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高考数学专题2024概率与统计历年题目解析
高考数学专题2024概率与统计历年题目解析概率与统计作为高考数学的重要部分，占据了相当大的比重。
掌握概率与统计的相关知识对于考生来说是至关重要的。
本文将通过对2024年高考概率与统计专题历年题目的解析，帮助考生更好地理解和掌握这一部分知识点。
一、选择题解析选择题是高考中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解题技巧是很重要的。
题目1：某班有30名学生，其中男生占总人数的40%。
已知从该班随机抽取一名学生，他是男生的概率是多少？解析：根据题目可知男生的人数为30 × 40% = 12人，所以男生的概率是12/30 = 2/5。
题目2：某工厂生产零件，每天生产150个。
已知每个零件的质量标准为99%，A同学随机抽样抽取2个零件，请问这两个零件都合格的概率是多少？解析：每个零件合格的概率为99% × 1/100 = 0.99。
因为是随机抽取，所以这两个零件都合格的概率为0.99 × 0.99 = 0.9801。
二、解答题解析解答题在概率与统计中也占据重要地位，考察学生的综合应用能力和解题能力。
题目3：某校学生的身高服从正态分布，其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm；女生的平均身高为165cm，标准差为4cm。
已知该校男女生比例为2：3，请问在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率是多少？解析：根据题目可知男生的概率为2/5，女生的概率为3/5。
设男生身高超过175cm的概率为p1，女生身高超过175cm的概率为p2。
根据正态分布的性质，可以计算出男生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p1) = 2/5，女生身高超过175cm的概率为0.5 × (1 - p2) = 3/5。
解方程得到p1 = 1/5，p2 = 2/5，所以在该校随机抽取一个学生，他身高超过175cm的概率为(2/5) × (1/5) + (3/5) × (2/5) = 11/25。
概率与统计(理科)
概率与统计（理科）一、高考考试内容离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差。
抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归。
二、考试要求：（1）了解离散型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。
（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
（3）会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
（4）会用样本频率分布去估计总体分布。
（5）了解正态分布的意义及主要性质。
（6）了解线性回归的方法和简单应用。
三、应试策略1、正确理解有关概念。
（1）随机试验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验；如果试验结果预先无法确定，这种试验叫做随机试验。
（2）频率与概率：对于一个事件来说概率是一个常数；频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率。
（3）互斥事件与对立事件：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。
（4）互斥事件与相互独立事件：不可能同时发生的事件叫互斥事件，而相互独立事件则是指两个事件是否发生与否相互之间没有影响。
2、公式的应用（1）常用公式 ①等可能事件的概率：基本事件总数中所含基本事件数A n m A P ==)( ②互斥事件的概率：)()()(B P A P B A P +=+③对立事件的概率：1)()()(____=+=+A P A P A A P④相互独立事件的概率：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅⑤n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(（2）注意事项：①每个公式都有成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立。
②对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法，一般题中总有关键语说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法。
专题十一《概率与统计》
专题十一概率与统计概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定”的视角做出量化的、不确定性的推测，是不同与其它数学知识的重要特征.未来的众多社会规律，也都需要利用概率统计的方法去探究，所以概率统计对社会的良性和稳定发展必将起到至关重要的作用.高考以更加贴近学生日常生活的概率统计背景加强对概率统计知识的考查，也说明了高考改革的方向将更加生活化和理性化，更加贴合学生的日常.这也是提醒我们要自觉养成用“不确定性”眼光去研究生活、看待世界的习惯.一、真题再现（一）统计部分1．（2019年新课标Ⅱ理科）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．2．（2019年新课标Ⅰ文科）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为＝10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．故选：C．【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．3．（2019年江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2019年新课标Ⅲ文理科）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值．【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：＝0.7．故选：C．【点评】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2019年新课标Ⅱ文科）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：≈8.602．【分析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：＝0.21＝21%，产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数（﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7）＝0.3＝30%，产值增长率的方差s2＝＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296，∴产值增长率的标准差s＝≈0.17，∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．【点评】本题考查了样本数据的平均值和方差的求法，考查运算求解能力，属基础题．6．（2019年新课标Ⅲ文理科）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．乙离子残留百分比的平均值为：＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6.00．【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2019年新课标Ⅰ文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：K2＝，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝＝，女顾客对该商场服务满意的概率P＝＝；（2）由题意可知，K2＝＝≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题．（二）概率部分1．（2019年江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．2．（2019年新课标Ⅲ文科）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．【解答】解：方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A33A22＝12种排法，再所有的4个人全排列有：A44＝24种排法，利用古典概型求概率原理得：p＝＝，方法二：假设两位男同学为A、B，两位女同学为C、D，所有的排列情况有24种，如下：（ABCD）（ABDC）（ACBD）（ACDB）（ADCB）（ADBC）（BACD）（BADC）（BCAD）（BCDA）（BDAC）（BDCA）（CABD）（CADB）（CBAD）（CBDA）（CDAB）（CDBA）（DABC）（DACB）（DBAC）（DBCA）（DCAB）（DCBA）其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为（ABCD）、（ABDC）、（ACDB）、（ADCB）、（BACD）、（BADC）、（BCDA）、（BDCA）、（CDAB）、（CDBA）、（DCAB）、（DCBA），故两位女同学相邻的概率是：p＝＝，故选：D．【点评】本题考查排列组合的综合应用．考查古典概型的计算．3．（2019年新课标Ⅰ理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2019年新课标Ⅱ文科）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为．