数字信号处理课程总结

绪论绪论部分概括性地介绍了数字信号处理的基本概念，实现方法，特点，以及涉及的理论、实现技术与应用这四个方面。

信号类别：1.连续信号（模拟信号）2.时域离散 ，其幅度取连续变量，时间取离散值3.幅度离散信号，其时间变量取连续值，幅度取离散值4.数字信号，幅度和时间都取离散值数字信号处理的四个方面可以抽象成两大方面的问题：（1）数字信号处理的研究对象（2）数字信号处理的一般过程。

1. 数字信号处理的研究对象研究用数字信号或符号的序列来表示信号并用数字的方法处理这些序列，从而得到需要的信号形式。

2. 数字信号处理的一般过程（注：数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术存在诸多优点，所以对于模拟信号，往往通过采样和编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理）1）信号处理过程（不妨假设待处理信号为模拟信号）()()A/DC D/AC a a t t y x −−−→−−→−−→−−→−−→−−−→预滤波数字信号处理平滑滤波 ()a x t ：模拟信号输入预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）○1采样：将信号在时间上离散化 A/DC ：模/数转换−−→○2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）○3编码：将幅度值表示成二进制位（条件2s cf f ≥） 数字信号处理：对信号进行运算处理D/AC ：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号→在采样时刻幅度发生跳变 ） 平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑()y at ：输入信号经过处理后的输出信号 有处理过程可见数字信号处理的特点：1）灵活性2）高精度和高稳定性3）便于大规模集成4）可以实现模拟系统无法实现的诸多功能最后对信号处理的发展的肯定和展望第一章 时域离散信号和时域离散系统（一）时域离散信号一般由模拟信号等间隔采样得到：()()a a t nT x n x x nT n ===-∞<<∞1.时域离散信号有三种表示方法：1）用集合符号表示2）用公式表示3）用图形表示2.常见的典型序列：1）单位采样序列 1000(){n n n δ=≠=2） 单位阶跃序列 1000(){n n u n ≥<=3）矩形序列 1010(){n N N n R ≤≤-=其他n4）实指数序列 ()()n x n a u n a =为实数5）正弦序列()sin x n n ω=（）()sin a x t t =Ω（） ()()sin()sin()a t nT x n x t nT n ω===Ω=T ω=Ωs F ωΩ=6）复指数序列 0()()j n x n e σω+=7）周期序列()()x n x n N n =+-∞<<∞。

（二）时域离散系统时域离散系统定义 []()().x n y n T −−−→−−−→[]()()y n T x n =时域离散系统中：1）线性系统判定公式：若1()y n =1[()]T x n ,2()y n =2[()]T x n 则1212()[()()]()()y n T ax n bx n ay n by n =+=+2）时不变系统判定公式：y(n)=T[x(n)]y(n-0n )=T[x(n-0n )]线性时不变系统输入与输出之间关系：()[()]h n T n δ=()()()()m x n x m n m axy n δ∞=-∞=-∑ ()()()m y n x m n m δ∞=-∞=-∑()[()()]m y n T x m n m δ∞=-∞=-∑y （n ）=()()m x m h n m ∞=-∞-∑=x （n ）*h （n ）重点：线性是不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积卷积的求解方法：1）图解法以例说明：已知x(n)= 4R (n),h(n)=4R (n),求y(n)=x(n)*h(n)。

解：（翻转，移位，相乘，相加）y(n)=()()m x m h n m ∞=-∞-∑=44()()m R m R n m ∞=-∞-∑2)解析法3)Matlab 求解4.系统因果性和稳定性的判定因果性判定：h （n ）=0，n<0 稳定性判定：()n h n ∞=-∞<∞∑（三）线性常系数差分方程1）差分方程定义2）差分方程求解：○1经典法 ○2递推法 ○3变换域法（四）模拟信号数字处理方法（与绪论部分介绍相同）()()A/DC D/AC a a t t y x −−−→−−→−−→−−→−−→−−−→预滤波数字信号处理平滑滤波 ()a x t ：模拟信号输入预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）○1采样：将信号在时间上离散化 A/DC ：模/数转换−−→○2量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）○3编码：将幅度值表示成二进制位（条件2s cf f ≥） 数字信号处理：对信号进行运算处理D/AC ：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号→在采样时刻幅度发生跳变 ） 平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑()y at ：输入信号经过处理后的输出信号第二章 时域离散信号和系统的频域分析（一）时域离散信号傅里叶变化的定义和性质1)物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。

