-初中数学竞赛专题培训(4)：代数式的化简与求值
代数式的化简求值问题(含答案)
第1讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m =4将m =4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值例2．x =－2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x =2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
分析： 因为8635=-++cx bx ax当x =－2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x =2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值. 分析：观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x 整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
化简求值知识点总结
化简求值知识点总结一、化简求值的基本概念1.1 代数式的化简代数式的化简是指通过运用代数运算的法则，将一个较为复杂的代数式简化为形式更加简洁的表达式。
代数式的化简涉及到多种代数运算，如加法、减法、乘法、除法、乘方等，需要根据代数运算的规则进行推导和计算。
在代数式的化简中，常用的方法有合并同类项、提取公因式、分配法则等。
例如，对于代数式2x+3x，可以合并同类项得到5x；对于代数式3(x+2)，可以使用分配法则得到3x+6。
1.2 算术式的化简算术式的化简是指根据加减乘除的运算规则，将一个复杂的算术式计算得到具体的数值。
在化简求值的过程中，需要注意运算的次序、优先级等问题，以确保计算的准确性。
例如，对于算术式3+5*2，根据乘法优先原则，首先计算5*2的值为10，然后再加上3得到最终的结果13。
1.3 化简与求值的关系化简和求值是密切相关的概念。
在化简的过程中，常常需要将代数式或算术式化简为最简形式，然后再求出具体的数值。
因此，在进行化简求值的过程中，需要注意两者之间的相互关系，并综合运用代数知识和运算规则进行计算。
二、化简求值的常见方法2.1 合并同类项合并同类项是代数式化简中常用的方法之一。
所谓同类项是指具有相同的字母部分及其指数，并且常数部分也相同的项。
合并同类项的过程是将具有相同字母部分的项相加或相减，得到最终的结果。
例如，对于代数式3x+2x，可以合并同类项得到5x；对于代数式3y-2y，可以合并同类项得到y。
2.2 提取公因式提取公因式是代数式化简中的另一种常用方法。
所谓公因式是指代数式中各项所共有的因式。
提取公因式的方法是将代数式中的各项中公共的因式提取出来，然后进行化简运算。
例如，对于代数式3x+6，可以提取公因式3得到3(x+2)；对于代数式6a-9a，可以提取公因式3a得到3a(2-3)。
2.3 分配法则分配法则是代数式化简中的重要方法之一。
分配法则即将一个因子分配到另一个因子的各个部分，然后根据分配法则进行计算。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
代数式的化简求值问题(含答案)
第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m =4将m =4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值例2．x =－2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x =2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
分析： 因为8635=-++cx bx ax当x =－2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x =2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值. 分析：观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x 整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
代数式求值与化简技巧
注意代数式中 的隐含项和括 号，避免因忽 略它们而导致
错误。
在化简过程中， 要保持代数式 的整洁和清晰， 避免因混乱而
出现错误。
理解代数式背后的数学原理
代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除、乘方五种运算得到的 数学表达式。
代数式求值与化简的注意事项包括：理解代数式背后的数学原理，掌握代 数式的化简技巧，注意代数式的符号和数值，以及注意代数式的运算顺序。
代数式求值与化简技巧
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CONTENTS
1 代数式求值方法 2 代数式化简技巧 3 代数式求值与化简的应用 4 代数式求值与化简的注意
事项
代数式求值方法
直接代入法
定义：将已知数 值直接代入代数 式中求值的方法。
适用范围：适用 于已知数值的代 数式求值。
号的变化。
运算顺序：遵 循先乘除后加 减的原则，括 号内的内容优
先计算。
幂的运算：幂 的运算优先级 高于加减乘除， 需要注意指数
的取值。
代数式的简化： 在求值之前， 可以先化简代 数式，以简化
计算过程。
避免在化简过程中出现错误
仔细检查代数 式中的符号和 运算顺序，确 保没有错误。
在进行化简时， 要遵循代数运 算法则，不要 跳步或省略步
分组化简法
定义：将代数式中的同类项进行分组，然后分别进行化简的方法。
适用范围：适用于代数式中存在多个同类项的情况。
步骤：先将代数式中的同类项进行分组，然后对每组进行化简，最后将化简后的结果进行 合并。
注意事项：分组时要注意不要遗漏任何一项，同时要保证每组内的项都是同类项。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲代数式的化简与求值(含答案)
第十讲代数式的化简与求值趣题引路】如图10-1所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点" + b + c + 〃 + *(e+ /" + &+力)</ + Z> + c + J- i(e + / + g + 〃)解答如下：-a=d + h + e , b=a + c+ f , J + 宀, d=a + c + h.3 3 3 32(a + b + c + d) + (e + f + g +力)/• a+b+e= ------------------ --------------------- .3设a+b+c+cl=/n, e+f+g+h=n ・• a. , . 2m + n■ ■ a+b+c+d= -----3. 2/n + n..m= ---------- ,3m=n.即a+b+c+d=e+f+g+h ・知识拓展】1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，苴中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.2.