向量的数量积和应用
向量的数量积及其应用
向量的数量积及其应用在数学和物理学中，向量是一个有大小和方向的实体，而向量积是一种数学运算，也称为向量的数量积、点积或内积。
本文将介绍向量的数量积及其应用。
一、向量的数量积定义对于两个向量 A 和 B，它们的数量积定义为：A·B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模长（即大小），θ 是 A 和 B 之间的夹角。
也就是说，向量的数量积等于这两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积。
需要注意的是，向量的数量积是一个标量，即没有方向，而只有大小。
二、向量的数量积性质1. 向量的数量积具有交换律，即 A·B = B·A。
2. 向量的数量积不具有结合律，即(A·B)·C ≠ A·(B·C)。
3. A·A = |A|^2，其中 |A|^2 表示 A 的模长的平方。
4. 如果两个向量 A 和 B 的数量积为 0，即 A·B = 0，那么它们是垂直的。
5. 如果两个向量 A 和 B 的数量积为正数，即 A·B > 0，那么它们的夹角θ 在 0 度到 90 度之间。
6. 如果两个向量 A 和 B 的数量积为负数，即 A·B < 0，那么它们的夹角θ 在 90 度到 180 度之间。
三、向量的数量积应用1. 向量投影向量的数量积可以用来求出一个向量在另一个向量上的投影。
具体来说，对于一个向量 A 和另一个向量 B，它们之间的投影表示为 A 与B 夹角的余弦值乘上向量 B 的模长，即 A 在 B 上的投影为A·cosθ = (A·B) / |B|。
2. 计算力的向量积在物理学中，力可以用一个向量表示，力的大小和方向分别对应着向量的模长和方向。
当一个力作用在一个物体上时，会导致物体发生加速度。
根据牛顿第二定律 F = ma（其中 F 表示力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度），可以得到物体的加速度与力的大小和方向成正比，与物体的质量成反比。
向量的数量积与向量积的性质与应用
向量的数量积与向量积的性质与应用向量是在数学和物理学领域中经常使用的概念。
它们不仅可以表示物体的方向和大小，还可以进行各种运算。
其中，向量的数量积和向量积是两种常见的运算方式。
本文将探讨向量的数量积和向量积的性质与应用。
一、向量的数量积（或点积）向量的数量积又称为点积或内积，通常用符号“·”表示。
设有两个向量A和B，它们的数量积定义为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
1. 性质：a) 交换律：A·B = B·Ab) 分配律：(A+B)·C = A·C + B·Cc) 结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数2. 应用：a) 计算夹角：由数量积的定义可知，可以利用数量积来计算两个向量之间的夹角。
通过求解arccos函数，可以得到夹角的大小。
b) 判断垂直与平行关系：若向量A·B=0，则向量A和向量B垂直。
若向量A·B=|A||B|，则向量A和向量B平行。
c) 计算投影：向量的数量积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。
投影是向量在某个方向上的分量。
二、向量的向量积（或叉积）向量的向量积又称为叉积或外积，通常用符号“×”表示。
设有两个向量A和B，它们的向量积定义为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A与B之间的夹角，n表示右手法则方向。
1. 性质：a) 交换律：A×B = -B×Ab) 分配律：(A+B)×C = A×C + B×Cc) 结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k为常数2. 应用：a) 计算面积：向量的向量积可以用来计算由两个向量所围成的平行四边形的面积。
即面积S=|A×B|。
空间向量的数量积与应用
空间向量的数量积与应用数量积是空间向量运算中非常重要的一种运算，也被称为点积、内积或标量积。
它能够衡量两个向量之间的夹角以及它们的相似性，并且在许多实际应用中有着重要的作用。
本文将介绍空间向量的数量积的定义、性质以及在几何、物理、工程等领域中的应用。
一、数量积的定义和性质数量积指的是两个向量的点积，表示为A·B。
对于三维空间中的向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的数量积计算公式如下：A·B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(λA)·B = λ(A·B)，其中λ为实数3. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C二、数量积的几何意义数量积的几何意义是计算向量A和向量B之间的夹角θ。
根据数量积的定义，可以得到以下结论：1. 当A·B > 0时，夹角θ为锐角；2. 当A·B = 0时，夹角θ为直角；3. 当A·B < 0时，夹角θ为钝角。
通过计算数量积可以判断向量之间的夹角类型，进而应用于几何问题的解决。
三、数量积在物理中的应用数量积在物理学中有广泛的应用，特别是在力学领域。
以下是几个例子：1. 力的分解：对于一个施加在物体上的力F和物体位移s，利用数量积可以将力分解为沿着位移方向的分量与与位移垂直的分量，从而求解功和能量等物理量。
2. 矢量投影：通过数量积的计算可以将一个矢量投影到另一个矢量上，常用于力的分解和合成等问题中。
3. 动能计算：根据物体的质量m和速度v，可以利用数量积计算物体的动能，即K = 1/2 * m * v^2。
四、数量积在工程中的应用数量积在工程学中有广泛的应用，以下是几个例子：1. 结构分析：在建筑和桥梁等结构的分析中，通过计算数量积可以得出结构元素之间的应力和变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
平面向量的数量积与应用知识点总结
平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。
其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。
本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。
一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。
对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。
数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。
4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。
二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。
因此，根据以上公式可以计算向量的模长。
2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。
3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。
高中数学基础之平面向量的数量积及应用
高中数学基础之平面向量的数量积及应用平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.平面向量数量积的几何意义：设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θ e . 一、平面向量数量积的运算例1 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则BC→·AF →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118答案 B解析 如图，由条件可知BC→＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.例2 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.答案 12解析 如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB→·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD→·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.