初中数学代数式化简求值题归类及解法
2019届中考数学专题提升(二)代数式的化简与求值
专题提升(二) 代数式的化简与求值类型之一 整式的化简与求值【经典母题】已知x ＋y ＝3，xy ＝1，你能求出x 2＋y 2的值吗？(x －y)2呢？解：x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝32－2×1＝7；(x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝32－4×1＝5.【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．完全平方公式的一些主要变形有：(a ＋b)2＋(a －b)2＝2(a 2＋b 2)，(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab ，a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ，在四个量a ＋b ，a －b ，ab 和a 2＋b 2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．【中考变形】1．已知(m －n)2＝8，(m ＋n)2＝2，则m 2＋n 2的值为( C ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．32．已知实数a 满足a －1a ＝3，则a 2＋1a 2的值为__11__. 【解析】 将a －1a ＝3两边平方，可得a 2－2＋1a 2＝9，即a 2＋1a 2＝11. 3．[2019·重庆B 卷]计算：(x ＋y)2－x(2y －x)．解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.4．[2019·漳州]先化简(a ＋1)(a －1)＋a(1－a)－a ，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a 的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式＝a 2－1＋a －a 2－a ＝－1.故该代数式的值与a 的取值没有关系．【中考预测】先化简，再求值：(a －b)2＋a(2b －a)，其中a ＝－12， b ＝3.解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2.当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9. 类型之二 分式的化简与求值【经典母题】计算：(1)a b －b a －a 2＋b 2ab ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a； (2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x＝2x ＋8. 【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．【中考变形】 1．[2019·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －12．[2019·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23. 【中考预测】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2 ＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2.类型之三 二次根式的化简与求值【经典母题】已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值． 解：∵a＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1，∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b)2－3ab ＝(23)2－3＝9.【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．【中考变形】1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C )A ．9B ．±3C ．3D ．5 2．[2019·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1. 解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－ab a ＋b， 当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24. 3．[2019·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －yx 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷y x －2y，其中x ＝22，y ＝ 2. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷y x －2y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷y x －2y＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y . 当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y ＝－12＝－22. 