(江苏专用)高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用随堂检测(含解析)
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.8函数的图象教案(含解析)
§2.8函数的图象考情考向分析函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度．1．函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．2．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．3．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是______________．提示g(x)＝2b－f(2a－x)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．( ×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( ×)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( ×)(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( ×)题组二教材改编2．[P30练习T3]若f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈(0，2]3．[P31习题T6]方程|x －1|＝1x的正实数根的个数是________． 答案 14．[P87习题T14改编]任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，为凸函数图象的是________．(填序号)答案 ④ 题组三 易错自纠5．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案 y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 6．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是________．(填序号)答案③7．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知，当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解．题型一 作函数的图象分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的变换例1作出函数f(x)＝x2＋2x－3的图象，然后根据f(x)的图象作出函数y＝－f(x)的图象，并说明两函数图象的关系．解f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y＝－f(x)的图象如图(2)．两图象关于x轴对称．引申探究本例中，通过图象的变换分别画出函数y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)，y＝f(x)＋1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系．解各个函数图象如下图实线部分所示：各图象和y ＝f (x )的图象关系如下：(1)函数y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称； (2)函数y ＝－f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称；(3)函数y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，即在y 轴上及其右侧图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将y 轴右侧图象作y 轴的对称图象可得x <0时的图象；(4)函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥0，－f (x )，f (x )<0，即在x 轴上及其上方的图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将x 轴下方的图象作x 轴的对称图象可得f (x )<0时的图象； (5)函数y ＝f (x ＋1)的图象是将y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的； (6)函数y ＝f (x )＋1的图象是将y ＝f (x )的图象向上平移一个单位得到的．思维升华根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质，在函数图象的应用中经常用到．跟踪训练1若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为________．(填序号)答案 ③解析 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确．题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) ②f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) ③f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) ④f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 ③解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．③正确，其余错误．(2)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________. 答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2， 从图象分析应有f (m 2)＝2， ∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm＝9.命题点2 解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2解析 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.命题点3 求参数的取值范围例4(1)已知函数12log ,0,()2,0,x x x f x x ì>ïïï=íïïïî≤若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，x 3，－1≤x ≤1，若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 在同一个直角坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图象，则函数f (x )max ＝f (1)＝1，设A (1,1)，B (－1,0)，函数y ＝k (x ＋1)过点B ，则由图可知，要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则0<k <k AB ＝12.(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－1，＋∞)解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)已知函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．答案 92解析 由图象可知，函数过点(－3,0)，(0，－2)，所以得⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a (－3＋b )，－2＝log a b解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝4，故a ＋b ＝92.(2)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝________. 答案 e－x －1解析 与y ＝e x图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )的图象向右平移一个单位长度，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x的图象向左平移一个单位长度得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.(3)已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 解析 ①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.二、函数图象的应用例2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是____________．答案 (3，＋∞)解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为________．答案 2解析 不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x <12log x .设f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，g (x )＝12log x ，在同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是__________．答案 (2,2021)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021.1．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －3)＋2的图象经过的定点为________． 答案 (3,2)解析 由于函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，故它的图象过原点．又由于y ＝f (x )的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数y ＝f (x －3)＋2的图象，故y ＝f (x －3)＋2的图象过点(3,2)．2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是________． 答案 x ＝1解析 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 由图(图略)知，当且仅当直线y ＝2a 过函数y ＝|x －a |－1图象的最低点(a ，－1)时，符合题意，故2a ＝－1，即a ＝－12.4．方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为________． 答案 2解析 画出函数y ＝2－x与y ＝3－x 2的图象(图略)，可知两函数图象有两个交点，故方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为2.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.答案 －1解析 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，解得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 6．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝________. 答案 －2解析 由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1， 可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________． 答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [1，3]解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象， 再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1， 由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)． 记B (2,0)，由图象知，方程有四个根， 即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，1)解析 当x ≤0时，f (x )＝2－x－1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 12．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0. 14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x >1，－1＋11－x ，x <1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≥0，1，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x ＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，5－12∪⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.15．已知函数213,1,()log ,1,x x x f x x x ìï-+ïï=í>ïïïî≤g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min . 观察213,1,()log ,1,x x x f x x x ìï-+ïï=í>ïïïî≤的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14. 因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14， 解得k ≤74或k ≥94. 故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞. 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16 解析 由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16.。
江苏省2015高考数学一轮复习 第二章 第8课 函数的图象检测与评估答案 pdf
5. e
-x-1
1 0, 6. 6
1 0, 6 .
a 0, 1 3a-(-3a) 1, 解析:依题意得 解 得 0<a< 6 , 即 正 实 数 a 的 取 值 范 围 是
7. [-1,+∞)
解析:作出函数y=f(x)的图象如图所示,由不等式f( 2 -x,b)对称,且在R上为增函数,故选①③.
