揭阳2017届高三统一考试卷(文数)

揭阳市2017届高中三年级（第一学期）学业水平考试数学（文科）本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则（A ）N M =（B ）N M ⊂（C ）M N ⊂（D ）φ=⋂N M（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32 （B ）12 （C ）12- （D ）12i - （3）设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6（5）已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-=（A ）10 （B ）10-（C ）10 （D ）10- （6）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b（B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（7）对于任意的非零实数m ，直线2y x m =+与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有且只有一个交点，则双曲线的离心率为（A （B （C ） 2 （DM M M F F F E E E D D D （8）已知曲线ax x x f 2ln )(+=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则a 的值为（A ）1 （B ）－4 （C ）21-（D ）－1 （9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）242 （B ）274（C ）275 （D ）338 图1（10） 函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）在ABC ∆中，有正弦定理：sin sin sin a b cA B C===定值，这个定值就是ABC ∆的外接圆的直径．如图2所示，DEF ∆中，已知DE DF =，点M 在直线EF 上从左到右运动（点M 不与E 、F 重合），对于M 的每一个位置，记DEM ∆的外接圆面积与DMF ∆的外接圆面积的比值为λ，那么（A ）λ先变小再变大（B ）仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值 （C ）λ先变大再变小 （D ）λ是一个定值图2（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件0,.y x y M x y M ⎧≤≤⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）9（B ）13（C ）16 （D ）18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量)1,1(-=a ，)2,(n b = ，若53a b ⋅= ，则n = ．（14）偶函数()f x 的图象关于直线3x =对称，(4)4f =，则(2)f -= ．（15）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构） 啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组， 图3 经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进 一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计） （16）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（小题满分12分）已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a n =+． （I ）求n a ；（II ）设12n n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图4，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，3=PC ． （I ）证明：平面POC ⊥平面P AD ；（II ）若P-ABD 与C-PBD 的体积分别为1V 、2V ，求证122V V =． 图4（19）（本小题满分12分）某次数学测验后，数学老师统计了本班学生对选做题的选做情况，得到如下表数据：(单位：人)（I ）请完成题中的22⨯列联表；并根据表中的数据判断，是否有超过97.5%的把握认为选 做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关？（II ）经过多次测试后，甲同学发现自己解答一道“坐标系与参数方程”所用的时间为区间 [5,7]内一个随机值（单位：分钟），解答一道“不等式选讲”所用的时间为区间[6,8]内一个随机值（单位：分钟），试求甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做“不等式选讲”所用时间更长的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（20）（本小题满分12分）已知圆Ｃ过点)0,43(A ，且与直线43:-=x l 相切， （I ）求圆心C 的轨迹方程；（II ） O 为原点，圆心C 的轨迹上两点M 、N （不同于点O ）满足0=⋅，已知13OP OM =，13OQ ON =，证明直线PQ 过定点，并求出该定点坐标和△APQ 面积的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+x f x x e a .(a R ∈) （I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 参考公式：为常数）t e ex t xt ()'(---=请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．（I ）写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； （II ）若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． （I ）若1m =，求函数)(x f 的值域；（II ）若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x数学(文科)参考答案（12）由2222290ab a b ++-=结合222ab a b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,在x 轴上整点有7个，在直线x=1上有5个，在x=2上有3个， 在x=3上有1个，共16个. （16）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174120x x --=，则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=. 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）当1n =时，21121S a =+，解得11a =；--------------------------------------------1分当2n ≥时，由22n n S a n =+，得21121n n S a n --=+-，两式相减，得()221121n n n n S S a a ---=-+，即()22110n n a a ---=，即11(1)(1)0n n n n a a a a --+---=∵数列{}n a 为递增数列，∴110n n a a -+-≠，∴11n n a a --=，------------------------------------------------------------------------------------------4分 ∴ 数列{}n a 是首项为1、公差为1的等差数列，故n a n =；---------------------------------6分 （Ⅱ）n n n b 2)1(+=，()n n n T 2123222 1⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=，n T = ()2312232212n n n n +⋅+⋅++⋅++⋅ ，-------------------------------------------8分两式相减，得－()()132212224+⋅+-+⋅⋅⋅+++=n n n n T()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，------------------------------------------------------------------------11分 ，12+⋅=n n n T *n N ∈．-------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABCO 为正方形，∴OC =AB =1, OC ⊥OD -----------8分∴1OD =，从而2AD =, -----------------------------------------------------9分 设点P 到平面ABCD 的距离为h ，∵平行线BC 与AD 之间的距离为1，∴2121121313121==⋅⋅==⋅⋅=BC AD BC AD S S h S h S V V BCD ABD BCD ABD △△△△-------------------------------------------11分即122V V =．