【中考预测】先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋b a （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋b ab， ∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1， ∴原式＝ 5.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩D ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ）A ．1000（1+x ）2＝1210B ．1210（1+x ）2＝1000C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝12103．某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了1千米，休息0.5小时后，再用1.5小时爬上山顶．游客爬山所用时间l 与山高h 间的函数关系用图形表示是（ ）A. B.C. D.4．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点F ；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若3BF =， 2.5AB =，则AE 的长为( )A.2B.4C.8D.552的值在( )A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间 6．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于点A ，B ，若在抛物线上有且只有三个不同的点C 1，C 2，C 3，使得△ABC 1，△ABC 2，△ABC 3的面积都等于a ，则a 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．167．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AD=ABC S ∆=tanC 的值为（ ）A ．13B ．12C ．3D ．2 8．如图,圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=，4OC =，则CD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．89．水是地球上极宝贵的资源.某城市为了节约用水，实行了价格调控，限定每月每户用水量不超过6吨时，每吨价格为 2.25元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3.25元.则按此调控价格的每户每月水费y （元）与用水量x （吨）的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知：将直线y=x ﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b ，则下列关于直线y=kx+b 的说法正确的是（ ）A ．经过第一、二、四象限B ．与x 轴交于（1，0）C ．与y 轴交于（0，1）D ．y 随x 的增大而减小11．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝25，AB ＝30，D 是AB 上的一点（不与A 、B 重合），DE ⊥BC ，垂足是点E ，设BD ＝x ，四边形ACED 的周长为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A. B.C. D.12．某人购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元，已知甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元，设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意可列方程组（ ）A ．12154503x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．12154503x y y x +=⎧⎨-=⎩ C ．12154503x y y x +=⎧⎨=-⎩D ．12154503x y x y +=⎧⎨=-⎩ 二、填空题13．已知13a c b d ==，则a c b d++的值是_____．14．计算：13--=_____．15．将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠ACE 的度数为_____．16．若a﹣2b＝﹣3，则代数式1﹣a+2b的值为为_____．17．计算：（2﹣sin45°）0＝_____．18．分式方程的解是_____．三、解答题19．如图，在△ACD中，DA＝DC，点B是AC边上一点，以AB为直径的⊙O经过点D，点F是直径AB上一点（不与A、B重合），延长DF交圆于点E，连结EB．（1）求证：∠C＝∠E；（2）若弧AE＝弧BE，∠C＝30°，DF，求AD的长．20．2018年，广州国际龙舟邀请赛于6月23日在中山大学北门广场至广州大桥之间的珠江河段举行．上午8时，参赛龙舟同时出发，甲、乙两队在比赛中，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，甲队在上午11时30分到达终点．（1）在比赛过程中，乙队何时追上甲队？（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？21．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED）．在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.5米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）22．如图,直线l 1 在平面直角坐标系中,直线l 1与y 轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B 先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上。