对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：（1）因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；（2）运算律，适当运用运算律，也有助于化简；（3）换元、配方、待定系数法、倒数法等；（4）有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.例1已知x=4-d,求"f—X+lh+T的值. x— 8x + 15处的数字的平均数，则代数式a + h + c + cl + ^(e+ f + f* + h)a + h + c + d --(e+ f + g+h)3 32m - n 32 3m一n2m -m 3 3-------- x --------- =—2 3m - m 4应填扌.图10-1解析：由已知得(x—4尸=3,即A2—8x+13=0.所以兀** - 6A?— 2f +1 8A' + 23 _ x2 (x"— 8x + 13) + 2x(才—8x +13) + (A*~— 8x + 13) + 10 _ 10 _、F x2-8x + 15 (X2-8X +13)+2 込—…点评：本题使用了整体代换的作法.例2已知A+Y+Z=3. (^),求匕上空学二遊二岀£2竺凹的值. (x-6/f+(y-t/f+(z-6/f解析：分式的分子、分母是轮换对称形式，可考虑用换元法.解：由x+y+z=3e 得(x—a)(y—a)(z~a)=0.设x—“=〃】, y—a=n> z~a—p>贝0 m+n+p=0・•••" = — (〃？+〃)・•『i 弋—mn + n P + m P —mn + P(m + n) —nm一(m + n)2_ -m2一mn一n2_1八m2 + n2 + p2 nf + n2 + p2 nr + n2 + (m + n)2 2(nr + mn + n2) 2 *点评：实际上，本例有巧妙的解法，将〃?+”+" = 0两边平方，得加2 + "2+卩2=一2(”山+ " + 〃初，.・.mn + np + mp _1m2 +n2 + 2 "例 3 已知" + i = + 求（“ + 〃）（/+、）（「+ “）的值.c b a abc解析：对于分式等式，如岀现两个（或两个）以上的等于号，可设为一个字母为h解：设c^b-c =a-b + c = -a + b + c=k cb aa + b-c = ck,① < a —b +c = bk 9 (^)-a + b + c = ak・③① + ②+③，得：R("+b+e)="+b+c・当“+b+e0 时，k=l,此时a+b=2c,“+c=2b, b+c=2a・.(a + h)(b + c)(c + a) _ 2a ■ 21} ■ 2cabc abc当“+〃+c=0 时♦“ + b= —Ct a + c= —b,〃+c= —a.・・.原式=(-“)•(如p)=_l.abc点评：注意本例须按a+h+c等于零和不等于零两种情况进行讨论.例4 已知“+b+c=l, a2-\-b2+c2=2. a3+b3+c3=39求(1) “be 的值;(2) a4+b4-^c4的值. 解析：•••以+胪+5=2, ：•(“+b+c)2—2(ab+be+ca)=2.A ab-¥bc~i rca = ——•2又•••帀+沪+"=3,(“+b+c)(</2+b2-\-c2— ab—be—ca) + 3abc=3 ・:.1x(2+ —)+3“bc=3・2:.abc=-,即"c的值为丄.6 6又•: a4+沪+c4=(a2+护+c2)2—2(crb2+b2c2+c2a2)=4 —2[(ab+be+ca)2—2abc{a + 方+c)]=4—2(丄4 cl ix 25—2x- xl)=—・6 6•••/+戸+疋的值为色.6点评：这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场：第一次提价的百分率为"，第二次提价的百分率为b：乙商场：两次提价的百分率都是⑺(">0, 2 b>0);丙商场：第一次提价的百分率为几第二次提价的百分率为"，则提价最多的商场是( )A.甲B.乙C•.丙 D.不能确定解析用代数式表示三个商场提价后的价格，再比较大小.解：(1)甲商场两次提价后，价格为(l+“)(l+b)=l+“+b+“b.(2)乙商场两次提价后，价格为(1 + 口)(1 + 口)=1+(“+坊+(口)2：2 2 2(3)丙商场两次提价后，价格为(1+")(1+“)=/+"+b+“b.因为(爭)2 —“b>0,所以(字)2>“b.故乙商场两次提价后，价格最髙.选B.例2已知非零实数“、b、c满足0+护+以=1, “(J.+J_)+b(丄+ b + c(丄+丄)=一3,求a+b+c的 b c a c a b 值.解析：因为ubc^O,在已知的第二个等式两边同乘以“be,得"2(c+b)+b2(c+")+c2(“+")= —3"bc, 即ab(a+/?)+bc(b-\-c)4-ac(a+c) + 3abc=0.将&历c 拆开为ubc+abc+ubc,可得ab(“+b+c)+bc(a+b+ c)+ac(a+/?+c)=0・于是(a+b+c)(ab+he+ac)=0.所以a+h+c=0或ab+bc+ac=0.若ab+bc+ac=O.由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2cd^2bc+2cic= 1 得“+b+c=±l ・ \ 所以“+"+c的值可能为6 — 1 >1.中考真题欣赏例1 （2003年陕西中考题）先化简，再求值:皆胃L岳，其中眉存—x + 1 (x2+1)(A+ l)(x-l) x-3 _ x-1 x-3 _ 2 尿 = - : 一 = — =0+1 (x + 1) A +1x + 1 x + 1 x + 1解析:当x= 73 + 1时，原式== 4一2逅.V3+2例2 （重庆市）阅读下而材料：在计算3+5+7+9+11 + 13+15+17+19+21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的左值.具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式5= 必+巴二12xd计算它们的和.（公式中的〃表示数的个数，“表示第一个数的值，〃表示这个相差的泄值）, 2那么3+5+7+9+11 + 13+15 + 17+19+21 = 10x3+巴” x2=120・2用上而的知识解决下列问题：为保护长江，减少水上流失，我市某县决泄对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地.由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统汁数据•假设坡荒地全部种上树后，不再有水上流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.解析:1997 年减少了24 000-22 400=1 600.m年减少了1 200+400x(/?/-1 996)・1 200+1 600+…+ 1 200+400(加一1 996)=25 200.令n=m—\ 995»得必1200 + 盲_><400一1)=400x HX3+———-=25200. 2 ..・.％ +竺匸—6326n+n(n-1)=126n：+5n-126=0.m 二9,血二一14 (舍去).m=1995+9=2004.••• 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木°竞赛样题展示例1 (2003年“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将苴排列成前多后少的梯形队阵(排数>3),且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A. 1种B.2种C. 4种D. 0种解析设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k, k+1, lc+2,…，k+ (n-l),由题意可知如+ 答丄= 100,即〃[2« + (“-1)] = 200.因为k, n都是正整数，且n$3,所以n<2k+ (n-l),且n与2k+ (n-l)的奇偶性不同。