(第8题)
2x 1 2x 1 9. 函数y= x-1 的图象如图所示,从图象上可以看出,函数y= x-1 的单调减区间为
(-∞,1),(1,+∞).
(第9题)
10. (1) 因为-3≤-1,所以f(-3)=-3+5=2, 又因为2≥-1,所以f[f(-3)]=f(2)=2×2=4.
x-x 11. (1) 当0≤x≤2时,f(x)=1+ 2 =1; -x-x 当-2<x<0时,f(x)=1+ 2 =1-x.
1-x,-2 x 0, 所以f(x)= 1,0 x 2.
(2) 函数f(x)的图象如图所示.
(第11题)
(3) 由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).
(第10题) (2) 函数f(x)的图象如图所示.
1 9 (3) 当a≤-1时,f(a)=a+5= 2 ,a=- 2 ≤-1;
2 1 2 当-1<a<1时,f(a)=a = 2 ,a=± 2 ;
1 1 当a≥1时,f(a)=2a= 2 ,a= 4 ,舍去.
2 9 综上,a的值为- 2 或± 2 .
2 -x≤ 2 +1,解得x≥-1,故不等式f( 2 -x)≤f(1)的解集为[-1,+∞).
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.12_函数模型及其应用(测)(有解析)
专题2.12 函数模型及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 【答案】202.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________．(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3) 【答案】2011年【解析】 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg2lg1.09≈16.3. 给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 4.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】16【解析】当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.66.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤 才可以排放． 【答案】5 h【解析】设原污染物数量为a ，则P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k，所以5k ＝ln10.设t h 后污染物的含量不得超过1%，则有1%a ≥a e－tk，所以tk ≥2ln10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h 才可以排放．7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.8.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4 000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是 【答案】3元9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大. 【答案】60【解析】设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，利润为Q 元，依题意，①当1≤x ≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000 =-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大.10.某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：. Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t,Q=a ·log b t 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________. (2)最低种植成本是________(元/100kg).【答案】(1)120 (2)80二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.10 函数模型及其应用 (含解析)
§2.10函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型 f (x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f (x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)已知a >0且a ≠1，则不存在x 0，使0x a <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝ab x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )题组二 教材改编2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．已知某物体的温度Q (单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律为Q ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，且m >0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得，m ·2t ＋21－t ≥2恒成立(t ≥0，且m >0)， 又m ·2t ＋21－t ≥22m ，∴22m ≥2，∴m ≥12.题组三 易错自纠5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)． 当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.用函数图象刻画变化过程1.(2019·武汉月考)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是()答案 B解析v＝f (h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知函数模型的实际问题例 (1)(2020·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元． 答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.则当Q ＝300时，L (Q )取得最大值为2 500万元．(2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________． ②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)． ②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关键点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系： Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100 kg.答案 ①120 ②80解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.命题点1 构造二次函数模型例1 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．命题点2 构造指数函数、对数函数模型例2 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即11021122m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，101 2n⎛⎫⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，即n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．命题点3构造“对勾函数”模型例3(1)(2019·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11，∴年平均利润y x＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x≥10，当且仅当x ＝5时等号成立． ∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x 2(2≤x <6)， ∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x 2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x 2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立． 命题点4 构造分段函数模型例4 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x >400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．(1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数；(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解 (1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，0<x ≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000， 故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y <60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示．。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第二章函数2.6函数模型和函数的综合应用课件
名师点睛 解决实际应用问题首先要弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型,然后将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应 的数学模型.本题已直接给出模型,只需确定其待定参数即可.求解数学模型,得出数学结论,这 一步骤在应用题中要求不高,难度中等偏下.
x3
则l的方程为y- 1 000 t2
=- 2 000
t3
(x-t),由此得A
3t 2
,
0
,B
0,
3
000 t2
.
故f(t)=
3t 2
2
3
000 2 t2
= 3
2
t2
4 106 t4
,t∈[5,20].
②设g(t)=t2+ 4t14 06 ,则g'(t)=2t- 16 t5106 .令g'(t)=0,解得t=10 2 .
M1 + M 2 =(R+r) M1 .
(R r)2 r2
R3
设α= r .由于α的值很小,因此在近似计算中 3α3 3α4 α5 ≈3α3,则r的近似值为
.
R
(1 α)2
答案 3 M 2 R 3M1 Nhomakorabea解析 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数学建 模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以及正 确的国家观.
