2020年中考复习之圆的阴影部分面积相关计算(含答案解析)

2020中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解

析）

一．选择题（共5小题）

1．（2018?抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）

A．B．C．πD．2π2．（2016?朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）

A．B．3πC．D．2π3．（2017?朝阳）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）

A．不变

B．由大变小

C．由小变大

D．先由小变大，后由大变小

4．（2017?重庆）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是

AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．5．（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）

A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2

二．填空题（共1小题）

6．（2019?内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．

三．解答题（共8小题）

7．（2015?沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．

（1）求∠OCA的度数；

（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）

8．（2019?辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，

DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．

9．（2019?衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

10．（2015?本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．

11．（2017?新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．

12．（2013?本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD＝45°，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

13．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE＝DM．

14．（2015?福州模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：

（1）BC、AD的长；

（2）图中两阴影部分面积的和．

2020中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解

析）

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2018?抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）

A．B．C．πD．2π

【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．

【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．【解答】解：∵∠BCD＝30°，

∴∠BOD＝60°，

∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA＝2，

∴阴影部分的面积是：＝，

故选：B．

【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

2．（2016?朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）

A．B．3πC．D．2π

【考点】L3：多边形内角与外角；MO：扇形面积的计算．

【分析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S＝计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．

【解答】解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，

圆形的空白部分的面积之和S＝＝π＝π＝π．

所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π＝5π﹣π＝π．

故选：C．

【点评】此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．

3．（2017?朝阳）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）

A．不变

B．由大变小

C．由小变大

D．先由小变大，后由大变小

【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．

【分析】根据正方形的性质得出OA＝OD＝OC，∠AOD＝90°，再根据图形判断即可．【解答】解：过O点作CD的垂线交CD于G，过O点作BC的垂线交BC于H，记扇形EOF于正方形交点分别为M、N，如图，

∴OH＝OG＝CD，

∵∠HOG＝∠HOM+∠GOM＝90°，

∠NOM＝∠NOG+∠GOM＝90°，

∴∠HOM＝∠NOG，

∴Rt△OHM≌Rt△OGN，

∴S四边形CMON＝S四边形CMOG+S△OGN＝S四边形CMOG+S△OHM＝S四边形OHCG＝OH2＝S正方形ABCD，

∵S△AOD＝×CD?AD＝S正方形ABCD

∴S△AOD＝S四边形CMON，

∵S扇形＝S阴影+S△AOD＝S′阴影+S四边形CMON

∴S阴影＝S′阴影＝S扇形﹣S△AOD＝﹣S正方形ABCD＝AD2﹣S正方形ABCD＝S正方形ABCD，

∴在旋转过程中图中阴影部分的面积不变，

故选：A．

【点评】本题考查了扇形的面积、旋转的性质、正方形的性质等知识点，能根据正方形的性质和旋转的性质进行判断是解此题的关键．

4．（2017?重庆）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．

【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案．

【解答】解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE＝45°，

∴AB＝AE＝1，BE＝，

∵点E是AD的中点，

∴AE＝ED＝1，

∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF

＝1×2﹣×1×1﹣

＝﹣．

故选：B．

【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．

5．（2017?兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）

A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2

【考点】MM：正多边形和圆；MO：扇形面积的计算．

【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．

【解答】解：连接AO，DO，

∵ABCD是正方形，

∴∠AOD＝90°，

AD＝＝2，

圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．

【点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，也可以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型．

二．填空题（共1小题）

6．（2019?内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．

【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos ∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，

∴∠D＝30°，

则∠COE＝2∠D＝60°，

∵CD＝4，

∴CO＝DO＝2，

∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，

∴DE＝2DF＝2，

∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，

故答案为：+．

【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝

是解题的关键．

三．解答题（共8小题）

7．（2015?沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．

（1）求∠OCA的度数；

（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）

【考点】M6：圆内接四边形的性质；MO：扇形面积的计算；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D＝180°，根据∠ABC＝2∠D得到∠D+2∠D＝180°，从而求得∠D＝60°，最后根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA＝30°；

（2）首先根据∠COB＝3∠AOB得到∠AOB＝30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC求解．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ABC+∠D＝180°，

