《圆的证明与计算》专题
2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发
挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点分析：
1. 圆中的重要定理：
(1) 圆的定义：主要是用来证明四点共圆.
(2) 垂径定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等
(3) 三者之间的关系定理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等
(4) 圆周角性质定理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等?
(5) 切线的性质定理：主要是用来证明一一垂直关系.
(6) 切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线?
(7) 切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等?
2. 圆中几个关键元素之间的相互转化：弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来
互相转化?这在圆中的证明和计算中经常用到?
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现，圆与相似圆与面积圆与切线动态圆
三、解题秘笈：
1、判定切线的方法：
(1)若切点明确，则"连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
(1 )构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长)；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④ 构造勾股定理模型；⑤构造三角函数
(2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
四、范例讲解:
（一）圆与相似
1. （本小题满分8分）
（2011山东滨州，22, 8分）如图，直线 PM 切O O 于点M,直线P0交O O 于A 、B 两点，弦
AC// PM,连接 OM BC 求证：（1） △ ABB A P0M;（2） 2OA 2 OPgBC .
2、（2011山东日照）.（本题满分9分）如图，AB 是O 0的直径，AC 是弦，CD 是O 0的切 线，
C 为切点，A
D 丄 CD 于点 D .求证：（1）/ A0C=2 / ACD ; （2） AC 2= ABAD .
3、（2011山东烟台，25, 12分）
已知：AB 是O 0的直径，弦 CD 丄AB 于点G , E 是直线AB 上一动点（不与点 A 、B 、 G 重合），直线DE 交O 0于点F ,直线CF 交直线AB 于点P.设O 0的半径为r.
（1） 如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：0E 0P = r 2
（2） 当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图 2点E 的位置为例，请你画出符合 题意的图形，标注上字母， （1）中的结论是否成立？请说明理由 .
（图
1）
A
（图2）
(二) 圆与面积
4、(2011?东营)如图，已知点 A 、B 、C 、D 均在已知圆上， AD // BC , BD 平分/ ABC , /
BAD=120 ，四边形 ABCD 的周长为15. (1 )求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积.
5. (2011山东莱芜)(10分)如图，AB 是O O 的直径，弦DE 垂直平分半径 OA , C 为垂足,
DE = 3，连接BD ，过点E 作EM // BD ，交BA 的延长线于点 M . (1) 求O O 的半径；
(2) 求证：EM 是O O 的切线；
(3) 若弦DF 与直径AB 相交于点P ,当/ APD = 45o 时，求图中阴影部分的面积.
6、( 2011?临沂)如图.以O 为圆心的圆与 △ AOB 的边AB 相切于点C .与OB 相交于点D , 且
OD=BD ，己知 sinA= — , AC=話丄 .
7、(2011山东枣庄).(本题满分8分)
如图，点D 在O 0的直径AB 的延长线上，点 C 在O 0上, 且 AC=CD ，/ ACD=120° . (1)求证：CD 是 O O
的切线；
(2 )若O O 的半径为2,求图中阴影部分的面积
(1 )求0 O 的半径： (2)求图中阴影部分的面枳.
第23题图
（三）圆与切线
8. （ 2011山东荷泽）（本题10分）如图，BD 为O O 的直径，AB=AC,AD 交BC 于点E,AE=2,
ED =4,
（1）求证:△ ABEADB; ⑵求AB 的长；
⑶延长DB 到F,使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA 与O O 的位置关系，并说明理由?
丄OA 交半圆于点 D ，点E 是B D 的中点，连接 AE 、OD ，过点D 作DP // AE 交BA 的延长线
于点P .
（1） 求/ AOD 的度数； （2） 求证：PD 是半圆O 的切线.
10. （2011山东淄博）（9分）已知：△ ABC 是边长为4的等边三角形，点 O 在边AB 上, O O 过
点B 且分别与边 AB , BC 相交于点 D , E , EF 丄AC ,垂足为F.
（1） 求证：直线EF 是O O 的切线； （2） 当直线DF 与O O 相切时，求O O 的半径?
