2016年普陀区高考数学二模试卷含答案
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2016.04
一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分； 1.、若集合{}R
x x y x A ∈-=
=,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则
=
B A I _______
2.、若函数x
x f 1
1)(+=()0>x 的反函数为)
(1
x f -，则不等
式2
)(1
>-x f
的解集为____
3、（理）若53
sin =α且α是第二象限角，则=??
? ??-42cot πα________
（文）若53
sin =α且α是第二象限角，则
=
??? ?
?
-4tan πα________
4.、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足
)
()2(x f x f -=+，则=)2016(f _______
5.、在
8
31?
?? ?
?-x x 的展开式中，其常数项的值为
_________
6、若函数x x f 2sin )(=，??
?
?
?+=6
)(πx f x g ，则函数)(x g 的单
调递增区间为_______ 7、（理）设P 是曲线
??
???==
θθtan sec 22
y x （θ为参数）上的一
动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_______ （文）设P 是曲线1
222
=-y x 上的一动点，O 为坐标原
点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为
_______
8、（理）在极坐标系中，O 为极点，若??
? ?
?6,1πA ，??
?
?
?3
2,2πB ，则△AOB 的面积为______ （文）不等式组??
?
??≥+-≥+≤0203
y x y x x 所表示的区域的面积为
________
9、（理）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE _________ （文）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为
5
,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的
球的编号之和为奇数的概率是__________（结果用最简分数表示）
10、若函数x x f 5
log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的
解=x ________
11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为_______2
cm （损耗忽略不计）
12.、如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边
3
3C B 上有10个不同的点10
2
1
,,,P P P Λ，记
i
i AP AB M ?=2（10,,2,1Λ=i ），则=
+++1021
M M M
Λ________
13、设函数??
?>-≤+=-0
),1(0
,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)
(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________
14.、已知*
N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1Λ中选出k （N k ∈,2≥k ）
个数k
j j j ,,,2
1
Λ，使之同时满足下面两个条件：①
n
j j j k ≤<<≤Λ211； ②m
j j
i i ≥-+1
（1,,2,1-=k i Λ），则称数组
()k j j j Λ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m
的组合，其组合数记为()m k n
C ,. 例如根据集合{}3,2,1可
得(
)
3
1,23
=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得(
)
=
2,37
C ______
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5
分，否则一律得零分.
15、若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ）
（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，
b
a ⊥，则α⊥b
（C ）若α⊥a ，α?b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，
α
//b ，则b a //
16、过抛物线x
y
82
=的焦点作一条直线与抛物线相
交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）
（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在
17、若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的( )条件
（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要 18、对于正实数α，记α
M 是满足下列条件的函数
)
(x f 构成的集合：对于任意的实数R
x
x ∈2
1
,且2
1
x x
<，
都有()()
121212
)()(x x x f x f x x
-<-<--αα成立.下列结论中正
确的是（ ） （A ）若2
1
)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则2
1)()(αα?∈?M
x g x f
（B ）若2
1)(,)(ααM x g M
x f ∈∈且0)(≠x g ，则2
1
)
()
(ααM x g x f ∈
（C ）若21
)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则2
1)()(αα+∈+M x g x f
（D ）若2
1
)(,)(ααM x g M
x f ∈∈且2
1
αα
>，则2
1)()(αα-∈-M x g x f
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）
（文）在正四棱柱1
1
1
1
D C B A ABCD -中，底
面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点；
证明：E A 1
与B C 1
是异面直线，并求出它们所成的
角的大小（结果用反三角函数值表示） （理）在正四棱柱1
1
1
1
D C B A ABCD -中，底
面边长为1，B C 1
与底面ABCD 所成的角
的大小为2arctan ，如果平面1
1
C B
D 与底
面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
（理）已知函数x x x f cos 3
sin 2)(???
? ?
?+=π （文）已知函数)(x f x
x x 2cos 3cos sin +
=
（1）若2
0π≤≤x ，求函数)(x f 的值域； （2）设ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且2
3
)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值；
21、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，
某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年
可以创造利润??
? ?
