七年级上册--分类讨论思想

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七年级上册数学知识点总结

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容 . 第一章、有理数知识框架二．知识概念1.有理数：q(p, q 为整数且 p0)(1) 凡能写成p形式的数，都是有理数 .正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 .注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数， +a 也不一定是正数；不是有理数；正有理数正整数正整数正分数整数零有理数零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数(2) 有理数的分类 : ①②2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1) 只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0；(2) 相反数的和为 0 a+b=0 a 、 b 互为相反数 .4.绝对值：(1) 正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；a ( a 0)a( a 0)a (a0)0) 或a0)；绝对值的问题经常分类讨论； (2) 绝对值可表示为： a (a a (a5.有理数比大小：（ 1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比 0 大，负数永远比0 小；（3）正数大于一切负数；（ 4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（ 5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（ 6）大数 -小数＞ 0，小数 -大数＜ 0.16.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数；若 a ≠ 0，那么 a的倒数是a ；若 ab=1 a、 b 互为倒数；若ab=-1a、 b 互为负倒数 .7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与 0 相加，仍得这个数 .8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（ 2）加法的结合律：（ a+b）+c=a+ （ b+c） .9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（ -b） . 10有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定 .11有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律： ab=ba；（ 2）乘法的结合律：（ab） c=a（ bc）；（3）乘法的分配律： a（ b+c）=ab+ac .即a无意义12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，0.13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时 : (-a)n=-an 或 (a-b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时 : (-a)n =an或 (a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a× 10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法 .16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 .18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

七年级上册分类讨论思想测试(通用版)(含答案)

七年级上册分类讨论思想测试（通用版）一、单选题(共10道，每道10分)1.一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离等于，如果数轴上表示a和-2的两点之间的距离是3，那么a=( )A.1B.-5C.-5或1D.-1或5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论2.已知△ABC，AB=5，BC=7，AC=9，D是AC上一点，连接BD，△ABC被分成周长之差为5的两个三角形，则AD=( )A.8B.3C.4或1D.8或3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的周长3.若，，则( )A.7B.-3或7C.3或-7D.±3或±7答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论4.已知，，且，则的值为( )A.1B.7C.1或7D.1或6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论5.的最小值是( )A.5B.4C.3D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论6.若，则的取值共有( )A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：绝对值分类讨论7.已知A，B，C三点在同一条直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=9，AC=16，则MN的长为( )A.8B.C.8或D.8或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长8.已知线段AB=16，点C在直线AB上，BC=3AC，M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN 的长为( )A.4B.2或14C.4或20D.2或4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：求线段的长9.若∠AOB=50°，∠BOC=70°，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为( )A.60°或10°B.10°或25°C.15°或35°D.35°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的计算10.已知∠AOB=40°，∠AOC=4∠AOB，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数为( )A.60°B.25°或4°C.100°D.100°或60°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角度的计算。

