导数在多项式函数中的应用

［１］全国各类成人高考复习指导丛书．数学（文史财经类） （第１３版） ［Ｍ］．高等教育出
版社，２００９．
（上接第２８ 页） １）传统的防火墙技术通常都设置网络边缘，无法处理内部网络的
攻击，所以防火墙技术的模式开始向分布式结构的思路发展。分布式 体系的防火墙将各个节点有效地保护起来，这将大大提高安全保护的力 度。而且分布式体系的产生将从理论上改善防火墙技术的防御理念。防 火墙产品由于在功能性上的扩展，更强的规则处理能力将使其对自身 软、硬件提出更高的性能要求。硬件因素往往受技术瓶颈地拖累，所以 防火墙的软件部分将需要更多先进的技术，以解决防火墙性能要求与实 际水平的矛盾。
Ｚ
］
Ｚ
故所求单调增区间为（－∞，０），（２，＋∞），单调减区间为 （０ ，２ ）。
３ 用导数求多项式函数的极值
求多项式函数极值的步骤是：（１）求导数ｆ′（ｘ）；（２）求驻点； （３）多项式函数ｆ（ｘ）的定义域Ｒ由驻点分成一些区间；（４）在各区间内 由ｆ′（ｘ）的正负，确定函数的极值；（判断在每个驻点（如ｘ１）的左右 侧，导函数ｆ′（ｘ）的符号如何变化，如果ｆ′（ｘ）的符号由正变负，则ｆ（ｘ１）是 极大值；如果ｆ′（ｘ）的符号由负变正，则ｆ（ｘ１）是极小值。注意如果ｆ′（ｘ）＝ ０ 的根ｘ ＝ ｘ１的左右侧符号不变，则ｆ（ｘ１）不是极值。
最后，安全技术和安全管理不可分割，它们必须同步推进。因为即 便有了好的安全设备和系统，如果没有好的安全管理方法并贯彻实施， 那么安全也是空谈。 参考文献
［１］黎连业，张维．防火墙及其应用技术［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００７．
［２］张世永．网络安全原理与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３．
［３］姜文红．网络安全与管理［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００７．
０
＋
ｆ（ｘ）
Ｚ
极大值 ］ 极小值 Ｚ
当ｘ＝－２时，ｙ有极大值ｆ（－２）＝－（２８／３），当ｘ＝２时，ｙ有极小值 ｆ（２）＝－（４／３）．
４ 用导数求多项式函数的最值
求多项式函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上最值的步骤是：（１）求ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ） 内的极值；（２）求多项式函数ｆ（ｘ）在区间端点的函数值ｆ（ａ），ｆ（ｂ）；（３）把 ｆ（ｘ）各极值与ｆ（ａ），ｆ（ｂ）比较，期中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
２ 用导数判断多项式函数的单调性
利用导数判断多项式函数的单调性的步骤是：（１）求导数ｆ′（ｘ）；
（２）求驻点（使ｆ′（ｘ）＝０的点ｘ）；（３）多项式函数ｆ（ｘ）的定义域Ｒ由驻
点分成一些区间；（４）在各区间内由ｆ′（ｘ）的正负，确定函数的单调
性。若在多项式函数中含字母系数，往往要分类讨论。
例２．求函数ｙ＝ｘ３－３ｘ２－１的单调区间。
例４．求函数ｆ（ｘ）＝４ｘ２（ｘ２－２）在区间［－２，２］上的最值。 解：∵ｆ（ｘ）＝４ｘ２（ｘ２－２）＝４ｘ４－８ｘ２ ∴ｆ′（ｘ）＝１６ｘ３－１６ｘ＝１６（ｘ＋１）（ｘ－１） 令ｆ′（ｘ）＝０，得 ｘ１＝－１，ｘ２＝０，ｘ３＝１ 由ｘ１＝－１，ｘ２＝０，ｘ３＝１把［－２，２］分成四个区间（－２，－１）；（－１， ０）；（０，１）；（１，２） 列表表３
万方数据
导数在多项式函数中的应用
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
陶立平 金华广播电视大学,浙江金华,321000
科技与生活 TECHNOLOGY AND LIFE 2009(2)
参考文献(1条) 1.全国各类成人高考复习指导丛书.数学(文史财经类) 2009
本文链接：/Periodical_kjysh200902079.aspx
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教育科学
科技与生活 ２００９年１１月下
导数在多项式函数中的应用
陶立平 （金华广播电视大学，浙江金华 ３２１０００）