?-500
310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x ； （1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的%
40时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围；
22、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分. 已知椭圆Γ：
14
52
2=+y x 的中心为O ，一个方向向量为
)
,1(k d =的直线l 与Γ只有一个公共点M ；
（1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标； （2）若经过O 的直线1
l 与l 垂直，求证：点M 到直
线1
l 的距离2
5-≤
d ；
（3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1
k ，且为直线OP 的一个法向量，且5
4
1
=
k k ，求2
2
OP
ON
+的
值；
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知各项不为零的数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且
1
1=a ，12
1
+?=
n n n
a a S
（*N n ∈）；
（1）求证：数列{}n
a 是等差数列； （2）设数列{}n
b 满足：1
22+-=n n a a n
b
，且
()384
1
lim 1211=
+++++++∞
→n n k k k k n b b b b b b Λ，求正整数k 的值；
（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列
{}k c 中，11=c ，1
1
++-=k k
k a m k c c ，求m
c c c
+++Λ21
；
2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则
二填空题（本大题共有14题，满分56分）考生
应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.{}1
2. ??
?
?
?2
31， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 28
6.??
?
??
?+-
12,125ππππ
k k ，z k ∈7.1
4822
=-y x
.
8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】2
9【文科】52
10．4. 11.π9. 12. 180
13． 2
->a
14. 10
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）
【文科】【解】根据已知条件,C C 1
为正四棱柱
1
111D C B A ABCD -的高
底面四边形1
1
ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21
=C C .……2分
假设E A 1
与B C 1
不是异面直线，则它们在同一平面
内
由于点1
A 、E 、
B 在平面11ABB A 内，则点1
C 也在
平
面1
1
ABB A 内，这是不可能的，故E A 1
与B C 1
是异面直
线.…………5分
取1
1B A 的中点为E ，连接BE ,1
EC ,所以E A BE 1//,1
EBC ∠或
其补角，即为异面直线
E
A 1与
B
C 1所成的角.……7分
在1
BEC ?，5
1
=BC
,2
17=
BE ,2
51
=
EC
,……9分
由余弦定理得，
858582
17
52454175cos 1=?
-
+
=
∠EBC 0>,即
85
858arccos
1=∠EBC
所以异面直线E A 1
与B C 1
所成的角的大小为
85
858arccos
.……12分
【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1
底面ABCD ， 所以BC 是B C 1
在平面ABCD 上的射影，故BC C 1
∠即为直
线B C 1
与
底面ABCD 所成的角，即BC C 1
∠=2arctan .……2分
在BC C RT 1
?中，2tan 1
1
=∠?=BC B BC C C ……3分
以D 为坐标原点，以射线1
,,DD DC DA 所在的直
线分别为z y x ,,轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由于D D 1
⊥平面ABCD ，故1
DD 是平面的一个法向量，
且1
DD
()
2,0,0=……5分
()
0,1,1B ,()1,0,01
D ,()2,1,01
C ,故()2,1,11
--=,()2,0,11
-=BC ……7分
设()z y x ,,=是平面1
1
C B
D 的一个法向量, 所以
?????=?=?0
11BC n BD ,即?
?
?=-=-+0
20
2z x z y x , 不妨取1=z ,则?
?
?==0
2
y x ,即()1,0,2=……9分 设平面1
1
C B
D 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则
5
55
21
20002cos =
??+?+?=
=
θ,
即55arccos =θ……11分
所以平面1
1
C B
D 与底面ABCD 所成的二面角大小为
5
5arccos
.……12分
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1
小题满分6分，第2小题满分8分. 20.【解】（1）()
x x x x f cos cos 3sin )(+
=x
x x 2cos 3cos sin +=
232cos 232sin 21++=
x x 2332sin +??? ?
?
+=πx …………2分
由20π≤≤x 得，3
4323πππ≤
+≤x ，132sin 23≤??? ?
?
+≤-πx …………
4分
2312332sin 0+
≤+??? ?
?
+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为
?
?
?
???+231,0………6分
（2）由2
3
2332sin )(=+
??
?
?
?+=πA A f 得，03
2sin =??
?
?