（四）圆与新题型
11.
（2011山东德州）（本题满分10分）
?观察计算
当a 5, b 3时，与JOb 的大小关系是 ________________________
O 是圆心，点C 是OA 的中点，CD
AB 是半圆的直径，点 （第21
a b
当a 4, b 4时，二^与阿的大小关系是 _______________________ .
2
?探究证明
如图所示， ABC 为圆0的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB 于D ，设AD a , BD = b .
（1） 分别用a, b 表示线段OC , CD ；
（2） 探求0C 与CD 表达式之间存在的关系（用含 ?归纳结论
（五）圆与动点
12. （ 2011山东济宁）（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（
4 , 1 ）的抛物线
交y 轴于A 点，交x 轴于B , C 两点（点B 在点C 的左侧）.已知A 点坐标为（0, 3）
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点 D ,如果以点C 为圆心的圆与直线 BD 相 切，请判断抛物线的对称轴 I 与O C 有怎样的位置关系，并给出证明；
（3） 已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于 A , C 两点之间，问：当点 P 运动到 什么位置时，
PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积.
13. (2011山东德州)(本题满分12分)在直角坐标系xoy 中，已知点 P 是反比例函数
a ,
b 的式子表示） 根据上面的观察计算、探究证明，你能得出 与、.ab 的大小关系是:
2
?实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框
,
（第23
）
2 3
y (x>0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.
x
(1)如图1,0 P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由.
(2)如图2,0 P运动到与x轴相交，设交点为B, C.当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A, B, C的坐标.
一1
②在过A,B ,C三点的抛物线上是否存在点皿，使厶MBP的面积是菱形ABCP面积的—.若
2
1、【答案】证明：(1)v直线PM切O O于点MPMO=90 ................................... 1分
?/弦AB是直径，???/ ACB=90 ........................ 2 分
???/ ACB玄PMO ................... 3 分
?/ AC// PM, CAB=/ P ........................... 4 分
? △ABC^A POM .................. 5 分
AB BC
(2) ?/ △ABC^A POM, ?.................... 6 分
PO OM
2OA BC
又AB=20A,0A=0M「........... 7 分
PO OA
? 2OA2 OPgBC ....................... 8 分
2、答案.(本题满分9分)
证明：(1) ?/ CD 是O O 的切线，?/ OCD=90°,
即/ ACD + Z ACO=90°.…①.............................. 2 分
?/ OC=OA ,???/ ACO=/ CAO ,
???/AOC=180° -2 / ACO ，即-/ AOC+ / ACO=90°.…② ................ 4 分
2
1
由①，②，得：/ ACD-丄 / AOC=0，即/ AOC=2/ ACD ; ............... 5 分
2
(2)如图，连接BC .
?/ AB 是直径，?/ ACB=90° . ??… 在Rt △
ACD 与厶RtACD 中，
???/ AOC=2 / B ，?/ B= / ACD , ? △ ACDABC , ...............................
AC AD 2
，即 AC 2
=AB ? AD .
AB AC
3、【解】（1）证明：连接FO 并延长交O O 于Q ,连接DQ. ?/ FQ 是O O 直径，?/ FDQ = 90° QFD + Z Q = 90° ?/ CD 丄 AB ，? / P + Z C = 90° ???/ Q =Z C ,「./ QFD =Z P.
???/ FOE = Z POF ,?△ FOEPOF. ? OE
OF （2）
解：（1）中的结论成立.
理由：如图2,依题意画出图形，连接 FO 并延长交O O 于M ，连接CM. ?/ FM 是O O 直径，?/ FCM = 90° M +Z CFM = 90° ?/ CD 丄 AB ,「.Z E + Z D = 90° vZ M = Z
D ,???/ CFM =Z E.
~、
vZ POF = Z
?空 OF , ? OE OP = OF 2= r 2. OF OE
4、解答：解：（1） v AD // BC , Z BAD=120° . ???/ ABC=60° . 又v BD 平分Z ABC , ? Z ABD= Z DBC= Z ADB=30
Z BCD=60
? AB=AD=DC , Z DBC=90
又在直角 △ BDC 中，BC 是圆的直径，BC=2DC .