∵∠ABC＝2∠D，

∴∠D+2∠D＝180°，

∴∠D＝60°，

∴∠AOC＝2∠D＝120°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°；

（2）∵∠COB＝3∠AOB，

∴∠AOC＝∠AOB+3∠AOB＝120°，

∴∠AOB＝30°，

∴∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝90°，

在Rt△OCE中，OC＝2，

∴OE＝OC?tan∠OCE＝2?tan30°＝2×＝2，

∴S△OEC＝OE?OC＝×2×2＝2，

∴S扇形OBC＝＝3π，

∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC＝3π﹣2．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．8．（2019?辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF＝90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA＝∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠EAC，得到∠AEO＝2∠EAC，推出△OAE是等

边三角形，根据扇形的面积公式得到S扇形AOE＝＝2π，求得S△AOE＝AE?OF＝3＝3，于是得到结论．

【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，

∴∠AFO＝90°，

∴∠EAO+∠AOF＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，

∵∠EDA＝AOE，

∴∠EDA＝∠AOF，

∵∠EAC＝∠EDA，

∴∠EAC＝∠AOF，

∴∠EAO+∠EAC＝90°，

∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，

∴∠CAO＝90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵CE＝AE＝2，

∴∠C＝∠EAC，

∵∠EAC+∠C＝∠AEO，

∴∠AEO＝2∠EAC，

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠EAO，

∴∠EAO＝2∠EAC，

∵∠EAO+∠EAC＝90°，

∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，

∴△OAE是等边三角形，

∴OA＝AE，∠EOA＝60°，

∴OA＝2，

∴S扇形AOE＝＝2π，

在Rt△OAF中，OF＝OA?sin∠EAO＝2＝3，

∴S△AOE＝AE?OF＝3＝3，

∴阴影部分的面积＝2π﹣3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

9．（2019?衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；

（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．

【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，

∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，

∴∠BOA＝60°，

∵∠BCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AEO＝90°，

即OB⊥AC，

∵BD∥AC，

∴∠DBE＝∠AEO＝90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，

∵∠OBD＝90°，OB＝8，

∴BD＝OB＝8，

∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．

【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．

10．（2015?本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．

【考点】KM：等边三角形的判定与性质；MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）求出∠DAC＝30°，即可求出∠DAB＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，即可求出答案．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝BC，

又∵AC＝CD，

∴AC＝BC＝CD，

∴△ABD为直角三角形，

∴AB⊥AD，

∵AB为直径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE，

∵OA＝OE，∠BAC＝60°，

∴△OAE是等边三角形，

∴∠AOE＝60°，

∵CB＝BA，OA＝OB，

∴CO⊥AB，

∴∠AOC＝90°，

∴∠EOC＝30°，

∵△ABC是边长为4的等边三角形，

∴AO＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，

同理等边三角形AOE边AO上高是＝，

S阴影＝S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG＝＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切

线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．11．（2017?新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC＝∠OBC ＝∠OCB＝30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO＝90°，进而得出BE是⊙O的切线；

（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB＝30°，BC＝3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．

【解答】解：（1）如图所示，连接BO，

∵∠ACB＝30°，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°，

∵DE⊥AC，CB＝BD，

∴Rt△DCE中，BE＝CD＝BC，

∴∠BEC＝∠BCE＝30°，

∴△BCE中，∠EBC＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝120°，

∴∠EBO＝∠EBC﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°，

∴BE是⊙O的切线；

（2）当BE＝3时，BC＝3，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

又∵∠ACB＝30°，

∴AB＝tan30°×BC＝，

∴AC＝2AB＝2，AO＝，

∴阴影部分的面积＝半圆的面积﹣Rt△ABC的面积＝π×AO2﹣AB×BC＝π×3﹣××3＝﹣．

【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

12．（2013?本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD＝45°，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；

（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE＝AB＝8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S阴影部分＝S梯形BODE﹣S扇形OBD

进行计算即可．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连结OD，BD，则∠ABD＝∠ACD＝45°，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∵点O为AB的中点，

∴OD⊥AB，

∵DE∥AB，

∴OD⊥DE，

∵OD是半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵BE∥AD，DE∥AB，

∴四边形ABED为平行四边形，

∴DE＝AB＝8cm，

∴S阴影部分＝S梯形BODE﹣S扇形OBD

＝（4+8）×4﹣

＝（24﹣4π）cm2．

【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．

13．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE＝DM．

【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC＝45°，根据S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD计算即可；

（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB＝DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM＝BD，得到答案．

【解答】（1）解：如图，连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴OD⊥CD，

∵OA＝CD＝2，OA＝OD，

∴OD＝CD＝2，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴∠DOC＝∠C＝45°，

∴S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD＝﹣＝4﹣π；

（2）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB＝∠ADM＝90°，

又∵＝，

∴ED＝BD，∠MAD＝∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM＝BD，