例3 在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE→＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 2918解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD→＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos60°＋2×16＋23×12×cos60°＋23×16×12×cos120°＝2918.方法：解决涉及几何图形的向量的数量积运算常用两种方法：一是定义法，二是坐标法．定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐标法要建立合适的坐标系．(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.二、平面向量数量积的应用.例4 已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．32答案 D解析 ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.例5 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，又a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.例6 若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3解析 ∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0，∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.例7 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．答案 712解析 因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB→＋AC →)·(AC →－AB→)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|·cos120°－9λ＋4＝0，即(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－9λ＋4＝0，解得λ＝712.例8 已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD→|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2a ·b ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎪⎫3－2×3×2×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.故选A. 例9 已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB →的夹角为60°，且OC →⊥AB→，则实数m n的值为( ) A.16 B ．14 C ．6 D ．4答案 A解析 因为向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，OA →与OB →的夹角为60°，所以OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，所以AB→·OC →＝(OB →－OA →)·(mOA →＋nOB →)＝(m －n )OA →·OB →－m |OA →|2＋n |OB →|2＝3(m －n )－9m ＋4n ＝－6m ＋n ＝0，所以m n ＝16.故选A.例10 已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB→|的最小值为________．答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|P A →＋3PB →|＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|min＝5.例11 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.故选A.例12 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．22 答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为线段AB 的中点，因为|a |＝|b |＝1，所以AB ＝2，AD ＝22，(a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－12＝0，所以|CD→|＝22，上式表明，DC→是有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2.故选C.例13 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB →的最大值是________．答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC→·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号，所以OC →·OB →的最大值为2.极化恒等式(1)极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]．极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式．(2) 极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC →|2－|BD →|2)．(3) 极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB→·AC →＝AM →2－14BC →2.可以利用极化恒等式来求数量积、求最值、求模长．平面向量有“数”与“形”双重身份，它沟通了代数与几何的关系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解．。
向量数量积运算律及应用
向量数量积运算律及应用向量数量积，又称为点积或内积，是一种在线性代数中常见的运算。
向量数量积运算律是指在数量积的运算中，存在一些规则和性质，可以方便地进行计算和推导。
本文将从定义、运算律及应用等方面进行详细说明和探讨。
向量数量积的定义：设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，可以通过以下方式进行计算：A·B = A B cosθ其中，A 和B 分别表示向量A和B的模，θ表示向量A和B之间的夹角。
运算律：1. 交换律：A·B = B·A这个性质说明了向量数量积的结果与向量的顺序无关，只与向量的模和夹角有关。
2. 结合律：(aA)·B = a(A·B)这个性质说明了向量数量积与数的乘法可以交换位置。
3. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C这个性质说明了向量数量积对于向量加法具有分配性，可以将加法运算分解为数量积的运算。
应用：向量数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用，下面将分别从几何和物理两个方面进行介绍。
几何应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果A·B = 0，则表示向量A和向量B是垂直的。
由向量数量积的定义可以得知，当两个向量垂直时，它们的数量积为零。
通过这个性质，我们可以判断两个向量是否垂直。
2. 计算向量的模：A = √(A·A)根据向量数量积的定义，可以得到向量的模与向量的数量积的关系。
只需要将向量的数量积带入到公式中，就可以计算出向量的模。
3. 计算向量之间的夹角：cosθ= (A·B) / ( A B )通过向量数量积的定义，可以得知夹角的计算公式。
只需要将向量的数量积和模带入公式中，就可以计算出向量之间的夹角。
物理应用：1. 力的计算：根据牛顿第二定律，力的大小可以表示为F = ma，其中F表示力，m表示质量，a表示加速度。
我们可以将力和加速度表示为向量的形式，如F = F1 + F2，a = a1 + a2。
向量的数量积几何意义与应用
向量的数量积几何意义与应用向量在数学中是一个重要的概念，它不仅在几何学中有着重要的意义，而且在物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。
其中，向量的数量积是一种重要的运算，它不仅具有几何意义，还有许多实际应用。
一、向量的数量积几何意义向量的数量积，也称为内积或点积，是一种向量运算，表示两个向量之间的相似程度。
