新高考数学模块一：集合与常用逻辑用语
5a＋10 解析 若 5∈M，则5a－25≤0，
∴(a＋2)(a－5)≤0 且 a≠5，∴－2≤a＜5，
∴5∉M 时，a<－2 或 a≥5. 10．设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a<0；命题 q：实数 x 满足 x2＋2x－8>0，若 q 是 p 的必
要不充分条件，则实数 a 的取值范围是________．
【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 A⊊B，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 A⊋B，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 A B 且 A⊉B，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
C．充分必要条件
பைடு நூலகம்
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ln(x＋1)<0，解得 0<x＋1<1，
∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．
7．给出以下四个命题：
①若 ab≤0，则 a≤0 或 b≤0； ②若 a>b，则 am2>bm2；
③在△ABC 中，若 sin A＝sin B，则 A＝B； ④在一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，若 b2－4ac<0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
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A．①
B．②
C．③
D．④
答案 C
8．设 U 为全集，对集合 A，B 定义运算“*”，A*B＝∁U(A∩B)，若 X，Y，Z 为三个集合，则(X*Y)*Z 等于
()
A．(X∪Y)∩∁UZ
B．(X∩Y)∪∁UZ
C．(∁UX∪∁UY)∩Z
答案 C
解析 在数轴上表示集合 M、N，则 M∪N＝{x|x<－5 或 x>－3}，故选 C.
4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合 A 的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 D
解析 满足题意的集合 A 可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共 4 个． 5．已知集合 U＝R(R 是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则 A∪(∁UB)等于( )
A．0 或 3
B．0 或 3
C．1 或 3
D．1 或 3
答案 B
解析 ∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3， m}，∴m＝1 或m＝3 或m＝ m，
由集合中元素的互异性易知 m＝0 或 m＝3.
2．设集合 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若 A⊆B，则 a 的取值范围是( )
A．{a|a≥2}
互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
由属于集合 A 且属于集合 B 交集
的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}
由所有属于集合 A 或属于集 并集
合 B 的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}
由全集 U 中不属于集合 A 的 补集
所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A}
2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； (2)如果 p⇒q，但 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件； (3)如果 p⇒q，且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件； (4)如果 q⇒p，且 p q，则 p 是 q 的必要不充分条件； (5)如果 p q，且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
新高考数学模块一 集合与常用逻辑用语
【知识梳理】
一、集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
取值范围是________．
答案 (2，＋∞)
解析 ∵1－x＋2 1≤1⇔－1≤x＋2 1－1≤1⇔0≤x＋2 1≤2⇔－1≤x≤3，∴p：－1≤x≤3；
∵x2－2x＋1－m2<0(m>0)⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]<0⇔1－m<x<1＋m，∴q：1－m<x<1＋m.
∵p 是 q 的充分不必要条件，
N*(或 N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn 图
子集
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 A⊆B
x∈A，则 x∈B)
(或 B⊇A)
真子集
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中 至少有一个元素不在集合 A 中
A⊊B (或 B⊋A)
集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 集合相等
答案 (－∞，－4] 解析 由命题 q：实数 x 满足 x2＋2x－8>0，得 x<－4 或 x>2， 由命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a<0，得(x－3a)(x－a)<0，∵a<0，∴3a<x<a，
∵q 是 p 的必要不充分条件，∴a≤－4，∴a∈(－∞，－4]．
11．已知命题p：1－x＋2 1≤1，命题q：x2－2x＋1－m2<0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若 p，则 q”，则该命题的否定为“若 p，则 ¬q ”，其否命题 为“若 ¬p ，则 ¬q ”．
6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
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【必会习题】
1．已知集合A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
Venn 图
【知识拓展】 1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系
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B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≤2}
答案 A
解析 若 A⊆B，则 a≥2，故选 A.
3．已知集合 M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5 或 x>5}，则 M∪N 等于( )
A．{x|－3<x<5}
B．{x|－5<x<5}
C．{x|x<－5 或 x>－3} D．{x|x<－3 或 x>5}
1－m<－1，
∴[－1,3]是(1－m,1＋m)的真子集，则
解得m>2.
1＋m>3，
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D．(∁UX∩∁UY)∪Z
答案 B
解析 ∵X*Y＝∁U(X∩Y)，∴对于任意集合 X，Y，Z， ( X*Y )*Z＝∁U(X∩Y)*Z＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪∁UZ.
ax＋10 9．已知M是不等式ax－25≤0 的解集且 5∉M，则a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
A．[－1,0]
B．[1,2]
C．[0,1]
D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D 解析 B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
A∪(∁UB)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选 D.
6． “x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定 义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集． 2．易混淆 0，∅，{0}：0 是一个实数；∅是一个集合，它含有 0 个元素；{0}是以 0 为元素的单元素集合， 但是 0∉∅，而∅⊆{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件 A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B 求解集合 A 时，务必分析研究 A＝∅的情况．
新教材2023年高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1
[解析] (1)由题意，p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，
因为 q 是 p 的必要不充分条件，即{x|－1<x<3} {x|－1<x<m＋1}，则 m＋1>3，解得 m>2，即实数 m 的取值范围是{m|m>2}．
(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)： 因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab ＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 综上可知，结论得证．
题型三
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
典例3 已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分
【对点练习】❶ (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是
( D)
A．ab＝0
B．ab>0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2>0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条
件，那么
(A )
A．丙是甲的充分不必要条件
B．丙是甲的必要不充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙是甲的既不充分又不必要条件
关键能力 ·攻重难
题型探究
题型一
充要条件的判断与探究
典例1 (1)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ ①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|>3，q：x2>9.