高考数学一轮复习 2.8 函数模型及其应用课时规范练习 苏教版必修1
高考数学一轮复习 2.8 函数模型及其应用课时规范练习 苏教版必修1一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01_____． ①y ＝2x －2 ②y ＝12(x 2－1) ③y ＝log 3x ④y ＝2x－22．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方 式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放 水34升，在放水的同时注水，t 分钟注入2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗浴． 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是________．6．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (x )＝1.06(0.50×[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ] 是大于或等于m 的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m ∈________. 7．有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方 围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计) 8．(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．9．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为______________．二、解答题(本大题共4小题，共55分)10．(13分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？11．(14分)某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55 元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]12．(14分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．13．(14分)某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m 10200B产品40818120定，预计m∈[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．答案 1.② 2.10 3.150 4.4 5.① 6.(17,18] 7. 2 500 m 28.20 9.y ＝a4x (x ∈N *)10.解 (1)每吨平均成本为y x(万元)． 则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 11.解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例， ∴设y ＝kx －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15x －2×(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)． 整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.答 当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 12.解 (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN ＝(x ＋2)米∵DN AN ＝DC AM，∴AM ＝3(x ＋2)x， ∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3(x ＋2)2x.由S AMPN >32，得3(x ＋2)2x>32，又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞)． (2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝3(x ＋2)2x ＝3x 2＋12x ＋12x ＝3x ＋12x＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．13.解 (1)设年销售量为x 件，按利润的计算公式，有生产A 、B 两产品的年利润y 1、y 2分 别为：y 1＝10×x －(20＋mx )＝(10－m )x －200≤x ≤200且x ∈Ny 2＝18×x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N . (2)∵6≤m ≤8，∴10－m >0， ∴y 1＝(10－m )x －20为增函数， 又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时，生产A 产品有最大利润为 (10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． 又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N . ∴x ＝100时，生产B 产品有最大利润为460(万美元) 作差比较：(y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m ⎩⎪⎨⎪⎧>0， 6≤m <7.6＝0， m ＝7.6<0， 7.6<m ≤8.所以：当6≤m <7.6时，投资生产A 产品200件获得最大年利润； 当m ＝7.6时，生产A 产品与生产B 产品均可获得最大年利润； 当7.6<m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．。
(江苏专用)高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第8练函数性质的应用理(含解析)
（江苏专用）高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第8练函数性质的应用理（含解析）[基础保分练]1．(2019·南京模拟)已知函数f (x )＝x 3－ax ＋2，a ∈R ，若f (m )＝1，则f (－m )＝________. 2．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，记a ＝f (log 0.52)，b ＝f (log 24)，c ＝f (20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 3．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝________.4．已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )－3x]＝4，则f (2)的值是________．5．(2018·盐城模拟)下列说法正确的是________．(填序号) ①任意x ∈R ，都有3x >2x； ②函数f (x )＝2x－x 2有三个零点；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的最大值为1；④函数f (x )＝1－x2|x ＋2|－2为偶函数；⑤函数y ＝f (x )的定义域为[1,2]，则函数y ＝f (2x)的定义域为[2,4]．