初一数学代数式化简及求值
初一数学训练二-----代数式及其化简求值一、代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、…）把数或者表示数的字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。
如：1、学习代数式应掌握什么技能？掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式2、用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。
例练：一个数的1/8与这个数的和；m 与n 的和的平方与m 与n 的积的和例练：用代数式表示出来（1）x 的343倍 （2）x 除以y 与z 的积的商 例练：代数式3a+b 可表示的实际意义是_______________________二、代数式的书写格式： 1、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“• ”代替，更不能省略不写。
2、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。
3、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如：4、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。
5、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。
6、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。
如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本三、同类项及合并同类项1、同类项具备的条件① ②2、同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关例练：下列各题中的两项是不是同类项？为什么（1）2x 2y 与5x 2y （2）2ab 3与2a 3b （3）4abc 与4ab (4)3mn 与-nm （5）-5与+3例练：⑴若单项式x m y 4 与-2x 3y n －2是同类项，则m=____，n=____3、关于同类项中的概念（1单项式： 特征：数字和字母相乘。
单项式的系数 ： 数字为系数 ；单项式的次数： 所含字母的指数和味单项式的次数（2）多项式：特征：几个单项式的和。
代数式的化简与求值
复习资料六代数式的化简与求值代数式是用基本运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子，用数值代替代数式里的字母，按照代数式所给出的运算法则计算出结果，叫做代数式的值，因此代数式的值是由所含字母的取值确定的，并随字母取值的变化而变化。
值得注意的是, 代数式中的字母取值时，不能使代数式没有意义。
代数式的值，一般将字母所取的值直接代入计算便可得到。
但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到代数变形、消元、设参数等数学方法。
1、已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的理数，求代数式3223-+-的值。
x x y xy y3105132、已知x=5时。
代数式25++的值。
ax bxax bx+-的值是10。
求x=5时，代数式253、已知a+b=1,求代数式33++的值。
a ab b34、已知代数式3ax bx c ++，x=0时值为2，x=3时值为1。
求x=-3时，代数式的值。
5、若2310x x --=，求代数式3223118x x x --+的值。
6、已知2,1a b b c -=-=，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值。
7、已知a 、b 、c 为有理数，且满足28,16.a b c ab =-=-求a 、b 、c 的值。
8、已知12x x +=求（1）232311,(2)x x x x++。
9、已知2116 aa a =++，试求2421aa a++的值。
作业见教材。
竞赛(代数式化简和求值)四
代数式的化简与求值1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容． 2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法． 例题求解【例1】已知34-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值．【例2】已知：x+y+z=3a(a ≠0)，求：222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值．【例3】已知a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abca c cb b a ))()((+++的值．【例4】已知1=++c b a ，2222=++c b a ，3333=++c b a ，求（1）abc 的值：（2）444c b a ++的值．【例5】同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ；乙商场：两次提价的百分率都是2ba +（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则提价最多的商场是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定【例6】 已知非零实数 a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，求c b a ++的值．【例7】阅读下面材料：在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式d n n na S ⨯-+=2)1(计算它们的和．(公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值．)那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=12022)110(10310=⨯-+⨯．用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒【例8】某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ) A ．1种 B ． 2种 C ．4种 D ．0种【例9】有两道算式：好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ．【例9】设333199719961995z y x ==，，且3333199719961995219972199621995++=++z y x ．求zy x111++的值．学力训练 (A 级))1．当m 在可取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是( )A ．0B ．5C ．33D ．92．