±，)0a (i a >±的数称为纯虚数.问题7： 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？ 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数的充要条件是0≠b ；复数)R b ,a (bi a z ∈+=为纯虚数的充要条件是00a b =≠且； 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为实数的充要条件是0＝b .3．复数的分类⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎩⎨⎧=∈+时为纯虚数）（虚数无理数有理数实数复数0)0()0(),(a b b R b a bi a 4.例题选讲例1 指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？巩固练习：练习13.1（1）第2题例2 m 是什么实数时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别（1）是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数，（４）0.巩固练习：练习13.1（1）第3、4题 5.复数相等问题8：类比实数相等，可得：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.例3 已知i y i y x )3(2)2(--=+-，其中R y x ∈,，求x,y 的值. 巩固练习：练习13.1（2）第3、4题小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法. 问题9：两个复数能比较大小吗？组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.例4 若复数i m m m m )2410(1222+-+--大于0，则方程x x m m 2log sin =π的解的个数是 .设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）.三、巩固练习练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题eiR a ai i i i i ),(3,32,0,5sin 5cos ,42,2∈---+-π四、课堂小结1.本节课学习了复数的哪些概念？2.复数bi a z +=的虚部是b 吗？3.两个复数的关系如何？４.复数相等渗透了什么数学思想？ 五、作业布置习题13.1A 组第3、4、5和B 组第2、3、４题. 七、教学设计说明高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系.本节课复数的概念较多，且比较抽象，因此，教学中我作了分散处理，并用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，实行权力下放，充分发挥主体作用，进而提高学生提出的能力，增强学生的创新意识.具体地说，就是通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i 后，完成了数的概念的扩展.坚持用启发式教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神.同时，在学习运用复数相等过程中，把复数问题转化为实数问题，从而对转化思想有了进一步理性的思考.。
沪教版高中数学复数的基本运算教案2023
沪教版高中数学复数的基本运算教案2023教案名称：沪教版高中数学复数的基本运算教案简介：此教案旨在帮助高中学生掌握复数的基本运算，包括复数的加减乘除等运算法则。
通过清晰的教学步骤和相关练习，学生将能够熟练地运用复数进行计算，提升数学解题能力。
教案内容：一、教学目标1. 理解复数的定义，了解复数的性质；2. 掌握复数的基本运算法则，包括加减乘除；3. 能够运用复数进行相关的练习和解题；4. 培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：掌握复数的基本运算法则；2. 教学难点：灵活运用复数进行综合计算。
三、教学步骤Step 1：课前导入引导学生回顾实数域的相关概念，并提出实数域无法解决负数的平方根问题。
引出复数的概念。
Step 2：复数的定义与性质1. 定义复数：a+bi的形式；2. 虚数单位i的定义与性质；3. 复数的实部与虚部的概念；4. 复数的共轭与模的概念；5. 复数的性质：加法、减法、乘法、除法。
Step 3：复数的加法与减法1. 复数相加与相减的计算规则；2. 实际例题演练；3. 引导学生总结加法和减法的性质。
Step 4：复数的乘法1. 复数相乘的计算规则；2. 实际例题演练；3. 引导学生讨论乘法的性质。
Step 5：复数的除法1. 复数相除的计算规则；2. 实际例题演练；3. 引导学生探讨除法的性质。
Step 6：综合练习与解题技巧培养1. 设计一些复杂的计算练习，帮助学生熟悉运用复数进行计算；2. 引导学生分析问题，建立解题思路；3. 指导学生运用复数的基本运算法则解决实际问题。
四、教学资源1. 教材《沪教版高中数学教材》；2. 复数运算相关练习题。
五、课堂评价1. 在课堂上及时与学生互动，检查学生对基本运算法则的理解程度；2. 布置相关练习题，收集学生的作业，检查其解题能力。
六、教学延伸可引导学生进一步研究复数在数学领域中的应用，如矩阵运算、多项式方程等，并拓展相关知识。
高中数学复数的概念的教案
高中数学复数的概念的教案课题：复数的概念教学目标：1. 了解复数的定义和性质。
2. 掌握复数的表示形式和运算法则。
3. 能够将复数与实际问题相联系，解决实际问题。
