数字信号处理参考试题3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 离散傅里叶变换
1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。
图 P3-1
解：
由 nk j
n n nk e
n x W
n x k X 6
25
~
5
6
~
~
)()()(π-==∑∑==
k j
k j
k j
k j
k j
e
e
e
e
e
56
246
236
226
26
21068101214πππππ-----+++++=
计算求得 60)0(~
=X , 339)1(~
j X -=, 33)2(~
j X += 0)3(~=X , 33)4(~j X -=, 339)5(~
j X +=
2. 设)()(4n R n x =， 6~
))(()(n x n x =，试求)(~k X ，并作图表示)(~n x ，)(~
k X 。 解： 由k j k j
k j nk j
n n nk e e
e
e
n x W
n x k X πππ
π----==+++===
∑∑3
23
6
25
0~
5
6
~
~
1)()()(
计算求得 4)0(~
=X , 3)1(~
j X -=, 1)2(~
=X 0)3(~
=X , 1)4(~
=X , 3)5(~
j X =
)(~n x ，|)(|~
k X 如图P3-2所示。
图 P3-2
3. 设⎩
⎨⎧≤≤+=n n n n x 其他,04
0,1)(，)2()(4-=n R n h 令6~))(()(n x n x =，6~))(()(n h n h =，
试求)(~n x 与)(~
n h 的周期卷积并作图。 解：在一个周期内的计算值
∑-=
*=m
m n h m x n h n x n y )()()()()(~
~~
~
~
)(~
n x
N
)(~
m n h -
1 2 3 4 5 0
)(~
n y
0 0 1 1 1 1 0 14 1 0 0 1 1 1 1 12 2 1 0 0 1 1 1 10 3
1 1 0 0 1 1 8 4 1 1 1 0 0 1 6 5
1
1
1
1
10
4. 已知)(n x 如图P3-4(a)所示，为｛1，1，3，2｝，试画出5))((n x -，)())((66n R n x -，
)())((33n R n x ，6))((n x -，)())3((55n R n x -，)())((77n R n x 等各序列。
解：各序列如图P3-4（b ）所示。
图P3-3 图P3-4（a）
图 P3-4（b ）
5. 试求以下有限长序列的N 点DFT （闭合形式表达式）：
(1))()cos()(0n R n a n x N ω=
(2) )()(n R a n x N n
=
(3) N n n n n x <<-=000),()(δ (4) )()(n nR n x N =
(5) )()(2
n R n n x N =
解：
（1）因为)()cos()(0n R n a n x N ω=，所以
)()(21)()cos()(10
21
2000k R e e e a k R e
n a k X N N n nk N j n
j n j N n N nk N
j
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+==∑∑-=---=-πωωπω
)(2110210200k R e e a N N n n k N j N n n k N j ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+=∑∑-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωπωπ
)(111121000022k R e e e e a N k N j N j k N j N j ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--+--=⎪⎭⎫
⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ωπωωπω
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---)()()()(2
10000000000002212212212
22221221221222ωπωπωπωωωωπωπωπωωωk N j k N j k N j N j N j N j k N j k N j k N j N j N j N j e e e e e e e e e e e e a ⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--022102
02210221sin 21sin 21sin 21sin 210000ωπωωπωωπωωπωk N e N e k N e N e a k N j N j k N j N j （2）因为)()(n R a n x N n
=，所以
∑-=----=
=1
2211)(N n k N
j N nk N
j
n
ae
a e
a k X ππ
（3）因为N n n n n x <<-=000),()(δ，所以 k n N
j
N n nk N
j
N n nk N
j
e
e
n n e
n x k X 021
201
2)()()(πππδ--=--=-∑∑=-==
（4）因为)()(n nR n x N =，所以 ∑∑-=+-===
1
)1(1
)()(,)()(N n N k
n N k
N
N n N nk N
k R nW k X W k R nW
k X
)()(11)1()
())1(()
()]1)2(2(132[)()()1)((1
1
)1(22)1(321
)1(1
k NR k R W W N k R W N k R N W N W W W N W W W k R nW nW
W k X N N
k N k N N N n nk
N N k
N N k
N k N k N N k N k N k N N N n k
n N N n nk N
k N
-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--+--=+--=-+-⋯
++--+⋯+++=-=-∑∑∑-=---=+-=）（
所以 )(1)(k R W N
k X N k
N
--=
（5）由)()(2
n R n n x N =，则
∑-==
1
2
)()(N n N nk N
k R W
n k X
根据第（4）小题的结论 )()(1n nR n x N =