---------------------------------------------------------------------------------------------12分其它解法请参照给分． （19）解：（1）22⨯3分由表中数据得()2250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表可知，有超过97.5%的把握认为选做“坐标系与参数方程”或“不等式选讲”与性别有关；-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）设甲解答一道“坐标系与参数方程”需要x 分钟，解答一道“不等式选讲”需要y 分钟，-------------------------------------------------------------7分记“甲在考试中选做…坐标系与参数方程‟比选做…不等式选讲‟所用时间更长”为事件A ， 则总的基本事件构成区域()57,68x x y y ⎧≤≤⎫⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，--------------------------------------------------9分而满足事件A 的基本事件构成区域为(){}8675,≤≤≤≤>y x y x y x ，， ， ----------10分即图中阴影部分，由几何概型知()11112228P A ⨯⨯==⨯，即甲在考试中选做“坐标系与参数方程”比选做 “不等式选讲”所用时间更长的概率为18．……………12分（20）解：（Ⅰ）法一：由已知得圆心C 的轨迹是以A 为焦点，l 为准线的抛物线，由432=p 得x px y 322==，得圆心C 的轨迹方程为x y 32=；-------------------------3分 【法二：设圆半径为R ，圆心C (x , y )，则|AC |=R =|)43(|--x ，即22)43(y x +-=|)43(|--x ，化简得x y 32=即圆心C 的轨迹方程为x y 32=------------------------------------------------------------------3分】 （Ⅱ）证明：依题意知OM 的斜率k 存在，且0≠k ，设OM 的方程为kx y =， ------------4分∵OM ⊥ON ，则ON 的方程为x k y 1-=， 由⎩⎨⎧==xy kx y 32得x x k 322=，得23kx M=，------------------------------------------------------6分 同理得23k x N =，由已知得21k x P =，2k x N =，∴)1,1(2k k P ，),(2k k Q -，----------------------------8分∴111222--=---=k k kk k k k PQ ，直线PQ 的方程为=+k y )(122k x k k ---， 即0)1()1(2=-+-y k x k ，∴直线PQ 过定点（1，0），---------------------------------10分设B （1，0），则|1|4121||||21k k y y AB S Q P APQ +⨯⨯=-⋅=∆41281|)||1(|81=⨯≥+=k k ，∴△APQ 面积的最小值为41．---------------------------------------------------------------------12分【证法二：设()()1122,,,M x y N x y ，MN 的方程为x ty m =+由23x ty m y x=+⎧⎨=⎩ 得2330y ty m --=，---------------------------------------------------------------------4分 则29120t m ∆=+>，且12123,3y y t y y m +=-=----------------------------------------------------5分 ∵0OM ON ⋅=，∴12120x x y y +=-----------------------------------------------------------------------6分 即221212109y y y y +=，解得129y y =-，所以39m -=-，解得3m =--------------------------- 7分 ∴MN 的方程为3x ty =+，则直线MN 过定点E ()3,0---------------------------------------------8分 设PQ 与x 轴相交于点F 11,33OP OM OQ ON ==，//PQ MN ∴31||||||||==OM OP OE OF ，可得1OF =，则()1,0F ，故PQ 过定点()1,0F -------------------------10分121111122434APQ P Q S AF y y y y ∴=-=⋅⋅⋅-=≥∴△APQ 面积的最小值为14.-------------------------------------12分】（21）解：（I ）由0)(=x g 得(2)=-x a x e ，令()(2)=-xg x x e ，函数()f x 的零点个数即直线a y =与曲线()(2)=-x g x x e的交点个数，∵'()(2)(1)=-+-=-xxxg x e x e x e ，-------------2分 由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增， 由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ，----------------------------------------3分 又当2<x 时，()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，∴当>a e 时，函数()f x 没有零点；----------------------------------------------------------------4分当=a e 或0≤a 时，函数()f x 有一个零点；------------------------------------------------------5分 当0<<a e 时，函数()f x 有两个零点．------------------------------------------------------------6分 （II ）证明：函数()f x 的零点即直线a y =与曲线()(2)=-x g x x e 的交点横坐标，不妨设12<x x ，由（I ）知121,1<>x x ，得122<-x ， ∵函数()(2)=-x g x x e 在(,1)-∞上单调递增，∴函数a x g x f +-=)()(在(,1)-∞单调递减，要证122x x +<，只需证212x x -<， ------------------------------------------------------------7分 ∴只需证)2()(21x f x f ->，又0)(1=x f ，即要证0)2(2<-x f ，---------------------8分 ∵由)(2x g a =得222222222(2)(2)---=-+=---x x x f x x ea x e x e ，（21>x ）--------9分 令2()(2)-=---x x h x xe x e ，则2'()(1)()-=--x x h x x e e ，------------------------------10分当1>x 时，xx e e ->2，'()0<h x ，即函数()h x 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0<=h x h ， ∴当21>x 时，2(2)0-<f x ，即122x x +<．---------------------12分 【证法二：由（Ⅰ）知，0>a ，不妨设211x x <<，设-=)()(x f x F )1()2(>-x x f ，则x x xe e x x F -+-=2)2()(，-----------------------------8分))(1()('2x x e e x x F --=-，易知x x e e y -=-2是减函数，当x >1时，02=-<--e e e ex x，又1-x <0， 得0)('>x F ， 所以)(x F 在),1(∞+递增，0)1()(=>F x F ，即)(x f >)2(x f -.---------------------------10分 由12>x 得)(2x f >)2(2x f -，又)(0)(12x f x f ==，所以)()2(12x f x f <-， 由()(2)=-x g x x e 在(,1)-∞上单调递增，得a x g x f +-=)()(在(,1)-∞单调递减，又122<-x ，∴122x x >-，即221<+x x ，得证． ---------------------------------------12分】 （22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，----------------------------------------------------------------2分 由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y tx 221221，的普通方程为2+=x y ， --------------------------------6分 则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分 联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π． -----------10分（23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f ------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ， ------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；-------------------------------5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++， ---------------------------------6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ；------------------------7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ；------------------8分 ③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解；--------------------------- 9分 综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． --------------------------------------------------------10分。