已知：a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab的值为( ) A ．251+ B ．251- C ．251+- D ．251--3．如a 、b 、c 是三个任意整数，那么2b a +、2c b +、2ac + ( )A ．都不是整数B ．至少有两个整数C ．至少有一个整数D ．都是整数4．如果4321-=x ，那么x x xx 2211-+-的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知：z y x a +=，x z y b +=，y x z c +=，且0≠++z y x ，试求111+++++c c b b a a 的值．6．已知521332412---=----+c c b a b a ，那么c b a ++的值是多少？（B 级）1．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是( ) A ．3 B ．31 C ．2 D ．352．已知m>0， n>0，且)5(3)(n m n n m m +⋅=+⋅，求nmn m n mn m +++-3238的值．3．已知322-=x 2，试求x x xxS 2211-+-=的值．4．已知322=+y x ，322=+x y 且x ≠y ，求yxx y +的值．5．设a 、b 、c 均不为0，且1998=++c b a ，19981111=++c b a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1998．6． 已知a 、b 、c 为整数，且满足c b ab c b a 233222++<+++，求abc cb a )111(++的值．A 级1．B 2．C 3．C 4．D 5．1 6．20B 级1．B ．2．3 3．4 4．322+5．提示：abcacbc ab c b a ++=++1，分解得0))()((=+++a c c b b a ，于是b a +，c b +，a c +中必有一个为0． 6．425代数式的化简与求值。
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题
代数式的化简求值问题初中数学中，全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 【答案】-4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
【答案】-202008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 【解析】分析： 因为8635=-++cx bx ax当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.【答案】4【解析】分析：观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
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初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1 化简分式：
分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．
＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］
说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
例2 求分式
当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，
可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．
例3 若abc=1
，求
分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．
解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．
例4 化简分式：
分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分
母分解因式，然后再化简．
说明
互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，
它是分式化简中常用的技巧．
例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：
似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法． 解
说明
本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用
例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求
分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成
(x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解．
解 令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w
，则分式变为
u 2+v 2+w 2
+2(uv+vw+wu)=0．
由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2
+v 2
+w
2
≠0，从而有
说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算
过程简化． 例7 化简分式：
适当变形，化简分式后再计算求值．
(x -4)2
=3，即x 2
-8x+13＝0．
原式分子=(x 4
-8x 3
+13x 2
)+(2x 3
-16x 2
+26x)+(x 2
-8x+13)+10 =x 2
(x 2
-8x+13)+2x(x 2
-8x+13)+(x 2
-8x+13)+10
=10，
原式分母=(x2-8x+13)+2=2，
说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．
解法1 利用比例的性质解决分式问题．
(1)若a+b+c≠0，由等比定理有
所以
a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
于是有
(2)若a+b+c=0，则
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
于是有
说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．
解法2 设参数法．令
则
a+b=(k+1)c，①
a+c=(k+1)b，②
b+c=(k+1)a．③
①+②+③有
2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．
当k=1时，
当a+b+c=0时，
说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
练习四
1．化简分式：
2．计算：
3．已知：
(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2
=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，
的值．。