优化模型举例
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2020/7/1
一单位实物 行走时间(分钟) 捕获时间(分钟) 热量(焦耳)
X
2
2
25
Y
3
1
30
假设捕食者每天能得到 x 单位的食物 X 和
y 单位的食物 Y ，则每天获得的热量值为
max u 25x 30 y 2x 3y 120
s.t 2x y 80 x 0, y 0.
2020/7/1
y 80
2x+y=80
图解法
40 U=25x+30y
P(30,20) 2x+3y=120
o
40
60
x
U=25*30+30*20=1350焦耳
2020/7/1
实例2运输问题
设有某物资从m个发点A1,A2,…,Am输送到n个收点B1,B2,…,Bn，
其中每个发点发出量分别为 a1, a2,..., am 每个收点输入量分别
min u
f (x)
n
ci xi
i 1
1 2i,
n
bij
j 1
xi
x
j
s.t.
n j 1
aij x j
bi , i
1,2,...,n.
xi
0.i
1,2,...,n.
2020/7/1
4. 根据设计变量的允许值
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
2020/7/1
收点
发点
B1
B2
…. Bn
A1
X11 X12
….. X1n
a1
A2
X21 X22
…. X2n
a2
….. …..
Am
Xm1
Xm2 ….. Xmn
am
b1 b2
….
bn
2020/7/1
A1的总费用
A1 ~ B j
n
C11x11 C12 x12 ... C1n x1n C1 j x1 j j 1
u f ( x) x (x1, x2 , x3,..., xn ) 在约束条件 hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
和 gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x
设计变量（决策变量）
f (x)
目标函数
x
可行域
2020/7/1
97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。 97年B题：“截断切割”，动态优化模型。 98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优
化模型。 98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性
规划模型。
2020/7/1
99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。 99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模 型。 00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。 01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。 02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
2020/7/1
（三）建立优化模型的一般步骤 1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
2020/7/1
（四）线性规划模型举例
➢最优捕食策略 ➢运输问题 ➢点菜问题 ➢旅行商问题
2020/7/1
实例1 最优捕食者策略
假设存在一种捕食者，穴居A处，在B和C处有两个食物 源X、Y。捕食者从巢穴A到区域B和C带回一单位的食物所需 的时间估计为2分钟和3分钟。捕食者在区域B平均花2分钟捕 获一单位食物X，而在区域C只花1分钟就捕获一单位食物Y。 一单位X所产生的热量估计为25焦耳，一单位Y所产生的热量 估计为30焦耳。假设捕食者每天不可超过120分钟用于从巢穴 到食物区来回行走，同时每天不可能花80分钟以上搜寻食物。 估计捕食者每天能获得的最大热量值是多少？
2020/7/1
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计
变量的线性函数。
n
min u ci xi i 1
s.t.
n k 1
aik
xk
bi , i
1,2,...,n.
xi 0, i 1,2,...,n.
2020/7/1
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
2020/7/1
2020/7/1
优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。 92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划
和非线性规划模型。 96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为
基础的优化模型。
2020/7/1
96年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目 标函数的优化模型。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
2020/7/1
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u f (x) x
s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m. gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
数学建模方法
2020/7/1
建立数学模型的方法
机理分析法 定性理论法 变分法 差分法 优化法
统计分析法 最小二乘法 回归分析法 聚类分析法 主成分分析法 马尔科夫预测法
系统分析法 层次分析法 模糊数学法 灰色系统法
2020/7/1
优化模型
优化模型概述 优化模型举例
• 最优捕食策略 • 运输问题 • 点菜问题 • 旅行商问题
min(or max)u f (x) x s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
s. t. subject to “受约束于”之意
2020/7/1
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
为
b1, b2,...,
bn
，并且满足
m
n
ai bj
ຫໍສະໝຸດ Baidui 1
ji
从发点A到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设
为cij (i 1,2,..., m, j 1,2,..., n) 。一个调运方案主要由一组从发
点 Ai 到收点 B j 的输送量 xij 来描述。
问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。
2020/7/1
03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性 规划模型。 04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
标线性规划模型。 05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。 06年A题：“出版社的资源优化配置”，线性规 划模型。
2020/7/1
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
一单位实物 行走时间(分钟) 捕获时间(分钟) 热量(焦耳)
X
2
2
25
Y
3
1
30
假设捕食者每天能得到 x 单位的食物 X 和
y 单位的食物 Y ，则每天获得的热量值为
max u 25x 30 y 2x 3y 120
s.t 2x y 80 x 0, y 0.