几何意义上，向量的数量积有以下两个重要特点：1. 向量的数量积的值等于向量的模长与两个向量之间夹角的余弦的乘积。
具体地，设有两个向量A和B，它们的数量积为A·B，则有A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
2. 向量的数量积还可以用来判断两个向量之间的关系。
当两个向量的数量积为正数时，说明它们之间的夹角为锐角；当数量积为负数时，说明夹角为钝角；当数量积为零时，说明夹角为直角或者它们之间存在垂直关系。
通过向量的数量积，我们可以量化向量之间的相似程度，并通过夹角的大小来描述向量之间的关系，从而方便我们进行具体的几何分析和计算。
二、向量的数量积的应用向量的数量积在几何学和实际应用中有着重要的应用，以下是其中的几个典型例子。
1. 向量的数量积与平面几何：在平面几何中，两个向量的数量积可以用来判断两个向量是否垂直。
具体地，若两个非零向量A和B的数量积A·B等于0，则A和B垂直；若A·B不等于0，则A和B不垂直。
根据这一性质，我们可以在解决平面几何问题中应用向量的数量积，例如求两个直线的关系、判断线段是否相交以及计算面积等。
2. 向量的数量积与力学：在力学中，向量的数量积可以用来计算力的分解与合成。
具体地，假设有一个力F和一个方向已知的向量A，通过计算F·A/|A|，我们可以得到力F在向量A方向上的投影分量。
同时，力F在与向量A垂直的方向上的分量可以通过F - (F·A/|A|)A来计算。
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用向量是几何学中一种常见的数学对象，它不仅可以用来表示空间中的定位和运动，还可以进行各种运算和应用。
在高中几何知识中，向量的数量积与向量积是两个重要的概念。
本文将详细解析这两个概念，并探讨它们在空间中的应用。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的数量积记作a·b，计算公式如下：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃根据计算公式，我们可以得到一些有用的性质。
首先，当两个向量垂直时，它们的数量积为0，即a·b=0。
其次，数量积还可以表示两个向量之间夹角的余弦值，具体表达式如下：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
在实际应用中，数量积可以用来求解向量的投影、判断向量的垂直关系等。
例如，给定一个向量a和一个单位向量u，我们可以通过计算数量积来求得a在u方向上的投影。
具体计算方法如下：projₓᵤa = (a·u) u其中，pr ojₓᵤa表示向量a在u方向上的投影。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的向量积记作a×b，计算公式如下：a×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)向量积的大小可以通过计算它的模长得到，具体计算公式如下：|a×b| = |a| |b| sinθ其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
向量积在几何学和物理学中具有重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过向量积来求得两个向量所在平面的法向量。
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向量的数量积
题型一 向量数量积的运算
例1 (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )·(a －2b )．
(2)设正三角形ABC 的边长为2，AB u u u r ＝c ，BC u u u r ＝a ，CA u u u r ＝b ，求a ·b
＋b ·c ＋c ·a .
例2 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c .
[题型练透]
1.已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：
(1)AB u u u r ·CD u u u r ；(2)AB u u u r ·AD u u u r ；(3)DA u u u r ·AC u u u r .
2.已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.
(1)求向量a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a .
题型二 与向量的模有关的问题
例3 (1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
(2)已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3
，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
例4 若向量a ＝(2x －1,3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，则|a －b |的最小值为________．
[题型练透]
1.已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |.
2
2.设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5
D ．10
题型三 两个向量的夹角问题
例5 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．
例6 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .
(1)求b 与c ；
(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．
[题型练透]
1.已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，则a 与b 的夹角为________．
2.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．
题型四 两个向量的垂直问题
例7 已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝ma －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？
例8 已知向量OA u u u r ＝(3，－4)，OB u u u r ＝(6，－3)，OC u u u r ＝(5－m ，－(3＋m ))．若△ABC 为
直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．
[题型练透]
3 1. 已知向量OA u u u r ＝(－1,2)，OB u u u r ＝(3，m )，若OA u u u r ⊥AB u u u r ，则m 的值是( )
A.32
B ．－32
C ．4
D ．－4
2.已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |
＝________. [玩转练习]
1．已知a 、b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
2．已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( )
A ．45°
B ．135°
C ．120°
D ．150°
3．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．－1
4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )
A.32 B ．－32 C ．±32
D ．1 5．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )
A ．0
B ．2 2
C ．4
D ．8
6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________．
7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.
8．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________．
9．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．
10.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．。