高中数学椭圆的几何性质课件(示范课)
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椭圆的简单几何性质1标准课件(示范课)dhqw
（2） 研究了椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法：
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
1、教材P49 习题2.2 第4、5题 2、《三维设计》P26 第二课时
0 ,其长轴长是短轴长 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
2
2
0, ±b ）， 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0 ）。
y B1(0,b)
A1 o
A2(a,0) x
B2(0,-b)
轴长和短半轴长。
问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆 却有些比较“扁”，有些比较“圆”， 用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度 呢？
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
2
2
1
图 形
F1
F2
A1
0
A2
x
F1 O F2
B2
＿
X
A1
范 围 对 称 性
a x a,b y b
b x b,a y a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
顶 A (-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0, b) 点 1 离 心 率
x y 2 1 解：把已知方程化成标准方程 2 5 4 a 5, b 4, c 25 16 3
椭圆的长轴长是: 2a=10 椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:
2
2
c 3 离心率: e 0.6 a 5
四个顶点坐标是:
（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（2）分类讨论的数学思想
1、教材P49 习题2.2 第4、5题 2、《三维设计》P26 第二课时
0 ,其长轴长是短轴长 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
2
2
0, ±b ）， 说明椭圆与 x轴的交点（ ±a, 0 ）。
y B1(0,b)
A1 o
A2(a,0) x
B2(0,-b)
轴长和短半轴长。
问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆 却有些比较“扁”，有些比较“圆”， 用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度 呢？
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
2
2
1
图 形
F1
F2
A1
0
A2
x
F1 O F2
B2
＿
X
A1
范 围 对 称 性
a x a,b y b
b x b,a y a
关于x轴，y轴，原点对称。
A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
顶 A (-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0, b) 点 1 离 心 率
x y 2 1 解：把已知方程化成标准方程 2 5 4 a 5, b 4, c 25 16 3
椭圆的长轴长是: 2a=10 椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:
2
2
c 3 离心率: e 0.6 a 5
四个顶点坐标是:
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆的简单几何性质ppt课件
解：建系如图，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点
则
a
可设椭圆方程为：x2 a2
y2 b2
1
a b 0
c | OA | | OF2 | | F2A | 6371 439
6810
y
a c | OB | | OF2 | | F2B | 6371 2384 8755
解得 a 7782.5，c 972.5 .
1
复习：
1.椭圆的ห้องสมุดไป่ตู้义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
6
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
4、已知椭圆 则m= 4或－5/4 .
的离心率为1/2，
19
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，
高中数学椭圆公开课全省一等奖PPT课件
03
提高数学思维能力
通过学习和练习，提高数学思 维能力，包括逻辑推理、归纳 分类、化归等思想方法的应用 能力。
04
关注数学文化
了解数学史、数学名著和数学 家的故事等数学文化内容，丰 富自己的数学素养和视野。
2024/1/25
30
感谢您的观看
THANKS
2024/1/25
31
PF_2$，若$Delta PF_1F_2$的面积为9，求椭圆的方程。
7
02
椭圆与直线关系
2024/1/25
圆方程的解的情况，可以确定直线与椭圆的位置关系， 如相切、相交或相离。
判别式法
将直线方程代入椭圆方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的二 次方程，通过判别式Δ的值来判断位置关系。当Δ>0时，直线与椭圆相交；当 Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例题4
结合实际问题，利用参数方程求 解最值问题。
01
02
例题1
已知椭圆的参数方程，求其普通 方程和焦点坐标。
03
04
例题3
利用参数方程研究椭圆上点的运 动轨迹和性质。
2024/1/25
22
05
高考真题回顾与拓展延伸
2024/1/25
23
历年高考真题回顾
（2019年全国卷II）椭圆的焦点 三角形面积问题
解题思路
首先根据题目条件列出方程或不等式，然后结合图形分析，运用相关知识点进行 求解。在解题过程中，需要注意数形结合思想和转化与化归思想的应用。
2024/1/25
12
03
椭圆在几何图形中应用
2024/1/25
13
利用椭圆性质求最值问题
椭圆的简单几何性质(第1课时)(30张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
椭圆的简单几何性质
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
例3.已知F₁,F₂ 是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF₂是正三角形，求该椭圆的离心率.解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABLF₁F₂, 且△ABF₂ 为正三角形，所以在Rt△AF₁F₂中，∠AF₂F₁=30°,令|AF₁ I=x, 则|AF₂ I=2x, 所以|F₁F₂ I= √ |AF₂ I²-|AF₁ I²= √3x=2c,再由椭圆的定义，可知|AF₁ I+|AF₂ I=2a=3x,所)
椭圆的简单几何性质
03性质应用P A R T 0 N
于是a=5,b=4,c= √25-16=3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10, 和2b=8,离心率两个焦点坐标分别是F₁ (-3,0)和F₂ (3,0),四个顶点坐标分别是A₁ (-5,0),A₂ (5,0),B₁ (0,-4),B₁ (0,4).