? BC+ 〒BC=15 ? BC=6 ?此圆的半径为3.
(2)设BC 的中点为0,由(1)可知O 即为圆心. 连接OA , OD ,过O 作OE 丄AD 于E . 在直角△ AOE 中，Z AOE=30
? OE=OA?COS 30 =
1 3^3 斓
S A AOD =E X3 ~_
OF
.A OE OP = OF 2= r 2
OP FOE ,?△ POFFOE.
4
's F
5、答案：解：连结 OE , ?/ DE 垂直平分半径OA
11 1
3
???0C=—OA —OE ,CE —DE -
2 2 2 2
???/ OEC=30 °
(2)由(1)知：/ AOE=60 ° , A E A D ,
B - AOE 30 2
?? / BDE=60 ? BD // ME , ???/ MED= / BDE=60 ???/ MEO=90 ° ? EM 是O O 的切线。 (3) 连结OF ???/ DPA=45 ° ???/ EOF=2 / EDF=90
6、解答：解：(1)连接OA ,
???以O 为圆心的圆与 △ AOB 的边AB 相切于点 C . ? CO 丄 AB , 2 CO
-sinA =.=] 一， ?/ AC=二一.
?假设 CO=2x , AO=5x ,
2 2
4x +21=25x , 解得：x=1 , ? CO=2 ,
? O O 的半径为2;
(2)vO O 的半径为2;
? DO=2, ?/ DO=DB ,
? BO=4 , ? BC=2 二, ? 2CO=BO , ?/ O 丄 BC ,
二S 阴影=S 扇形AOD — S
60JTX 3^
△ AOD = 「二 ?- OE
EC cos30
3 2 J 2
「3
…
S
阴影
=
S
扇形EOF
90 EOF=-
(一 3)2 360~
???/ CBO=30 , / COD=60 ,
图中阴影部分的面枳为： S ^QCB - S 扇形COD = X2鳥g
? AB=2 .. 3 .
(1)直线FA 与O O 相切，理由如下： 连接OA ,T BD 为O O 的直径，?/ BAD=90°
?- BD AB 2 AD 2 12 (2 4)2 4 3 ,
1 _
BF=BO= —BD 2.3,
2
??? AB=2..3,「. BF BO AB,可证/ OAF 90o ,
?直线FA 与O O 相切
1 1 9. (1)解：???点 C 时 OA 的中点，? OC=—OA= — OD
2
2
?/ CD! OA OCD=90。
OC 1
在 Rt △ OCD 中, cos / COD —
OD 2
? / COD=60，即/ AOD=60。 ? D E BE ,
1 1 1
? / BOE= / DOE= / DOB — (180 ° -Z COD ) =— (180 ° -60 °) =60 °。
2 2 2
T OA=OE ，?/ EAO= Z AEO ，又Z EAO+ Z AEO= Z EOB=60 ° ? Z EAO=30 ° ,
? PD // AE ,
7、(本题满分 A ?/ OA 8分)(1)证明：连结 OC ? ?/ AC CD D 30 . ?- OC , ?
2 ......................... 2分
A 30 . ? OCD ,ACD 120 ,
? CD 是O
O 的切线? (2) 解：???/ A=3(0, 12 A 60
.…S 扇形OBC
ACD 2
4分
60 22 90 .
6分
S ^t OCD Rt 1 -OC 2 CD OCD 1 -2 2 CD 360 OC tan60
2 3
2
：
3
2.3. 2
—n .
3
?解:(1)证明：T AB=AC,「./ ABC=Z C, 图中阴影部分的面积为 2,3 8答案、 ???/ C=Z D,「./ ABC=Z D, 又???/ BAE= / EAB,
ABE s^ ADB, AB AE
2
⑵???△ — ADB ： -
-，- AB
AD AE (AE ED) AE (2 4) 2=12,
6D TTX 2
2.