专题01 集合与常用逻辑用语专项高考真题总汇(带答案与解析)
专题01集合与常用逻辑用语1．【2021·浙江高考真题】设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.2．【2021·全国高考真题】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .3．【2021·全国高考真题（理）】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.4．【2021·全国高考真题（理）】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.5．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选：B.6．【2021·全国高考真题（理）】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．7．【2021·全国高考真题（理）】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B = ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.11．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ðA ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知{}2,1,1U B =--ð，则(){}U 1,1A B =- ð.故选C ．【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.12．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D ．【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U .故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P I Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I .故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.17．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.18．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}M N x x =-<< ．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞ ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =- .故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.21．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为{1,2}A C = ，所以(){1,2,3,4}A C B = .故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．22．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =- ð.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.23．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.24．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围.25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.26．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.27．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2A B =I .故答案为{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．28．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.29．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲.【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B = .【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。
2024新高考数学总复习(常用逻辑用语)
考点二 全称量词与存在量词 1.全称量词和存在量词 全称量词(∀):所有的、任意一个等. 存在量词(∃):存在一个、至少有一个等. 2.全称量词命题和存在量词命题 全称量词命题:对M中任意一个x,p(x)成立,即∀x∈M,p(x). 存在量词命题:存在M中的元素x,p(x)成立,即∃x∈M,p(x). 3.全称量词命题和存在量词命题的否定
1 2
,
2,使得2x2-λx-1<0成立”
是假命题,则实数λ的取值范围为
.
解析
若“∃x∈
1 2
, 2,使得2x2-λx-1<0成立”是假命题,则“∀x∈
1 2
,
2,
使得2x2-λx-1≥0成立”是真命题,由于x∈
1 2
,
2
,所以λ≤
2
x2 x
1=2x-
1 x
在x
∈
1 2
,
2
上恒成立,则λ≤
高考 数学
专题一 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
基础篇
考点一 充分条件与必要条件 1.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.若p⇒q,且q⇒/ p ,则p是q的充分不必要条件. 3.若p⇒/ q,且q⇒p,则p是q的必要不充分条件. 4.若p⇔q,则p是q的充要条件. 5.若p⇒/ q,且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
8
题意,故选AC.
答案 (1)B (2)AC
名师点睛:判断充分、必要条件的两种方法 1.定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件 是什么、结论是什么. 2.集合法:利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围 推得大范围,即可解决充分、必要性的问题.
最新整理高考数学第一讲集合与常用逻辑用语.docx
第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件A BB A1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C ， ∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |.又|HA |＋|HB |＝|P A |＋|PB |＝|AB |， ∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|P A |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题．如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AD |＋|BC |，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一 集合的概念与运算问题例1 (1)(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M 等于( ) A ．MB ．NC ．{1,4,5}D ．{6}审题破题 (1)先对集合A 、B 进行化简，注意B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C 即可．(2)透彻理解A －B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来． 答案 (1)D (2)D解析 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )。
专题01 集合与常用逻辑用语(解析版)
专题01 集合与常用逻辑用语1．【2022年全国甲卷】设集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.2．【2022年全国甲卷】设全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.3．【2022年全国乙卷】集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.4．【2022年全国乙卷】设全集，集合M满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选:5．【2022年新高考1卷】若集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D6．【2022年新高考2卷】已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.7．【2021年甲卷文科】设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.8．【2021年甲卷理科】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.9．【2021年乙卷文科】已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（ ） A ．{}5 B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A 【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】 由题意可得：{}1,2,3,4M N =，则(){}5UM N =.故选：A.10．【2021年乙卷文科】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项. 【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．11．【2021年乙卷理科】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C 【解析】 【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论. 【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.12．【2021年新高考1卷】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .13．【2021年新高考2卷】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（） A ．{3} B ．{1,6} C ．{5,6} D ．{1,3}【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.14．