代数式的化简求值问题(含答案)
第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m =4将m =4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m 利用“整体思想”求代数式的值例2．x =－2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x =2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
分析： 因为8635=-++cx bx ax当x =－2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x =2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a 例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.分析：观察两个代数式的系数2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
代数式化简的高效解题方法
代数式化简的高效解题方法代数式化简是数学中常见的一种解题方法，通过对代数式进行变形和简化，使其变得更加简洁和易于计算。
本文将介绍几种高效的代数式化简方法，希望能够帮助读者更好地解决相关问题。
一、因式分解法因式分解是一种常见的代数式化简方法，适用于多项式的因式分解和约分。
将一个多项式分解成若干个因式的乘积，可以简化求解过程。
例如，对于一个形如ax + bx的代数式，可以将其因式分解为(x+a)。
这样就可以将一个较为复杂的代数式化简为更简洁的形式。
二、提公因式法提公因式法是一种常用的代数式化简方法，在处理多项式时特别有效。
首先，找出多项式中的公因式，然后将其提取出来。
例如，对于一个形如ab + ac的代数式，可以将其提取公因式得到a(b+c)。
采用提公因式法可以大大简化代数式，减少计算量。
三、合并同类项法合并同类项是一种将多个相同的代数项合并成一个项的方法，可以用于化简多项式。
首先，将多项式中的所有同类项找出来，然后将它们合并并简化。
例如，对于一个形如3x + 2x的代数式，可以将其合并同类项得到5x。
通过合并同类项，能够更快速地进行代数式的化简和计算。
四、分配率法分配率法是一种常用的代数式化简方法，在处理多项式的乘法和除法时特别有效。
根据分配率，我们可以将一个代数式分解为多个相乘或相除的项，从而简化处理过程。
例如，对于一个形如3(a+b)的代数式，可以使用分配率法将其展开为3a+3b。
通过分配率法，能够更方便地进行代数式的运算和化简。
五、二次因式分解法二次因式分解是一种将二次多项式分解为一次或二次因式乘积的方法，适用于解决一些特定的代数问题。
通过二次因式分解，我们可以将一个复杂的二次多项式化简为简洁的形式。
例如，对于一个形如x^2 - 5x + 6的代数式，可以使用二次因式分解法得到(x-2)(x-3)。
二次因式分解法在解决二次方程、求解最值等问题时十分有用。
综上所述，代数式化简是一种常见和重要的数学解题方法。
代数式的化简与求值
代数式的化简与求值二、方法剖析与提炼 例1．已知12322--+=x xy x A ，12-+-=xy x B ，且3A +6B 的值与x 无关，求y 的值。
【解答】3A +6B＝()9615--x y∴当y =_________________时，3A +6B 的值与x 无关。
【解析】由已知3A +6B 与x 无关，只能说3A +6B 中不含有x 。
【解法】求3A +6B 表示的代数式，用整体代入求得关于x ，y 的代数式9615--x xy ，因3A +6B 与x 无关问题就转化为当y 为何值时9615--x xy 中不含有x 。
∵当15y -6=0时，9615--x xy 中不含有x 。
∴当y =52时，3A +6B 中不含有x 。
【解释】（1）3A +6B 的式子也即将12322--+=x xy x A 与12-+-=xy x B 整体代入后化简的结果；（2）3A +6B 与x 无关的问题转化为“式中应不含有x ”,如何当代数式9615--x xy 中不含有x 呢？那可以这样处理：把y 作为常数，让字母x 的系数为0即可。
例2．若201632=+y x ，则代数式()_______)9()(232=+-+---y x y x y x【解答】())9()(232y x y x y x +-+---＝4032.【解析】首先化简代数式())9()(232y x y x y x +-+---得：y x 64+，再观察y x 64+与y x 32+的关系，若看不出来，也可对y x 64+进行因式分解： y x 64+＝()y x 322+，可得y x 64+是y x 32+的2倍。
【解法】对代数式()()()2232y y x y x x -+---化简后得23129x x -+，再将241x x -=整体代入求解，具有一般性解法。
此题也可以由241x x -=，得：241x x =+，代入化简化的代数式y x 64+求值，这种方法叫消元代入法。
数学考模板代数式的化简
数学考模板代数式的化简在数学考试中，常常会遇到代数式的化简问题。
代数式化简是将一个复杂的代数表达式，通过合理的运算变换，简化为更简洁清晰的形式。
本文将介绍一些常见的代数式化简方法，并通过实例进行详细讲解。
一、合并同类项合并同类项是代数式化简的基础步骤。
所谓同类项，是指具有相同字母因子的项。
首先，将代数式中所有的同类项找出来，然后将它们按照相同的字母因子进行合并。
最后，将合并后的项写在一起，即可得到已化简的代数式。