教学重点：1. 复数的定义和性质。
2. 复数的表示形式和运算法则。
教学难点：1. 复数的运算法则的灵活运用。
2. 将复数与实际问题相联系。
教学准备：1. 复数概念的教学PPT。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 复数的示意图。
4. 练习题目。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引导学生回顾实数的概念和性质。
2. 引入复数的概念，让学生思考：实数存在哪些问题？有什么不足之处？二、讲解复数的定义和性质（15分钟）1. 定义复数的概念：复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。
2. 复数的基本形式：a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
3. 复数的加法和减法规则。
4. 复数的乘法规则。
5. 复数的除法规则。
三、练习与讲解（20分钟）1. 老师出示一些复数的运算题目，让学生尝试解答。
2. 学生解答完毕后，教师讲解解题思路和答案，重点讲解复数运算的注意事项。
四、应用拓展（15分钟）1. 老师出示一些实际问题，让学生将问题转化成复数形式，并解答。
2. 学生可以通过复数的计算，解决问题，并讨论解题过程。
五、总结与反思（5分钟）1. 老师与学生共同总结今天的学习内容，强调复数的重要性和应用。
2. 学生可以反思学习中的困难和收获，提出问题和建议。
六、作业布置（5分钟）1. 布置练习题目，巩固今天所学的内容。
2. 要求学生根据习题，练习复数的加减乘除运算。
教学反思：在复数的教学中，要注重激发学生的兴趣和思考能力，通过实际问题的引导让学生更好地理解复数的概念和运算法则。
同时，要关注学生的学习情况，及时检查并指导学生的习题练习，帮助学生提高解题能力和理解水平。
高中数学复数的概念教案
高中数学复数的概念教案
一、教学目标：
1. 了解复数的概念和表示方法；
2. 学习复数的加减法和乘法；
3. 掌握复数的共轭和模；
4. 能够解决与复数相关的数学问题。
二、教学重点：
1. 复数的定义和表示；
2. 复数的加减法和乘法；
3. 复数的共轭和模。
三、教学步骤：
1. 复数的引入
- 引导学生回顾实数的概念，介绍实数无法解决的问题；
- 引入复数的概念，说明复数可以解决实数无法解决的问题。
2. 复数的定义和表示
- 介绍复数的定义：形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，bi为虚部；- 解释复数的表示方法：直角坐标系、极坐标系和三角形式。
3. 复数的加减法和乘法
- 介绍复数的加减法规则：实部相加，虚部相加；
- 讲解复数的乘法规则：根据分配律进行计算。
4. 复数的共轭和模
- 介绍复数的共轭定义：实部不变，虚部变号；
- 讲解复数的模定义：绝对值表示复数的距离。
5. 示例分析和练习
- 给出一些具体的复数问题，引导学生进行解题分析；
- 可以让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
四、课堂总结：
- 总结本节课的内容，强调复数的重要性和实际应用；
- 鼓励学生积极思考，提出问题。
五、课后作业：
- 完成课后习题，巩固所学知识；
- 思考如何将复数应用到实际问题中。
六、教学反思：
本节课着重介绍了复数的概念和基本运算规则，通过引导学生进行实际问题的解决，使学生能够深入理解复数的含义和作用。
在今后的教学中，可以适当增加实际应用的案例，引导学生更好地理解和掌握复数的相关知识。
数学：13.1《复数的概念》课件(沪教版高二下)
4.1 复数的概念
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
教学目的： 1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、 虚部) 4.理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复 数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中 的地位和作用 教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念 是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的. 在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 授课类型：新授课
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 1 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
概念辨析
一一对应
y
直角坐标系中的点Z(a,b) （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共18张ppt)
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C 纯虚数集 实数集
决卡丹问题与邦贝利问题： 5、“虚数不虚”
意大利数学家卡尔丹 （G.Candano,1501-1576）
复数的概念
x2 10x 40=0 x 5 15, x 5 15
意大利数学家卡尔丹 （G.Candano,1501-1576）
(5 15) (5 15) 10, (5 15) (5 15) 40
一元二次方程的根有三种情形
问：对照前两种情形，第三种显得不太和谐， 能否有一种比较和谐的状态？
只存在于“想象之中”。 -1 i a (a 0) ?