【2020年新课标1卷理科】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．【2020年新课标1卷文科】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果. 【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.16．【2020年新课标2卷理科】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.17．【2020年新课标2卷文科】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}【答案】D 【解析】 【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--， {}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-. 故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.18．【2020年新课标3卷理科】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.19．【2020年新课标3卷文科】已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.20．【2020年新高考1卷（山东卷）】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 [1,3](2,4)[1,4)AB ==故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.21．【2020年新高考2卷（海南卷）】设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（ ） A ．{1，3，5，7} B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果. 【详解】 因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.22．【2019年新课标1卷理科】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N⋂=（ ） A ．}{43x x -<< B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 23．【2019年新课标1卷理科】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262651105x x y +-=+得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．24．【2019年新课标1卷文科】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】 先求UA ，再求UBA ．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 25．【2019年新课标2卷理科】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A ，再求出交集． 【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．26．【2019年新课标2卷文科】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．∅ 【答案】C 【解析】 【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知，(1,2)A B =-，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．27．【2019年新课标2卷文科】在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．28．【2019年新课标3卷理科】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.29．【2019年新课标3卷文科】记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题. 【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩ 即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ， 则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．30．【2018年新课标1卷理科】已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x <->或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.31．【2018年新课标1卷文科】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0D ．{}21012--，，，， 【答案】A 【解析】 【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A B 中的元素，最后求得结果. 【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得{}0,2A B =，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.32．【2018年新课标2卷理科】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 223x y +≤ 23,x ∴≤ x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，1,0,1y =-； 当1x =时，1,0,1y =-； 所以共有9个，故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 33．【2018年新课标2卷文科】已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B = A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==可直接求解{3,5}A B =. 详解：{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.34．【2018年新课标3卷理科】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012，， 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果． 详解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题．35．【2018年新课标3卷文科】已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0} B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．36．【2020年新课标2卷理科】设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α； 若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内， 同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α， 则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ， 命题4p 为真命题. 综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.。
集合和逻辑用语
集合和逻辑用语
集合和逻辑用语在数学和逻辑学中起着重要的作用，对于描述和分析对象、关系和推理过程非常有用。
下面是一些常见的集合和逻辑用语：
集合：
1. 元素：集合中的个体，表示为 a ∈ A。
2. 子集：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，表示为
A ⊆ B。
3. 空集：不包含任何元素的集合，表示为∅或 {}。
4. 并集：两个或多个集合的所有元素的集合，表示为A ∪B。
5. 交集：两个或多个集合共有的元素的集合，表示为A ∩ B。
6. 补集：一个集合中不属于另一个集合的元素的集合，表示为
A -
B 或 A\B。
逻辑用语：
1. 命题：陈述句，可以被判断为真或假。
2. 真值：命题的真假状态。
3. 否定：对一个命题的真假状态进行取反。
4. 合取：两个命题同时为真的组合命题，表示为 p ∧ q。
5. 析取：两个命题至少有一个为真的组合命题，表示为 p ∨ q。
6. 蕴含：如果条件 p 成立，则结论 q 也成立的组合命题，表示为p → q。
7. 等价：两个命题具有相同真值的组合命题，表示为p ↔ q。
这些用语被广泛应用于数学、逻辑学、计算机科学等领域，用于描述集合、定义关系、推理和证明等。
高考数学真题题型分类解析专题01 集合与常用逻辑用语
高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析 专题01集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语命题解读考向 考查统计1.高考对集合的考查，重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.2.高考对常用逻辑用语的考查重点关注如下两点：（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题． 交集的运算2022·新高考Ⅰ卷，12023·新高考Ⅰ卷，1 2024·新高考Ⅰ卷，1 2022·新高考Ⅱ卷，1根据集合的包含关系求参数 2023·新高考Ⅱ卷，2 充分必要条件的判定2023·新高考Ⅰ卷，7全称、存在量词命题真假的判断 2024·新高考Ⅱ卷，2命题分析2024年高考新高考Ⅱ卷未考查集合，Ⅰ卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑用语在新高考Ⅱ卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不等式、函数的定义域、值域的联系。
预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。