例1：将代数式3x - 2y + 4x + 5y进行化简。
解：首先找出同类项，3x和4x是同类项，-2y和5y是同类项。
然后将同类项相加，得到7x + 3y。
所以，化简后的代数式为7x + 3y。
二、分配律的运用在代数式化简中，分配律是一个非常有用的运算法则。
分配律可以将一个项与括号内的表达式分别进行运算，然后将运算结果合并起来。
例2：将代数式2(x + 3) + 4(x - 1)进行化简。
解：根据分配律，先将2与括号内的表达式(x + 3)相乘，得到2x + 6；然后将4与括号内的表达式(x - 1)相乘，得到4x - 4。
最后将两个结果相加，得到化简后的代数式6x + 2。
三、因式分解因式分解是将一个代数式拆解为乘积形式的过程。
通过因式分解，我们可以将复杂的代数式化简为简单的乘积形式，方便进行进一步的运算。
例3：将代数式x^2 + 4x + 4进行化简。
解：观察代数式，发现它是一个完全平方三项式，可以通过因式分解化简。
首先找出该三项式的平方根，即(x + 2)(x + 2)。
所以，化简后的代数式为(x + 2)^2。
四、合并分数当代数式中存在分数形式时，我们可以将分数进行合并，从而化简代数式。
例4：将代数式(x/3) + (2x/3)进行化简。
解：将两个分数相加，得到(3x + 2x)/3。
进一步合并同类项，化简后的代数式为5x/3。
综上所述，代数式的化简是数学考试中常见的题型。
通过合并同类项、运用分配律、因式分解和合并分数等方法，我们可以将复杂的代数式化简为简洁清晰的形式，便于我们进行后续的计算和分析。
初一数学期中压轴题：代数式化简求值_题型归纳
初一数学期中压轴题：代数式化简求值_题型归纳初一数学期中压轴题：代数式化简求值小编整理了关于初一数学期中压轴题：代数式化简求值，赶紧来练习一下吧，为期中考试打下坚实基础!一、【考点】整体法求值、数形结合思想、加减法计算【师大附中期中】已知a-b=3，b-c=4，c-d=5，则（a-c）（d-b）=【解析】方法①（代数法：整体思想）a-c=（a-b）+（b-c）=3+4=7；b-d=（b-c）+（c-d）=4+5=9；d-b=-9原式=7*(-9)=-63方法②（几何法：借助数轴）如图：易得a-c=7，d-b=-9，原式=-63【答案】-63二、【考点】整体法求值、有理数加减法计算【清华附中期中】已知（2x-1）5=ax5+bx4+cx+dx+ex+f（a，b，c，d，e，f为常数），则b+d=_______【解析】令x=1得，1=a+b+c+d+e+f①令x=-1得，-243=-a+b-c+d-e+f②令x=0得，-1=f①+②得：2b+2d+2f=-242b+d+f=-121b+d=-120【答案】-120三、【考点】整体法求值、二元一次方程组【五中分校期中】如果四个有理数满足下列等式a+bc=-1，2b-a=5，2a+b=2d，3a+bc=5，求：abcd的值．【解析】a+bc=-1①，2b-a=5②，2a+b=2d③，3a+bc=5④由①、④解得：a=3，bc=-4把a=3代入②得：b=4把a=3、b=4代入③得：d=5所以abcd=3（-4）5= - 60【答案】-60四、【考点】整体代入化简求值【清华附中期中】已知x+y=6，xy=4，代数式的值是__________。
【解析】原式=（xy+y+xy+2x）/xy=[（x+y）y+（xy+2）x]/xy=（6y+6x）/4=9【答案】9五、【考点】整体法求值【北京四中期中】已知：a为有理数，a+a+a+1=0，求1+a+a+a++a2012的值。
代数式求值题的常见题型和解法
手 ‘ ‘式 署 ＝ ． ． ＝ 一３ 原
５ 利用完全 平方公式 、
若 已知 与 所求 中包 含 ａ＋ ， ｂ ａ ， 几 个式 子 ， ｂｏ— ，ｂａ ＋ｂ 这 则
可考 虑 利用 完 全平 方 公 式进 行 求解 。
解 ： ｌ ＋ Ｉ＋ Ｖ 一 ０ ： ２＝ ， ２＝ ， 以 由 ２ ｙ ２＝ 得 ＋ ０ Ｙ一 ０ 所
＝ 一
６ 配 方 法 、
观 察 已 知 ， 已知 某 儿 个 字 母 的 二 次 项 、 次 项 及 常 数 项 ， 若 一
２． ＝２ Ｙ
所 以（ ） 三
Ｙ
＝（一 ） ＝ 一１ １ 。故 选 曰。
３ 整体代入 法 、
已知 条件 和所 求都 包 含 相 同 的某 个 式 子 ， 可将 这 个 式 子 作 为 整体 代 入 所求 的式子 中 ， 而 求 出其 值 。 从 例 ３ 已知 ２ ２ Ｘ一 ３ 求 ６ ２ ９ ２的值 。 、 Ｘ ＋３ ４＝ ， Ｘ ＋ Ｘ一
分 析 ： 类 题 目切 记不 要 解 已知 中的 一元 二 次 方程 ， 代 人 此 再
例 ４若＿ ： ， 、 苎 ３求 亏 ＿
Ｙ ＋Ｙ
的值 。
分析 ： 已知是 两 个 字 母 的 比值 ， 以 可 设 ＝ ｙ 然 后 把 它 所 ３， 代 入所 求 ， 样 分子 、 母 中都 含 有 相 同 的 因式 ， 相 同 的 因 这 分 把 式 约去 后 就 得到 所 求式 子 的 值 。
就可利用配方将条件转化成几个数 的平方和 的形式 ， 再利用非
负 数 的性 质确 定 其 中字 母的值 ， 最后 代 入求 值 。
七年级苏教版数学复习要点考点专题二：整式化简求值及应用(教师用,附答案分析)
