北京龙文环球教育科技有限公司扬州分公司七年级数学下册《等比等差数列》教学案(无答案) 北师大版
等差数列与等比数列的应用教学案
等差数列与等比数列的应用教学案一、引言数列是数学中的一个重要概念，是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
在数学的应用中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。
本教学案将重点介绍等差数列和等比数列的应用，并提供一些教学方法和案例分析。
二、等差数列的应用（1）计算机算法设计等差数列在计算机算法设计中有广泛的应用。
例如，在排序算法中，可以利用等差数列的性质来优化算法的执行效率。
（2）数学建模等差数列在数学建模中也占据重要地位。
通过观察和分析等差数列的性质，可以使用数学模型解决实际问题，例如人口增长、货币回收等。
（3）金融投资等差数列在金融投资领域也有广泛应用。
通过等差数列的运算与推理，可以实现对利息、本金等金融指标的计算和预测，帮助投资者做出更合理的决策。
三、等差数列的教学方法（1）引导学生观察规律教师可以给学生一些数字，让学生观察并发现其中的规律，引导他们从中总结等差数列的特点。
（2）拓展应用场景通过实际生活中的例子，将等差数列的概念与实际问题结合起来，让学生更好地理解和应用。
（3）练习与实践教师可以设计一些练习题，引导学生进行计算和解答，培养他们的计算能力和问题解决能力。
四、等比数列的应用（1）成长模型等比数列在描述生物生长、物质变化等方面有广泛应用。
例如，数学家费波那契通过等比数列描述了兔子的繁殖规律。
（2）几何问题等比数列在几何问题中也有重要作用。
例如，等比数列可用于绘制等比坐标轴，在图形的放大缩小中起到关键作用。
（3）概率与统计等比数列也在概率和统计学中得到应用。
例如，在计算概率和求解统计问题时，等比数列的性质能够帮助我们更好地理解和解决问题。
五、等比数列的教学方法（1）探索性学习引导学生通过观察和实践，自己发现等比数列的性质和应用，提高他们主动学习和解决问题的能力。
（2）举例说明通过具体的实例，让学生更加直观地理解等比数列的概念和应用。
（3）编制教学素材教师可以编制一些练习题和案例，让学生进行练习和思考，加深对等比数列的理解和应用。
等差与等比数列教学设计1
《等差数列与等比数列》教学设计课题等差数列与等比数列教学探讨知识点数列的基本概念：生动的讲解可以减少学生抽象思维，从而更加形象具体；重要性质：通项公式特点；等差、等比中项；求和公式；具体应用等课程说明教材分析新课程要求教师在教学过程中，尊重学生的人格，关注个性差异，满足不同学生的学习需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都得到充分的发展。
本章节正是这一价值体系的充分表现，重点突出了其实用性，在生活中的用途非常之广，比如：存款利息、购房贷款、货物买卖等。
学生分析学生作为教育工作中的主要对象，一次成功的教学不可能脱离学生而存在，其重要性不言而喻。
所以对学生有全面综合的了解是非常重要的。
特别是作为一一辅导型的家教其重要性尤为突出，现我就对学生的分析作如下叙述：归类：高中理科生性格：在生人面前不是很活跃、且有一些自卑心理、没有恒心等；但是比较有上进心，有想把学习搞好的心理。
情感：感情生活比较复杂，处在人生中最易冲动的时期，对爱情有过高的憧憬，而且会不自觉的想起这些事学习情况：基础知识掌握的不够牢靠，知识的运用能力很差，分析能力较弱、解题思路不清晰、家庭情况：家长对孩子的期望过高，以至于给了孩子太多的压力。
教学目标熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和实际应用能力，强化学生基础知识提高分析能力，在一定程度上理清学生的解题思路。
教学难点等差（比）数列的性质的应用．通项公式的推导和运用.等差数列与等比数列个性质的异同点数列与其它知识点的结合，例如：与函数不等式的结合教学重点1、定义的归纳及公式的推导2、等差数列与等比数列知识点异同的比较，方便学生的记忆3、教学生如何才能灵活的应用公式定理教学方法1、启发引导法：在讲解知识点的时候不能应用填鸭式的教学方法，平铺直叙，一堂课下来所有的都是重点和难点，而应该引导学生知道对重点难点进行不同程度的区分，以及解题方法的探索等。
北京龙文环球教育科技有限公司扬州分公司七年级数学下
北京七年级数学下册《等比等差数列》教学案北师大版课 题（课型） 等比等差数列学生目前情况（知识遗漏点）：已掌握该部分知识，仍须提高教 学 目 标或考 点 分 析：1.能运用等比数列的概念及其通项公式解决问题；理解等比中项的意义．2.知道等比数列前n 项和公式的推导过程，理解前n 项和公式的含义，并会用公式进行有关计算．3.会运用等比数列前n 项和公式解决有关问题，通过对有关问题的研究讨论，培养分析问题，解决问题的能力．初步了解通过数列递推公式求通项的方法；初步了解通过数列前n 项和n S 求通项n a 以及相关内容的方法．教学重难点： 等比数列的概念及通项公式的应用；等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法；等差、等比数列的概念和公式；通过递推公式或n S 求n a ；教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练等差数列等比数列等差数列 等比数列 定义d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -=通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ） 中项2kn k n a a A +-+=（0,,*φφk n N k n ∈）)0(φk n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,*φφk n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈⋅=⋅定义常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -dk n k n n q a q a a --==11求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na s n n n中项公式A=2b a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。
等差数列教学设计及教案(可编辑修改word版)
《等差数列》教学设计教材分析1.教学内容：本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学 5》（人教 A 版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。
研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
