高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课件文北师大版
(5)乘方法则：a>b>0⇒an > bn(n≥2，n∈N)；(单向性) (6)开方法则：a>b>0⇒n a > n b(n≥2，n∈N)；(单向性) (7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔1a>1b.(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
4.用算法框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程 图6-1-1
1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0.
2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔ b<a ；(双向性) (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c > b＋c；(双向性) a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d ；(单向性) (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc； a>b，c<0⇒ac < bc； a>b>0，c>d>0⇒ac > bd；(单向性)
综上所述：m的取值范围是mm<67
.
12分
法二：因为x2－x＋1＝x－122＋34>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<x2－6x＋1.
7分
因为函数y＝
6 x2－1
＝
6 x－122＋34
在[1,3]上的最小值为
6 7
，所以只需m<
6 7
4．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ac>＝0b，＝0，
或a>0， Δ<0.
不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ac<＝0b，＝0，
或a<0， Δ<0.
5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的
情形转化为a>0时的情形．
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知 道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在 给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间 上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
D．ln x＋ln y>0
(2)已知函数f (x)＝ax2＋bx，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范 围．
(1)C [函数y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，12x<12y，即12x－ 12y<0，故C正确；函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，由x>y>0⇒1x<1y⇒1x－1y<0，故 A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大 小，故B错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故D错误．]
10分
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包 括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解 不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． 3．由a<f (x，y)<b，c<g(x，y)<d求F(x，y)的取值范围，要利用待定系数法解 决，即设F(x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的 性质求得F(x，y)的取值范围．
[思想与方法] 1．倒数性质，若ab>0，则a>b⇔1a<1b. 2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方 法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单． 3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其 主要步骤为作差——变形——判断正负．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式 转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关 系，从而确定解集形式．
1 3
是递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0
可知a2>b2>0，所以a12<b12，所以④不正确．]
3．(2016·吉林长春二模)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是( )
【导学号：66482268】
A．a2>b2
B．ab>1
C．2a>2b
D．lg(a－b)>0
C [取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D.故选C.]
C.0，32π
D．－π2，0
(1)D (2)B [由题可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋ b|，故D错误，选D.]
(2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2， ∴－32π<α－β<32π. 又∵α<β，∴α－β<0， 从而－32π<α－β<0.]
☞角度2 形如f (x)≥0x∈[a，b]求参数的范围 设函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<－m＋5恒成立，
求m的取值范围． [解] 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－6<0在x∈[1,3]
上恒成立. 3分 有以下两种方法：
即
可．
所以m的取值范围是mm<67
.
12分
☞角度3 形如f (x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围 对任意的k∈[－1,1]，函数f (x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于
零，则x的取值范围是__________． {x|x<1或x>3} [x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立， 即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0， 在k∈[－1,1]时恒成立． 只需g(－1)>0且g(1)>0，即xx22－ －53xx＋ ＋62>>00， ， 解得x<1或x>3.]
[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
[解] 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以a x－1a (x－1)<0.
3
分
所以当a>1时，解集为1a<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解集为1<x<1a. 10分
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.( ) (3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( ) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 R.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
综上，当0<a<1时，不等式的解集为x1<x<1a
；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为x1a<x<1
.
12分
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数． (2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．
法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，
所以m<67，所以0<m<67；7分
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0，所以m<6，所以m<0.
4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________________．(用区 间表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－ 3x＋4>0的解集为(－4,1)．]
5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________. 【导学号：66482269】
6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分
－12<x<－13，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，
∴－ －1212－×13＝－ba13，＝－1a，
解得ab＝ ＝－ 5. 6，
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式的解法
解下列不等式： (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2－(a＋1)x＋a<0.
[解] (1)原不等式化为x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}. 6分 (2)原不等式可化为(x－a)(x－1)<0， 当a>1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为(a,1). 12分
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4．不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ac>＝0b，＝0，
或a>0， Δ<0.
不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ac<＝0b，＝0，
或a<0， Δ<0.
5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<0时的
情形转化为a>0时的情形．
☞角度2 形如f (x)≥0x∈[a，b]求参数的范围 设函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f (x)<－m＋5恒成立，
求m的取值范围． [解] 要使f (x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－6<0在x∈[1,3]
上恒成立. 3分 有以下两种方法：
综上，当0<a<1时，不等式的解集为x1<x<1a
；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为x1a<x<1
.