七年级苏教版数学复习要点考点专题二：整式化简求值及应用知识点一 整式化简求值1.求代数式的值的一般方法（1）直接代入法：直接将字母的值代入代数式进行计算.（2）间接代入法：先计算出对应的字母的值，再把求得的值代入代数式进行计算.（3）整体代入法：先求出含一个字母或多个字母的整体值，然后将代数式变形为含有此整体的代数式并进行计算.注意：化简求值的扩充方法 ①设k 法遇到连等式、连续比例式的题，解决这类题型的最佳方法是设k 法． ②赋值法在解题过程中，对于难以化简求值问题，我们也可以通过给未知数赋一些特殊值来解决问题． 例1（玄武区期中）已知223A x mx x =+-，21B x mx =-++，其中m 为常数，若2A B +的值与x 的取值无关，则m 的值为( ) A ．0B ．5C ．15D ．15-【解答】解：已知223A x mx x =+-，21B x mx =-++，222232(1)A B x mx x x mx +=+-+-++， 2223222x mx x x mx =+--++，52mx x =-+因为2A B +的值与x 的取值无关，所以510m -=解得15m =．故选：C ． 例2（溧水区期中）已知代数式2x y +的值是2，则代数式124x y --的值是( ) A ．1- B ．3- C ．5- D ．8-【解答】解：根据题意得：22x y +=， 方程两边同时乘以2-得：244x y --=-，方程两边同时加上1得：124143x y --=-=-，故选：B ．知识点二 整式运算应用一、常见找规律基本类型 1．等差型规律相邻两项之差（后减前）等于定值的数列．例如：4，10，16，22，28…，增幅是6，第一位数是4，所以，第n 位数为：()41662n n +-⨯=-． 2．等比型规律相邻两项之比（后比前）等于定值的数列．例如：3，6，12，24，48…，比值是2，第一位数是3，所以，第n 位数为：132n -⨯． 3．符号型规律符号型数列的特点是，正数与负数交替出现；解决方法：先不考虑符号，找到数列的规律，并用含n 的式子表示，然后再乘以()1n-或()11n +-．补充：①平方型规律；②求和型规律；③周期型规律二、定义新运算：是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算． 在定义新运算中的※，，∆……与+、-、⨯、÷是有严格区别的．解答定义新运算问题，必须先理解新定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的 +、-、⨯、÷运算问题．注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．三、程序框图运算：程序框图运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 注意：程序框图中的运算是由前到后．．．．依次进行的，不存在先乘除后加减的问题．例1（建邺区期中）一组有规律排列的数：1、3、7、______、31⋯⋯，在下列四个数中，填在横线上最合理的是( )A ．9B ．11C ．13D ．15 【解答】解：3121=⨯+，7321=⨯+，15721=⨯+，311521=⨯+， ∴后一个数是它前一个数的2倍加上1，故选：D ． 例2（鼓楼区期末）小红在计算2320201111()()()4444+++⋯+时，拿出1张等边三角形纸片按如图所示方式进行操作．①如图1，把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第1次操作；②如图2，再把①中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第2次操作；③如图3，再把②中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，⋯依次重复上述操作．可得2320201111()()()4444+++⋯+的值最接近的数是( )A ．13B ．12C ．23D ．1【解答】解：设2320201111()()()4444S =+++⋯+，则232019111141()()()4444S =++++⋯+， 2020141()4S S -=-，2020131()4S =-，202011()1433S -=≈，故选：A ． 例3（建邺区期中）有一列数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，n a ⋯，从第二个数开始，等于1与它前面的那个数的差的倒数，若13a =，则2019a 为( )A．2019B．23C．12-D．3【解答】解：依题意得：13a=，211132a==--，3121312a==+，413213a==-；∴周期为3；20193673÷=所以2019323a a==．故选：B．例4（溧水区期中）如图，一个长方形运动场被分隔成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是4个边长为bm的小正方形组成的正方形．（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（3）如果40a m=，20b m=，求整个长方形运动场的面积．【解答】解：（1）2[()()]2()4()a b a b a b a b a m++-=++-=（2）2[()()]2()8()a ab a a b a a b a a b a m++++-=++++-=（3）解：(22)(22)4()()S a b a b a b a b=-⨯+=+-m，当40a=，20b=时原式4(4020)(4020)4800=+-=m，答：整个长方形运动场的面积为4800 m．【提优训练】一、单选题（共6小题）1．（苍溪县期末）已知一个多项式与239x x+的和等于2341x x+-，则此多项式是() A．2651x x---B．51x--C．2651x x-++D．51x-+【解答】解：由题意得：22341(39)x x x x+--+，2234139x x x x=+---，51x=--．故选：B．2．（常熟市期中）已知代数式2245x x-+的值为9，则272x x-+的值为()A．5B．6C．7D．8【解答】解：根据题意得：22459x x-+=，方程两边同时减去5得：2244x x-=，方程两边同时乘以12-得：222x x-+=-，方程两边同时加上7得：272725x x-+=-=，故选：A．3．（江阴市期中）已知2a b-=，2d b-=-，则2()a d-的值为()A．2B．4C．9D．16【解答】解：2a b-=，2d b-=-，()()4a b d b∴---=，则4a b d b--+=，4a d-=，2()16a d∴-=．故选：D．4．