三角函数应用题

三角函数应用题(二十八)

1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c)，然后给出了三种测量方案：

①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ，则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( )

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

答案 D

解析 由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.

2.(优质试题·广东中山上学期期末)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522 m

答案 A

解析 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB

＝AC

sinB ，∴AB ＝AC·sin ∠ACB sinB ＝50×2

212＝

50 2 (m)．故选A.

3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15米 B ．5米 C ．10米 D ．1米 答案 C

解析 如图所示，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h.

在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC·CDcos ∠OCD ，即(3h)2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．

4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1千米 B ．2sin10° 千米 C ．2cos10° 千米 D ．cos20° 千米

答案 C

解析 由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°， ∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC·CB·cos160°

＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)

＝2＋2cos20°＝4cos 210°，∴BD ＝2cos10°.

5.(优质试题·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以测量与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝( ) A ．5 6 B ．15 3 C ．5 2 D ．15 6

答案 D

解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－45°＝135°.由正弦定理得

BC sin30°＝30

sin135°

，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.

6．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.400

3 m B.40033 m

C.20033 m

D.2003

m 答案 A

解析 如图，在Rt △BAC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝200，

∴BC ＝

AB cos30°＝400

3

3. ∵∠EBD ＝30°，∠EBC ＝60°， ∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝120°. 在△BDC 中，

DC sin30°＝BC

sin120°

. ∴DC ＝BC·sin30°sin120°

＝40033×1

232

＝400

3(m)．

7．(优质试题·广东佛山二模)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，CD ＝250 6 n mile ，D 位于A 的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从城市A 出发以50 n mile/h 的速度向城市D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ＝________．

答案

6－2

4

解析 设轮船行驶至F 时收到指令，则AF ＝50 n mile.连接AC ，CF ，过A 作AE ⊥BC 于E ，则AE ＝ABsin60°＝403(n mile)，BE ＝ABcos60°＝40(n mile)，CE ＝BC －BE ＝303(n mile)，AC ＝

AE 2＋CE 2＝503(n mile)，所以cos ∠ACE ＝35，sin ∠ACE ＝4

5

，所以cos ∠ACD ＝cos(135°

－∠ACE)＝－

22×35＋22×45＝210＝AC

CD

，所以∠CAD ＝90°.因为AF ＝50 n mile ，AC ＝50 3 n mile ，可得∠AFC ＝60°，所以θ＝75°－∠AFC ＝15°，故sin θ＝6－2

4

.

8．要测底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度． 答案 40米

解析 如图设电视塔AB 高为x ，则在Rt △ABC 中，