2024年人教版七年级上册教学设计第一章有理数第一章有理数

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母的运算和推理得到的结论具有一般性.课标的内容要求:①理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,初步体会数形结合的思想方法,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.教师应把握数与式的整体性,一方面,通过对有理数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解用字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级上册第一章“有理数”,本章包括两个小节:1.1正数和负数;1.2有理数及其大小比较.数及其运算是中小学数学课程的核心内容.小学已经安排了自然数、正分数及其运算等学习内容.本单元借助生活实例引入负数.通过添加负数这一类“新数”,使数的范围扩张到有理数.引入负数是实际的需要,也是学习后续内容,特别是“数与代数”内容的需要,学生可以从中体会根据实际和数学的需要引入“新数”的好处.有理数的概念可以利用数轴来认识、理解;同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起.数轴是数形结合思想的产物.引进数轴后,可以用数轴上的点直观地表示有理数,为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具,同时也为学习有理数的运算法则做了准备.引入相反数的概念,一方面可以加深对相反意义的量的认识,另一方面可以为学习绝对值、有理数运算做准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.在数轴上,一个点由方向和距离(长度)确定;相应地,一个实数由符号与绝对值确定.这里,“方向”与“符号”对应,“距离”与“绝对值”对应,又一次体现了数与形的结合、转化.所以,绝对值概念可以促进对数轴概念的理解,同时也是学习数的大小比较、数的运算的基础.本单元重点是理解正负数、有理数和绝对值的相关概念;难点是在理解概念的基础上,养成良好的思维习惯.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级上册第一章有理数.学生在小学已经学习了自然数、正分数及其运算、用字母表示数的知识,这些都是学习本章的基础.实际上,小学学过的数及运算的知识,就是有理数及其运算的知识,数的范围限制在“正数和0”.因此,本单元内容的教学,首先要做好与以往算术知识和方法的衔接,在原有基础上自然引申出新的问题和思路.例如,对负数的认识,借助实际生活、生产中大量存在的“相反意义的量”,提出引入“新数”的需要,然后借助“大于0的数叫作正数”,自然引入“在正数前面加上符号‘-’(负号)的数叫作负数”.另外,本单元渗透了用字母表示数的知识,例如,用-a表示a的相反数;用字母表示求一个数的绝对值的结论;等等.这样,既使问题阐述得更简明、更深入,也使学过的数与代数的知识得到巩固、加强和提高.总之,加强与小学学过的数及运算的衔接,不仅有利于学生理解本单元知识,也有利于培养学生提出问题的能力.四、单元学习目标1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数).五、单元学习内容及学习方法概览有理数课时划分内容本质与研究方法1.1正数和负数通过提出问题,根据问题归纳正数和负数的概念;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生积极思考、合作交流的意识和能力续表有理数课时划分内容本质与研究方法1.2有理数及其大小比较1.2.1有理数的概念提出问题,根据问题归纳有理数的概念,并对有理数进行分类;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生分类讨论的数学思想1.2.2数轴提出问题,根据问题归纳数轴的概念,让学生积极参与探究数轴的活动,并学会与他人交流合作;让学生感受在特定的条件下数与形是可有理数课时划分内容本质与研究方法以互相转化的,让学生体验生活中的数学1.2.3相反数通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征,培养归纳能力;渗透数形结合思想,感受事物之间的对应统一的辩证思想1.2.4绝对值提出问题,通过探索求一个数绝对值的方法让学生通过观察,发现规律,总结方法;培养学生积极参与数学活动,在数学活动中体验成功的乐趣1.2.5有理数的大小比较经历用数轴比较有理数大小的方法和形成过程,体会负数的大小比较与自己原有认知体系的不同;经历形式多样的数学活动,让学生通过观察、思考和自己动手操作,体验有理数大小比较法则的探索过程六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

七年级上册分类讨论思想

分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。

在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。

1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。

2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

【例1】解方程：|x-1|=2【例2】【例3】试比较1+a与1-a的大小。

【例4】。

【例5】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。

【例6】【例7】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？【例8】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？【例9】【例6】富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。

如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的价格为多少。

练习题1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a2.|a|+a 的值的情况讨论。

3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求cc b b a a -+的值5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。

6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。

7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点8. 已知∠A0B=120o ，∠BOC=30o ，则∠AOC 为多少。

9.已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA ︰CB9.在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知AB ＝5cm ，点O 是线段AC 的中点，且OB=1.5cm ，求线段BC 的长。