试题精讲1．（2024新高考Ⅰ卷·1）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =−<<=−−∣，则A B =∩（ ） A ．{1,0}− B ．{2,3} C ．{3,1,0}−− D ．{1,0,2}−【答案答案】】A2．（2024新高考Ⅱ卷·2）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ¬和q 都是真命题 C ．p 和q ¬都是真命题D ．p ¬和q ¬都是真命题1．（2022新高考Ⅰ卷·1）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ∩=（ ） A ．{}02x x ≤<B ．123x x≤<C ．{}316x x ≤<D ．1163x x≤<A ．{}2,1,0,1−−B ．{}0,1,2C ．{}2−D ．{}2A ．{1,2}−B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}−4．（2023新高考Ⅱ卷·2）设集合，，若，则（）．A ．2B ．1C ．23D ．1−【答案答案】】B【分析分析】】根据包含关系分20a −=和220a −=两种情况讨论，运算求解即可. 【详解详解】】因为A B ⊆，则有则有：：若20a −=，解得2a =，此时{}0,2A =−，{}1,0,2B =，不符合题意不符合题意；； 若220a −=，解得1a =，此时{}0,1A =−，{}1,1,0B =−，符合题意符合题意；； 综上所述综上所述：：1a =. 故选故选：：B. 5．（2023新高考Ⅰ卷·7）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件一、元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2、集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 5、常用数集的表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号N*N 或N +ZQR二、集合间的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü（或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”. （3）相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ∩，即{}|A B x x A x B ∩=∈∈且．（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ∪，即{}|A B x x A x B ∪=∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．四、集合的运算性质（1），，A B B A =∩∩，A B A ∩⊆，A B B ∩⊆． （2）A A A =∪，A A ∅=∪，A B B A =∪∪，A A B ⊆∪，B A B ⊆∪． （3），()U A C A U =∪，()U U C C A A =． （4）U UU A B A A B B A B B A A B ∩=⇔∪=⇔⊆⇔⊆⇔∩=∅痧?A A A =∩A ∅=∅∩()U A C A =∅∩【集合常用结论集合常用结论】】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n −个，非空子集有21n −个，非空真子集有22n −个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆∩∪． （4）()()()U U U C A B C A C B =∩∪,()()()U U U C A B C A C B =∪∩．五、充分条件充分条件、、必要条件必要条件、、充要条件1、定义如果命题“若p ，则q ”为真（记作p q ⇒），则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件（也说p 和q 等价）； （4）若p q ¿且q p ¿，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．六、全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 七、含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ¬为0x M ∃∈，0()p x ¬． （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ¬为,()x M p x ∀∈¬． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【常用逻辑用语常用结论常用逻辑用语常用结论】】 1、从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==．（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件（p q ⇒），q 是p 的必要条件；若A B 躡，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ¿； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”． （2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件．集合三模题一、单选题1．（2024·河南·三模）命题“20,10x x x ∃>+−>”的否定是（ ） A ．20,10x x x ∀>+−> B ．20,10x x x ∀>+−≤ C ．20,10x x x ∃≤+−>D ．20,10x x x ∃≤+−≤【答案答案】】B【分析分析】】根据存在量词命题的否定形式根据存在量词命题的否定形式，，即可求解. 【详解详解】】根据存在量词命题的否定为全称量词命题根据存在量词命题的否定为全称量词命题，， 即命题“20,10x x x ∃>+−>”的否定为“20,10x x x ∀>+−≤”. 故选故选：：B. 2．（2024·湖南长沙·三模）已知集合{}2,{|ln 1}M x x N x x ==<∣…，则M N ∩=（ ） A ．[)2,eB ．[]2,1−C ．[)0,2D ．(]0,2【答案答案】】D【分析分析】】由对数函数单调性解不等式由对数函数单调性解不等式，，化简N ，根据交集运算求解即可. 【详解详解】】因为[]()2,2,0,e M N =−=， 所以(]0,2M N =∩. 故选故选：：D. 3．（2024·河北衡水·三模）已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x==−≤−≤，，则A B =∩（ ） A ．11510x x≤≤B ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310x x≤≤4．（2024·陕西·三模）已知集合A =A ．RB ．(]0,2【答案答案】】D【分析分析】】先解一元二次不等式求出集合【详解详解】】由230x x −+>，解得03x <<所以3|}1{A B x x ∪=−≤<，所以A 故选故选：：D. 5．（2024·安徽·三模）已知集合A x=为（ ）A ．{}21x x −≤≤ C ．{}52x x −≤≤−6．（2024·湖南长沙·三模）已知直线使点P 在圆O 内”的（ ） A ．充分不必要条件 C ．充要条件【答案答案】】B【分析分析】】由直线与圆相交可求得1−<【详解详解】】由直线l 上存在点P ，使点解得11k −<<，即()1,1k ∈−，因为1k <不一定能得到11k −<<，而11k −<<可推出1k <，所以“k <1”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的必要不充分条件. 故选故选：：B 7．（2024·湖北荆州·三模）已知集合{}220A x x x =−≤，B A =R ð，其中R 是实数集，集合(],1C ∞=−，则B C ∩=（ ）A ．(],0−∞B ．(]0,1C ．(),0∞−D ．()0,18．（2024·北京·三模）已知集合ln 1A x x =<，若a A ∉，则a 可能是（） A ．1eB ．1C ．2D ．3【答案答案】】D【分析分析】】解对数不等式化简集合A ，进而求出a 的取值集合即得.【详解详解】】由ln 1x <，得0e x <<，则{|0e}A x x =<<，R {|0A x x =≤ð或e}≥， 由a A ∉，得R a A ∈ð，显然选项ABC 不满足不满足，，D 满足. 故选故选：：D 9．（2024·河北衡水·三模）已知函数()()22sin x xf x m x −=+⋅，则“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案答案】】B【分析分析】】由函数()f x 是奇函数是奇函数，，可求得1m =，可得结论. 【详解详解】】若函数()f x 是奇函数是奇函数，，则()()()()()22sin 22sin (1)22sin 0x x x x x xf x f x m x m x m x −−−+−=+⋅−+⋅=−−=恒成立恒成立，，即1m =，而21m =，得1m =±．故“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的必要不充分条件的必要不充分条件．． 故选故选：：B ．10．（2024·内蒙古·三模）设α，β是两个不同的平面，m ，l 是两条不同的直线，且l αβ=∩则“//m l ”是“//m β且//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案答案】】C【分析分析】】根据题意根据题意，，利用线面平行的判定定理与性质定理利用线面平行的判定定理与性质定理，，结合充分条件结合充分条件、、必要条件的判定方法必要条件的判定方法，，即可求解.【详解详解】】当//m l 时，m 可能在α内或者β内，故不能推出//m β且//m α，所以充分性不成立所以充分性不成立；； 当//m β且//m α时，设存在直线n ⊂α，n β⊄，且//n m ，因为//m β，所以//n β，根据直线与平面平行的性质定理根据直线与平面平行的性质定理，，可知//n l ， 所以//m l ，即必要性成立即必要性成立，，故“//m l ”是“//m β且//m α”的必要不充的必要不充分条件分条件. 故选故选：：C. 11．（2024·北京·三模）已知(){}2log 11A x x =−≤，{}32B x x =−>，则A B =∩（ ）A ．空集B ．{3x x ≤或}5x >C ．{3x x ≤或5x >且}1x ≠D ．以上都不对A ．∅B ．{}0C ．{}0,2,3,5D ．{}0,3A ．(1,4)−B ．1,14C ．1,12D ．1,22A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件有下列两个结论：①存在a和b，使得集合B中恰有5个元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4个元素．则下列判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误二、多选题16．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（）A ．若{}{}300x x x x a +>∩−<=∅，则a 的取值范围是3a <−B ．若{}{}300x x x x a +>∩−<=∅，则a 的取值范围是3a ≤−C ．若{}{}300x x x x a +>∪−<=R ，则a 的取值范围是3a ≥−D ．若{}{}300x x x x a +>∪−<=R ，则a 的取值范围是3a >−17．（2024·辽宁·三模）已知12max ,,,n x x x 表示12,,,n x x x 这个数中最大的数．能说明命题“，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题的对应的一组整数a ，b ，c ，d 值的选项有（ ）A ．1，2，3，4B ．3−，1−，7，5C ．8，1−，2−，3−D ．