·
·
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质 方法总结利用性质求椭圆的标准方程的方法：(1)确定标准方程的形式.(2)由a,b,c,e 的关系列出方程.(3)利用待定系数法求出椭圆方程，焦点不明确时要分类讨论.
练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0).(2)离心率 焦距为12.解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为由题意得
椭圆的简单几何性质
一个焦点F(c,O), 则直线l 的方程 ,即bx+cy-bc=0.
解 , 即 故选B.
由题意知
练习：若椭圆 的离心率 则 k 的值等于 解：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴 上 时 ，a²=k+8,b²=9, 得 c²=k—1,又 少 解得k=4.当焦点在y 轴 上 时 ，a²=9,b²=k+8, 得 c²=1—k,
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· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
5
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
=1
b
6
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
7
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
8
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
9
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
.
5
71
例3、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2）， 离心率 e 3 ，求椭圆的标准方程。
2
解:（1）当（0，2）点是长轴端点时
所以a=2 又e c 3 c 3 b 1
a2
所求的椭圆的标准方程是
y2
x2
1
4
（2）当（0，2）点是短轴端点时
所以b=2 又e c
a
a2 b2 a
3 2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
48
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
49
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
50
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
51
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
52
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
4
3，
2
焦点坐标为（ 2 ，3 , 0顶）点坐标（±4,0），(0,±2). (2)已知方程化为标准方程为 y2 x故2 可1，得长轴长
81 9
为18，短轴长为6，离心率为 2 2 ，
3
焦点坐标为（0, 6，2顶） 点坐标（0,±9），（±3,0）. 68
例2. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点 构成一个正三角形，则该椭圆的离心 率是 3 .
A1 (-a, 0) F1
b
a
A2 (a, 0)
o c F2
x
B1(0,-b)
60
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
y
4 B2
3 2
4
3 2
B2
A1
1
A2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
32
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
33
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
34
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
35
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
36
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
10
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
11
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
12
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
13
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
14
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
15
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
43
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
44
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
45
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
46
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
47
y
· · F1
o F2
e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆．
e=1,为线段。
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
64
问：对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
C 更接近于圆的是2
。
65
标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
[2]离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，请问：此时椭圆的变化情况？
b就越小，此时椭圆就越扁。 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？
b就越大，此时椭圆就越趋近于圆。
如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变
为圆的方程： x2 y2 a2
a2=b2+c2
e c a
e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
66
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是 6
3
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： (3, 0) 。顶点坐标是：(5, 0) (0, 4)
外切矩形的面积等于：
80
。
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
16x2 25 y2 400 x2 y2 1 25 16
a=5 b=4 c=3
y
o
x
67
强化训练
1.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐 标，顶点坐标．
（１）x2 4y2 16.
（２）9x 2
【解析】
y
2
81.
（1）已知方程化为标准方程为
x2
+
y2
=
1，
故可得长轴长为8，短轴长为4，离心率为16
x2 y2 1或 y2 x2 1
9
81 9
73
解法二：设椭圆方程为 x2 y2 1(m 0, n 0, m n) mn
则由题意得
9 m
1
或
9 m
1
2 m 3 2 n 2 n 3 2 m
解得
m n=1
9或
m 9 n 81
椭圆的方程为 x2 y2 1或 y2 x2 1
2
69
强化训练
1 , 椭圆
x2 y2 1(a b 0)的
a2 b2
左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2.若
5
AF1 ，F1F2 ，F1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为___5_.
70
2.已知焦点在x轴上的椭圆 mx2 5 y 2 5m 的离心率是
e 10 ,则ｍ＝ 3
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
21
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
22
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
24
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
25
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
3.椭圆中a,b,c的关系是:
c2 a2 b2
1
2
一、椭圆的范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1
和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
y=b
-a≤x≤a , -b≤y≤b x =-a
由
x =a
o
x
y = -b
3
二、椭圆的对称性 y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2