数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 集合、集合运算

B ⊆A, C ⊆A, C ⊆B
例：{a} ∈ {{a},b} {a,b} ⊆ {a,b,{a}}
一、概念和表示法
子集：
两个集合相等的充分必要条件是它们互为子集， 即A=B A⊆B∧B ⊆A。
证明：A=B ∀x(x∈A x∈B) ∀x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A)) ∀x(x∈A→x∈B)∧∀x(x∈B→x∈A) A⊆B∧B ⊆A 证明集合相等的一种有用的方式。
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绑定变量
除非所有量词均为全称量词或均为存 在量词，否则量词的顺序非常重要。
P(x,y)= x×y =0 P(x,y)= x+y =0
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语句 ∀x∀y P(x,y) ∀y∀x P(x,y) ∀x∃y P(x,y)
∃x∀y P(x,y)
∃x∃y P(x,y) ∃y∃x P(x,y)
何时为真
.a . . u V e . .o i
U
一、概念和表示法
集合相等
两个集合相等当且仅当它们有相同的元素，记 作A=B，不相等记作A≠B。
集合的元素还可以允许是一个集合
S={a,{1,2},p,{q}}
集合中的各个元素在该集合中无次序的 集合中的各个元素是可以相互分开的，重复出
现就算一个
一、概念和表示法
A1×A2×…×An表示，这是有序n元组 (a1,a2,…,an)的集合，其中对于 i=1,2,…,n, ai∈Ai。 P44 – 例16
※四、集合运算
并集：
设任意两个集合A和B，所有属于A或属于B的 元素组成的集合S，称为A和B的并集，记作： A∪B。
S= A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}
1.4 集合 Set
一、概念和表示法
集合是构造所有其他离散结构的基础（关 系、组合、图等）
集合是一个不能精确定义的基本概念 直观地说，把具有共同性质的一些事物，
汇集成一个整体，就形成一个集合，而这 些事物就是这个集合的元素或成员。
26个英文字母的集合 教室内的桌椅
一、概念和表示法
通常用大写字母表示集合
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┐(∃x) A(x) (∀x) ┐A(x) ┐(∀x) A(x) (∃x) ┐A(x) (∀x)(A(x) ∧ B(x)) (∀x) A(x) ∧(∀x)B(x) (∃x) (A(x)∨ B(x)) ∃xA(x)∨∃xB(x) (∀ x) (A(x) ∨ B) ∀xA(x) ∨ B (∀ x) (A(x) ∧ B) ∀xA(x) ∧ B (∃ x) (A(x) ∨ B) ∃xA(x) ∨ B (∃ x) (A(x) ∧ B) ∃xA(x) ∧ B
谓词 N={x|x是自然数} O={x|x是小于10的正奇数}
一、概念和表示法
文氏图
我们所考虑的所有对象的集合U，称为 全集（相当于论域）；
全集用长方形表示； 圆或其它集合图形用于表示集合； 点表示集合中特定的元素； 文氏图常用于表示集合之间的关系。
一、概念和表示法
文氏图
例：表示英语中的元音字母V的文氏图， 全集U为26个英文字母的集合
A×B={(a,b)| a∈A ∧ b∈B} 例：设A={a,b}, B={0,1,2}，则 A×B={(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)} B×A={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
三、笛卡尔积
A×B≠B×A； 若A=或B=，则A×B=。 集合A1,A2,…,An的笛卡尔积用
i 1
表示集合A1,A2,…,An的并集。
※四、集合运算
集合的计算机表示
把集合的元素无序地存储起来。但是在做集合 的并集、交集或差集等运算时会浪费时间，因 为这些运算将需要大量的元素检索；
假定全集U是有限的。首先为U的元素任意规 定一个顺序，例如a1,a2, …,an。于是可以用长 度为n的位串表示U的子集A：如果ai属于A，则 位串中第i位为1；如果ai不属于A，则位串中的 第i位是0。
集合相等 {1,2,4} = {1,2,2,4} {1,2,4} = {1,4,2} {{1,2},4}≠ {1,2,4} {1,3,5,7,…} = {x|x是正奇数}
一、概念和表示法
元素和集合之间的关系是隶属关系， 即属于或不属于，属于记作∈，不属 于记作。
A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，
A∩(B∩C)= (A∩B)∩C A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(B∪C)