即可得出概率．【解答】解：法一：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．∴p＝＝．法二：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}10种，其中恰好有两只做过测试的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}6种，故恰有两只做过测试的概率为＝．故选：B．【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．5．（2019年新课标Ⅰ理科）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是0.18．【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．故答案为：0.18．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2019年上海）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．7．（2019年新课标Ⅱ理科）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P （X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（），由此能求出结果．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（X＝4且甲获胜）＝P（）+P（）＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）+P（）P（A2）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解答】解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（）+P（）＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）+P（）P（A2）P（A3）P（A4）＝0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．8．（2019年天津文科）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M ）＝．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目9．（2019年北京文科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×＝400人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p＝＝．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．（三）随机变量部分1．（2019年新课标Ⅱ文理科）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【分析】利用加权平均数公式直接求解．【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2019年浙江）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．3．（2019年天津理科）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．【分析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（），可求分布列及期望；（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X ＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k ）＝，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y ＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．4．（2019年北京理科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．（Ⅱ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，求出P（E）＝，答案示例1：可以认为有变化．P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，无法确定有没有变化．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p＝＝0.4．（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，∴X的分布列为：X012P数学期望E（X）＝＝1．（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P（E）＝＝，答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，∴可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，∴无法确定有没有变化．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．5．（2019年新课标Ⅰ理科）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1。
专题二概率与统计(理科)
专题二：概率与统计（理科）一、2013高考考什么紧跟高考方向成功接轨高考1、必考考点抽样方法，频率分布直方图和茎叶图，线性回归方程，古典概型及其概率计算，几何概型，离散型随机变量及其分布列、数学期望.2、考情分析! H:\数学专家课件.rar: 加密的文件H:\数学专家课件.rar 里发生校验和错误。
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1.从内容上看主要考查以下三点：（1）利用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题；（2）古典概型及其概率计算公式，以及一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率的计算问题；（3）离散型随机变量的均值、方差的概念及计算.2.从考查形式上看主要有以下特点：（1）背景熟悉、切入点实际，注重概念的形成：概率与统计的试题往往是由课本习题改编而成的，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，加工为立意高、情境新、设问巧、贴近学生生活的问题.（2）识图处理数据，追溯概念形成：概率与统计中有大量的数据与图形相关，如：频率分布直方图呈现样本的数字特征，茎叶图给出原始数据，散点图刻画变量间的相关关系等. 高考试卷中涉及的概率与统计的考题，其特点如下：动向1 随机抽样和用样本估计总体随机抽样方法是研究统计问题的最基本方法，主要包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.通过抽取的样本的数字特征估计总体的数字特征是统计的基本思想方法，高考非常重视对抽样方法和样本特征数的考查，在高考试题中一般都有一道小题考查抽样方法或是样本特征数的计算，在解答题中也常和概率知识综合考查抽样方法、样本特征数的计算等.动向2 变量的相关性该部分主要考查的内容是变量的相关性、回归分析的基本思想及其初步应用.由于该部分内容的特殊性，高考对该部分的考查一直非常慎重.高考在该部分的主要命题点就是回归分析的基础知识和简单应用，也可能结合概率统计的其他内容命制综合解答题，但试题总体比较平稳.动向3 概率概率初步的主要内容是随机事件的概率、古典概型和几何概型，高考就是围绕这些知识点命制试题的.对于随机事件的概率和古典概型，高考一般是在选择题或者填空题中利用排列组合知识考查古典概型，在解答题中与概率统计的其他知识相结合考查古典概型和概率的性质.几何概型的考查既可以在选择题或者填空题中单独考查，也可以在解答题中和其他概率统计知识结合起来进行综合考查.动向4 随机变量及其分布该考点是高考考查概率与统计的核心内容，事件的独立性、独立重复试验、离散型随机变量及其分布列、随机变量的数字特征是概率与统计的核心知识点，高考在该部分一般是设计一道以社会生活实际为背景的解答题，考查概率的计算、离散型随机变量的分布列和数字特征的计算，试题难度中等.。
高考数学复习+概率统计大题-(理)
专题十二概率统计大题（一）命题特点和预测：分析近8年的全国新课标1理数试卷，发现8年8考，每年1题．以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，位置为18题或19题，难度为中档题.2019年仍将以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，难度仍为中档题.（二）历年试题比较：年份题目2018年【2018新课标1，理20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2017年【2017新课标1，理19】（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)Nμσ．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求(1)P X≥及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得，，其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则，，．2016年 【2016高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列； （II ）若要求，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？2015年 【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xy w821()ii x x =-∑46.656.36.8289.81.61469108.8表中i i w x = ，w =1881ii w=∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，=v u αβ-2014年 【2014课标Ⅰ，理18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x，2σ近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求EX.附：若则，。