- ai
思考？
这个例子告诉我们 -1只是个记号，我们
用 i 来表示 i 2 1，不能说明负数就可以
参与平方根运算了。
2、探究复数的一般形式
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数(complex number),
通常用字母z表示。 全体复数所形成的集合叫做复数集(complex set)，
用！
同学们你们发现什么？
负数 赋予意义
今天我们遇到了负数开平方这个超越实数
复 范围的问题，就是希望引入的数的平方为负数，
但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入 那么多，只要引入平方为多少就行了呢？
？2 负数
数 的 引
1777年欧拉提出 i 用来表示 i2 = 1
入
他用了“imaginary”一词的首字母，本意是它
复数的概念教学设计
复数的概念——教学设计复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。
复数的学习，可以帮助学生们通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及几何意义。
复数的概念中通过方程的解，认识复数。
一、复习引入昨天我们认识了数系的扩充，数系是如何扩充的呢？昨天分配给每个小组一个任务，请大家回去查阅一下相关的历史资料，有哪位同学愿意和大家分享一下呢？1.N 结绳记事2.Z 生产生活的需要3.Q 正方形对角线的表示如果用集合的语言来表述这些数集的关系是N Z Q R ⊂⊂⊂≠≠≠二、新课讲授我们接着学习数系的扩充，首先我们先来看一段小视频。
来看看还有哪些数目前为止我们无法表示。
（插入视频）通过视频，大家能概括一下视频说的是什么吗？或者说这个视频它提出了一个什么问题呢？1. 210x +=的解是-1的平方根，因为数系不够所以我们无法表示这个解，如果新建一个维度，那这个解就可以表示了。
2. 伟大的科学家高斯提出“代数基本原理”，即一元n 次方程应该有n 个解。
带着这两个问题我们来站在解方程的角度再回顾一下数系的扩充一元一次方程 230x += 无正分数解，所以把数系扩充到有理数系Q 。
一元二次方程 220x -= 无有理数解，所以把数系扩充到了实数系R 。
但是一元二次方程 20ax bx c ++=,只有当0∆≥时，在实数范围内才有解x =,0∆< 时，比如：210x x ++=在实数系内无解。
一元三次方程30x x -=,因式分解有3个根 x=-1 0 1。
但是比如：310x -=,只有一个根x=1。
可是根据高斯发现的代数基本定理，一元三次方程应该有3个根，那消失的另两个根哪里去了呢？回过来我们来看看视频中提到的-1的平方根，现在如果新引入一个新数i ，让它表示-1的平方根，即i^2=-1，则方程210x +=就是i ± 。
同理，根据引入的新数i ，我们能不能把 31=0x -这个三次方程另外两个消失的根表示出来呢？2(1)(1)0x x x -++=x ==12x -±= 这种形式的数我们把它叫做复数。
复数的概念教学
课题：《复数的概念》课型：新授课教材：上海教育出版社高中二年级第二学期(试用本)教学目标：1、了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，理解虚数单位i .2、掌握复数的代数法表示及其分类，掌握复数相等的充要条件.3、体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系.教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类和复数相等.教学难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解.教学方法：四动策略：问题驱动，学生主动，教师引动，多元互动的教学策略.教学手段：多媒体辅助教学，幻灯片.教学过程：（一）引导学生回顾数系的变化发展过程数的概念是从实践中产生和发展起来的. 早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3等数以及表示“没有”的数0. 自然数的全体构成自然数集.为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数. 把自然数集与负整数集合并在一起，构成整数集.进一步为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们进一步引进了分数；这样就把数集扩充到有理数集.有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，有时无法用有理数表示，人们又引进了无理数. 有理数集与无理数集构成实数集.设计意图：通过讲解数系扩充的历程，引发学生对数系扩充过程的兴趣，积极主动地投入到学习中.（二）设置问题情境，探究实践问题1 回顾从自然数到实数系的扩充过程. 每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充遵循哪些扩充规律？师：数系的扩充是生产实际的需要，也是数学学科自身发展的需要. 数学扩充的规律，一、引入新数，二、原有的运算律在新数系中仍然成立，三、新数系解决了原数系提出的矛盾.设计意图：教师提出问题，学生思考回答，不足之处教师补充说明，师生共同归纳总结得出结论. 联系旧知识，为实数系到复数系的扩充做铺垫.问题2 如何求方程012=+x 的解？ 师：请同学们类比引进2，就可以解决方程022=-x 在有理数集中无解的问题，怎么解决负数在实数集中不能开平方的问题？同学们可以再次类比，大胆猜测.生：如果我们承认负数可以开平方，那么这个问题就解决了.设计意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始. 