5，3，0，1−【答案答案】】BC【分析分析】】根据{}12max ,,,n x x x 的含义说明AD 不符合题意，举出具体情况说明BC ，符合题意即可.【详解详解】】对于A ，D ，从其中任取两个数作为一组从其中任取两个数作为一组，，剩下的两数作为另一组剩下的两数作为另一组，，由于这两组数中的最大的数都不是负数由于这两组数中的最大的数都不是负数，，其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值其中一组中的最大数即为这四个数中的最大值，，故都能使得命题“,,,R a b c d ∀∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”成立成立；；对于B ，当{}{}{}max ,max 3,11,max 7,57a b =−−=−=时，而{}max 3,1,7,57−−=，此时177−+<，即命题“,,a b c ∀，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题是假命题；； 对于C ，当{}{}{}max ,max 8,18,max 2,32a b =−=−−=−时，而{}max 8,1,2,38−−−=，此时288−+<，即命题“,,a b c ∀，R d ∈，{}{}{}max ,max ,max ,,,a b c d a b c d +≥”是假命题是假命题；； 故选故选：：BC 18．（2024·重庆·三模）命题“存在0x >，使得2210mx x +−>”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．2m >−B ．1m >−C ．0m >D ．1m >A ．11a b <B ．|2||2|a b −>−C ．22a b ab a b −>−D ．()()22ln 1ln 1a b +>+有且仅有3个不同元素，则实数m 的值可以为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3三、填空题21．（2024·湖南长沙·三模）已知集合{}1,2,4A =，{}2,B a a =，若A B A ∪=，则=a ．【答案答案】】{}0,1【分析分析】】把集合中的元素代入不等式331x x −≤检验可求得{0,1}A B =∩.【详解详解】】当0x =时，303001−×=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121−×=−≤，所以1B ∈，当2x =时，323221−×=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B =∩.23．（2024·湖南衡阳·三模）已知集合{},1A a a =+，集合{}2N 20|B x x x =∈−−≤，若A B ⊆，则=a ．25．（2024·安徽·三模）已知集合,2,1,,A B yy x x A λ=−==∈∣，若A B ∪的所有元素之和为12，则实数λ=. 【答案答案】】3−【分析分析】】分类讨论λ是否为1,2−，进而可得集合B ，结合题意分析求解.【详解详解】】由题意可知由题意可知：：1λ≠−且2λ≠，当x λ=，则2y λ=；当2x =，则4y =；当=1x −，则1y =；若1λ=，则{}1,4B =，此时A B ∪的所有元素之和为6，不符合题意不符合题意，，舍去舍去；；若2λ=−，则{}1,4B =，此时A B ∪的所有元素之和为4，不符合题意不符合题意，，舍去舍去；；若1λ≠且2λ≠−，则{}21,4,B λ=，故2612λλ++=，解得3λ=−或2λ=（舍去舍去）；）；综上所述综上所述：：3λ=−.26．（2024·山东聊城·三模）已知集合{}{}21,5,,1,32A a B a ==+，且A B A ∪=，则实数a 的值为．C 的个数为.A B ∪=．。
2024年高考数学真题分类汇编01：集合与常用逻辑用语
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题ห้องสมุดไป่ตู้
10．（2024·上海）设全集U 1, 2,3, 4,5 ，集合 A 2, 4 ，则 A
．
1．A
参考答案：
【分析】化简集合 A ，由交集的概念即可得解.
【解析】因为 A x | 3 5 x 3 5 , B 3, 1, 0, 2,3 ，且注意到1 3 5 2 ，
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质， a3 b3 和 3a 3b 都当且仅当 a b ，所以二者 互为充要条件. 故选：C.
10． 1, 3, 5
【分析】根据补集的定义可求 A .
【解析】由题设有 A 1,3,5 ，
b
或
a
b
”的（
）条件．
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2024·天津）集合 A 1, 2,3, 4 ， B 2,3, 4,5 ，则 A B （ ）
A．1, 2,3, 4
B．2,3, 4
C．2, 4
D． 1
9．（2024·天津）设 a,b R ，则“ a3 b3 ”是“ 3a 3b ”的（ ）
【解析】因为 A 1, 2,3, 4,5,9, B x x A ，所以 B 1, 4,9,16, 25,81 ，
则 A B 1, 4,9 ， ðA A B 2, 3, 5
故选：D
5．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解析】对 A，当 a b 时，则 a b 0 ，
(新课标)高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语教案理新人教A版
（新课标）高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语教案理新人教A版第一节集合考纲要求：1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅表示关系3.集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示A ∪B A ∩B若全集为U ，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x∉A }(2)三种运算的常见性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅. ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .⑤A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ，B ，C 表示同一个集合．( )(2)若a 在集合A 中，则可用符号表示为a ⊆A .( ) (3)若A B ，则A ⊆B 且A ≠B .( )(4)N*NZ .( )(5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )(6)对于任意两个集合A ，B ，都有(A ∩B )⊆(A ∪B )成立．( ) (7)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5) × (6)√ (7)√2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下面结论中正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A解析：选D 因为a ＝22∉N ，A ＝{x ∈N |x ≤10}，所以a ∉A .3．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.4．若集合A 中有n 个元素，则集合A 有________个子集，有________个真子集，有________个非空子集，有________个非空真子集．答案：2n2n－1 2n－1 2n－25．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案：{2,4}6．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝________. 答案：{x |x ≤2或x ≥10}[典题1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(3)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(4)(2016·厦门模拟)已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．[听前试做] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.(3)∵a ∈A ，b ∈B ，∴x ＝a ＋b 为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．(4)因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(1)C (2)D (3)B (4)(5,6](1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．[典题2] (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[听前试做] (1)因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.(2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(1)C (2)(－∞，3][探究1] 在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.[探究2] 若将本例(2)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求解？解：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．1．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个解析：选A 由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．2．(2016·南宁模拟)已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)解析：选A M＝{x|(x－3)(x＋1)<0}＝(－1,3)，又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1]．有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：离散型数集间的交、并、补运算[典题3] (2016·株洲模拟)设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log3(x－1)，x∈A}，则集合(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{0,4,5,2} B．{0,4,5}C．{2,4,5} D．{1,3,5}[听前试做] 由题意知B＝{0,2}，∴∁U A＝{0,1,3,5}，∁U B＝{1,3,4,5}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,5}．