2017苏教版高一数学正弦定理.doc
苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(一).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。
苏教版 高中数学必修第二册 正弦定理 课件1
解 因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，
故B角最小，所以biinnCB＝ssiinn 6405°°＝ 36，
故所求的最短边长为
6 3.
同步练习
1．在△ABC 中，AB＝4 3 ，∠B＝π ，点 D 在边 BC 上，∠ADC＝2π ，CD＝2，
【例1】 已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
先利用三角形的内角和求角B，再利用正弦定理求边b
解 根据正弦定理，得 a＝cssiinnCA＝10s×insi3n0°45°＝10 2.
又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
所以 b＝cssiinnCB＝10×sinsi3n01°05°＝20sin 75°＝20×
＝ttaann
A B
，
所以ttaann
A B
＝ssiinn22AB
，所以 sinA cos A＝sin B cos B，
即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，
即 A＝B 或 A＋B＝π2 .
所以△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联 系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
2．要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
已知两角及一边解三角形
6＋ 4
2＝5(
6＋
2).
规律方法 (1)正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina A＝sinc C， 每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形内角和为 180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(二).docx
§1.1 正弦定理(二)课时目标1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 的常见变形：(1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝________；(2)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝______； (3)a ＝__________，b ＝________，c ＝____________；(4)sin A ＝__________，sin B ＝__________，sin C ＝__________. 2．三角形面积公式：S ＝____________＝____________＝____________.一、填空题1．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于________．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 的形状是________．3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．5．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c ＝________.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C＝________.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．能力提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B2＝255，求△ABC的面积S.答案知识梳理1. (1)a∶b∶c (2)2R (3)2R sin A 2R sin B 2R sin C (4)a2Rb2Rc2R2.12ab sin C12bc sin A12ca sin B作业设计1. 7∶5∶3解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴b＋c4＝c＋a5＝a＋b6.令b＋c4＝c＋a5＝a＋b6＝k (k>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4kc ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3. 2．等边三角形解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3.⎝⎛⎦⎥⎤0，403解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.4．等腰解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin (B ＋C)＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin (B －C)＝0，∴B ＝C. 5．8π解析 ∵2R ＝4sin 45°＝42，∴R ＝2 2.∴S ＝πR 2＝8π.6．1解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1. 7．2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.8．2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2. 9．7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.11．证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2B sin A cos A ⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 13．75°解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°， ∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．解 cos B ＝2cos 2 B2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin (π－B －C)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。
高中数学：正弦定理、余弦定理及应用教案苏教版必修
教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。
教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。
二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。
三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。
四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。
1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。
教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。
高中数学 1.1正弦定理课件 苏教版必修5
解析：(1)∵sinaA＝sinc C，∴sin
A＝asicn
C＝
2 2.
栏 目
链
π
接
∵c＞a，∴C＞A.∴A＝ 4 .
∴B＝51π2 ，b＝cssiinnCB＝ 6×sπin51π2 ＝ 3＋1. sin 3
ppt精选
18
(2)∵sina A＝sinc
C，∴sin
C＝csian
A＝
3 2.
又∵a＜c，∴C＝π3 或2π3 .
1．1 正弦定理
ppt精选
1
情景导入
栏 目
链
接
ppt精选
2
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)， 即准确地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的 安排都是两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战 士的话说就是两条线(即两台探测器分别探出了敌台的 方向)一交叉就把敌人给叉出来了，想藏想跑，门都没 有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还 隐藏了一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已 知的，它们和敌台构成了一个三角形，在战士探明了敌 台方向的时候，也就是知道了该三角形的两个内角，再 利用正弦定理就可以算出敌人的准确位置．
(2)在△ABC 中，已知 a＝8，B＝60˚ ，C＝75˚ ，求 A，b，c.
解析：(1)∵A＝30˚ ，C＝45˚ ，
∴B＝180˚ －(A＋C)＝105˚ .