6．(2018·苏州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为________．7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，给出下列结论： ①y ＝f (x )·f (|x |)也是R 上的奇函数； ②若g (x )＝f (x )－9，g (－2)＝3，则g (2)＝15；③若x <0时，f (x )＝2x 2＋1x －x ，则x >0时，f (x )＝－2x 2＋1x－x ；④若任取x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则f (a 2)<f (a －1)成立．其中所有正确的结论的序号为________．8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2； ②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若函数y ＝1x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1x －1.其中正确的个数是________．9．(2018·连云港检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．10．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2018)＋f (2019)＝________.[能力提升练]1．若函数y ＝f (x )对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)f (x 2)＝1成立，则称f (x )为“自倒函数”，给出下列命题：①f (x )＝sin x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是自倒函数；②自倒函数f (x )可以是奇函数；③自倒函数f (x )的值域可以是R ；④若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是自倒函数且定义域相同，则y ＝f (x )g (x )也是自倒函数；则以上命题正确的是________．(写出所有正确的命题的序号)2．(2019·镇江模拟)设函数f (x )＝x 3(e x －e －x)，则不等式f (1－x )>f (2x )的解集为________． 3．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系是________．4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)时，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________． 5．已知函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，命题p ：实数x 满足不等式f (x ＋1)>f (2x －1)；命题q ：实数x 满足不等式x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．6．(2019·徐州模拟)给出下列四个命题：①在同一坐标系中，y ＝log 2x 与y ＝12log x 的图象关于x 轴对称；②y ＝log 21－x1＋x 是奇函数；③y ＝x ＋1x ＋2的图象关于(－2,1)成中心对称；④y 的最大值为12.其中正确的是__________．(写上序号)答案精析基础保分练1．3 2.a >c >b 3.0 4.10 5.②③ 6．(1，＋∞) 7.①③④ 8．3解析 在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 22＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f (－(x －3))＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1，即y ＝1x －1，于是f (x )＝1x －1， 所以④正确． 9．1 10．e －1解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2018)＝f (2018)，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为2.又当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1， ∴f (2019)＝f (1＋2×1009) ＝f (1)＝e －1，f (2018)＝f (0＋2×1009)＝f (0)＝1－1＝0. ∴f (－2018)＋f (2019) ＝f (2018)＋f (2019)＝e －1. 能力提升练1．①② 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 3.b <a <c 4．9解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＋32，可得f (x ＋3)＝f (x )，函数f (x )的周期为3，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时， f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，令f (x )＝0，则x 2－x ＋1＝1， 解得x ＝0(舍)或1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32上， 有f (－1)＝－f (1)＝0，f (0)＝0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，取x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (－1)＝f (0)＝f (1) ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0， 又∵函数f (x )是周期为3的周期函数，∴方程f (x )＝0在区间[0,6]上的解有0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个．5．(0,2)解析 f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x2＝ln(1＋|x |)－11＋x2＝f (x )，则f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，为增函数，不等式f (x ＋1)>f (2x －1)等价于不等式f (|x ＋1|)>f (|2x －1|)， 即|x ＋1|>|2x －1|， 即(x ＋1)2>(2x －1)2， 得x 2－2x <0，得0<x <2， 即p ：0<x <2，不等式x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0，则(x －1)(x －m )≤0， ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 若m ＝1，则不等式的解为x ＝1， 此时q ：x ＝1，满足条件， 若m >1，则不等式的解为1≤x ≤m ， 若满足条件，则1<m <2，若m <1，则不等式的解为m ≤x ≤1， 若满足条件，则0<m <1， 综上0<m <2，即实数m 的取值范围是(0,2)． 6．①②③解析 对于①，由于ylog 2x ，则在同一坐标系中，y ＝log 2x 与y象关于x 轴对称，故①正确；对于②，y ＝log 21－x1＋x ，函数的定义域为{x |－1<x <1}，因为f (－x )＝－log 21－x1＋x＝－f (x )，所以函数是奇函数，②正确；对于③，因为y ＝－1x 的对称中心为(0,0)，函数y ＝－1x向左平移2单位，向上平移1单位，得到y ＝x ＋1x ＋2＝1－1x ＋2，其图象的对称中心为(－2,1)， 所以函数的图象关于(－2,1)成中心对称，所以③正确； 对于④，yx 2＋1≤1，函数是偶函数，当x <0时，函数是减函数，当x >0时，函数是增函数，所以当x ＝0时函数取得最小值12，④不正确；故答案为：①②③.。