专题10 概率与统计 原卷版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题10 概率与统计【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====2.（2020·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种D. 30种3.（2020·山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6.（2020·浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．7.（2020·江苏卷）已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.8.（2020·江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.9.（2020·新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【2019年】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.82．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是（ ）则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【2018年】1．【2018·全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．1182．【2018·全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【2018·全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.34．【2018·浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P12p- 122p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小5．【2018·全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 36．【2018·江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．7．【2018·江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【2017年】1．【2017·全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳2．【2017·全国Ⅰ卷】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．【2017·山东卷】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49 C ．59D ．7912．【2017·浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ4．【2017·山东卷】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160 B ．163 C ．166D ．1705．【2017·全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______________．6．【2017·江苏卷】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．7．【2017·江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A ）56（B ）60（C ）120（D ）1404.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n5.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .7.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .328.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.10.【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22x y相交”发生(5)9的概率为.。
高考数学总复习 专题六 概率与统计 理
【互动探究】
2．(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分
别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
x1
5%
10%
P
0.8
0.2
x2
2%
8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资 项目A和B所获得的利润(单位：万元)，求方差D(y1)，D(y2)；
例2：(2014年山东)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部
分，如图6-3，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两
个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来
球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记
1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的
落点在C上的概率为
＝10402[x2＋3(100－x)2] ＝10402(4x2－600x＋3×1002)． 当x＝26×004＝75时，f(x)＝3为最小值．
题型 3 线性回归分析
例 3：(2012 届广东珠海摸底)一商场对每天进店人数和商 品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数xi 10 15 20
件数yi
4
7 12
其中 i＝1,2,3,4,5,6,7.
25 30 35 40 15 20 23 27
(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，在
图 6-4 中画出其散点图；
(2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)；
7
7
(参考数据： xi yi ＝3245， x ＝25， y ＝15.43， xi2 ＝
P(X＝3)＝CC313220＝5117. 故X的分布列为
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题四 概率与统计 专题四 概率与统计
估计值为 16 >0.6,故
D 正确.
3.(2020·全国Ⅰ·理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y
和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由
实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位
数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均
数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概
率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
解析
7.3+7.5
由茎叶图可得甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为
=7.4,
2
故 A 正确;甲同学有 6 周的课外体育运动时长大于 8,由频率估计概率,甲同学周
芽率y和温度x的回归方程类型的是(
A.y=a+bxBiblioteka B.y=a+bx2
)
C.y=a+bex
D.y=a+bln x
答案 D
解析 结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模
型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.
4.(2019·全国Ⅱ·文14)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的
表明两个变量相关性越强;当|r|接近0时,表明两个变量几乎不存在相关性.
名师点析
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(1)线性回归方程中,决定正相关还是负相关的是系数.
(2)回归直线一定过样本点的中心(x, y).