摘 要 利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。导数是分析和解决问题的有效工具。 关键词 导数；函数的切线；单调性；极值和最值 中图分类号 Ｏ１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １６７３－９６７１－（２００９）１１２－００８４－０１
１ 用导数求函数的切线
根据导数的几何意义，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数的几何意义，就是 曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜率。也就是说，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点 Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜率是ｆ′（ｘ０） ，相应的切线方程为ｙ－ｙ０＝ ｆ′（ｘ０） （ｘ－ｘ０）。
例１、求曲线ｙ＝ｘ３－３ｘ２－１在点（１，－３）处的切线方程。 分析：根据导数的几何意义求解。 解：∵ｙ′＝ ３ｘ２－６ｘ，∴ ｙ′｜ｘ＝１＝ －３，即所求切线的斜率为－３． 故所求切线的方程为ｙ＋３ ＝ －３（ｘ－１），即为：ｙ ＝ －３ｘ
分析：求出导数ｙ′，令ｙ′＝０，解出ｘ的取值范围即可。
解：ｙ′＝ ３ｘ２－６ｘ＝３ｘ（ｘ－２）， 令ｙ′＝０得ｘ１＝０，ｘ２＝２。
由ｘ１＝０，ｘ２＝２把Ｒ分成三个区间（－∞，０）；（０，２）；（２，＋∞）
列表如表１
表 １
ｘ （－∞，０） ０ （０，２）
２
（２，＋∞）
ｆ′（ｘ）
＋
０
－
０
＋
ｆ（ｘ）
２）对于ＩＤＳ技术和ＩＰＳ技术，发展的趋势为分析技术的改进，解决误 报和漏报的问题；结合数据挖掘技术，从海量告警数据中获取真正有意
义的信息，从而使得ＩＤＳ／ＩＰＳ能够提供一种动态的策略；内容恢复和审计 功能，能让管理员可以看到系统／网络真正的运行状况，这样不仅可以使 管理员看到孤立的攻击事件告警，还可以看到整个攻击过程，为进一步 的分析提供了可能；产品标准化，为安全产品之间的联合提供了方便。
根据我校的生源特点和大部分学生参加成人高考的数学教学要求， 导数在多项式函数中的应用成为一个数学教学重点。本人结合中专数学 教学实践，就导数在多项式函数中的应用作个初步总结。有关导数在多 项式函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求 函数的极值和最值，这些类型成为近几年成人高考必考题，是成人高考 数学教学的重点之一。
表 ３
ｘ －２ （－２，－１） －１ （－１，０） ０ （０，１） １ （１，２） ２
ｆ′（ｘ）
－０
＋
０ － ０＋
ｆ（ｘ）
］ 极小值 Ｚ 极大值 ］ 极小值 Ｚ
极小值ｆ（－１）＝－４，ｆ（１）＝－４． 极大值ｆ（０）＝０ 区间端点的函数值ｆ（－２）＝３２，ｆ（２）＝３２ 比较上面五个函数值知，最大值３２，最小值－４． 本题也可以这样解： 解：∵ｆ（ｘ）＝４ｘ２（ｘ２－２）＝４ｘ４－８ｘ２ ∴ｆ′（ｘ）＝１６ｘ３－１６ｘ＝１６（ｘ＋１）（ｘ－１） 令ｆ′（ｘ）＝０，得 ｘ１＝－１，ｘ２＝０，ｘ３＝１ 计算区间端点函数值 ｆ（－２）＝３２，ｆ（２）＝３２ 驻点函数值ｆ（－１）＝－４， ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝－４ 比较上面五个函数值知，最大值３２，最小值－４ 总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时有时非常方便，尤其 是可以利用导数来解决多项式函数的单调性，极值，最值以及切线问题。 在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应 用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科 学的语言和工具，进一步加深对多项式函数的深刻理解和直观认识。 参考文献
例３．求函数ｆ（ｘ）＝（１／３）ｘ３－４ｘ＋４的极值。 解：∵ｆ′（ｘ）＝ｘ２－４，令ｆ′（ｘ）＝０得ｘ１＝－２，ｘ２＝２． 由ｘ１＝－２，ｘ２＝２把Ｒ分成三个区间（－∞，－２）；（－２，２）；
（２，＋∞） 列表如表２
表 ２
ｘ （－∞，－２） －２ （－２，２） ２ （２，＋∞）
ｆ′（ｘ）
＋
０
－