2.教学地位：本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
3.教学重点难点：重点：①理解等差数列的概念。
②探索并掌握等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
学情分析我所教学的学生是我校高二（9）班、（10）班的学生，经过一年的学习，已具有一定的理性分析能力和概括能力。
且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。
他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。
但也有一部分学生的基础较弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
教法和学法分析1.教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2.学法引导学生首先从三个现实问题（课本页码问题、月均等额还款问题、操场跑道问题）概括出特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；引导学生多角度、多层面认识事物，学会探究。
《等差数列》教学案
等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n项)．．例1、(1)[2017·全国卷Ⅰ]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( ) A ．28 B ．21 C ．14 D ．7 答案 D(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 例2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．例3、(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6C.7D.8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.答案(1)C (2)1301. （2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则A. -12B. -10C. 10D. 12【答案】B2. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．【答案】3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．【答案】（1）d的取值范围为．（2）d的取值范围为，证明见解析。
初中数学教案探索等差数列与等比数列
初中数学教案探索等差数列与等比数列在数学教学中，等差数列和等比数列是初中阶段的重要内容。
掌握了这两种数列的概念和性质，对于学生的数学基础打牢坚实的基础非常有帮助。
本教案将针对初中数学教学中的等差数列和等比数列的探索进行详细介绍。
一、等差数列的引入等差数列是数学中常见且重要的数列之一。
首先，让学生观察以下一组数：1, 3, 5, 7, 9。
请问这组数有什么特点？学生通过观察可以发现，这组数从前一个数到后一个数之间的差恒定为2。
这种数列就被称为等差数列。
让学生亲自动手观察一些其他的等差数列，并总结等差数列的性质。
二、等差数列的性质及公式推导在引入等差数列的基础上，让学生进一步观察以下两组数列：2, 5, 8, 11, 14和-3, 0, 3, 6, 9。
通过观察这两组数列，学生可以发现每个数列中的任意两个相邻的数之间的差相等，这就是等差数列的重要性质之一。
引导学生进行数学符号的表示和运算，推导等差数列的通用公式。
三、等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛。
举例来说，我们可以将等差数列的概念应用到数学成绩的分析中。
请让学生观察以下一组分数序列：80, 85, 90, 95, 100。
通过观察可以发现，这组分数序列满足等差数列的性质。
通过计算等差数列的前n项和，可以了解到学生在一段时间内的总体成绩情况。
另外，还可以引导学生了解等差数列在几何图形中的应用，例如石头堆模型等。
四、等比数列的引入在引入等差数列的基础上，让学生观察以下一组数：2, 4, 8, 16, 32。
请问这组数有什么特点？学生可以通过观察发现，除了第一个数之外，每个数与前一个数的比恒定为2。
这种数列就被称为等比数列。
引导学生观察一些其他的等比数列，并总结等比数列的性质。
五、等比数列的性质及公式推导在引入等比数列的基础上，让学生进一步观察以下两组数列：3, 6, 12, 24, 48和27, 9, 3, 1, 1/3。
通过观察这两组数列，学生可以发现每个数列中的任意两个相邻的数之间的比相等，这就是等比数列的重要性质之一。
《等差数列与等比数列》教学设计
《等差数列与等比数列》教学设计一、教学设计1.教学内容解析本节课内容是在系统地学习完等差数列、等比数列后的一节单元小结课，小节分两课时,本节课为第一课时，主要对等差数列和等比数列的定义和公式进行小结和应用.这一单元的知识点有：等差数列、等差数列的前n项和、等比数列、等比数列前n项和.本节课的重点是引导学生复习所学的知识，通过例题的分析让学生深刻理解等差数列和等比数列的定义及公式的形式，通过例题探究找出知识间的内在联系，建立完整的知识结构体系.本单元课本内容通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立了等差数列和等比数列这两种重要的数列模型，探索了它们之间的一些基本数量关系，利用它们解决了一些实际问题.本单元在内容的设计上也突出了一些重要的数学思想方法：如类比思想、归纳思想、函数思想方法等等.因此，数学思想方法的教学也是本节课的重要内容.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式的应用.2.学生学情诊断从整个中学教材体系分析，前面已经学习了函数的知识，又通过对本单元新课的学习，学生已对本单元的知识点有了大致的理解，但知识间的内在联系还比较模糊，头脑欠缺一个完整的知识结构体系.对等差数列、等比数列公式的认识缺乏函数的思想，运用也不够灵活，对定义的理解仅仅停留在表面层次上.学生对数学思想和数学方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算，而轻视对问题的抽象分析.因此，本节课的教学过程也要加强对学生分析能力和归纳能力的培养.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式去解决相关问题.3.教学目标（1）通过实例探究，学生能系统掌握等差数列、等比数列的定义和公式，能灵活应用等差数列、等比数列的定义和公式去解决相关问题.（2）通过情景设置,有效的激发学生的学习兴趣, 让学生感受数学的实用性.通过问题的探究，进一步渗透类比思想、归纳思想、函数思想 .（3）培养学生归纳知识、应用知识的能力,培养学生勇于探索、勤于思考的精神.4.教学重难点教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式的应用.教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式去解决相关问题.5.教学课时一课时6.教学策略分析本节课是单元小结课，教学容量较大，学生参与度高，采用多媒体课件辅助教学，进一步提高课堂效率，调动学生的学习积极性.在教法上面采用着重于学生探究的启发式教学方法,结合探究进行结论的归纳.教学流程图7.教学过程设计（1）创设情景在一个月的月头，巴依老爷到买买提家去收地的租钱，说：“从这个月开始你的租钱这样交：第一个月交我1000元，第二个月交我2000元，第三个月交我3000元，以后每个月交的钱数比前一个月增加1000元，30个月以后就不收你租钱了。