12分
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数． (2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．
－12<x<－13，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，
∴－12－13＝ba， －12×－13＝－1a，
解得ab＝ ＝－ 5. 6，
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]
一元二次不等式恒成立问题
法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
高考数学第6章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课件理
2.解含参数的一元二次不等式的步骤： 1二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不 等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. 2判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系. 3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大 小关系，从而确定解集形式.
第6章 不等式、推理与证明
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解 不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式 模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次 方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计 求解的程序框图．
；
当 a＝0 时，解集为{x|x>1}；当 0<a<1 时，解集为x1<x<1a
；当 a＝1
时，解集为∅；当 a>1 时，解集为x1a<x<1
.
[规律方法] 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤： 1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根 时，不等式解集为 R 或∅. 3求：求出对应的一元二次方程的根. 4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
[规律方法] 1.用同向不等式求差范围的技巧
a＜x＜b， c＜y＜d
⇒a－＜dx＜＜－b，y＜－c
⇒a－d＜x－y＜b－c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．
2．比较大小的三种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可．
(2)作商法：直接作商与 1 的大小比较，注意两式的符号． (3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数
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课时分层训练（三十二)不等式的性质与一元二次不等式A组基础达标（建议用时:30分钟）一、选择题1．已知a>b，c〉d，且c,d不为0，那么下列不等式成立的是( ）A．ad〉bc B．ac>bdC．a－c〉b－d D．a＋c>b＋dD［由不等式的同向可加性得a＋c〉b＋d。
]2．已知函数f（x)＝错误!则不等式f（x）≥x2的解集为（)【导学号：31222197】A．［－1，1］B．［－2,2］C．[－2，1] D．［－1，2]A［法一：当x≤0时,x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①当x〉0时,－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为［－1，1]．]3．设a，b是实数，则“a>b〉1”是“a＋错误!>b＋错误!”的( )【导学号：31222198】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A[因为a＋错误!－错误!＝错误!，若a〉b〉1，显然a＋错误!－错误!＝错误!>0，则充分性成立，当a＝错误!，b＝错误!时，显然不等式a＋错误!〉b＋错误!成立，但a〉b〉1不成立，所以必要性不成立．］4．（2016·吉林一模)已知一元二次不等式f（x）<0的解集为错误!，则f（e x）〉0的解集为( )A．{x|x〈－1或x〉－ln 3｝B．｛x|－1〈x〈－ln 3｝C．{x|x>－ln 3} D．｛x|x<－ln 3}D[设－1和错误!是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，∴a＝－错误!＝错误!,b＝－1×错误!＝－错误!，∵一元二次不等式f（x)〈0的解集为错误!，∴f(x)＝－错误!＝－x2－错误!x＋错误!，∴f（x）>0的解集为x∈错误!。
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,
由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,b>2,
由f(b)=b得到 3 b2-3b+4=b,
4
解得b= 4 (舍去)或b=4,
3
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.
【思想方法指导】 三个“二次”关系的应用 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联 系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.
