高二数学下 13.1《复数的概念》教案(1) 沪教版
13.1复数的概念
一、教材分析
复数是在研究三次方程的求根公式时引进的，通过一段时间的发展和完善，经数学家的证明，终于被人们接受，并在电学、空气动力学、通讯技术等方面有着广泛的应用.复数的概念是复数的第一节课，是本章的基础.通过本节课的学习不仅可以了解复数引入的必要性、数系的发展与分类，掌握复数的相关概念，也为今后“复数的坐标表示”、“复数的向量表示”、“复数的四则运算”、“复数平方根与立方根”和“实系数一元二次方程”的学习作好必要准备.
另外，复数相等的学习进一步向学生渗透了转化的思想；特别地，通过复数概念引入的学习，既可提高学生自主探索问题的能力，也增强了学生的创新意识.
二、教学目标
（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念.
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想；
（４）通过虚数的引入，形成科学的探索精神和创新能力．
三、教学重点及难点
重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用.
难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解.
四、教学用具
多媒体、实物投影仪
五、教学流程
六、教学过程
一、情景引入
1.展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼.
同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的.那么什么叫复数呢？复数又是如何引入的呢？这就是我们本节课将研究的问题.
问题1：请问无理数是如何引入的？
一方面，在有理数范围内2没有平方根，另一方面，单位正方形的对角线无法用有理数表示，为解决这个问题从而引入了无理数.
设计意图：通过类比引出问题2.
问题2：已知三次方程x 3
+px+q=0的求根公式是：
33233227422742p q q p q q x +--+++-=. 易知三次方程x 3
－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算.那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？
设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解.由此引入新课.
二、学习新课
1．规定：（1）1i 2-=,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2）0i 0=?，i 能与实数
进行四则运算，如)R b (bi i b ∈=?，)R b (bi bi 0∈=+等.
问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a （a>0）的平方根呢？ i ±，i 2±，i 5±，i a ±.
设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础.
问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？ 如：i 5.0-，i 22
1--，5i 2-等. 问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明.
能，如：i 0+π=π，i 033+=等.
问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？
)R b ,a (bi a ∈+
设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力.
2．复数的概念
一般地，形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做复数，常用一个小写字母z 表示，即)R b ,a (bi a z ∈+=，其中)R b ,a (bi a ∈+叫做复数的代数形式，实数．．b ,a 分别叫做复数z 的实部与虚部，分别记作Rez 和Imz.复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示.
在上述复数中，如i ±，i 2±，i 5±，i a ±，i 5.0-，i 22
1--，5i 2-这样的数称之为虚数，如i ±，i 2±，i 5±，)0a (i a >±的数称为纯虚数.
问题7： 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？ 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数的充要条件是0≠b ；
复数)R b ,a (bi a z ∈+=为纯虚数的充要条件是00a b =≠且；
复数)R b ,a (bi a z ∈+=为实数的充要条件是0＝b .
3．复数的分类
?????=≠???=∈+时为纯虚数）（虚数无理数
有理数实数复数0)0
()0(),(a b b R b a bi a 4.例题选讲
例1 指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？
巩固练习：练习13.1（1）第2题
例2 m 是什么实数时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别（1）是实数，(2)是虚数，
（3）是纯虚数，（４）0.
巩固练习：练习13.1（1）第3、4题
5.复数相等
问题8：类比实数相等，可得：
如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.
例3 已知i y i y x )3(2)2(--=+-，其中R y x ∈,，求x,y 的值.
巩固练习：练习13.1（2）第3、4题
小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法. 问题9：两个复数能比较大小吗？
组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.
例4 若复数i m m m m )2410(1222+-+--大于0，则方程x x m m 2log sin =π的解的个数是 .
设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）.
三、巩固练习
练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题
ei R a ai i i i i ),(3,32,0,5sin 5cos ,42,2∈---+-π
四、课堂小结
1.本节课学习了复数的哪些概念？
2.复数bi a z +=的虚部是b 吗？
3.两个复数的关系如何？
４.复数相等渗透了什么数学思想？
五、作业布置
习题13.1A 组第3、4、5和B 组第2、3、４题.
七、教学设计说明
高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系.
本节课复数的概念较多，且比较抽象，因此，教学中我作了分散处理，并用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，实行权力下放，充分发挥主体作用，进而提高学生提出的能力，增强学生的创新意识.
具体地说，就是通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i 后，完成了数的概念的扩展.坚持用启发式教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神.同时，在学习运用复数相等过程中，把复数问题转化为实数问题，从而对转化思想有了进一步理性的思考.