人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数 同步练习

22.3 实际问题与二次函数

第1课时二次函数与图形面积

1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积为() A．60 m2B．63 m2C．64 m2D．66 m2

2．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝时，矩形场地的面积最大，最大值为.

第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B 点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q 分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为s.

4．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC ＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是．

5．用长为20 cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为x cm，面积为y cm2.

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)当边长x为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

6．如图，要利用一面墙(长为30 m)建羊圈，用100 m长的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，每个羊圈留有一个1 m宽的门(留门部分不需要围栏)，若宽用x(m)表示，总面积用y(m2)表示．

(1)写出总面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式；

(2)当面积y＝624时，求羊圈的宽x的值．

7．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？

8．用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长8 m，则这个养鸡场最大面积为 m2.

9．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为3s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2.

10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝时，四边形PECF的面积最大，最大值为.

11．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.

(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；

(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．

12．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．

(1)求y 关于x 的函数解析式；

(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

13．如图，正方形ABCD 的边长为2 cm ，△PMN 是一块直角三角板(∠N ＝30°)，PM ＞2 cm ，PM 与BC 均在直线l 上，开始时M 点与B 点重合，将三角板向右平行移动，直至M 点与C 点

重合为止．设BM ＝x cm ，三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2

.

下列结论：

①当0≤x ≤233时，y 与x 之间的函数关系式为y ＝32x 2

；

②当233

33；

③当MN 经过AB 的中点时，y ＝

32

cm 2

； ④存在x 的值，使y ＝1

2S 正方形ABCD (S 正方形ABCD 表示正方形ABCD 的面积)．

其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)．

第2课时二次函数与商品利润

1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y(元)与售价x(元)之间的函数关系式为()

A．y＝－10x2－560x＋7 350

B．y＝－10x2＋560x－7 350

C．y＝－10x2＋350x

D．y＝－10x2＋350x－7 350

2．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为元．3．中考前，某校文具店以每套5元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定售价不超过7元，在几天的销售中发现每天的销售数量y(套)和售价x(元)之间存在一次函数关系，绘制图象如图．

(1)y与x的函数关系式为(要求写出x的取值范围)；

(2)设销售该套文具每天获利w元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是多少？

4．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()

A．5元B．10元

C．0元D．6元

5．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

(1)若商场平均每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)想要平均每天盈利最多，每件衬衫应降价多少元？

6．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x

元(x 为正整数)，每星期销售该商品的利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )

A ．y ＝－10x 2

＋100x ＋2 000 B ．y ＝10x 2

＋100x ＋2 000 C ．y ＝－10x 2＋200x D ．y ＝－10x 2－100x ＋2 000

7．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 元．

8．某工厂生产的某种产品按产量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件产品，每件利润6元(第一档)．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．

(1)若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数解析式；

(2)若生产第x 档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次．

9．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1 000 m 2

的

空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x(m 2

)，种草所需费用y 1(元)

与x(m 2

)的函数关系式为y 1＝?????k 1x （0≤x<600），k 2

x ＋b （600≤x ≤1 000），其图象如图所示．栽花所需费用

y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为y 2＝－0.01x 2

－20x ＋30 000(0≤x ≤1 000)．

(1)请直接写出k1，k2和b的值；

(2)设这块1 000 m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；

(3)若种草部分的面积不少于700 m2，栽花部分的面积不少于100 m2，请求出绿化总费用W的最小值．

10．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

第3课时实物抛物线

1.河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系

式为y＝－1

25

x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为()

A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m

2．某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为．

3．有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的图形放在坐标系中(如图)．若在离跨度中心5 m处的M点垂直竖立一铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为m.

4．(绵阳中考)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 m.

5．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数解析式．

6．王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h

＝－1

48x2＋

23

24

x＋2，则王大力同学投掷标枪的成绩是m.

7．一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式是y＝

－1

12

x2＋

2

3

x＋

5

3

，铅球运行路线如图．

(1)求铅球推出的水平距离；

(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.

8．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h ＝－5t 2

＋150t ＋10表示．经过 s ，火箭达到它的最高点．

9．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式是y ＝ax 2

＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶8秒时和28秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 秒．

10．王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y ＝－15x 2＋8

5x ，如

图，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2

m.

(1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)请求出球飞行的最大水平距离；

(3)若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式．

11．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所

示的平面直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16

x 2

＋bx ＋c 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB

的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为17

2

m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m ，宽为4 m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

参考答案：

22.3 实际问题与二次函数

第1课时 二次函数与图形面积

1．C

2．20m ，800__m 2

. 3．2.

4．y ＝－12

x 2

＋4x ．

5．解：(1)已知一边长为x cm ，则另一边长为(10－x )cm.

则y ＝x (10－x )，

化简，得y ＝－x 2

＋10x (0＜x ＜10)．

(2)y ＝10x －x 2

＝－(x 2

－10x )＝－(x －5)2

＋25. ∴当x ＝5时，y 取最大值，为25.

答：当边长x 为5 cm 时，矩形的面积最大，最大面积是25 cm 2

. 6．解：(1)y ＝x (100－3x ＋2)，

即y ＝－3x 2

＋102x (24≤x ≤34)． (2)由题意得－3x 2

＋102x ＝624， 解得x 1＝8(不合题意，舍去)，x 2＝26. 则羊圈的宽x ＝26. 7．解：(1)S ＝－12

x 2

＋30x.

(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2

＋450，

且a ＝－1

2

＜0，

∴当x ＝30时，S 有最大值，最大面积为450 cm 2

. 8．64 . 9．18.

10．6cm ，3__cm 2

.

11．解：(1)由题意，得x (28－x )＝192，

解得x 1＝12，x 2＝16. ∴x ＝12或16.

