复变函数与积分变换-傅立叶变换
复变函数与积分变换傅里叶变换
未来研究可以进一步探索傅 里叶变换在不同领域的应用 ，例如在金融、经济、生物 信息学等领域的应用，以及 与其他数学工具的结合使用 。
此外，随着数学理论的发展 ，可以进一步深入研究傅里 叶变换的性质和性质，例如 探讨其与分形、混沌等数学 概念的联系，以及在数学物 理等领域的应用前景。
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定义
将一个实数域的函数转换为复数域的 函数，通过引入复数平面上的无穷积 分来定义。
应用
在控制工程、信号处理等领域有广泛 应用，用于求解线性常微分方程和偏 微分方程。
积分变换的性质和应用
线性性质
积分变换具有线性性质，即对于两个函数 的和或差，其积分变换结果等于各自积分
变换结果的线性组合。
频移性质
对于频率域的平移，其积分变换结果也相 应平移。
原函数
具有导数的函数。
不定积分
计算函数图像下的面积。
03 积分变换
傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶积分
通过将周期函数表示为无穷级数，将 复杂的函数分析问题转化为简单的正 弦和余弦函数的线性组合问题。
傅里叶变换
将时间域的函数转换为频率域的函数 ，揭示了函数在时间域和频率域之间 的内在联系。
拉普拉斯变换
时移性质
对于函数在时间上的平移，其积分变换结 果也相应平移。
应用
积分变换在信号处理、控制系统、电磁场 等领域有广泛应用，用于求解各种数学物 理问题。
04 傅里叶变换
傅里叶变换的ห้องสมุดไป่ตู้义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数表示为无穷多个不同频率的正弦和余弦函 数的叠加。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性 质等。
第七章 傅立叶变换
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
复变函数与积分变换
a
7
作业题
复变函数与积分变换
1．将函数f (z)
(z
1 1) ( z
在
2)
z 点0 展开为洛朗(Laurent)级数．
2．讨论级数 (zn1 z的n ) 敛散性 n0
3．求下列级数的和函数.
(1) (1)n1 nzn (2) n1
(1)n z2n
n0
(2n)!
4．用直接法将函数ln(1 ez在) z 点0 处展开为泰勒级数,(到 z4
项),并指出其收敛半径.
a
8
复变函数与积分变换
重点理解掌握
第五章 留数
1.深刻理解函数在孤立奇点留数的概念。 2.掌握并能熟练应用留数定理;掌握好留数的计算，尤 其要熟悉较低阶极点处留数的计算。 3.能用留数来计算3种标准类型的定积分，知道一两个 典型的特殊围通积分的计算。
1.理解导数的辐角和模的几何意义以及保角映射的概念。 2.知道有关保角映射的几个重要定理，如黎曼定理，边 界对应原理等。 3.掌握分式线性映射的重要性质:保角性、保圆性、保 对称性和保交比性。 4.掌握好确定半平面到半平面、半平面到单位圆、单位 圆到单位圆的分式线性映射。
a
11
复变函数与积分变换
作业题
(2) 中心位于点 z 1,半径为 R 的2 正向圆周
a
6
复变函数与积分变换
第四章 级数
重点理解掌握
1.掌握复数项级数的敛散性及有关概念，主要性质及重 要定理。
2.理解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、 收敛半径等概念，掌握幂级数的收敛半径的求法以及幂级数 在收敛圆内的性质。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
浙江大学宁波理工学院复变函数与积分变换-第6章(傅里叶变换)
cn
1 T
T
2 T
2
fT (t)e jn0t dt
1 T
T
2 T
fT (t)e jntdt, n 0, 1, 2, 3,...
2
这里n n0.这样傅里叶级数可写为：
傅里叶级数的复指
fT (t) c0 (cne jnt cne jnt )
cne jnt .
数形式。称为连续
n1
信息科n学 与工程学院傅里叶级数变换
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与 积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的物理含义
在傅里叶级数的三角形式fT
(t)
a0 2
1829年狄利克雷第一个给出了收敛条件。
信息科学与工程学院
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与 积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的三角形式
[定理]设周期为T的实值函数fT
(t
)在[
T 2
,
T 2
]上满足狄利克雷条件：(1)连续或只有
在复变函数各章节中 采用i作为虚数单位， 而在积分变换中一般 采用j作为虚数单位
信息科学与工程学院
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与 积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的复指数表示
1 T
复变函数与积分变换傅里叶变换
f (z) ln(z 1) ln(z 2) f (z) ln(z 1) ln(z2 2)
ln(z k) k 1
ln(zk k) k 1
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x 2l) f (x)
要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函 数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表 现 f(x)。这就是傅里叶级数。
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
g ( x)
a0 2
+
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
令：
k
k
l
,
k
k
k1
l
,
则
g(x) a0 l
2
+
{ak cos k x bk sin k x}k .
k 1
(2.1)
ak
1 l
l l
f ( ) cosk d ,
bk
d x 0
sinc(x) d x 2
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
t 0的傅氏变换及其 t0
积分表达式,其中 0.
F () f (t) eitd t
ete jtd t
0
e( i )td t
0
1
i
i 2 2
f (t) 1
2
F () e jtd 1
(x)
a0 2
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
此为傅里叶级数展开.
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
复变函数与积分变换 第7章 傅里叶变换
e it e it e it e it 由欧拉公式 : cost , sint 2 2i
因此，傅里叶级数可表 以示成 a0 e inwt e inwt e inwt e inwt fL( t ) an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn inwt a n ibn inwt e e . 2 n 1 2 2
n
c e
n
inwt
L L , t , 2 2 n 0 ,1 ,2 , .
其中系数为 1 L/ 2 cn F ( t )e inwt dt , L L / 2
这样，在一个长为 L的 区 间 上 我 们 得 到 函 F 数 (t ) 的 一 个 正 弦 函 数 类 表 .示 当L越 大 时 ， FL ( t )与F ( t ) 相 等 的 范 围 也 越 大 ，以 可猜 测 当 L 时 ， 周 期 函 数FL ( t )的 极 限 为 F ( t ),即 是 limFL ( t ) F ( t ).
2
0
F (t ) sin tdt
F (t ) F (t )
2
0
GS ( ) sin td ——傅里叶正弦变换 GC ( ) cos td ——傅里叶余弦变换
0
注：1.当 F (t ) 为奇(偶)函数时,傅里叶变换可以用
正(余)弦来表示
注：2.当 F (t ) 仅定义于 0, 且满足傅里叶变换
下 面 我 们 研 究 非 周 期数 函的 一 个 类 似 的 表 示 问 题. 为 了 方 便 ， 我 们 假 设 周 非期 函 数 F ( t )在 区 间( , )内 连 续 、 可 积 ， 且 绝 可 对积 ， 考 虑区间（ L / 2, L / 2 ） , 则F ( t )在 此 区 间 上 有 三 角级数表示 F( t )
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
傅里叶积分变换
§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换
1.傅里叶积分变换的概念
2.单位脉冲函数
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
11 September 2018
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课程
第六章傅里叶积分变换
1. Fourier积分变换及逆变换
定义：
频谱函数
F ( w )e iwt dw ,
傅里叶积分公式三角结 构：
f ( x )e iwx dx e iwt dw为傅里叶积分公式 .
0
f ( x ) cos w( t x )dx dw .
1 1 iwx iwt iw ( t x ) dw f (t ) f ( x ) e dx e dw f ( x ) e dx 2 2 1 i dw . f ( x ) cos w ( t x ) dx dw f ( x ) sin w ( t x ) dx 2 2
n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l
l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
e 2 e 2i
i
d , d .
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