A∪B＝—A∩B— A∩B＝A—∪B—
名称 交集合运算
集合等式
两个集合互为子集
P49 – 例10
描述法和逻辑等价
P50 – 例11
成员表法（类似于真值表）
N：全体自然数组成集合 Z：全体整数组成的集合 Q：全体有理数组成的集合 R：全体实数组成的集合 C：全体复数组成的集合
小写字母表示集合中的元素
一、概念和表示法
集合的表示方法
枚举法 描述法 文氏图
枚举法
在可能的情况下列出集合的所有元素，元素之 间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。 A={a，b，c，…，z}
S= U－A={x|(x∈U)∧(xA)}
U A
※四、集合运算
对称差：
设任意两个集合A和B，A和B的对称差为S，其 元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又属 于B。记作：AB。
S= AB =(A-B)∪(B-A)
={x|(x∈A)(x∈B)}
U
A
B
※四、集合运算
集合等式
集合等式可以直接用对应的逻辑等价关 系证明；
数理逻辑
Mathematical Logic
第一章 逻辑、集合和函数
Chapter 1 Logic、set and function
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绑定变量
当量词作用于变量x或给这一变量赋值 时，我们说此变量的这一次出现为绑 定的。
量词所约束的范围称为量词的辖域。 ∀x (P(x) →∃yQ(x,y))
A⊂B A⊆B ∧ A≠B
一、概念和表示法
真子集：
A⊂B用文氏图表示
U
A
B
一、概念和表示法
空集：
不包含任何元素的集合是空集，记作。 空集可以符号化表示为：＝{}。 对于任意一个集合A，⊆A。 空集是唯一的。
一、概念和表示法
空集：
与{}是不同的。{}是以为元素的 集合，而没有任何元素。
一、概念和表示法
子集：
A⊆A (A ⊆B) ∧ (B ⊆C) ⇒ A ⊆C A⊆B∧B ⊆A ⇒ A = B
自反性 传递性 反对称性
一、概念和表示法
真子集：
如果集合A的每一个元素都属于B，但集 合B中至少有一个元素不属于A，则称A 为B的真子集，记作：A⊂B。
A⊂B (∀x)(x∈A→x∈B)∧(∃x)(x∈B∧xA)
何时为假
对每一对x,y，P(x,y) 有一对x,y，
均为真
使P(x,y)均为假
对每个x，都有y使得 P(x,y)为真 有一个x，使P(x,y)对 所有y均为真
有一个x，使P(x,y) 对每个y总是假 对每个x都有y使得 P(x,y)为假
有一对x,y使P(x,y)为 对每一对x,y，P(x,y)
真
均为假
U
B
A
※四、集合运算
交集：
设任意两个集合A和B，由集合A和B的所有共 同元素组成的集合S，称为A和B的交集，记作： A∩B。
S= A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}
U
A
B
※四、集合运算
不相交：
如果两个集合的交集为空集 （A∩B=），就说它们不相交。
包含排斥原理：
求集合并集的基数
一、概念和表示法
枚举法
小于10的正奇数集合O可以表示为： O={1,3,5,7,9}
有时也并不列出它的所有元素。先列出集合中 的某些元素，然后当元素的一般形式很明显时 就用省略号（…）表示。
小于100的正整数集合可以表示为 {1,2,3,…,99}
一、概念和表示法
描述法
用谓词来概括集合中元素的属性 用{x|P(x)}表示集合，其中P(x)表示任何
U
B
A
C
U
B
A
C
※四、集合运算
扩展的并集和交集
一组集合的并集是包含那些至少是这组
集合中一个集合成员的元素的集合。记
作：
n
A1 A2
An
i1
A
i
表示集合A1,A2,…,An的并集。
※四、集合运算
扩展的并集和交集
一组集合的交集是包含那些属于这组集 合中所有成员集合的元素的集合。记作：
n
A1 A2 An Ai
三种证明方法：
两个集合中的任何一个都是另一个的子集 描述法和逻辑等价 成员表法
等式 A∪＝A
A∩U=A A∪U＝U
A∩= A∪A＝A
A∩A=A (—A—)
A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
名称 恒等律
支配律
幂等律 补集律 吸收律
等式 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪(B∪C)= (A∪B)∪C
U
B
A
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
※四、集合运算
差集：
设任意两个集合A和B，所有属于A而不属于B 的元素组成的集合S，称为A和B的差集，或B 对于A的补集，记作：A－B。
S= A－B={x|(x∈A)∧(xB)}
={x|(x∈A)∧﹁(x∈B)}
U
A
B
※四、集合运算
补集
令U为全集，集合A的补集用A—表示，这是A对 于U的补集，记作：U－A。