等差与等比数列
课程名称：等差数列与等比数列 教学内容和地位：在数列章节中属于基础部分，但需要重点掌握 1、教材分析 教学重点：1、数列概念 2、等差数列通项及前 n 项和 3、等比数列通项及前 n 项和 教学难点：1、等差数列性质及其应用 2、等差数列性质及其应用 2、课时规划 3、教学目标分析 课时：3 课时 1、理解等差数列的概念及数列性质 2、掌握等差数列基本性质与函数关系 3、掌握等比数列基本性质与指数函数关系 1、简单回顾数列的概念 2、梳理本节课重要知识 3、例题精讲 4、重点、常见题型 5、易错点，常用解题方法和技巧 6、课堂总结，课下安排 必讲知识点 一、数列概念的知识 1、数列的概念 （1）定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. （2）数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. （3） 数列的一般形式：a1 , a 2 , a 3 , , a n ,4、教学思路， 或简记为a n ，其中 a n 是数列的第 n 项 2、数列的表示 （1）列表法 （2）图像法（与函数图像进行比较） 5、教学过程设计 （3）通项公式：如果数列a n 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个an公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .例如 （4）递推公式：如果已知数列=f（ n ）a n 的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做递推公式。
例如an=f（ a n -1 ）3、 数列的分类 （1）按项数分类：有限数列和无限数列 （2）按项与项的大小关系，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数 列 4、数列单调性的判断与最值 （1）利用函数性质（2）通过比较法判断 二、等差数列 1、等差数列的概念 （1）如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用 字母 d 表示。
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北京七年级数学下册《等比等差数列》教学案北师大版课 题（课型） 等比等差数列学生目前情况（知识遗漏点）：已掌握该部分知识，仍须提高教 学 目 标或考 点 分 析：1.能运用等比数列的概念及其通项公式解决问题；理解等比中项的意义．2.知道等比数列前n 项和公式的推导过程，理解前n 项和公式的含义，并会用公式进行有关计算．3.会运用等比数列前n 项和公式解决有关问题，通过对有关问题的研究讨论，培养分析问题，解决问题的能力．初步了解通过数列递推公式求通项的方法；初步了解通过数列前n 项和n S 求通项n a 以及相关内容的方法．教学重难点： 等比数列的概念及通项公式的应用；等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法；等差、等比数列的概念和公式；通过递推公式或n S 求n a ；教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练等差数列等比数列等差数列等比数列 定义d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -=通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,* k n N k n ∈）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈⋅=⋅定义常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+ 常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+ 通项公式n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -dk n k n n q a q a a --==11求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na s n n n中项公式A=2b a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。
推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。
2若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。
若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。
3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。
n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。
4)(11n m nm a a n a a d nm n ≠--=--=11a a q n n =- ， mn mn a a q =- )(n m ≠ 5例1．若,,a G b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，（1）求45和80的等比中项； （2）已知两个数9k +和6k -的等比中项是2k ，求k 。
例2．（1）等比数列{}n a 中，487,63a a ==，则6a = 。
（2）已知等比数列{}n a 中，4738512,124a a a a ∙=-+=，公比q Z ∈，则10a = 。