2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数模型及其应用含解析
教课资料范本2021版江苏高考数学复习课后限时集训：函数模型及其应用含分析编辑： __________________时间： __________________建议用时： 45 分钟（对应学生用书第 235页）一、选择题1.如图，在不规则图形 ABCD中， AB和 CD是线段， AD和 BC是圆弧，直线 l ⊥ AB于E，当 l 从左至右挪动（与线段 AB有公共点）时，把图形 ABCD分红两部分，设 AE＝x，左边部分面积为 y，则 y对于 x的大概图象为（）A B C DD［因为左边部分面积为 y，随 x 的变化而变化，最先面积增添得快，此后均匀增添，最后迟缓增添，只有 D 选项合适 .］2.某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售 200台，第三个月销售 400台，第四个月销售 790台，则以下函数模型中能较好地反应销量y与投放市场的月数 x之间关系的是（）A.y＝100xB.y＝50x2－ 50x＋ 100C.y＝50×2xD.y＝100log2x＋100C ［依据函数模型的增添差别和题目中的数据可知，应为指数函数模型.应选 C.］3.某商品价钱前两年每年递加20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价钱与本来价钱比较，变化的状况是（）A.减少 7.84%B.增添 7.84%C.减少 9.5%D.不增不减A ［设某商品本来价钱为a，四年后价钱为：a（1＋0.2）2（ 1－ 0.2）2＝a×1.22×0.82＝ 0.921 6a，（0.921 6－ 1）a＝－ 0.078 4a，所以四年后的价钱与本来价钱比较，减少 7.84%.］4.某市生产总值连续两年连续增添.第一年的增添率为 p，第二年的增添率为q，则该市这两年生产总值的年均匀增添率为（）A.p＋qB.（p＋1）（ q＋ 1）－ 1 22C.pqD. （ p＋ 1）（ q＋ 1）－ 1D［设年均匀增添率为 x，原生产总值为 a，则 a（1＋p）·（ 1＋ q）＝ a （1＋ x）2，解得 x＝（1＋p）（ 1＋ q）－ 1，应选 D.］5.某市家庭煤气的使用量 x（m3）和煤气费 f（ x）（元）知足关系 f（x）＝C，0＜x≤A，已知某家庭 20xx年前三个月的煤气费以下表：C＋B（x－ A）， x＞A.用气煤气月份量费一月4元4 m3份二月14元25 m3份三月19元35 m3份若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为（）元 B.11元元 D.10元A［依据题意可知 f（4）＝ C＝ 4， f（25）＝ C＋ B（ 25－A）＝ 14，f1（ 35）＝ C＋ B（35－A）＝ 19，解得 A＝ 5， B＝2， C＝ 4，所以 f（x）＝4，0＜x≤5，11所以 f（ 20）＝ 4＋（ 20－5）＝ 11.5，应选 A. ］4＋2（x－5）， x＞5，2二、填空题6.一个工厂生产一种产品的总成本y（单位：万元）与产量 x（单位：台）之间的函数关系是 y＝ 0.1x2＋ 10x＋300（0＜x≤240，x∈N），若每台产品的售价为 25万元，生产的产品所有卖出，则该工厂获取最大收益（收益＝销售收入－产品成本）时的产量是台.75［由题意可知，收益 f（x）＝ 25x－ y＝－ 0.1x2＋15x－300，（ 0＜x≤240，x∈N）∴当 x＝ 75 时， f（ x）取到最大值 .］7.有一批资料能够建成 200m长的围墙，假如用此资料在一边靠墙的地方围成一块矩形场池，中间用相同的资料隔成三个面积相等的矩形（以下图），则围成的矩形场所的最大面积为m2.（围墙厚度不计）2 500 ［设围成的矩形场所的长为x m，则宽为200－ xm，4200－x1则 S＝ x·＝（－ x2＋200x）.44当 x＝100 时， S max＝ 2 500（m2） .］x8.已知投资 x万元经销甲商品所获取的收益为P＝4；投资 x万元经销乙商品所获取的收益为 Q＝ax（＞）2 a 0 .若投资 20万元同时经销这两种商品或只经销此中一种商品，使所获取的利润许多于 5万元，则 a的最小值为.5［设投资乙商品 x 万元（ 0≤x≤20），则投资甲商品（ 20－ x）万元 .收益分别为 Q＝ax （＞），＝20－x，2 a 0P4因为 P＋Q≥5,0≤x≤20 时恒建立，x则化简得 a x≥2，0≤x≤20 时恒建立 .（1）x＝0 时， a 为一确实数；x（2）0＜x≤20 时，分别参数 a≥2， 0＜ x≤ 20 时恒建立，所以 a≥5，a 的最小值为 5.］三、解答题9.某种出口产品的关税税率为t，市场价钱x（单位：千元）与市场供给量p （单位：万件）之间近似知足关系式：p＝2（1－kt）（x－b）2，此中k，b均为常数 .当关税税率t＝75%时，若市场价钱为5千元，则市场供给量约为1万件；若市场价钱为 7千元，则市场供给量约为2万件 .（1）试确立 k，b的值 .（2）市场需求量 q（单位：万件）与市场价钱x（单位：千元）近似知足关系式： q＝2－x，当 p＝ q时，市场价钱称为市场均衡价钱，当市场均衡价钱不超过 4千元时，试确立关税税率的最大值 .解得 b＝5， k＝ 1.6/12所以（ 1－t）（ x－ 5）2＝－ x? t＝1＋x＝1＋1.（ x－255） 2x＋x－1025而 f（x）＝ x＋x在（ 0,4］上单一递减，41所以当 x＝4 时， f（x）有最小值4，故当 x＝ 4 时，关税税率的最大值为500%.10.某厂有一个容量 300吨的水塔，每日从早六点到晚十点供给生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量 W（吨）与时间 t （单位：小时，规定清晨六点时 t＝0）的函数关系为 W＝100 t ，水塔的进水量有 10级，第一级每小时进水 10吨，此后每提升一级，进水量增添10吨.若某天水塔原有水100吨，在供给同时翻开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水（即水塔中水不空），又不会使水溢出？［解］设水塔进水量选择第 n 级，在 t 时辰水塔中的水容量 y 等于水塔中的存水量 100 吨加进水量 10nt 吨，减去生活用水 10t 吨，再减去生产用水 W＝100 t 吨，即 y＝100＋10nt－10t－100t （0<t≤16） .若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则必定有0<y≤ 300，即 0<100＋10nt－ 10t－ 100t ≤ 300，10 102010所以－t＋t＋1<n≤t＋t＋1 对全部 t∈（ 0,16］恒建立 .101011277因为－t＋t＋1＝－ 10t－2＋2≤2，2010112119t＋t＋ 1＝ 20t＋4－4≥4.719所以2<n≤4，即 n＝4.即进水量应选择 4 级 .1.（20xx ·全国卷 Ⅱ ）20xx 年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上初次月球反面软着陆，我国航天事业获得又一重要成就 .