(2)S ＝x (28－x )＝－(x －14)2

＋196.

由题意知?

????x ≥6，

28－x ≥15，解得6≤x ≤13.

在6≤x ≤13范围内，S 随x 的增大而增大． ∴当x ＝13时，S 最大＝－(13－14)2

＋196＝195. 12．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2

＋16x (0

(2)当y ＝60时，－x 2

＋16x ＝60， 解得x 1＝10，x 2＝6.

∴当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米． (3)当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得 x 2

－16x ＋70＝0.

∵Δ＝256－280＝－24<0， ∴此方程无实数根．

∴不能围成面积为70平方米的养鸡场． 13．①②④．

第2课时 二次函数与商品利润

1．B 2．25．

3．(1)y ＝－20x ＋200(5≤x ≤7)；

(2)解：根据题意得w ＝(x －5)(－20x ＋200)＝－20x 2＋300x －1 000＝－20(x －7.5)

2

＋125，

∵当x ＜7.5时，w 随x 的增大而增大，

∴当x ＝7时，文具店每天的获利最大，最大利润是－20×(7－7.5)2

＋125＝120(元)． 答：销售单价为7元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是120元．

4．A

5．解：(1)设每件衬衫应降价x元，

∵商场平均每天要盈利1 200元，

∴(40－x)(20＋2x)＝1 200.

整理，得2x2－60x＋400＝0.

解得x1＝20，x2＝10.

因为要扩大销售，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，

故每件衬衫应降价20元．

(2)设商场平均每天赢利w元．

则 w＝(20＋2x)(40－x)，

＝－2x2＋60x＋800，

＝－2(x－15)2＋1 250.

∴当x＝15时，w取最大值，为1 250.

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1 250元．

6．A

7．55．

8．解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]，

整理，得y＝－10x2＋180x＋400(1≤x≤10)．

(2)由－10x2＋180x＋400＝1 120，化简，得

x2－18x＋72＝0.

解得x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)．

∴该产品为第6档次的产品．

9．解：(1)k1＝30，k2＝20，

b＝6 000.

(2)当0≤x<600时，

W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，

∵－0.01<0，

∴当x＝500时，W取最大值为32 500元．

当600≤x≤1 000时，

W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000，

∵－0.01<0，

∴当600≤x≤1 000时，W随x的增大而减小．

∴当x＝600时，W取最大值为32 400元．

∵32 400<32 500，∴W的最大值为32 500元．

(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.

又∵x≥700，∴700≤x≤900.

∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，

∴当x＝900时，W取最小值为27 900元．

10．解：(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.

(2)设每星期的销售利润为W元，依题意，得

W＝(x－40)(－30x＋2 100)＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30(x－55)2＋6 750.

∵－30＜0，∴当x＝55时，W最大＝6 750.

答：当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6 750元．

(3)由题意，得－30(x－55)2＋6 750＝6 480，

解得x1＝52，x2＝58.

∵抛物线W＝－30(x－55)2＋6 750的开口向下，

∴当52≤x≤58时，每星期销售利润不低于6 480元．

∵在y＝－30x＋2 100中，y随x的增大而减小，

∴当x＝58时，y最小＝－30×58＋2 100＝360.

答：每星期至少要销售该款童装360件．

第3课时实物抛物线

1. C

2．y ＝－13x 2

．

3．15.

45．

解：如图所示．

由题知抛物线的顶点坐标为(0，11)，过点B (8，8)， 设抛物线的解析式为y ＝ax 2

＋11，

将点B 的坐标(8，8)代入抛物线的解析式，得64a ＋11＝8.解得a ＝－3

64，

∴抛物线的解析式为y ＝－364

x 2

＋11. 6．48.

7．解：(1)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋5

3

＝0，

解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)． ∴铅球推出的水平距离是10 m.

(2)y ＝－112x 2＋23x ＋53＝－112(x 2－8x ＋16)＋43＋53＝－112(x －4)2

＋3.

当x ＝4时，y 取最大值3.

∴铅球行进高度不能达到4 m ，最高能达到3 m. 8．15s ． 9．36．

10．解：(1)y ＝－15x 2＋85x ＝－15(x －4)2

＋165

.

∴抛物线y ＝－15x 2＋85x 开口向下，顶点坐标为(4，16

5

)，对称轴为直线x ＝4.

(2)令y ＝0，得－15x 2＋8

5x ＝0.

解得x 1＝0，x 2＝8.

∴球飞行的最大水平距离是8 m.

(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m. ∴抛物线的对称轴为直线x ＝5，顶点为(5，

16

5

)． 设此时对应的抛物线解析式为y ＝a (x －5)2

＋165.

又∵点(0，0)在此抛物线上， ∴25a ＋165＝0，a ＝－16

125.

∴y ＝－16125(x －5)2

＋165，

即y ＝－16125x 2＋32

25

x.

11．解：(1)由题意，得点B 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(3，

17

2

)， ∴????

?4＝c ，172

＝－16×32

＋3b ＋c. 解得?

????b ＝2，c ＝4.

∴该抛物线的函数关系式为y ＝－16x 2

＋2x ＋4.

∵y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16(x －6)2

＋10，

∴拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.

(2)当x ＝6＋4＝10时，y ＝－16x 2＋2x ＋4＝－16×102

＋2×10＋4＝223＞6，

∴这辆货车能安全通过．

(3)当y ＝8时，－16

x 2＋2x ＋4＝8，即x 2

－12x ＋24＝0，∴x 1＝6＋23，x 2＝6－2 3.

∴两排灯的水平距离最小是6＋23－(6－23)＝43(m)．