在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数． 解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决1-的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于1-．问题3 引入的新数是个什么数呢？它有什么特征？引入虚数单位的概念：12-=i ，强调i 不同于任何实数，它是一种新的数.虚数单位i 和实数之间仍能进行加法和乘法运算，加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律. 因此，把实数a 与i 相加，结果记作：i a +；把实数b 与i 相乘，结果记作：bi ；把实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加， 结果记作：bi a +.思考 ()Z n i n ∈的结果是什么？ 首先， ,1,,1,143210=-=-===i i i i i i i ， 可得()Z m i i i i i i m m m m ∈-=-===+++.,1,13424144，.问题4 i 和0能不能比较大小？反证法，显然0≠i ，若：1、当0>i 时，i i i i i >⇒⋅>⋅⇒+>+-⇒>-⇒⨯>010********；2、当0<i 时，同理可得矛盾.（课后自己完成）所以不管0>i 还是0<i 都会得出矛盾.（三）新课讲解，例题巩固思考：请同学们写出一些实数和虚数的组合形式？生：i 23-，1+i ，i 3.师：总结学生回答，给出复数的一般形式.复数的定义：形如{}R b a bi a ∈+,|的数叫复数，其中i 叫做虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即()R b a bi a z ∈+=,，其中a 叫复数的实部，记作 z Re ；b 叫复数的虚部，记作 z Im .问题 5 数系扩充后，复数集和实数集之间有什么关系？复数有哪些特殊的形式？复数集如何进行分类？实数集是复数集的真子集.复数分类：特别地，0=+bi a (R b a ∈,) 当且仅当0==b a .()(),a bi a b R ⎧⎪+∈⎨≠⎪⎩实数（b=0）复数 虚数(b 0)纯虚数（a=0）设计意图：搞清楚复数系与实数系之间的关系以及复数的分类，深化学生对扩充后新数集的理解.师：复数是我们目前接触到最大数集，这也体现了从小学到初中再到高中，我们的认知领域在逐渐扩大，大家以后读了大学还可能接触到四元数，有兴趣多的同学可以上网百度一下. 例题讲解：例1、下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？72+， i 72，0，2i ，31(-i ），i 63- 设计意图：让学生认识复数代数形式的结构，清楚复数的实部和虚部.例2、已知R m ∈，实数m 取什么数值时，复数()i m m z 11-++=是：(1) 实数？ (2) 虚数？ (3) 纯虚数？分析：因为R m ∈，所以1+m ，1-m 都是实数，由复数bi a z +=是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1) 当01=-m ，即1=m 时，复数z 是实数；(2) 当01≠-m ，即1≠m 时，复数z 是虚数；(3) 当01=+m ，且01≠-m ，即1-=m 时，复数z 是纯虚数.变式、已知R m ∈，复数()i m m m m m z 321)3(2-++-+=，当m 为何值时， (1) z 是纯虚数；(2) z 是实数.解：(1) 当01)3(=-+m m m ，且0322≠-+m m ，即0=m 时，复数z 是纯虚数； (2) 当0322=-+m m ，且1≠m ，即3-=m 时，复数z 是实数.设计意图：巩固复数的基本概念，让学生在变化中认识复数代数形式的结构，将求复数值的问题转化为用实数方程或不等式求解的问题.问题6 两个复数bi a +与di c +相等的充要条件是什么？其中，R d c b a ∈,,,.生：di c bi a +=+当且仅当d b c a ==,.师：很好，那为什么呢？复数的运算法则仍然保持，即 ()i d b c a -=-，左边是实数，右边也必须为实数，只能0=-d b .因而，d b c a ==，.设计意图：引导学生自我探索复数相等的条件，并进行证明，加深对复数本质的理解. 例3、已知R y x ∈,，（1）已知()()i y y i x --=+-312，求x 与y .（2）若()()03243=++-i y x ，求x 与y .解：（1）由已知可得：()y y x --==-31,12，解得：4,25==y x . （2）由已知可得：032043=+=-y x ，，解得：23,34-==y x . 设计意图：理解两个复数相等的定义，并会利用其列方程，求解. 检测学生是否会利用两个复数相等的充要条件，解决复数的求值问题.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，后面我们学习了复数的几何意义后大家会明白. 两个不全是实数的复数不可以比较大小，只有相等与不相等之分.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法，数学思想等方面谈谈.生：知识方面，实数系到复数系的扩充过程，复数的基本概念，两复数相等的条件，两个不全是实数的复数不可以比较大小，思想方法，类比、转化等数学思想，经验，学习过程中注重知识间的联系，实数系到复数系的扩充过程是通过类比有理数系到实数系的扩充.师：π,,i e 分别是分析、代数、几何中三个极其重要的量. 由此可见，数学各个分支之间是存在紧密联系的. 