答案：D角度二：连续型数集间的交、并、补运算[典题4] (1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}(2)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.[听前试做] (1)因为A ＝{x |x (x ＋3)<0}＝{x |－3<x <0}，∁U B ＝{x |x ≥－1}，阴影部分为A ∩(∁U B )，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x <0}，故选C.(2)A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}＝{x |－1<x <2}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，A ∩B ＝{x |1<x <2}． 答案：(1)C (2){x |－1<x <3} {x |1<x <2} 角度三：根据集合的运算结果求参数[典题5] (1)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若 (∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2,4]，则实数m ＝________.[听前试做] (1)∵(∁U A )∩B ＝∅，∴B ⊆A . 又A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}＝{－1，－2}．∴－1和－2是方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根． ∴m ＝2.(2)由题知A ＝[－2,4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2,4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m ＝5.答案：(1)2 (2)5(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(如角度一)(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(如角度二)(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(如角度三)[典题6] (1)(2015·湖北高考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30(2)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．[听前试做] (1)A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝±1，y＝0；或x＝0，y＝±1；或x＝0，y＝0}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝－2，－1,0,1,2；y＝－2，－1,0,1,2}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1,0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．(2)符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．答案：(1)C (2)6解决集合的新定义问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B ＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．[易错防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．[全盘巩固]一、选择题1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( ) A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A 将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.2．(2016·开封模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩(∁R B)＝( )A．{－1,2} B．{－2，－1,1,2,4}C．{1,4} D．∅解析：选A B＝{x|x>4或x<－2}，∴∁R B＝{x|－2≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{－1,2}．3．(2016·日照模拟)集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝log2x，x>0}，则A∩B等于( ) A．R B．∅ C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C A＝{x|y＝x}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝log2x，x>0}＝R.故A∩B＝{x|x≥0}．4．(2016·海淀模拟)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，M ＝{－1,0,3,4}，则集合P ∩M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 B 由P 中不等式变形得(x －2)(x ＋1)≤0，解得－1≤x ≤2，即P ＝{x |－1≤x ≤2}，∵M ＝{－1,0,3,4}，∴P ∩M ＝{－1,0}，则集合P ∩M 中元素的个数为2.5．(2016·南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．C ．7D ．6解析：选C 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，m ＋n ＝7.6．(2016·郑州模拟)若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1} D ．R解析：选A 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，故选A. 7．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为( ) A ．1或－1或0 B ．－1 C ．1或－1 D ．0解析：选A 因为B ⊆A ，所以B ＝∅或{1}或{－1}，即m ＝0或1m ＝1或1m＝－1，得到m的值为1或－1或0.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |x >2或x <0} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2} D ．{x |1≤x ≤2}解析：选C ∁U A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，故(∁U A )∩B ＝{x |1<x ≤2}． 二、填空题9．(2015·福建高考改编)若集合M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0,1,2}，则M ∩N ＝________. 解析：∵M ＝{x |－2≤x <2}，N ＝{0,1,2}， ∴M ∩N ＝{0,1}． 答案：{0,1}10．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：经验证，点(0,1)，(－1,2)在直线x ＋y －1＝0上．故A ∩B ＝{(0,1)，(－1,2)}． 答案：{(0,1)，(－1,2)}11．(2016·兰州模拟)集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁RB )＝________.解析：A ＝{x | x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}， ∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}． ∴A ∩(∁R B )＝{x |－3≤x ＜0}． 答案：[－3,0)12．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1][冲击名校]1．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．2．(2016·大连模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <0D ．a ≤0解析：选D 因为y ＝lg x 的定义域为{x |x >0}，依题意知，对数函数y ＝lg x 的图象与直线x ＝a 没有交点，所以a ≤0.3．设全集U ＝{x |1≤x <9，x ∈N }，则满足{1,3,5,7,8}与B 的补集的交集为{1,3,5,7}的所有集合B 的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意知U ＝{x |1≤x ＜9，x ∈N }＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，因为{1,3,5,7,8}∩(∁U B )＝{1,3,5,7}，所以∁U B 中必有1,3,5,7而无8.要求所有集合B 的个数，就是求∁UB 的个数．∁U B 的个数由∁U B B 中的元素确定，分以下四种情况讨论：①∁UB 中有4个元素，即∁U B ＝{1,3,5,7}；②∁U B 中有5个元素，∁U B 中有元素2或4或6，∁U B 有3个；③∁U B 中有6个元素，即从2和4,2和6,4和6三组数中任选一组放入∁U B 中，∁U B 有3个；④∁U B 中有7个元素，即∁U B ＝{1,3,5,7,2,4,6}．综上，所有集合∁U B 的个数为8，即所有集合B 的个数为8.4．(2016·成都模拟)已知集合M ＝{x |x >x 2}，N ＝，则M ∩N ＝________.解析：对于集合M ，由x >x 2，解得0<x <1，∴M ＝{x |0<x <1}，∵0<x <1，∴1<4x<4，∴12<<2，∴N ＝，∴M ∩N ＝.答案：5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x | x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，则a ＋b 的值等于________．解析：由已知得A ＝{x |x <－1或x >3}， ∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝4. ∴a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7. 答案：－76．(2016·沈阳模拟)设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x | x 2－2[x ]＝3}，B ＝，则A ∩B ＝________.解析：由集合A 中的等式x 2－2[x ]＝3变形得x 2＝2[x ]＋3，由题意可知x 2为整数，而x 2－2x －3＝0的解为x ＝－1或x ＝3，则[－1]＝－1，[3]＝3，所以x 2＝2[x ]＋3＝－2＋3＝1或x 2＝2×3＋3＝9，解得x ＝±1或x ＝±3，经检验x ＝1，x ＝－3不合题意舍去，所以x ＝－1或x ＝3，∴A ＝{－1,3}，由B 中不等式变形得2－3<2x <23，即－3<x <3， ∴B ＝{x |－3<x <3}，则A ∩B ＝{－1}．