实现月球反面软着陆需要解决的一个重点技术问题是地面与探测器的通信联系 .为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着环绕地月拉格朗日 L 2点的轨道运转 .L 2点是均衡点，位于地月连线的延伸线上 .设地球质量为 M 1，月球质量为 M 2，地月距离为 R ， L 2点到月球的距离M1M2为 r ，依据牛顿运动定律和万有引力定律， r 知足方程： （ R ＋ r ） 2＋ r2M1 r 因为 α的值很小，所以在近似计算中3α3＋3α4＋α 5＝（ R ＋r ） 设 α＝ R .（1＋α） 2R3.3）≈ 3α，则 r 的近似值为（A. M2B. M2RRM12M1 C.3 3M2D.3 M2RRM13M1D ［由M1 M2M1 M1M2rM 1.因为 α＝ （R ＋r ＋ ＝（ R ＋r ） ，得r 2＋ 2＝ 1＋R）2 r2R3 r1＋RRrM1 ＋ M23α3＋3α4＋α 5 M2，所以＝（ 1＋α）M 1 ，得＝ .由 R（1＋α） 2 α2（1＋α） 2 M1 3α3＋3α4＋α 5M2 r3M23 3≈（1＋α） 2≈3α，得3α≈，即 3R ，M1M1所以 r ≈ 3M2·，应选D. ］3M1R2.某汽车销售企业在 A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售收益（单位：万元）为 y 1 ＝4.1x －0.1x 2，在 B 地的销售收益（单位：万元）为 y 2＝2x ，此中 x 为销售量（单位：辆），若该企业在两地共销售 16辆该种品牌的汽车，则能获取的最大收益是（）万元B.11万元C.43万元万元C ［设企业在 A 地销售该品牌的汽车 x （0≤x ≤16 且 x ∈N ）辆，则在 B地销售该品牌的汽车（ 16－x ）辆，所以可得收益 y ＝ 4.1x －0.1x 2＋2（16－ x ）12121 2122＋＋2.1x ＋32＝－ x －210×＋32.＝－ 0.1x 10·4 因为 x ∈［ 0,16］且 x ∈N ，所以当 x ＝10 或 11 时，总收益获得最大值 43 万元 .］3.某工厂投资 100万元开发新产品，第一年赢利 10万元，从第二年开始每年赢利比上一年增添 20%.若从第 n 年开始，前 n 年赢利总和超出投入的 100万元，则n ＝.（参照数据： lg 2≈0.301 0，lg 3≈ 0.477 1）7 ［由从第 n 年开始，前 n 年赢利总和超出投入的 100 万元，得 10＋10×（ 1＋ 20%）1 ＋10×（1＋20%）2＋ ＋ 10（1＋20%） n － 1＞ 100，即10（1－1.2n ）lg 3 lg 30.477 1 1－ 1.2＞100，所以 n ＞lg 1.2＝2lg 2 ＋lg 3－1≈0.079 1 ≈6.即从第7 年开始，前 7 年赢利总和超出投入的 100 万元.］4.xx 大提出对乡村要坚持精确扶贫，至 2020年末全面脱贫 .现有扶贫工作组到某山区贫穷村实行脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫穷田户 100家，他们均从事水果栽种， 20xx 年末该村均匀每户年纯收入为 1万元 .扶贫工作组一方面请相关专家对水果进行品种改进，提升产量；另一方面，抽出部分田户从事水果包装、销售工作，其人数一定小于栽种的人数 .从20xx 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x ∈ Z,1≤x ≤9）从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果栽种的x田户的年纯收入每户均匀比上一年提升20，而从事包装、销售的田户的年纯收入每户均匀为13＝3≈3＝）－ x 万元（参照数据：4 1.11.331,1.151.521,1.21.728 .（1）至 2020年末，为使从事水果栽种的田户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1万6千元），起码要抽出多少户从事包装、销售工作？（2）至 20xx年末，该村每户年均纯收入可否达到 1.35万元？若能，恳求出从事包装、销售的户数；若不可以，请说明原因 .x3（100－ 5x） 1＋20［解］（ 1）至 2020 年末，栽种户均匀收入＝100－5x≥1.6，3x即 1＋20≥1.6，即 x≥20（31.6 － 1） .由题中所给数据，知 1.15＜331.6 ＜1.2，所以 3＜20（ 1.6 －1）＜ 4.所以 x 的最小值为 4，此时 5x≥20，即起码要抽出20 户从事包装、销售工作 .（2）至 20xx 年末，假定该村每户年均纯收入能达到 1.35 万元 .每户的均匀收入为1x5x 3－4x ＋（ 100－5x） 1＋20≥ 1.35，化简得 3x2－30x＋ 70≤0.100因为 x∈ Z 且 1≤x≤9 ，所以 x∈ {4,5,6}.所以当从事包装、销售的户数达到20 至 30 户时，能达到，不然，不可以.1.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价钱挨次为60元/盒、 65元/盒、 80元 /盒、 90元/盒.为增添销量，李明对这四种水果进行促销：一次购置水果的总价达到120元，顾客就少付 x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会获取支付款的80%.①当 x＝10时，顾客一次购置草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单获取的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为.130 15 ［①一次购置草莓和西瓜各一盒需付款 140 元，若 x＝ 10，则超出120 元可少付 10 元，故顾客实质需要支付 130 元 .②设顾客一次购置水果促销前总价为 y 元.当 y＜120 时，不享受优惠，即 x＝ 0，此时 0.8y≥0.7y，知足要求 .1当 y≥120 时，享受优惠 x 元，则 0.8（y－x）≥ 0.7y，得 x≤8y 恒建立 .又1∵y≥120，∴8y≥ 15，∴ x≤15，即 x 的最大值为 15.］2.某种特点水果每年的上市时间从 4月1号开始仅能连续 5个月的时间 .上市早期价钱表现上升态势，中期价钱开始降落，后期价钱在原有价钱基础之上连续下跌 .现有三种价钱变化的模拟函数可供选择：①f（x）＝ p·q x；② f（x）＝ px2＋qx＋ 7；③ f（ x）＝ log q（x＋p）.此中 p，q均为常数且 q＞1.（注： x表示上市时间， f（ x）表示价钱，记 x＝0表示 4月1号， x＝ 1表示 5月1号，，以此类推 x∈［0,5］）（1）在上述三个价钱模拟函数中，哪一个更能表现该种水果的价钱变化态势，请你选择，并简要说明原因；（2）对（ 1）中所选的函数 f（x），若 f（ 2）＝ 11，f（3）＝ 10，记 g（x）f （ x）－ 2x－ 13＝，经过多年的统计发现，当函数g（x）获得最大值时，拓展x＋1外销市场的成效最为显然，请展望明年拓展外销市场的时间是几月1号？［解］（ 1）依据题意，该种水果价钱变化趋向是先单一递加后向来单一递减，基本切合张口向下的二次函数变化趋向，故应当选择②f（x）＝ px2＋ qx＋7.（2）由 f（ 2）＝ 11，f（3）＝ 10 解得 f（ x）＝－ x2＋4x＋7.g（x）＝ f （x）－ 2x－13＝－ x2－2x＋ 6x＋1x＋1当且仅当 x＋1＝3，即 x＝2 时等号建立 .所以明年拓展外销的时间应为6月 1号.。
