(完整版)高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-5,推荐文档

【练习58（2005浙江）如图，在三棱锥P —ABC 中，,AB BC AB BC kPA ⊥==，点O ，D 分别为AC ，PC 的中点，OP ⊥平面ABC 求证：OD//平面PAB证明：,O D Q 分别为AC 、PC 的中点//,OD PA ∴ 又PA ⊂平面,PAB,//PA PAB OD PAB OD PAB ⊂⊂∴平面平面平面【易错点59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。

例59、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11111,,C C B C C D 的中点，求证：平面MNP//平面1A BD 【易错点分析】本题容易证得MN//1A D ,MP//BD ，而直接由此得出面1//MNP A BD 面解析：连结111,,,B D B C P N Q 分别是1111,D C B C 的中点，11//,PNB D ∴11//,/B D BD PN BD ∴又11,//PN A BD PN A BD ⊄∴面平面同理：1//,MN A BD PN MN N =I 平面又1//DMN A BD ∴平面平面。

【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。

【练59】正方体1111ABCD A B C D -中，（1）M ，N 分别是棱1111,A B A D 的中点，E 、F 分别是棱1111,B C C D 的中点，求证：①E 、F 、B 、D 共面； ②平面AMN//平面EFDB ③平面11AB D //平面1C BD 证明：（1）①1111//,////,EF B D B D BD EF BD ∴Q则E 、F 、B 、D 共面。

②易证：MN//EF ，设1111,,AC MN P AC EF Q AC BD O ===II I//,//PQ AO PQ AO PA OQ =∴Q //AMN EFDB ∴平面平面③连结AC ，1111ABCD A B C D -Q 为正方体，AC DB ∴⊥11,AA ABCD AC BD ⊥∴⊥Q 平面，同理可证11A C BC ⊥于是得111!1,AC C BD AC ABD ⊥⊥平面同理可证平面111//AB D C BD ∴面面【易错点60】求异面直线所成的角，若所成角为090，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要CBAPDO方法。

例60、（2001全国9）在三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则11AB C B 与所成角的大小为（ ）A 、060 B 、090 C 、0105 D 、075【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。

解析：如图1,D D 分别为11,B C BC 中点， 连结1,AD D C ，设11,2BB AB ==则则AD 为1AB 在平面1BC 上的射影。

又11322,,cos ,323BC BE BD C BC BC ==∠==22212cos DE BE BD BE BD C BC ∴=+-⋅⋅∠1132212323263=+-⋅⋅⋅= 而2220111,90362BEDE BD BED +=+==∴∠=∴11AB C B 与垂直。

【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如090时，可以采用证明垂直的方法来求之。

【练60】（2005年浙江12）设M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DEAD ⊥于E（如图），现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DEB --为045，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的 大小等于 。

解析：易知0045,90,AEB ABE AB BE∠=∠=∴=取AE 中点Q ，连MQ ，BQ 11//,,//,22MQ DE MQ DE DE BC DE BC ==Q，N 为BC 的中点//,,//MQ BN MQ BN BQ MN ∴=∴,BQ AE MN AE ⊥∴⊥Q ，即M ，N 连线与AE 成090角。

【易错点61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错误。

例61、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为1111,,A B BB CC 的中点。

求异面直线1,D P AM CN AM 与与所成的角。

[易错点分析]异面直线所成角的范围是(000,90θ⎤∈⎦，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。

解析：如图，连结1A N ，由,N P 为11,BB CC 中点，则1111//,,PNA D PN A D =从而11//A N D P故AM 和1D P 所成的角为1AM D P 和所成的角。

易证1Rt AA M ∆≌11Rt A B N ∆。

所以1A N AM⊥，故1D P AM 与所成的角为090。

又设AB 的中点为Q ，则11//,.B Q AM B Q AM =又11//,,CN B P CN B P =Q 从而CN 与AM 所成的角就是1PB Q ∠（或其补角）。

易求得1156,.22B Q B P PQ ===在1PB Q ∆中，由余弦定理得12cos 5PB Q ∠=， 故CN AM 与所成的角为2arccos5。

【知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线所成的角的范围：00090α<≤；直线与平面所成角的范围：00090α≤≤；二面角的平面角的取值范围：000180α≤≤。

同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联系与区别。

【练61】（济南统考题）已知平行六面体ABCD --1111A B C D 中，底面ABCD 是边长为1的的正方形，侧棱1AA 的长为2，且侧棱1AA 和AB 与AD 的夹角都等于120︒，（1）求对角线1AC 的长（2）求直线1BD 与AC 的夹角值。

答案：（12（2）3（提示采用向量方法，以1AA u u u r 、AB u u u r 、AD u u u r 为一组基底，求得13cos ,BD AC =u u u u r u u u r 3）【易错点62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。