答案：{－1}第二节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求：1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(6)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√2．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”“充要”填空)解析：由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．答案：充分充要3．写出命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性．解：(1)逆命题：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题．(2)否命题：若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题．(3)逆否命题：若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．4．在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：a x2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要[典题1] (1)命题“若a>b则a－1>b－1”的否命题是( )A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2)(2016·银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0(3)下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题(4)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[听前试做] (1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.(3)对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x －2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项D为假命题．(4)由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：(1)C (2)D (3)B (4)D(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．[典题2] (1)(2015·四川高考)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2016·淄博模拟)“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[听前试做] (1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时log a3<log b3正确；反之，若log a3<log b3，则不一定得到3a>3b>3，例如当a＝12，b＝13时，log a3<log b3成立，但推不出a>b>1.故“3a >3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件．(2)“a＝2”⇒“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不成立．答案：(1)B (2)A充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件．1．(2015·安徽高考)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由2x＞1，得x＞0，所以p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件，故选A.2．设{ a n }是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{ a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{ a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．[典题3] (1)(2016·南昌模拟)已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．[21，＋∞)B ．[9，＋∞)C ．[19，＋∞)D ．(0，＋∞)(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[听前试做] (1)条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤m ＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.(2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 答案：(1)B (2)[0,3][探究1] 本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[探究2] 本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．由充分条件、必要条件求参数．解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解．但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3)解析：选A 法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以QP ，，因此a ≥1.法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ；同理，取a ＝－4，排除D ；选A.——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．判断四种命题间关系的方法写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p 则q ”，“若q 则p ”的真假即可．(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p是q 的充要条件．[易错防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别．[全盘巩固]一、选择题1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43解析：选D 由|x －m |<1得m －1<x <1＋m ，又因为|x －m |<1的充分不必要条件是13<x <12，借助数轴，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，解得－12≤m ≤43.4．已知a ，b ，c ∈R ，命题“如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．如果a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．如果a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．如果a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A “a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知选A.5．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：选D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．7．(2016·株洲模拟)设a ，b ∈R ，那么“e ab >e”是“a >b >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由e ab >e ，得ab>1，解得a >b >0或a <b <0，所以“e ab >e”是“a >b >0”的必要不充分条件．8．在斜三角形ABC 中，命题甲：A ＝π6，命题乙：cos B ≠12，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为△ABC 为斜三角形，所以若A ＝π6，则B ≠π3且B ≠π2，所以cos B ≠12且cos B ≠0；反之，若cos B ≠12，则B ≠π3，不妨取B ＝π6，A ＝π4，C ＝7π12，满足△ABC为斜三角形，所以选A.二、填空题9．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题为________．解析：首先将原命题写成“若p 则q ”的形式．其中p ：两个三角形全等，q ：两个三角形相似，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”．答案：若两个三角形不相似，则它们一定不全等10．在下列三个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件； ②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件．解析：易知①②正确．对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误． 答案：①②11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)12．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，真命题．答案：②③[冲击名校]1．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以由“φ＝0”，可以得到“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，但由“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”，可以得到φ＝k π，k ∈Z ，因此“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．2．使函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log ax ，x >1在(－∞，＋∞)上是减函数的一个充分不必要条件是( )A.17≤a <13 B ．0<a <13 C.17<a <13 D ．0<a <17解析：选C 由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0， 即17≤a <13，所求应该是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13的真子集． 3．