浙教版数学七年级上册第十七讲分类讨论思想专项训练

浙教版数学七年级上册第十七讲分类讨论思想专项训练1.设a是实数，则｜a｜-a的值( ）.A.可以是负数B.不可能是负数C.必是正数D.可以是正数也可以是负数2.线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点间的距离是( ）.A.1cmB.9cmC.1cm或9cmD.以上结果都不对3.若|a|=5，|b|=2，a＜b，则a，b分别为( ）.A.5，-2B.-5，-2C.-5，2D.-5，-2或-5，2(第4题）4.如图是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角.在54°，60°，63°，72°，99°，120°，144°，150°，153°，171°这些角中，能画出的角有( ）.A.6个B.7个C.8个D.9个5.一条直线上有A，B，C三点，AB＝8cm，AC＝18cm，P，Q分别是AB，AC的中点，则PQ＝.6.已知∠AOB=60°，过点O的射线OC使∠AOC∶∠AOB=3∶2，则∠BOC= ．7.阅读材料，解答下列问题.例：当a＞0时，如a=6，则｜a｜=｜6｜=6，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，｜a｜=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=－6，则｜a｜=｜－6｜=6=-(-6），故此时a的绝对值是它的相反数.∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.(1）请仿照例中分类讨论的方法，分析实数a2去根号后的各种情况.（2）猜想a2与｜a｜的大小关系.8.已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，BC=6cm，M为线段AB的中点，N为线段BC的中点，求线段MN的长.b9.阅读材料：我们知道，对于关于x的方程ax=b，当a不等于0时，方程的解为x=a；当a等于0，b也等于0时，所有实数x都能使等式成立，也就是说方程的解为全体实数；当a等于0，而b不等于0时，使等式成立的x的值不存在，此时，我们说方程无解．根据上述知识判断，a，b为何值时，关于x的方程a（4x-2）-3b=8x-7的解为全体实数？a，b为何值时，方程无解？10.对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=|a+b|+|a-b|．（1）计算2⊙（-3）的值.（2）①当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b.②当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=-c？若是，请说明理由；若不是，请举例说明.（3）已知（a⊙a）⊙a=8+a，求a的值．(第10题）11.已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°.（1）如图1，当点O，A，C在同一条直线上时，∠BOD的度数是.（2）将∠COD从图1的位置开始，绕点O按逆时针方向旋转n°（即∠AOC＝n°），且0＜n＜180.①若∠COD的一边与∠AOB的一边垂直，则n＝.②当60＜n＜90时（如图2），作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，试求∠MON 的度数.图1图2（第11题）12.同一平面内三条直线互不重合，那么交点的个数可能是( ）.A.0，1，2B.0，1，3C.1，2，3D.0，1，2，3(第13题）13.如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，三颗颜色相同的棋子在同一直线上的直线共有( ）.A.2条B.3条C.4条D.5条14.某超市推出如下购物优惠方案：一次性购物在80元（不含80元）以内时，不享受优惠；一次性购物在80元（含80元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受九折的优惠；一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.某顾客在本超市两次购物分别付款65元、252元，如果他改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，那么应付款（）.A.316元B.304元或316元C.276元D.276元或304元15.已知9，16，a三个数，要使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，则所有符合条件的数a的值是．16.如图，在数轴上点A，B分别表示-15，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动时间为t （s），在运动过程中，当点P，Q和原点O这三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，t的值是.（第16题）17.已知关于x 的多项式ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 3，其中a ，b ，c ，d 为互不相等的整数，且abcd=4.当x=1时，这个多项式的值为27．（1）求a+b+c+d 的值. （2）求e 的值.（3）当x=-1时，求这个多项式的所有可能的值．18.【问题提出】已知∠AOB ＝70°，∠AOD=21∠AOC ，∠BOD ＝3∠BOC （∠BOC ＜45°），求∠BOC 的度数.【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决问题.（1）当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOC 内部，如图1，可求∠BOC 的度数，解答过程如下：设∠BOC ＝α，∴∠BOD ＝3∠BOC ＝3α. ∴∠COD ＝∠BOD -∠BOC ＝2α. ∵∠AOD=12∠AOC, ∴∠AOD ＝∠COD ＝2α.∴∠AOB ＝∠AOD+∠BOD ＝2α+3α＝5α＝70°. ∴α＝14°.∴∠BOC ＝14°.当射线OC 在∠AOB 内部时，若射线OD 在∠AOB 外部，如图2，请你求∠BOC 的度数. 【问题延伸】（2）当射线OC 在∠AOB 外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数.【问题解决】（3）综上所述，∠BOC的度数是.19.如图1，数轴上m，n，q所对应的点分别为M，N，Q，若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ，我们有QM＝q-m，NQ＝n-q.（1）如图2，点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，6，c，且BC＝CA，直接写出c的值：.（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为每秒4个单位长度，乙的速度为每秒1个单位长度.求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7.（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至点B后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点B 运动，到达点B后再次返回……当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动.求运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇.图1图2备用图（第19题）。