例62、如图，在北纬045的纬线圈上有B 两点，它们分别在东经070与东经DCBAA 1D 1B 1C 1NMP0160的经度上，设地球的半径为R ，求B 两点的球面距离。

【易错点分析】求A 、B 两点的距离，主要是求B 两点的球心角的大小，正确描述纬线角和经度角是关键。

解析：设北纬045圈的圆心为O '，地球中心为O ，则00011607090,AO B∠=-=0145,,OBO OB R ∠==112,,2O B O A R AB R ===连结,AO AB ，则0,60AO BO AB R AOB ===∴∠=11263AB R R ππ∴==。

故A 、B 两点间的球面距离为13R π。

【知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（0经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。

某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。

如下图：图（1）：经度——P 点的经度，也是AB AOB ∠或的度数。

图（2）：纬度——P 点的纬度，也是POA ∠PA 或的度数。

【练62】（2005高考山东卷）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（ ）（A ）3R （B ）6R π （C ）56R π（D ）23Rπ 答案：D 如图所示东经120o 与北纬45o线交于A 点东经120o 与南纬75o线交于C 点,设球心为B 点从而45ABC ∠=o ,75DBC ∠=o即120ABD ∠=o以B 点为圆心过A 、C 、D 的大圆上ACD 即为所求.ACD 12022.3603R R ππ=⨯=oo【易错点63】向量知识在立体几何方面的应用例63、如图, 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，DC ＝23，AA 1＝3，AD ⊥DC ，AC ⊥BD , 垂足未E ，（I ）求证：BD ⊥A 1C ；（II ）求二面角A 1－BD －C 1的大小；（III ）求异面直线 AD 与 BC 1所成角的大小．【易错点分析】本题主要考查学生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.学生在解题中一方面不能根据条件建立恰当的空间坐标系，另一方面建系后学生不能正确找到点的坐标.或者没有运用向量知识解决问题的意识。

东经120o 南纬75o北纬45oBACDCD解析：解法一：（I ）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,1A A ⊥Q 底面ABCD , AC ∴是1A C 在平面ABCD 上的射影. ,BD AC ⊥Q 1.BD AC ∴⊥ （II ）连结1111,,.A E C E AC 与（I ）同理可证11,,BD A E BD C E ⊥⊥11A EC ∴∠为二面角11A BD C --的平面角. ,AD DC ⊥Q 111o A D C ∴∠== 又111112,A D AD DC DC AA =====且,AC BD ⊥11114,1,3,2,AC AE EC A E C E ∴===∴== 在11A EC ∆中, 222111111,90,o A C A E C E A EC =+∴∠=即二面角11A BD C --的大小为90o .（III ）过B 作AD BF ∥交AC 于F ,连结1,FC 则1C BF ∠就是AD 与1BC 所成的角.2,,1,2,1,2,,ABAD BD AC AE BFEF FC BC DC ==⊥=∴====Q11FC BC ∴==在1BFC ∆中, 11cosC BF C BF =∴∠=即异面直线AD 与1BC 所成角的大小为arccos解法二：（I ）同解法一.（II ）如图,以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所 在直线分别为x 轴,y 轴,z轴,建立空间 直角坐标系,连结1111,,.A E C E AC 与（I ）同理可证,11,BD A E BD C ⊥⊥11A EC ∴∠为二面角11A BD C --的平面角.113(0,(2A C E 由得1113(,(22EA EC →→==-11111139.30.,.44EA EC EA EC EA EC →→→→∴=--+=∴⊥⊥即∴二面角11A BD C --的大小为90o .（II ）如图,由1111111(0,0,0),(2,0,0),(0,0),(2,0,0),(.6,||2,||.cos ,||||D A C B AD BC AD BC AD BC AD BC AD BC AD BC →→→→→→→→→→→=-=-∴===∴<>===得∴异面直线AD 与1BC 所成角的大小为15arccos.5解法三：（I ）同解法一.（II ）如图,建立空间直角坐标,坐标原点为E. 连结1111,,A E C E AC与（I ）同理可证,11,,BD A E BD C E ⊥⊥ 11A EC ∴∠为二面角11A BD C --的平面角.由11(0,0,0),(0,1,3),(0,3,3).E A C -得`1(0,1,3),(0,3,3).EA EC →→=-=111111.330,,EA .EA EC EA EC EC →→→→=-+=∴⊥⊥Q 即二面角11的大小为o （III ）如图,由1(0,1,0),(3,0,0),(3,0,0),(0,3,3).A D B C --得1(3,1,0),(3,3,3).AD BC →→=-=-11111.615.336,||2,||15,cos ,.5215||||AD BC AD BC AD BC AD BC AD BC →→→→→→→→→→=+===∴<>===Q∴异面直线AD 与1BC 所成角的大小为15arccos.5【知识点分类点拔】解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？YZEB 1C 1CBAA 1D 1D。