误区警示
^
^
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2017 高考理科专题概率与统计（解析）一、选择题1 5个车位分别停放了A, B,C , D , E,5 辆不同的车，现将所有车开出后再按A, B, C , D , E．的次序停入这 5 个车位， 则在 A 车停入了 B车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是（ ） A.3 3 1D.18B.C.124062．如图是八位同学 400 米测试成绩的茎叶图（单位：秒） ，则（ ）A. 平均数为 64B. 众数为 7C. 极差为 17D. 中位数为3．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若 硬币正面朝上 , 则这个人站起来 ; 若硬币正面朝下 , 则这个人继续坐着 . 那么 , 没有相 邻的两 个人站起来的概率为（）5 B.11 15 1A.C.32D.163224． 5 名学生进行知识竞赛 .笔试结束后， 甲、乙两名参赛者去询问成绩， 回答者对甲说： “你 们 5 人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的 ”；对乙说： “你不是最后一名 ”根.据 以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）A. 54B. 72C. 78D. 965．已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测， 直至能确定 所有次品为止， 记检测的次数为，．．． 则 E （）A. 37 18 D. 4B.C.256．将编号为 1， 2，3， 4， 5，6 的六个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的六个盒子，每个盒子放一个小球， 若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同， 则不同的放法总数是 A. 40B. 60C. 80D. 1007．某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：根据数据y bx ab 2.4a y bx9万表可得回归直线方程 ?? ?，其中?， ??，据此模型预测广告费用为元时，销售轿车台数为A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题8．有 3 女2 男共 5 名志愿者要全部分到 3 个社区去参加志愿服务，每个社区 1 到2 人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为__________．10．从1,2,3, 4,5,6,7这七个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是________．三、解答题11．一企业从某生产线上随机抽取100 件产品，测量这些产品的某项技术指标值x ，得到的频率分布直方图如图.（1）估计该技术指标值x 平均数x；（2）在直方图的技术指标值分组中，以x 落入各区间的频率作为 x 取该区间值的频率，若x x 4 ，则产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取 5 件产品检测，记不合格产品的个数为，求的数学期望 E .12．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50 万元 .保险公司把职工从事的所有岗位共分为 A 、 B 、 C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（Ⅰ ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（Ⅱ ）某企业共有职工20000 人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.13．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：质量指标值 m m 185 185 m 205 m 205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200 件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8 件，再从这8 件产品中随机抽取 4 件，求抽取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值 X 近似满足X ~ N 218,140，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少14．“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了信运动”，他随机选取了其中的40 人（男、女各20 人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：“微（1）已知某人一天的走路步数超过8000 步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的 2 2 列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关2附： k 2an ad bc ，b c d a c b dP K 2 k0 0． 10 0．05 0． 025 0． 010k0 2． 706 3．841 5． 024 6． 635（2）若小王以这40 位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选 2 人，其中每日走路不超过5000 步的有X 人，超过10000 步的有Y 人，设X Y ，求的分布列及数学期望．15．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值 m m 185 185 m 205 m 205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200 件，检测后得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定（Ⅱ ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8 件，再从这 8 件产品中随机抽取 4 件，求抽取的 4 件产品中，一、二、三等品都有的概率；（Ⅲ ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后在抽样检测，产品质量指标值X 近似满足X N 218,140 ，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少16．仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为3：若初检不合格，则需要进行调试，经44调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费5用如表：项目生产成本检验费 /次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ ）求生产一台仪器所获得的利润为1600 元的概率（注：利润出厂价生产成本检验费调试费）；（Ⅲ ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．17．随着社会发展，淮北市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象。
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为 T，其范围为 [0，10]，分别有 5 个级别： T∈ [0，2)畅通； T ∈[2，4) 基本畅通； T∈ [4，6)轻度拥堵； T ∈ [6，8)中度拥堵； T∈ [8， 10]严重拥堵．早高峰时段 (T ≥3 ，)从淮北市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间 50 个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：(I)据此直方图估算交通指数 T∈ [4， 8)时的中位数和平均数；(II) 据此直方图求出早高峰一至四马路之间的 3 个路段至少有 2 个严重拥堵的概率是多少(III)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 35 分钟，中度拥堵为 45 分钟，严重拥堵为 60 分钟，求此人用时间的数学期望．18．为研究男女同学空间想象能力的差异，孙老师从高一年级随机选取了女生，进行空间图形识别测试，得到成绩茎叶图如下，假定成绩大于等于间想象能力突出”，低于 80 分的同学为“空间想象能力正常”.20 名男生、 20 名80 分的同学为“空（1）完成下面2 2列联表，并判断是否有90%的把握认为“空间想象能力突出”与性别有关；空间想象能力突出空间想象能力正常合计男生女生合计（2）从“空间想象能力突出”的同学中随机选取男生 2 名、女生 2 名，记其中成绩超过90 分的人数为，求随机变量的分布列和数学期望 .2下面公式及临界值表仅供参考：X 2 n ad bca b c d a c b dP X 2 kk19．校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了 180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105 人.在这 180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45 人.（Ⅰ ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；（Ⅱ ）根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为科类的选择与性别有关选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计2附： K 2a b n ab bcd，其中 n a b c d .c d a c bP K 2 k00.40 0.25 0.15 0.10 0.025 0.010 0.005 0.0010.50 0.050.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 K0 7.87920．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100 人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60)，[60，70)，⋯， [90 ， 100] 分成 5 组，制成如图所示频率分直方图．(Ⅰ ) 求图中x 的值；(Ⅱ ) 已知满意度评分值在[90 ，100] 内的男生数与女生数的比为100] 的人中随机抽取 4 人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量2:1，若在满意度评分值为[90，X，求 X 的分布列和数学期望．21．在某单位的职工食堂中，食堂每天以 3 元/个的价格从面包店购进面包，然后以 5 元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以 1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90 个面包，以 x （单位：个，60 x110 ）表示面包的需求量，T （单位：元）表示利润．（Ⅰ ）求 T 关于x 的函数解析式；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于100 元的概率；（III ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率(例如：若需求量x 60,70 ，则取x 65 ，且 x 65 的概率等于需求量落入60,70 的频率)，求T 的分布列和数学期望．。