七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版

七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版一、引言七年级上册数学第二单元主要涉及有理数及其运算、整式的加减、一元一次方程、图形的认识、数据的收集与整理等内容。

这些知识点不仅是初中数学学习的基础，也是学生们在日常生活中常常会用到的数学知识。

本文将对这些知识点进行详细的归纳和解析，帮助学生们更好地理解和掌握。

二、有理数及其运算1. 有理数的概念有理数包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

它们可以表示为分数的形式，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。

2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数。

整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数。

3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

以下是各类运算的具体规则：加法：同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，绝对值相减。

减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘法：同号相乘得正，异号相乘得负，绝对值相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

4. 有理数的性质有理数具有以下性质：交换律：a + b = b + a；a × b = b × a结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；a ×(b ×c) = (a ×b) × c分配律：a ×(b + c) = a × b + a × c三、整式的加减1. 整式的概念整式是由数字和字母通过加、减、乘、除（除法中除数不含字母）以及乘方运算组成的代数式。

整式包括单项式和多项式。

2. 单项式单项式是由数字和字母的乘积组成的代数式，如3a、-5xy²等。

单项式的系数是数字部分，次数是所有字母指数的和。

3. 多项式多项式是由几个单项式相加组成的代数式，如3a + 5b、-2x²+ 4x 7等。

多项式的项数是单项式的个数，最高次项的次数是多项式的次数。

《有理数》数学思想-分类讨论(专项练习)-七年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)【有答案】