由正弦定理得
b
＝
assiinnAB＝
20sin 105˚ sin 30˚
＝
40sin
(45˚
＋ 60˚
)＝
10( 6＋ 2),
c＝assiinnAC＝2s0isnin340˚5˚＝20 2，
苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用要点解读文字素材
高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==． 课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=． 当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式 （1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==； （2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）； （4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =； （5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++． 注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-． 注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=； 注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题．本文介绍几种常用解法，以供参考．一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1 在ABC △中，设BC CA AB ===u u u r u u u r u u u r ，，a b c ，若==ab bc ca ，判断ABC △的形状． 解：∵++=0a b c ，∴ +=-a b c ，22()()+=-a b c ，即2222++=a b a b c ·，同理有：2222++=b c b c a ·，两式相减有：22222()-+-=-a c ab bc c a ··， ∵=a b b c ··，∴22=a c ．即=a c ，同理：=a b ，即==a b c ，故ABC △为等边三角形．注：我们还可以利用向量的夹角来判断．提示：以BA BC ，为平行四边形的两邻边，作ABCD Y ，由=a b b c ··知()0-=ba c ·，即0CA BD =u u u r u u u r ·，即CA BD ⊥，所以ABCD Y 为菱形，故BA BC =，同理可得AB AC =．二、利用正、余弦定理来判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决． 例2 在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形（C ）等腰三角形 （D ）等边三角形解析：∵2cos sin sin C A B =，∴ cos 2b C a =． 又由余弦定理，知222cos 2a b c C ab +-=．∴a c =，故选（C ）．三、利用三角变换例3 在ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则此三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形解析：由条件知cos cos sin sin 0A B A B ->， 即cos()0A B +>，所以π02A B <+<，所以ππ2C <<，故选（C ）． 那么可不可以利用三角变换来解决例2呢？ 提示：∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+． ∴2cos sin sin cos cos sin C A A C A C =+． 故sin()0A C -=，即A C =．例4 在ABC △中，若sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则ABC △是（）．（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 解析：由已知，得cos()sin()2A B A B -++=， 又cos()1A B -≤，sin()1A B +≤， 故cos()1A B -=且sin()1A B +=， 即A B =且90A B +=°，故选（C ）．评注：本题是利用了正、余弦函数的有界性来解决．。
苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理.docx
正弦定理、余弦定理一、知识回顾1.三角形内角和：2.正弦定理： ；变形① ； 变形② ；变形③ .3.余弦定理： ； 变形 .4.三角形面积公式：二、基础练习1.在△ABC 中,AB=4,BC=3,AC=37,则△ABC 中最大角的大小为2.在△ABC 中,BC=3,AC=2,A=3π,则B= 3.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC=4.在△ABC 中,若b=1,c=3,C=32π,则S △ABC = 5.一艘船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 km.6.在△ABC 中, 内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=3π,且△ABC 的面积S=3,求a,b 的值. (2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.7.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且()C a A c b cos 3cos 32=-. (1)求角A 的大小;(2)若角B=6π,边BC 上的中线AM 的长为7,求△ABC 的面积.三、巩固练习1.在△ABC 中,若A=60°,B=75°,c=6，则a=2.在△ABC 中,B=6π,AC=1,AB=3,则边BC 的长度为 3.在△ABC 中, A=60°,b=1,3=∆ABC S ,则=++C B c b sin sin 4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则边c=5.在△ABC 中,若其面积S=()22241a c b -+,则A= 6.在△ABC 中,A=45°,cosB=54. (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.。
苏教版 高中数学必修第二册 正弦定理 课件2
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
a＋b＋c
(4)
＝2R；
sin A＋sin B＋sin C
(5)S△ ABC＝12 ab sin C＝12 bc sin A＝21 ac sin B．
已知 两边及一边的对角解三角形
答案：51π2
1 4
【训练 2】 已知在△ABC 中，A＝45°，c＝ 6，a＝2，解此三角形.
解
由正弦定理，得 sin C＝csian A＝
6× 2
2 2＝
23，
又c>a，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝assiinnAB＝ 3＋1；
当 C＝120°时，B＝15°，b＝assiinnAB＝ 3－1.
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝π ，b＝(4＋ 6
2 3 )a cos B，且 b＝1，则 B＝________；△ABC 的面积为________．
【解析】依题意 A＝π6 ，b＝(4＋2 3 )a cos B，由正弦定理得 sin B＝(4＋
2
3
)sin
已知两边及一边对角判断三角形解的个数 典例 不解三角形，判断下列三角形解的个数. (1)a＝5，b＝4，A＝sin
120°＝45×
3 2<
23，所以三角形有一解.
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
解 sin B＝basin 60°＝190× 23＝593，而 23<593<1. 所以当 B 为锐角时，满足 sin B＝593的角 B 的取值范围是 60°<B<90°. 满足A＋B<180°； 当 B 为钝角时，满足 sin B＝593的角 B 的取值范围是 90°<B<120°，
正弦定理、余弦定理2017
1.1.1 正弦定理【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【学习过程】 ※ 学习探究 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin cC=． 试一试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin cC ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A = ，60B = ， 42a =cm ，解三角形．变式1：在ABC ∆中，已知45B = ，60C = ，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆=== 中，求和．变式2：在60,1,,ABC b B c a A C ∆== 中，求和．例3. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）.A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形变式3：在ABC ∆中，求证：ABA c bB c a sin sin cos cos =--【学习反思】 ※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin cC=2．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． 3.判断三角形形状※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin cR C ==，其中2R 为外接圆直径.1.1.2 余弦定理【学习目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【学习过程】 ※ 探究新知新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． ※ 典型例题例1：△ABC 中，a =2c =，150B = ，求b ．例2. 在△ABC 中，已知a =b =，45B = ，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例3. △ABC 中，2a =，b 1c =，求A变式：在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．例4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c,若,3222ac b c a =-+则角B 的值为（ ） 6.πA 3.πB 6.πC 或65π D.3π或32π变式：在△ABC 中，已知()(),3ab c b a c b a =-+++且,sin sin cos 2C B A =⋅试确定△ABC 的形状。