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得，”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 若存在λ∈R ，使得，，则AB ∥CD ，AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意．4．已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴13－x－1＋a ＋13x －1＋a ＝2a ＋3x1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x－11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，代入得，f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要5．已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．解析：∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件． 对于p ，|x －a |<4， ∴a －4<x <a ＋4， 对于q,2<x <3，∴(2,3)(a －4，a ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3(等号不能同时取到)，∴－1≤a ≤6. 答案：[－1,6]第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑． (2)命题p ∧q 、p ∨q 、綈p 的真假判定pqp ∧qp ∨q綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真2.(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．②含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．③含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．(2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5>6或5>2”是真命题．( )(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( )(3)若p∧q为真，则p为真或q为真．( )(4)p∧q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．( )(5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )(6)∃ x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是________．①p∧綈q；②綈p∧q；③綈p∧綈q；④p∧q.答案：①3．已知命题p：∀x∈R，x2≠x，则綈p：________.答案：∃x0∈R，x20＝x04．命题“存在实数x，使x>1”的否定是________．答案：对任意实数x，都有x≤1[典题1] (1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③ D．②④(2)(2016·开封模拟)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x+2－x在R上为减函数，则在命题qp1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2，q4：p1∧(綈p2)中，1：真命题是( )A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4(3)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．。
高考数学真题十一大专题分类汇编专题一 集合与常用逻辑用语(教师版)
专题一 集合与常用逻辑用语真题卷题号 考点 考向 2023新课标1卷1集合的基本运算交集运算7充分条件与必要条件 充分条件与必要条件的判断 2023新课标2卷 2 集合间的基本关系 已知集合间的关系求参2022新高考1卷 1 集合的基本运算 交集运算 2022新高考2卷 1 集合的基本运算 交集运算 2021新高考1卷 1 集合的基本运算 交集运算 2021新高考2卷 2 集合的基本运算 交集、补集运算 2020新高考1卷 1 集合的基本运算 并集运算 2020新高考2卷 2集合的基本运算交集运算【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷 第1题） 已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−…，则M N ∩=( ) A. {2,1,0,1}−− B. {0,1,2}C. {2}−D. {2}【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集运算，对一元二次不等式求解求出N ，再计算M N ∩，为基础题. 【解答】解：(,2][3,)N −∞−∪+∞，所以{2};M N ∩=−故选.C2. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn 为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等差数列的判定、等差数列前n 项和、充分必要条件的判定，属于中档题． 结合等差数列的判断方法，依次证明充分性、必要性即可. 【解答】 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1(1)2n n n S na d −=+，111222n S n d da d n a n −=+=+−，112n n S S dn n +−=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++−+−−==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +−=+，故1(1)n n S na t n n +=−⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n −=−−⋅−，2n …两式相减有：11(1)22nn n n n a na n a tn a a t ++=−−−⇒−=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d −=+，则11(1)222n S n d da d n a n −=+=+−，故{}n S n为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S S D n n +−=+，1(1).n SS n D n =+− 即1(1).n S nS n n D =+−当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D −=−+−− 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D −=−=+−， 所以12(1).n a a n D =+−当1n =时，上式成立． 又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +−=+−+−=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C3.（2023·新课标II 卷 第2题）设集合{0,}A a =−，{1,2,22}B a a =−−，若A B ⊆，则a =( ) A. 2 B. 1C.23D. 1−【答案】B 【解析】 【分析】本题考查集合的包含关系，为基础题. 【解答】解：A B ⊆，则220a −=，1a =，{0,1}A =−，{1,1,0}B =−，满足，选.B【2022年真题】4.（2022·新高考I 卷 第1题）若集合{|4}M x =<，{|31}N x x =…，则M N ∩=( ) A. {|02}x x <… B. 1{|2}3x x <…C. {|316}x x <…D. 1{|16}3x x <…【答案】D 【解析】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 先求出集合M ，N ，再由交集的运算可得. 【解答】解：因为{|016}M x x =<…，1{|}3N x x =…， 故1{|16}.3M N x x ∩=<… 5.（2022·新高考II 卷 第1题）已知集合{1,1,2,4}A −，{||1|1}B x x =−…，则A B ∩=( ) A. {1,2}− B. {1,2}C. {1,4}D. {1,4}−【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了集合的交集运算. 【解答】解：方法一：通过解不等式可得集合{|02}B x x =剟，则{1,2}A B ∩=，故B 正确. 法二：代入排除法.1x =−代入集合{||1|1}B x x =−…，可得|1||11|21x −=−−=>，1x =−，不满足，排除A 、;4D x =代入集合{||1|1}B x x =−…，可得|1||41|31x −=−=>，4x =，不满足，排除 C ，故B 正确.【2021年真题】6.（2021·新高考I 卷 第1题）设集合{|24}Ax x =−<<，{2,3,4,5}B =，则A B ∩=( ) A. {2} B. {2,3}C. {3,4}D. {2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】本题考查交集的运算法则，属于基础题. 直接利用交集的定义求解即可.解：因为集合{|24}Ax x =−<<，{2,3,4,5}B =，所以{2,3}.A B ∩= 故选.B7.（2021·新高考II 卷 第2题）设集合{1,2,3,4,5,6},U = {1,3,6},{2,3,4}A B =，则()U A B ∩=ð( ) A. {3} B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了集合交集与补集的混合运算，属于基础题.先根据补集的定义求出U {1,5,6}B =ð，再由交集的定义可求【解答】解：由题设可得U {1,5,6}B =ð，故U (){1,6}.A B ∩=ð 故选.B【2020年真题】8.（2020·新高考I 卷 第1题）设集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，则A B ∪=( )A. {|23}x x <…B. {|23}x x 剟C. {|14}x x <…D. {|14}x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查并集运算，属于容易题. 直接用并集定义可得结果. 【解答】解：因为集合{|13}A x x =剟，{|24}B x x =<<，={|14}.A B x x ∪<…故选.C9.（2020·新高考II 卷 第2题）设集合{2,3,5,7}A =，{1,2,3,5,8}B =，则A B ∩=( ) A. {1,3,5,7} B. {2,3} C. {2,3,5} D. {1,2,3,5,7,8} 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 根据两集合的公共元素得出答案． 【解答】解：因为集合A ，B 的公共元素为：2，3，5故{2,3,5}.A B ∩=故选：.C。