专题2.25 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

分类讨论遵循的原则：不重不漏分类讨论的步骤：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。

本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。

一、单选题1．下列关于有理数的分类正确的是（）A ．有理数可以分为正有理数和负有理数B ．有理数可分为正有理数、负有理数和0C ．有理数可分为正整数、0和负整数D ．有理数可分为自然数、0和分数 2．已知0abc >，则式子：a b c a b c ++=（） A ．3 B ．3-或1C ．1-或3D ．1 3．若m 满足方程20192019m m -=+，则2020m -等于（）A ．2020m -B ．2020m --C ．2020m +D ．2020m -+ 4．对于任意实数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（）①[]33-=- ②[]2.92-=- ③[0.9]0= ④[][]0x x +-=A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5．已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c ++=，0abc <，则a b c a b c++的值为（） A ．1 B ．1-或3- C ．1或3- D ．1-或3 6．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①(1)(1)(1)0a b c ---<；②a b b c a c -+-=-；③()()()0a b b c c a +++>；④1a bc <-，其中正确的结论有（）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．已知：23a bb cc am c a b +++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（）A ．1-B ．1C ．2D ．38．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc+++的所有可能的值为（）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，49．有理数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示，若|b |＞|c |，则下列结论中正确的是（）A ．abc ＜0B ．b ＋c ＜0C ．a ＋c ＞0D ．ac ＞ab二、填空题10．将下列各有理数按不同的标准分类：2，413，－7，1.5，0，－5.3, －32， 6，－80%. (1)按有理数的定义分；(2)按有理数的正、负性质分．11．若0a b c ++=，则||||||a ab abc a ab abc++的值是___________． 12．若|x+3|+45|x-5|=12，则x=_____． 13．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a b c a b c a b c ⊗⊗=++-+-，例如：()()()12-312-312-3⊗⊗=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ⊗⊗的最大值为__________．15．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，则在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b ．所以式子2x -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________．②数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示x 的点到表示1的点的距离与它到表示3-的点的距离之和可表示为：13x x -++．则13x x -++的最小值是________． ④若318x x -++=，则x =________16．若a ，b ，c 为有理数，且abc ≠0，则b abc a c a b c abc++-＝_____． 17．数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a 和b ，若计算a+b ，a-b ，ab ，a b 的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求()28b a +=_____________ 18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A 放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A 到达点A '的位置，则点A '表示的数是 _______；若起点A 开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A '表示的数是______．19．若|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，且|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），则x +y ﹣z ＝_____．三、解答题20．有理数的两种分类方法：有理数有理数 21．177.6,2,, 4.1,5,23--- （1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接；（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．22．把下列各数按要求分类．2224,2, 1.5,,0.6,,0,37π-- 整数集合：{ ．．．}，分数集合：{ ．．．}，非负整数集合：{ ．．．}，有理数集合：{ ．．．}．23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．24．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是数，即0a ≥ （3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值25．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 26．阅读下题和解题过程：化简：()2122x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20x -≥时，即2x ≥时：原式21243x x x =-+-+=-+；当20x -<时，即2x <时：原式()212437x x x =--+-+=-+．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：213x -=．27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a ＞0时，|a|=a ；当a=0时，|a|=0；当a ＜0时，|a|=﹣a ．用这种方法解决下列问题：(1)当a=5时，求a a的值． (2)当a=﹣2时，求a a的值．(3)若有理数a 不等于零，求a a的值． (4)若有理数a 、b 均不等于零，试求a a +b b的值． 28．[分类讨论思想] 甲、乙两名同学正在对8a ＞6a 进行讨论，甲说：“8a ＞6a 正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．29．阅读下题和解题过程：化简212(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20-≥x 时，即2x ≥时，原式2124x x =-+-+3x =-+；当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：2(21)3x x +-=+；(2)试探究：当m 分别为何值时，方程21x m -=-①无解，②只有一个解，③有两个解30．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？31．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．参考答案1．B【分析】根据有理数的分类即可判断.【详解】有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A ，C ，D 错误，B 正确；故选B.【点拨】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.2．C【分析】不妨设a ＜b ＜c ，分类讨论：①a ＜b ＜0＜c ，②a ＞0，b ＞0，c ＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】不妨设a ＜b ＜c ．∵abc ＞0，∴分两种情况：①a ＜b ＜0＜c ，则abca b c ++=－1+（－1）+1=－1；②a ＞0，b ＞0，c ＞0，则a b c a b c ++=1+1+1=3．故选C ．【点拨】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况． 3．D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m 的取值范围即可解答.【详解】当2019m ≥时，20192019m m -=-，不符合题意；当0m ≤时，20192019m m -=+，符合题意；当02019m <<时，20192019m m -=-，不符合题意；所以0m ≤20202020m m -=-+故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.4．C【分析】根据符号[x]表示不超过x 的最大整数，依次判断可得答案．【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x 为整数时，[x]+[-x]=x+（-x ）=0，当x 为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C ．【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．5．A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a ，b ，c 中应有奇数个负数，进而可将a ，b ，c 的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a ，b ，c 的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵0abc <∴a ，b ，c 中应有奇数个负数∴a ，b ，c 的符号可以为：1负2正或3负∵0a b c ++=。

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分类讨论思想
在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。

在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。

2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

【例1】解方程：|x-1|=2
【例2】
【例3】试比较1+a 与1-a 的大小。

【例4】。

【例5】已知线段AB 长度为6cm ，点C 在直线AB 上，且AC=2cm ，求BC 的
长度。

【例6】
【例7】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角
【例8】已知△ABC 周长为20cm ，AB=AC ，其中一边边长是另一边边长的2
倍，BC 长多少？
【例9】
【例6】富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。

如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的价格为多少。

练习题
1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a
2.|a|+a 的值的情况讨论。

3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c
c b b a a -+的值
5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。

6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。

7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点
8. 已知∠A0B=120o ，∠BOC=30o ，则∠AOC 为多少。

9.已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段C A ︰CB
9.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm，求线段BC的长。

10. 已知△ABC周长为18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大3cm，BC长多少
11.在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则
∠MON
12. A、B两地相距480千米,一列慢车从A地开出,每小时行60千米,一列快车从B地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x小时后,两车相距100千米,则列方程为
甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付189元，则甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克。