（姑苏区期末）如果a 和14b -互为相反数，那么多项式2(210)7(23)b a a b -++--的值是( ) A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【解答】解：由题意可知：140a b +-=，41a b ∴-=-，∴原式242071421b a a b =-++-- 3121a b =--3(4)1a b =--31=--4=-，故选：A ．5．（路北区三模）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n 、m 的大矩形，则图中阴影部分的周长是( )A ．6()m n -B ．3()m n +C ．4nD ．4m 【解答】解：设小矩形的长为a ，宽为()b a b >，则3a b n +=，阴影部分的周长为22()2(3)222264224n m a m b n m a m b m n n m +-+-=+-+-=+-=，故选：D ． 6．（宿豫区期中）下列图形都是由同样大小〇的按一定的规律组成的，其中第1个图形一共有4个〇，第2个图形一共有9个〇，第3个图形一共有15个〇，⋯则第70个图形中〇的个数为( )A ．280B ．349C ．2485D ．2695【解答】解：第①个图形中基本图形的个数1(11)4312⨯+=⨯+， 第②个图形中基本图形的个数2(21)8322⨯+=⨯+， 第③个图形中基本图形的个数3(31)11332⨯+=⨯+， ⋯∴第n 个图形中基本图形的个数为(1)32n n n ++当70n =时，707137026952⨯⨯+=，故选：D ．二、填空题（共5小题）7．（海州区期中）如果23x x -的值是1-，则代数式2396x x -+-的值是 ． 【解答】解：根据题意得：231x x -=-， 方程两边同时乘以3-得：393x x -+=，方程两边同时减去6得：396363x x -+-=-=-，故答案为：3-． 8．（邗江区一模）若1m n -=-，则2()22m n m n --+= ．【解答】解：1m n -=-，2()22m n m n ∴--+2()2()m n m n =---2(1)2(1)=--⨯-12=+3=．9．（无锡期末）若代数式22x x -的值为5，则代数式2363x x --的值为 ． 【解答】解：2363x x --23(2)3x x =--225x x -=，∴原式353=⨯-12=．故答案为：1210．（凤山县期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，⋯，则第2019次输出的结果为 ．【解答】解：由设计的程序，知依次输出的结果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1⋯，发现从8开始循环．则201942015-=，201545033÷=⋯，故第2019次输出的结果是2．故答案为：2 11．（秦淮区期中）如图所示的数表是由从1开始的连续自然数组成的．观察数表特征，第n 行最中间的数可以表示为 ．（用含n 的代数式表示）【解答】解：由图中的数字可知，第n 行第一个数字是2(1)1n -+，最后一个数字是2n ，则第n 行最中间的数可以表示为：222(1)112n n n n -++=-+，故答案为：21n n -+．三、解答题（共2小题）12．（海州区期中）化简或求值 （1）化简：3(2)2(3)a b a b --+（2）先化简，再求值：22225(3)4(3)a b ab ab a b --+；其中1a =，12b =-．【解答】解：（1）原式(63)(26)632649a b a b a b a b a b =--+=---=-；（2）原式22222215541239a b ab ab a b a b ab =---=-，当1a =，12b =-时，原式3915244=--=-．13．（玄武区期中）如图是小江家的住房户型结构图．根据结构图提供的信息，解答下列问题： （1）用含a 、b 的代数式表示小江家的住房总面积S ；（2）小江家准备给房间重新铺设地砖．若卧室所用的地砖价格为每平方米50元；卫生间、厨房和客厅所用的地砖价格为每平方米40元．请用含a 、b 的代数式表示铺设地砖的总费用W ； （3）在（2）的条件下，当6a =，4b =时，求W 的值．【解答】解：（1）小江家的住房总面积：83S a b =-；（2）3(8)508(3)40W b a =-⨯+-⨯1200150320960b a =-+-320150240a b =-+； （3）当6a =，4b =时32061504240W =⨯-⨯+1920600240=-+1560=．。
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初中数学代数式化简求值题归类及解法
代数式化简求值是初中数学教学的一个重点和难点内容。
学生在解题时如果找不准解决问题的切入点、方法选取不当，往往事倍功半。
一. 已知条件不化简，所给代数式化简 1.先化简，再求值： ()a a a a a a a a -+--++÷-+2214442
22
，其中a 满足：a a 2
210+-=。
（1） 2.已知x y =+
=-2222,，求(
)y
xy y
x
xy x
xy x y x y
x y
++-÷+⋅-+的值。
（2-）
二.已知条件化简，所给代数式不化简 3.已知a b c 、、为实数，且
ab a b +=13，bc b c ac a c +=+=1415,，试求代数式
abc ab bc ac ++的值。
（1
6
） 三.已知条件和所给代数式都要化简
4.若x x +=13，则x x x 242
1++的值是（ ）。
（1
8
） 5.已知a b +<0，且满足a ab b a b 2
2
22++--=，求a b ab
33
13+-的值。
（1-）
第十三讲 有条件的分式的化简与求值
能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、整齐和神秘之美的能力的人．
————————彭加勒
【例题求解】
例1 若
a d d c c
b b a ===，则