5.(必修5 P82例9改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则
实数a的取值范围是
()
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,
若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,
则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,
复习课件
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次
1
不等式课件文北师大版
第六章 不 等 式 第一节 不等式的性质 及一元二次不等式
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
(1) a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. ( )
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理
高考数学一轮复习第6章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案含解析理[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a－b＞0⇔a＞b a，b∈R，a－b＝0⇔a＝b a，b∈R，a－b＜0⇔a＜b a，b∈R；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b a∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝b a∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜b a∈R，b＞0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb n≥2，n∈N)；(单向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx＋c >0ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1}R (a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2}∅∅[常用结论] 1．有关分数的性质若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －ma －m(b －m ＞0)；(2)a b ＞a ＋mb ＋m ；a b ＜a －mb －m(b －m ＞0)．2．有关倒数的性质a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b.3．a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd. 4．简单的分式不等式(1)f xg x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0，g x ≠0；(2)f xg x ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ＞0，g x ≠0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b ⇔ac 2>bc 2. ( )(2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0. ( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )①a >b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①② B．②③ C．①④ D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以④不正确．]3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )A．ac＞bc B.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．(－∞，－4]∪[4，＋∞)[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]不等式的性质及应用1．若a＞b＞0A.ad＞bcB.ad＜bcC.ac＞bdD.ac＜bdB[由c＜d＜0得1d＜1c＜0，则－1d＞－1c＞0，∴－ad＞－bc，∴ad＜bc，故选B.]2．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．]3．若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π5，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [因为a ＝20.6＞20＝1，又log π1＜log π3＜log ππ，所以0＜b ＜1，c ＝log 2sin 2π5＜log 21＝0，于是a ＞b ＞c .故选A.]4．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．(－π，2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π， ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.][规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法1利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：,一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.2比较大小常用的方法 ①作差商法：作差商⇒变形⇒判断，②构造函数法：利用函数的单调性比较大小，,③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.3由a <f x ，y<b ，c <gx ，y <d 求F x ，y 的取值范围，要利用待定系数法性质求得F x ，y 的取值范围.一元二次不等式的解法【例1】 (1)不等式2x 2－x －3＞0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1(2)(－4,1) [(1)方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，则不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1. (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]►考法2 含参数的一元二次不等式【例2】 (1)解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. [解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0， 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0， 解得x ＞1.若a ＜0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时，1a＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1a＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，1a＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： 1使一端为0且把二次项系数化为正数；2先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； 3写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：1二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；2判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎭⎬x | －2<x <－3，则不等式x 2－bx－a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)解不等式x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a +a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解．当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为x ⎪⎪⎪－a -a 2－42＜x ＜－a +a 2+42一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－1＜0恒成立． 当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0.综上，－4＜m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]． (2)不等式f (x )＜5－m ，即(x 2－x ＋1)m ＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.[规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,1ax 2＋bx ＋c ＞0a ≠0恒成立的条件是2ax 2＋bx ＋c ＜0a ≠0恒成立的条件是(1)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0](2)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．(1) D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)当k ＝0时，显然成立； 当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立．则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得，函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m 2＋m 2－1＜0，f m ＋1＝m ＋12＋m m ＋1－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 一元二次不等式的应用【例4】 1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意， 得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y m ax ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．[规律方法] 求解不等式应用题的四个步骤：1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义； 4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？[解] 由题意知，对于甲车， 有0.1x ＋0.01x 2＞12， 即x 2＋10x －1 200＞0，解得x ＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意刹车距离略超过12 m ， 由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2＞10， 即x 2＋10x －2 000＞0，解得x ＞40或x ＜－50(不合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h ，超过规定限速．自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
高考数学一轮复习-71-不等式的性质与一元二次不等式课件-新人教A
∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1， ∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确． 答案 (1)C (2)D
解2＞0，即 0＜k＜1 时，不 等式的解为1－ k1－k2＜x＜1＋ k1－k2； 若 Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解． ③当 k＜0 时，若 Δ＝4－4k2＞0， 即－1＜k＜0 时， x＜1＋ k1－k2或 x＞1－ k1－k2； 若 Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R； 若 Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠－1.
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种 处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先 分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＞x2 (a＞0)的解集 ___或__x_＜__x_1}___
_x_|_x_≠__－__2b_a_
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
_{_x_|x_1_＜__x_＜__x_2}_
__∅_
没有实数根 _R__ _∅__
课堂总结
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a＞b⇔ac2＞bc2.
若 m≠0，
则mΔ＜＝0m，2＋4m＜0⇒－4＜m＜0.
所以－4＜m≤0.
可以利用分离参数 法，本题第(2)问还可 用二次函数在闭区间 上的最值来求解．
课堂总结
(2)要使 f(x)＜－m＋5 在 x∈[1，3]上恒成立， 即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1，3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0， 又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所以 m＜x2－6x＋1. 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67，所 以只需 m＜67即可． 所以，m 的取值范围是m|m＜67.