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（江苏专用）2023年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析）1．(2023·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v ()单位：千米/时是车流密度x ()单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．()1当0≤x ≤200时，求函数v ()x 的表达式；()2当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f ()x ＝x ·v ()x 可以到达最大？并求出最大值.()准确到1辆/时解：()1由题意，当0≤x ≤20时，v ()x ＝60； 当20≤x ≤200时，设v ()x ＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v ()x 的表达式为v ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13()200－x ， 20<x ≤200.()2依题意并由()1可得f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x ()200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f ()x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时，f ()x ＝13x ()200－x ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋()200－x 22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f ()x 在区间(]20，200上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f ()x 在区间[]0，200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约为3333辆/时． 2．(2023·高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )到达最小？并求最小值．解：(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消消耗用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)．而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－24003x ＋52.令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0≤x <5时，f ′(x )<0；当5<x ≤10时．f ′(x )>0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用到达最小值70万元．[A 级 双基稳固]一、填空题1t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01________．①v ＝log 2t ； ②v ＝log 12t ；③v ＝t 2－12； ④v ＝2t －2. 解析：由表中数据可知，当t 越大时，v 递增的速度越快，而v ＝log 2t 递增速度较慢，v ＝log 12t 递减，v ＝2t －2匀速，只有v ＝t 2－12符合这一特征．答案：③2．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备假设干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，假设超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购置应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元(价格为整数)，那么a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购置x 套(x ≤50)应付a 元，那么a ＝xy ，又a ＝(y －30)(x ＋11)，又x ＋11＞50，即x ＞39， ∴39＜x ≤50，∴xy ＝(y －30)(x ＋11)， ∴3011x ＝y －30，又x 、y ∈N *且39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，∴a ＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2023年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为________万 m 2.(准确到1万 m 2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3万人，那么500×1＋1%10×7－500×610≈87(万 m 2)．答案：874．某工厂生产某种产品固定本钱为2000万元，并且每生产一单位产品，本钱增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，那么总利润L (Q )的最大值是______万元．答案：2500 5．(2023·高考山东卷改编)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9，且经讨论知x ＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：9万件6．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝________吨．解析：每年购置次数为400x，∴总费用＝400x·4＋4x ≥26400＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 答案：20 7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最正确近似值a ”是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…，a n ，推出的a ＝________.解析：设近似值为x ，那么f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2取最小值时的x 即为a ，由f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )知当x ＝a 1＋a 2＋…＋a n n时，f (x )最小．答案：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )8．某超市为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是现金与奖励券合计)就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，满300元就送60元奖励券….当日一位顾客共花现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他实际最多能购置________元的商品．解析：7000元应给奖励券1400元，1400元应给奖励券280元，280元加上7020元余下20元满300元应给奖励券60元．故最多能购置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品． 答案：8760 二、解答题 9．