苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 第2课时 瞬时变化率 导数

第2课时

课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

1．瞬时速度的概念

作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．

用数学语言描述为：如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)

Δt

无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的____________．

2．导数的概念

设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy

Δx

＝

____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为________________________，记作f ′(x 0)．

3．函数的导数

若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)．

4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________

一、填空题

1．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．

2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

的值为________．

3．一物体的运动方程是S ＝1

2

at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．

4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝3

2

处的瞬时变化率是________．

5．函数y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数是________．

6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．

8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．

二、解答题

9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1

x

在x ＝1处的导数．

10．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹

从枪口射出时所用的时间为1.6×10－

3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

能力提升

11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处的导数．

12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为s(t)＝v 0t －1

2

gt 2，求物体在时

刻t 0处的瞬时速度．

1．利用定义求函数在一点处导数的步骤： (1)计算函数的增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)．

(2)计算函数的增量与自变量增量Δx 的比Δy

Δx

.

(3)计算上述增量的比值．当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx 无限趋近于A.

2．导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度．

答 案

知识梳理

1．瞬时速度 瞬时速度 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数

4．S ′(t ) 5.v ′(t ) 作业设计 1．3

解析 ΔS Δt ＝S (Δt )－S (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2

Δt

＝3－Δt ，

当Δt 无限趋近于0时，ΔS

Δt

无限趋近于3.

2．－f ′(x 0)

解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

＝

f (x 0)－f (x 0－Δx )

－Δx

＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx

，

∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0

解析

ΔS Δt ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt ＝12

a (Δt )＋at 0， 当Δt 无限趋近于0时，ΔS

Δt

无限趋近于at 0.

4．－3

解析 ∵Δf Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32

＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx

＝－Δx －3，

当Δx 无限趋近于0时，Δf

Δx

无限趋近于－3.

5．0

解析 Δy

Δx ＝(1＋Δx )＋1

1＋Δx －2

Δx

＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )

＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx

， 当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx 无限趋近于0.

6．1