不等式不等式的性质及一元二次不等式课件理ppt
算术平均数不等式
算术平均数不等式
$a_1+a_2+...+a_n \geq \frac{n}{n}(a_1+a_2+...+a_n)=n\frac{(a _1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n)^{\frac{1}{n}}}{n}$
VS
应用场景
在生产、科研、日常生活中，凡涉及比较 、大小、排序、分组等问题时，常需要用 到不等式。
一元二次不等式在金融经济中的应用
一元二次不等式在金融经济学中也有着广泛的应用。例如，在研究公司财务理论时，公司需要根据其财务状况 和目标来制定财务策略，这时一元二次不等式可以用来描述公司财务的约束条件。
在其他领域中的应用
不等式在其他领域中的应用
不等式不仅仅在数学建模和金融经济学中有广泛的应 用，在其他领域中也同样有着广泛的应用。例如，在 物理学中，不等式可以用来描述物理量的约束条件； 在医学中，不等式可以用来描述疾病的控制和预防的 约束条件。
03
一元高次不等式
一元高次不等式的解法
准备知识
一元高次不等式的解法需要先了解一元高次方程的解法，因 为一元高次不等式和一元高次方程的解法类似。
解法步骤
将一元高次不等式化为标准形式，然后利用因式分解、数学 归纳法等数学方法，逐步分解出各个因式，并求出不等式的 解。
一元高次不等式的应用
实际应用
一元高次不等式可以应用于各种实际问题中，如最优化问题、分式不等式问 题、多元函数极值问题等。
绝对值不等式
绝对值不等式
$|a|-|b| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$
应用场景
绝对值不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如在求解最值问题 时可以用来进行放缩和缩放。
高考数学一轮复习 第6章 不等式推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式教师用书 文 新人教A版
第六章不等式、推理与证明[深研高考·备考导航][五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．[导学心语]1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．第一节不等式的性质与一元二次不等式————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(双向性)(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系图6111．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0，所以1a 2<1b2，所以④不正确．]3．(2016·吉林长春二模)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B.a b>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：31222195】[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．](2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b .3分设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，8分∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).10分 ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10].12分[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式训练1] (1)(2016·河南六市2月模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [(1)由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.(2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}.6分 (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).12分[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集．[解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.3分所以当a >1时，解集为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为1<x <1a.10分综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.12分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (2016·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.](2016·甘肃白银会宁一中月考)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【导学号：31222196】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4 a －2 2＋16 a －2 <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；7分当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.12分 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.12分 ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．4．不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．3．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 4．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 6．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(三十二) 不等式的性质与一元二次不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )【导学号：31222197】A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )【导学号：31222198】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab ，若a >b >1，显然a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ab －1 ab >0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]4．(2016·吉林一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－ln 3}B ．{x |－1<x <－ln 3}C ．{x |x >－ln 3}D ．{x |x <－ln 3}D [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13.解得x <ln 13，∴x <－ln 3，即f (e x)>0的解集为{x |x <－ln 3}．]5．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )【导学号：31222199】A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}D [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题6．(2016·辽宁抚顺一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]7．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－ x －1 2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－ x －1 2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]8．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0] [∵不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．] 三、解答题9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.【导学号：31222200】[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y ).5分∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，8分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ).12分10．若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 12<x <2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．[解] (1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.5分(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0， 即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，8分即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－3，12.12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________. 【导学号：31222201】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2，2分当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2.5分 (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.7分不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可， 所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，10分解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.12分。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_1不等式的性质及一元二次不等式课件理新人教A版
当a＜－2时，－1≤x≤2a.
综上所述，当－2＜a＜0时，解集为x2a
≤x≤－1；
当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当a＜－2时，解集为x－1≤x≤2a
.
名师点拨 1.解一元二次不等式的方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
a<x<b，
c<y<d
⇒a－<dx<<－b，y<－c
⇒a－d<x－y<b－c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．
2．比较大小的三种常用方法 (1)作差法：直接作差判断正负即可． (2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号． (3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性 比较．
值范围是
．
答案：13，＋∞
考点一|比较大小及不等式的性质的应用 (易错突破)
【例1】
(1)若a>0>b>－a；c<d<0，则下列命题：①ad>bc；②
a d
＋
b c
<0；③a－
c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中能成立的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)(2018·天津期末)若a＝4，b＝ 2 ＋ 7 ，c＝ 3 ＋ 6 ，则a，b，c的大小关系为
5 .
∴x≥1＋2
5或x≤－1－2