某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进展了跟踪调查，调查结果如图中①、②、③所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t0≤t ≤30－6t ＋24030<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件产品A 的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 0≤t ≤20，6020＜t ≤40.设这家公司的日销售利润为F (t )，那么F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋6t ＋2t ，0≤t ≤2060－320t 2＋6t ＋2t ，20<t ≤3060－320t 2＋6t －6t ＋240，30<t ≤40＝⎩⎪⎨⎪⎧3t－320t 2＋8t ，0≤t ≤2060－320t 2＋8t ，20＜t ≤3060－320t 2＋240.30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t (48－2720t )≥0， 故F (t )在[0,20]上单调递增，此时F (t )的最大值是F (20)＝6000＜6300；当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6300，解得703＜t ＜30；当30<t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300.故第一批产品A 上市后第24天到第30天前，这家公司的日销售利润超过6300万元．10．某隧道长2150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据平安和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持(16x 2＋13x )m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×55－1x ＝3780x，当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋16x 2＋13x×55－1x＝2700x＋9x ＋18，所以，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3780x 0＜x ≤102700x ＋9x ＋18 10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ·2700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)， 因为378＞329.4，所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4(s)．[B 级 能力提升]一、填空题1．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B 、C 完成后，D 可以开工．假设该工程总时间为9天，那么完成工序C 需要的天数x 最大是________．解析：分析题意可知，B 、D 工序不能同时进展， ∴B 、D 工序共需5＋4＝9天， 而完成总工序的时间为9天，说明A 、B 同时开工，A 完成后C 开工且5≥2＋x ， ∴x ≤3，故x 最大值为3. 答案：3 2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进展消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如下图．根据图中提供的信息，答复以下问题：(1)从药物释放开场，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开场，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．解析：(1)由图可设y ＝kt (0≤t ≤110)，把点(0.1,1)分别代入y ＝kt 和y ＝(116)t －a，得k ＝10，a ＝0.1，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t 0≤t ≤110116t －0.1t ＞110.(2)由(116)t －0.1＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t0≤t ≤110116t －0.1t ＞110(2)0.63．江苏舜天足球俱乐部准备为救助失学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x，那么这三种门票分别为____________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．解析：该函数模型y ＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为 a 、b 、c ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3bab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大． 答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江苏卷)将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，那么s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x .那么s ＝3－x 234－34x 2＝433·3－x21－x 2(0＜x ＜1)， s ′＝433·－6x 2＋20x －61－x 22＝－833·3x －1x －31－x22， 令s ′＝0，得x ＝13或x ＝3(舍去)．即x ＝13是s 的极小值点且是最小值点．∴s min ＝433·3－1321－19＝3233.答案：3233二、解答题5．某商品每件本钱9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期的获利为f (x )，那么依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由已知条件可知，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12).x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x ) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘故x ＝12时，f (x )取极大值，因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．6．(2023·高考湖南卷)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两局部：(1)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝53c ＋10v－15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝510－3c v＋15.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧53c ＋10v－15，0<v ≤c ，510－3cv＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.。