分数阶离散控制系统的建模与离散控制器

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频率和记忆长度使得系统满足一定的量化函数， 就能够得到足够精度的系统描述。 此外本文 还得出了分数阶 PI D 控制器和 TID 控制器的离散化形式，便于获得分数阶离散系统的各 项性能指标。最后文章对一个闭环系统作了举例说明。
λ µ
参考文献
[1] Dingyu Xue, YangQuan Chen,“A comparative introduction of four fractional order controllers”, Proceesing of the 4th World Congress, Intelligent Control and Automation’02, Vol.4, pp.3228-3235, 2002 [2] M. Axtell, E. M. Bise: Fractional Calculus Applications in Control Systems. in: Processing of the IEEE1990 Natural Aerospace and Electronics Conference, New York, 1990, pp. 563-566. [3] L’. Dorcak: Numerical Models for Simulation the Fractional-Order Control Systems UEF SAV, TheAcademy of Sciences, Institute of Experimental Physics., Kosice, Slovak Republic, 1994. [4] R. C. Dorf, R. H. Bishop: Modern control systems. Addison-Wesley company, New York, 1990. [5] Lubich: Discretized fractional calculus. SIAM J. Mathematics Annually. vol. 17, pp. 704-719. [6] I. Podlubny: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego, 1999. [7] K. B. Oldham, J. Spanier: The Fractional Calculus. Academic Press, New York, 1974. [8] Podlubny I., “Fractional-order systems and PIλDμ-controllers”, IEEE Transactions Automation Control, Vol.44, pp.208-214,1999 [9] B. M. Vinagre, I. Podlubny, A. Hernandez, V. Feliu: On realization of fractional-order controllers.Conference Internationale Francophone d’Automatique, Lille, Jule 5-8, 2000.
λ µ
λ µ
Gc ( z ) =
Tt T + i−1 + Td s ( z −1 ) −1 1/ n s( z ) s( z )
（12）
按同样的方法将（5）带入可得 TID 控制器的离散状态表达式：
Gc ( z ) = [ L / T ]
r =0
Tt
r 1/ n
∑C
z
L [ ]− r T
+ Ti
T 1 − z −1 T + d T 1 − z −1
λ µ
Gc ( z ) = Tp +
Ti + Td s ( z −1 ) µ −1 λ s( z )
（10）
其中，积分器阶次 λ 和微分器阶次 µ 均为任意非负实数。 Tp , Ti , Td 分别是比例器、积分器和 微分器的增益，均为常数。将（5）带入（10） ，可得到分数阶 PI λ D µ 控制器离散状态表达式：
3.2 分数阶控制器
分数阶控制器有许多种，其中 PI λ D µ 控制器和 TID 控制器较多引起人们的重视。分数阶 【 8】 ，与其它类型的控制器相比，PI λ D µ 控制器能更精确 PI λ Dµ 控制器最早由 Podlubny 提出 的达到系统所需的性能指针，调节灵活。然而要使该控制器用于数字控制中，就有必要研究 它在离散系统中的工作特性。 根据本文上一部分所述分数阶离散系统的数学描述方法， 我们 考虑图 1 中 PI D 控制器 Gc ( z ) 的传递函数：
U(z) -
E(z)
Y(z)
Gc ( z)
Go ( z)
G f ( z)
图 1 分数阶离散控制系统
以上分数阶控制系统在开关始终闭合时为一连续系统，其时域模型可以由下式建立：
a Dα
n
n
y (t ) +
a Dα
n −1
n −1
y (t ) + +
a Dα
0
0
y (t ) =
b D
m
β mu ( t ) + β b m −1 D
s ( z −1 ) =
1 − z −1 T
（4）
对 (1 − z −1 )α 进行幂指数展开，于是得到 Grünwald-Letnikov 定义下的 Z 域表达式：
1 = [ s( z )] = α T
−1 α
D |
α t t = kT
∑ ( −1)
r =0
L T
r
α −r T z r
r Cβ u (k + [ m
L 1 ] − r ) + b m −1 β m −1 T T
[L /T ]
∑
r =0
r Cβ u(k + [ m −1
L 1 ] − r ) + + b 0 β0 T T
[L /T ]
∑
r =0
r Cβ u (k + [ 0
上式即为分数阶离散系统的差分方程描述。 式中的记忆长度 L 在理论上是趋于无穷的， 因此 我们得到的是一个近似的离散系统表达式， 由此可以对分数阶系统进行近似时域内的参数辨 识，这不在本文的讨论范围之内。

分数阶离散控制系统的建模与离散控制器
李元凯 1 赵世武 2
1． 重庆邮电学院自动化学院， （400065） 2． 滁州学院物理系， （239012）
E-mail：1. zhaoshiwu2000@ ; 2. liyuankai@
（13）
3.3 举例
考虑图 1 所示分数阶离散反馈系统，用带有限记忆的差分方程对其进行建模，设被控系 统 Go ( z) 为 有 限 阶 次，有关 参 数 为 a0 , a1 , a2 ; α 0 = 0, α1 , α 2 ; b0 = 1; β0 = 0 ， PI D 控制 器
λ µ
Gc ( z) 的相关参数为 Tp , Ti = 0, Td , λ = 0, µ ，引入单位负反馈使得系统获得理想的稳态性能
L L ] − r ) = T pe ( k + [ ] − r ) + T T T
d
1 Tµ
∑
r =0
r Cµ e (k + [
L ] − r) T
其中， k = 1, 2, ，其二项式系数由（6）式求得。
4 结论
本文将连续的分数阶微分算子离散化，并应用于描述系统的分数阶微分方程中，得出分 数阶离散系统的数学模型。 这种数学模型能够方便的进行数字控制。 由于分数阶次的无限记 忆性， 文中所得的离散系统差分方程是真实系统的近似描述， 但只要在建模时适当选取采样
L ] − r) + T
a
n −1
1 T α n −1
[ L /T ]
∑
r=0
r Cα y (k + [ n −1
L ] − r) + + T
a
0
1 T α0
[ L /T ]
∑
r=0
r Cα y (k + [ 0
L ] − r) T L ] − r) T
（9）
b
1 T
βm
[ L /T ]
∑
r=0
L
（5）
其中 T 为离散系统采样间隔时间，L 为离散近似表达式所保留的记忆长度， [ x] 表示 x 的整
r 数部分， ( −1)r α 是分数二项式系数 Cα ，它存在如下递推公式：
r
0 Cα = 1,
r Cα = (1 −
1 + α r −1 )Cα r
（6）
文献【9】中论述了更详尽的近似方法来对分数阶系统进行连续域和离散域建模，均源 于上述 Grünwald-Letnikov 定义式和 Riemann-Liouville 定义式。
和动态性能。于是可以得出连续域的分数阶系统闭环传递函数： a 2 D α 2 y ( t ) + a1 D α 1 y ( t ) + T d D µ y ( t ) + ( a 0 + T p ) y ( t ) = T p e ( t ) + T d D µ e ( t ) （14）
将系统以 T 时间间隔采样，取记忆长度为 L 进行离散化，可得表示离散化系统的差分方程：
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Gc ( z ) = Tp + [ L / T ]
r =0
Ti
L [ ]−r r T λ
∑C z
+ Td
[L/T ] r =0
∑C
r µ