正弦定理【新教材】苏教版高中数学必修第二册课件
养
第1课时
第1课时
合第1课时 作第第11课课时时
正弦定理(1)
得 正弦定理(1)
正弦定理(1) 正弦定理(1)
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
正弦定理(1)
探第1课时 正弦定理(1)
究第1课时
sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° 第1课时 ＝5× 释第1课时 sin 30° 疑第第11课课时时
课
探
时
究
∴△ABC 是等腰直角三角形．
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
29
·
情
课
景
堂
导 学
(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B＋
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
4
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探 新 知
如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C各
提 素 养
合 自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
5
·
情 景 导 学
1．正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等．即sina A
提 素
知
养
1．已知△ABC 的外接圆 O 的直径长为 2R，试借助△ABC 的外
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.asin A＝bsin B＝c sin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R∴csin C＝2R同理可得asin A＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝c sin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝c sin C另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。
(1)A 为锐角(2)A 为直角或钝角接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例1］在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b (保留两个有效数字). 分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边a ，若求边b ，则需通过三角形内角和为180°，求出角B ，再利用正弦定理求出边b .解：∵B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°，b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c ·sin B sin C ＝10·sin1050sin300≈19 评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.［例2］在△ABC 中，已知a ＝20，b ＝28，A ＝40°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于b sin A ＜a ＜b 的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.解：∵sin B ＝b ·sin A a ＝28·sin40020＝0.8999， ∴B 1＝64°，B 2＝116°当B 1＝64°时，C 1＝180°－(B 1＋A )＝180°－(64°＋40°)＝76°，∴c 1＝a ·sin C 1sin A ＝20·sin760sin400≈30. 当B 2＝116°时，C 2＝180°－(B 2＋A )＝180°－(116°＋40°)＝24°，∴c 2＝a ·sin C 2sin A ＝20·sin240sin400≈13. 评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.［例3］在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于a ≥b 这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知b ＜a ，所以B ＜A ，因此B 也是锐角.∵sin B ＝b ·sin A a ＝50·sin38060＝0.5131， ∴B ＝31°，∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(38°＋31°)＝111°∴c ＝a ·sin C sin A ＝60·sin1110sin380≈91. 评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B 所受限制而求出角B 的两个解，进而求出边c 两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.［例4］在△ABC 中，已知a ＝28，b ＝20，A ＝120°，求B (精确到1°)和c (保留两个有效数字).分析：此例题属于A 为钝角且a ＞b 的情形，有一解.也可应用正弦定理求解角B 后，利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角情形.解：∵sin B ＝b ·sin A a ＝20·sin120028＝0.6187 ∴B 1＝38°，B 2＝142°(舍)∴C ＝180°－(A ＋B )＝22°∴c ＝a ·sin C sin A ＝20·sin220sin1200≈8.7 评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字).(1)已知c ＝ 3 ，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a .解：(1)∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋60°)＝75°b sin B ＝c sin C∴b ＝c ·sin B sin C ＝ 3 ·sin600sin750≈1.6 (2)∵a sin A ＝b sin B∴a ＝b ·sin A sin B ＝12·sin300sin1200≈6.9 评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°，边长精确到1)：(1)b ＝11，a ＝20，B ＝30°；(2)a ＝28，b ＝20，A ＝45°；(3)c ＝54，b ＝39，C ＝115°；(4)a ＝20，b ＝28，A ＝120°.解：(1)∵a sin A ＝b sin B∴sin A ＝a ·sin B b ＝20·sin30011＝0.9091 ∴A 1＝65°，A 2＝115°当A 1＝65°时，C 1＝180°－(B ＋A 1)＝180°－(30°＋65°)＝85°∴c 1＝b ·sin C 1sin B ＝11·sin850sin300≈22. 当A 2＝115°时，C 2＝180°－(B ＋A 2)＝180°－(30°＋115°)＝35°∴c 2＝b ·sin C 2sin B ＝11·sin350sin300≈13. (2)∵sin B ＝b ·sin A a ＝20·sin45028＝0.5051 ∴B 1＝30°，B 2＝150°由于A ＋B 2＝45°＋150°＞180°，故B 2＝150°应舍去(或者由b ＜a 知B ＜A ，故B 应为锐角)∴C ＝180°－(45°＋30°)＝105°∴c ＝a ·sin C sin A ＝28·sin1050sin450≈38 (3)∵b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b ·sin C c ＝39·sin115054∴B 1＝41°，B 2＝139°由于b ＜c 故B ＜C ∴B 2＝139°应舍去∴B ＝41°，A ＝180°－(41°＋115°)＝24°a ＝b ·sin A sin B ＝39·sin240sin410≈24.(4)∵sin B ＝b ·sin A a ＝28·sin120020＝1.212＞1 ∴本题无解评述：此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理，同时加强解斜三角形的能力，既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能，又要结合题目的具体情况进行正确取舍.Ⅳ.课时小结通过本节学习，我们一起研究了正弦定理的证明方法，同时了解了向量的工具性作用，并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.Ⅴ.课后作业课本习题P 11 1，2，3，4.。