)()()(10i n y a i n x b n y N i iM i i ---=∑∑==定义：()[()]()j j n X e FT x n x n e ωω∞-=-∞==∑ 存在的充分条件：()n x n ∞=-∞<∞∑ 反变换：1()[()]()2j j j t x n IFT X e X e e d πωωωπωπ-==⎰2)FT 的周期性：(2)(2)()()()j j M n j M n X e x n e X e M ωωπωπ∞-++=-∞==∑为整数3）线性：设11()[()]j X e FT x n ω=，22()[()]j X e FT x n ω=，那么1212[()()]()()j j FT ax n bx n aX e bX e ωω+=+4）时移与频移性质：设()[()]j X e FT x n ω=，那么00[()]()j n j FT x n n e X e ωω--=00([()]())j n j FT e x n X e ωωω-=5）FT 的对称性：*()()e e x n x n =-6）时域卷积定理设 ()()*()y n x n h n = 则 ()()()j j j Y e X e H e ωωω=7）频域卷积定理设()()()y n h n x n =则 ()11()()*()()()22j j j j j Y e H e X e H e X e d πωωωθωθπθππ--==⎰ 8）帕斯维尔定理： 221()()2j x n x e d πωπωπ∞--∞=∑⎰（二）周期序列的离散傅立叶级数及傅里叶表示式1）周期序列的离散傅立叶级数：~()x n 展成离散傅里叶级数：222211111~()00000[]N N N N N j mn j kn j mn j k m n N N N N k k n n n n n xea e e a e ππππ--------=======∑∑∑∑∑ 式中 21()00{N j k m n N k m N k m n eπ--=≠==∑ 2）周期序列傅里叶变换表示式： ~22()()()j k X e X k k NNωππδω∞=-∞=-∑ 式中 2~~()()j kn N k X k x n e π∞-=-∞=∑（三）时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系： ^()()j T a X e X j Ω=Ω 1()()j T a s k X e X j jk T ∞Ω=-∞=Ω-Ω∑ 式中 22s s F T ππΩ==（四）序列的Z 变换1）Z 变换定义()()n k X z x n z∞-=-∞=∑ x x R z R -+<< 注意：Z 变换+不同收敛域⇒对应不同收敛域的不同序列序列⇒唯一（Z 变换+收敛域）2）序列特性对收敛域存在影响3)逆Z 变换()()n x x k X z x n zR z R ∞--+=-∞=<<∑ 11()()2n c x n X z z dz j π-=⎰○1留数法：11()Re [(),]2n k c k X z z dz s F z z j π-=∑⎰ ○2部分分式展开法： 4）Z 变换的性质○1线性性质()[()]()()m m M z ZT m n aX z bY z R z R -+=+<<○2序列的移位性质 ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<<00[()]()n x x ZT x n n z X z R z R --+-=<<○3序列乘以指数序列的性质 ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<<()()n y n a x n a =为常数1()[()]()n x x Y z ZT a x n X a z a R z a R --+==<<○4序列乘以n 的ZT ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ()[()]x x dX z ZT nx n z R z R dx -+=-<<○5复共轭序列的ZT ()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<< ***[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<<○6初值定理()[()]X z ZT x n = (0)lim ()z x X z →∞= ○7终值定理1lim ()lim(1)()z z x n z x z →∞→=- ○8时域卷积定理 设()()*()n x n y n ω=()[()]x x X z ZT x n R z R -+=<<()[()]x x Y z ZT y n R z R -+=<<则()[()]()()W z ZT n X z Y z ω==w w R z R -+<< ○9复卷积定理[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<<[()]()y y ZT y n Y z R z R -+=<<()()()n x n y n ω=1()()()2x y x y c z d W z X Y R R z R R j υυπυυ--++=<<⎰○10帕斯维尔定理[()]()x x ZT x n X z R z R -+=<< [()]()y y ZT y n Y z R z R -+=<<1x y R R --<，1x y R R ++> 那么**1*11()()()()2c n x n y n X Y d j υυυπυ∞-=-∞=∑⎰ 5）Z 变换解差分方程00()()k kk k a y n k b x n k ∞∞==-=-∑∑ ○1求稳态解 Y （z ）=H(z)X(z)式中00()M kk k M kkk b z H z a z -=-==∑∑ ()[()]y n IZT Y z =○2求暂态解 10000()()()M N kk l k k k k l k N N k kkk k k b z a z y l z Y z X z a z a z ----===---===-∑∑∑∑∑ 6）利用Z 变换分析信号和系统的频响特性○1频率响应函数与系统函数 00()()()M i i i M iik b z Y z H z X z a z -=-===∑∑○2用系统极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果系统：h （n ）=0，n<0 ⇒ 右序列收敛域为圆外稳定系统：收敛域包含单位圆()n x n ∞=-∞<∞∑○3利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性 1111(1)()(1)M r r N rr c z H z A d z -=-=-=-∏∏第三章 离散傅里叶变换（DFT ）（一）离散傅立叶变换的定义及物理意义1）DFT 定义10()[()]()0,1,2,...,1N kn Nn X k DFT x n x n W k N -====-∑离散傅里叶逆变换（IDFT ）：101()[()]()0,1,2,...,1N kn N n x n IDFT X k X k W n N N --====-∑2）离散傅里叶变换和Z 域变换关系 10()[()]()M n n X z ZT x n x n z --===∑10()[()]()0,1,2,...,1M kn N Nn X k DFT x n x n W k N -====-∑2()()0,1,2,...,1j k N z e X k X z k N π===-DFT 的物理意义：X （k ）为x(n)的傅里叶变换()j X e ω在区间[0,2]π上的等间隔采样。