10,,，，πi e 是数学中的五朵金花，它们在同一个公式中绽放，体会到数学的美.π,e 是两个重要的超越数 (即不是任何有理系数代数方程的根)；1，i 分别是虚数单位和自然数单位；10，是任何数域（所谓数域是指对四则运算封闭的数集）都包含的两个数；=+，是数学中最基础的两个符号.等号“=”在数学中表示可以相互替代；在物理学中，表示相互转换；在计算机语言中则表示赋值.有了加法运算+，通过它就可以构造出减法、乘法、除法等丰富的运算；由10，通过四则运算，可以构造出有理数，进一步可构造出实数；利用虚数单位i ,通过简单的二次扩张，则可以获得最大的复数数域. i 的出现，导致了管辖时空结构的相对论和支配物质规律的量子力学的发现. 而且可以预言，这两种理论的最终统一，需要借助复数. 正因为如此神奇，伟大数学家欧拉的墓碑上刻的就是这个公式.（五）课后作业作业：导学案和课后作业复数第一课时思考：数学家高斯已经给出复数的几何意义，那么请大家回去思考复数的几何意义是什么呢？我们知道两个非实数的复数无法比较大小，那么如何构造与复数相关的量，让它们能够比较大小？设计意图：巩固所学内容，强化训练. 让学生独立思考，为了后续课程的学习做铺垫.教案设计说明：一、教材分析陈省身先生曾说过：“没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明.”复数的概念，是中学阶段数学的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下基础.复数的引入，实现了中学阶段数学的最后一次扩充，同时复数作为一种新的数学语言也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想.通过本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础，因此，本节课具有承前启后的作用，也是本章的重点内容之一.二、学情分析学生来自宝山区市重点中学，基础较好，有一定的推理能力及研究能力，能在教师的引领下自主探究和思维建构.在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成. 另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯.三、课后反思。
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的扩展与复数的概念 课件(共20张PPT)
复数的代数形式 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位。
Real part Imaginary part
数系的扩展
复数的分类
复数的概念
复数z=a+bi
(aR,bR)
实数(b 虚数(b
0) 0)
纯 虚 数 (a0， b0) 非 纯 虚 数 (a0， b0)
复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
R C
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
数系的扩展
复数的概念
课堂练习1：说出下列复数的实部与虚部.并 指出哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?
复数 实部
4
4
2-3i 2
4i+3 3
-6i
0
i 2 1
isin 0
32i2 1
虚部 实数
0√
3
4
6
0√ 0√ 0√
虚数 纯虚数
√ √
√
数系的扩展
复数的概念
课堂练习2：
判断下列结论是否正确？
（1）a,bR，则a+bi是虚数
（2）bR，则bi是纯虚数
（3）z=a 不是虚数
（4）z=a+bi (a,bN)是虚数
数系的扩展
复数的概念
例1:当m为何实数时，复数 z m 2 m 2 (m 2 1 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 (4)0
2 .当 实 数 x , y 为 何 值 时 ， 复 数 z = x 2 - y 2 + ( 2 x y - 6 ) i 等 于 8 ？
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共26张PPT)
思考？
i是虚数单位，3是实数， 将3与i进行加、减、乘、除运算， 会产生哪些形式的“新数”？
3 i,3 i,i 3,i 3,3i, i 等 3
这些“新数”能用一种 统一的形式表示吗？
a bi
16:02
复数的概念
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
其中i叫做虚数单位 复数全体组成的集合叫复数集，记作C
(2x 1) i y (3 y)i
2x 1 (3 y) 1 y
x
1 2
y 1
令y b（i b R且b 0) 代入（2x 1) i yi (3 y)
(2x 1) i bii (3 bi)
(2x 1) i bi2 (3 bi)
(2x 1) i b 3 bi
2 z m2 m 6 m2 2m 15 是虚数. m3
解：
2
m2
2m
15
0
m 3 0
m
5
m
3
0
m 3 0
m 5且m 3 m 3
m 5且m 3
m 5且m 3时,复数z是虚数.
3 z m2 m 6 m2 2m 15 是纯虚数. m3
m2 2m 15 0
《说数》
自然数
有理数
整数
实数
13.1复数的概念
提出问题
一元二次方程ax2 bx c 0,当=b2 -4ac 0时， 在实数范围内没有实数根.
回顾
x 1 0
2x 1 0
x2 2 0
负整数 分数
无理数
解决问题
一元二x 2次+方1程 x02 -x-21----0-x没12有实数根1．
思考？ 我们能否将实数集进行扩充，使得在