2020/7/1
y 80
2x+y=80
图解法
40 U=25x+30y
P(30,20) 2x+3y=120
o
40
60
x
U=25*30+30*20=1350焦耳
2020/7/1
实例2运输问题
设有某物资从m个发点A1,A2,…,Am输送到n个收点B1,B2,…,Bn，
其中每个发点发出量分别为 a1, a2,..., am 每个收点输入量分别
min u
f (x)
n
ci xi
i 1
1 2i,
n
bij
j 1
xi
x
j
s.t.
n j 1
aij x j
bi , i
1,2,...,n.
xi
0.i
1,2,...,n.
2020/7/1
4. 根据设计变量的允许值
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
2020/7/1
收点
发点
B1
B2
…. Bn
A1
X11 X12
….. X1n
a1
A2
X21 X22
…. X2n
a2
….. …..
Am
Xm1
Xm2 ….. Xmn
am
b1 b2
….
bn
2020/7/1
A1的总费用
A1 ~ B j
n
C11x11 C12 x12 ... C1n x1n C1 j x1 j j 1
u f ( x) x (x1, x2 , x3,..., xn ) 在约束条件 hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
和 gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x
设计变量（决策变量）
f (x)
目标函数
x
可行域
2020/7/1
97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。 97年B题：“截断切割”，动态优化模型。 98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优
化模型。 98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性
规划模型。
2020/7/1
99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。 99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模 型。 00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。 01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。 02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
2020/7/1
（三）建立优化模型的一般步骤 1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
2020/7/1
（四）线性规划模型举例
➢最优捕食策略 ➢运输问题 ➢点菜问题 ➢旅行商问题
2020/7/1
实例1 最优捕食者策略
假设存在一种捕食者，穴居A处，在B和C处有两个食物 源X、Y。捕食者从巢穴A到区域B和C带回一单位的食物所需 的时间估计为2分钟和3分钟。捕食者在区域B平均花2分钟捕 获一单位食物X，而在区域C只花1分钟就捕获一单位食物Y。 一单位X所产生的热量估计为25焦耳，一单位Y所产生的热量 估计为30焦耳。假设捕食者每天不可超过120分钟用于从巢穴 到食物区来回行走，同时每天不可能花80分钟以上搜寻食物。 估计捕食者每天能获得的最大热量值是多少？
2020/7/1
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计
变量的线性函数。
n
min u ci xi i 1
s.t.
n k 1
aik
xk
bi , i
1,2,...,n.
xi 0, i 1,2,...,n.
2020/7/1
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
2020/7/1
2020/7/1
优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。 92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划
和非线性规划模型。 96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为
基础的优化模型。
2020/7/1
96年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目 标函数的优化模型。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
2020/7/1
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u f (x) x
s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m. gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
数学建模方法
2020/7/1
建立数学模型的方法
机理分析法 定性理论法 变分法 差分法 优化法
统计分析法 最小二乘法 回归分析法 聚类分析法 主成分分析法 马尔科夫预测法
系统分析法 层次分析法 模糊数学法 灰色系统法
2020/7/1
优化模型
优化模型概述 优化模型举例
• 最优捕食策略 • 运输问题 • 点菜问题 • 旅行商问题
min(or max)u f (x) x s. t. hi ( x) 0,i 1,2,..., m.
gi ( x) 0(gi ( x) 0), i 1,2,..., p.
s. t. subject to “受约束于”之意
2020/7/1
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
为
b1, b2,...,
bn
，并且满足
m
n
ai bj
ຫໍສະໝຸດ Baidui 1
ji
从发点A到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设
为cij (i 1,2,..., m, j 1,2,..., n) 。一个调运方案主要由一组从发
点 Ai 到收点 B j 的输送量 xij 来描述。
问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。
2020/7/1
03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性 规划模型。 04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
标线性规划模型。 05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。 06年A题：“出版社的资源优化配置”，线性规 划模型。
2020/7/1
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数