d
c b a d
c b a +-+-+-的值是_________________． 例2 如果03
1
2111,0=+++++=++c b a c b a ，那么222)3()2()1(+++++c b a 的值为
（ ）．
A ．36
B ．16
C ．14
D ．3 例3 已知16,2,12
2
2
=++=++=z y x z y x xyz ，
求代数式++++x yz z xy 21
21y
zx 21+的值．
例4 已知
1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求a
c c
c b b b a a +++++的值．
例5 （1）解方程：
8
1
209112716512312
222=+++++++++++x x x x x x x x ； （2）已知方程c c x x 11+=+（c 为不等于0的常数）的解是c 或c
1
，求方程
a a a x 2136412++=-的解（a 为不等于0的常数）．
【学力训练】
基础夯实
1、 已知032
=-+x x ，那么
______________1
33
2=---x x x ． 2、 已知a c c b b a abc ==≠且
,0，则___________3223=--++c
b a
c b a ． 3、 若c b a 、、满足0,0>=++abc c b a ，且+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=++=
c b a y c c b b a a x 11, _______________32,1111=++⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+xy y x b a c a c b 则． 4、 已知1
,0132
42
2
++=+-x x x x x 则的值为__________________． 5、 若0,≠+-=
a b a b a x 且，则a b
等于（ ）
． A ．x x +-11 B ．x x -+11 C ．11+-x x D ．1
1-+x x
6、设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果a
b
b a
c b c a =+=-，那么（ ）． A ．c b 23= B ．b a 23= C ．c b =2 D ．b a =2
7、若)0(072,0634≠=-+=--xyz z y x z y x ，则代数式2
222
22103225z
y x z y x ---+的值等于（ ）．
A ．21-
B ．219-
C ．15-
D ．13- 8、已知1,01112
22=++=++c b a c
b a ，则
c b a ++的值等于（ ）．
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．0
9、设0=++c b a ，求ab
c c ac b b bc a a +++++22
222
2222的值．
10、已知：1===cz by ax ，求4
4444411
1111111111z
y x c b a +++++++++++的值．
能力拓展
11、若0≠abc ，且
b a
c a c b c b a +=+=+，则__________)
)()((=+++abc
a c c
b b a ．
12、若
p y
x z z y x x z y y x z z y x x z y =-+-+=-+-+=++-+，则32p p p ++的值为____________．
13、已知
3,2,1=+=+=+x
z zx
z y yz y x xy ，则x 的值为_____________． 14、已知d c b a 、、、为正整数，且c d a b c d a b )1(71,74-=
+-=，则a c 的值是_________；b
d
的值是___________．
15、设c b a 、、满足0≠abc 且c b a =+，则ab
c b a ca b a c bc a c b 2222
22222222-++-++-+的值为
（ ）．
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3 16、已知3,2,12
2
2
=++=++=c b a c b a abc ，则1
1
1111-++
-++-+b ca a bc c ab 的值为（ ）．
A ．1
B ．21-
C ．2
D ．3
2- 17、已知0≠abc ，且0=++c b a ，则代数式ab
c ac b bc a 2
22++的值为（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 18、关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1
2
12-+=-+a a x x 的两个解是（ ）．
A ．a a 2,
B ．12,1--a a
C ．12,-a a
D ． 1
1,-+a a a 19、已知z y x 、、满足1=+++++y
x z
x z y z y x ，求代数式y x z z x y z y x +++++222的值．
20、设c b a 、、满足
c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，=++n n n c b a 1+n
a 1
n
n c
b 1
1+．
综合创新
21、已知012
=--a a ，且11293
22322
324-=-++-a
xa a xa a ，求x 的值．
22、已知非零实数c b a 、、满足0=++c b a ． （1）求证：abc c b a 33
3
3
=++； （2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-a c b c b a b a c
b a
c a c b c
b a 的值．。