（3）在等比数列{}n a 中，61035480,41,5n a a a a a a a >∙+∙=∙=，则48a a +=例3．在等比数列{}n a 中，110a >，公比()0,1q ∈，且153528225a a a a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2，①求n a ；②设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 和为n S ，当1212n S S S n+++ 最大时，求n 的值。
例4．三个数成等比数列，其和为14，积是64，求此等比数列的通项公式。
等比数列常用几种形式（应用题）：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：.)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+. ⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a例1 某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率3.375‟，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每月应还贷多少元？例2某地现有耕地面积10000公顷，计划10年后粮食单产比现在提高22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口的年增长率为1%，那么平均每年最多只能减少耕地面积多少公顷（精确到1公顷）？(注：粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量)小知识点：1.等比数列的前n 项和的性质：设{a n }是等比数列，公比是q ，则⑴m n n m n S q S S +=+；⑵若n S ，n n 2S S -，n 2n 3S S -均不为0，则它们也成等比数列； ⑶若数列的项数是偶数，有奇偶qS S =。
2.差比数列的前n 项的和的求法——“错位相减”设{a n }公差为d(d≠0) 的等差数列， {b n }是公比是q(q ≠1)的等比数列，则n n 332211n b a b a b a b a S ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=。
1n n 433221n b a b a b a b a qS +⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅= 1n n n 3211n b a b d b d b d b a S )q 1(+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ，右边中间部分构成一个等比数列，两边除以（1－q ）便得到结论。
例题例3．（1）在G.P {}n a 中，n S 表示前n 项和，且51012,36S S ==，求15S 的值。
（2）已知前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后的3n 项的和。
例4．在等比数列{}n a 中，已知12166,128,126n n n a a a a S -+===，求,n q 。
综合练习：1.设数列｜a n ｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 。
2.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =_________。
3.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。
4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,n n S a b =+ 且13a =。
（1）求,a b 的值及数列{}n a 的通项公式。
（2）设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n T 。
5.设数列的前n 项和为n S ，已知*11,3,N n S a a a n n n ∈+==+（1）设n n S b 31-=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若*1,N n a a n n ∈≥+，求a 的取值范围7.已知数列{}n a 是首项11>a ，公比q>0的等比数列，设n n a b 2log =()*N n ∈且6531=++b b b ,0531=b b b 。
⑴求数列{}n a 的通项公式,⑵设数列{}n b 的前项和为n S ，求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑶设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为n T ,当n T 取最大值时,求n 的值.错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例一、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………① 解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例二、求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序） 又由m n n m n C C -=可得 nnn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(……..② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=例三、求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例四、求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 例五、 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n例六、 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S由n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴原等式成立 合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例七、在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 例八、 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅＝)91010(8111n n --+ 学生对本次课的评定：○特别满意 ○满意 ○一般 ○差学生签字：教师评定：1、学生上次作业评价： ○好 ○较好 ○一般 ○差2、学生本次上课情况评价：○好 ○较好 ○一般 ○差教师签字：。