360 =2 * -3 n
(2)证明：连结 OE T 点E 是B D 的中点,
???/ P=Z EAO=30 °。
由(1)知/AOD=60 ° ,PDO=180 ° - (/ P+ / POD) =180 ° - (30° +60 ° ) =90 ? PD是半圆O的切线。
10【答案】解：(1)证明：连接OE，则OB=OE。
?/△ ABC 是等边三角形，?/ ABC= / C=6C°。
?△ OBE是等边三角形。
???/ OEB= / C =60°。? OE // AC。
?/ EF 丄AC，?/ EFC=90。?/ OEF= / EFC=90。
?EF是O O的切线。
(2)连接DF, ?/ DF 是O O 的切线，?/ ADF=90。
设O O 的半径为r,贝U BE=r , EC= 4 r , AD= 4 2r。在Rt△ ADF 中，???/
A=60°, ? AF=2AD= 8 4r。
FC= 4 8 4r 4r 4。
在Rt△ CEF 中，???/ C=6C° ,? EC=2F C。
? 4 r =2 ( 4r 4 ) o
4
解得r —
3
11.（本题满分10分）
?观察计算:a b
> ?. ab ,
2
?探究证明：
(1) Q AB AD BD
? OC
Q AB为O O直径,
? ACB 90 .
?AD CD
CD BD .
2
即CD AD BD ab,
?CD ab . ....................... 5 分
2
a b时，OC CD, —- > a
b . .................................... 6 分
2
?结论归纳：--.ab . .................. 7分
2
?实践应用
设长方形一边长为
1
x米,则另一边长为米,设镜框周长为1米，则
x
1 l 2(x -)
x
/~-
> 4 x - 4 . ......... 9 分
? O O的半径是-o
3
S=石.
2
2OC ,
Q A ACD 90 ,? / A=Z BCD. ? △ACD CBD . ACD BCD 90 , ....................... 4分
1
当x ,即x 1 （米）时,镜框周长最小.
x
此时四边形为正方形时，周长最小为4米 .... ........ 10分 12. (1 )解：设抛物线为 y a(x 4)2
1.
2 1 ???抛物线经过点
A (0, 3), ???
3 a(0 4)2
1.二 a -.
4
1 2 1 2 .?.抛物线为 y _(x 4)2 ....................................... 1 -x 2 2x 3.
3 分
4
4
(2)答：I 与O C 相交 ... ................................................ 4分
1 2 证明：当一(x 4)
1 0 时，X 1 2, X
2 6.
4
? B 为(2, 0), C 为(6, 0) .? AB .32 2 2 .13. 设O C 与BD 相切于点E ,连接CE ，贝U BEC 90 AOB .
ABD 90 ,? CBE 90 ABO . （3）解：如图，过点 P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .
1
可求出AC 的解析式为y -x 3. ................................................................. 8分
2
1 1 2
1 2 3 PQ
m 3 (-m
2m 3) m m 2
4
4 2
1/12
3 、 3
2
27 S
S PAQ S
(-m
-m) 6 -(m 3)
4
2
4 4
当m 3时， PAC 的面积最大为
27
一 1 2 1
设P 点的坐标为（m ，一 m 2m 3），则Q 点的坐标为（m , m3）.
4
2
4
此时，P 点的坐标为（3,
3
）
4
又??? BAO 90 ABO ,
BAO CBE .. AOB s BEC .
CE OB
BC . CE AB .^ 2
6
— CE 、、13
8 13
2. ...................................
???抛物线的对称轴 l 为x 4 , ? C 点到I 的距离为2. ???抛物线的对称轴 l 与O C 相交.
10分
（第23题）
13.(本题满分12分) 解：(1)^0 P 分别与两坐标轴相切，
??? PA 丄 OA , PK 丄 OK . ???/ PAO=Z OKP=90 ° . 又???/ AOK=90 ° ,
/ PAO=Z OKP = Z AOK=90° ?四边形OKPA 是矩形.
又??? OA=OK ,
?四边形OKPA 是正方形. ................. 2分
(2)①连接PB ,设点P 的横坐标为X ,则其纵坐标为 乙
3
X
过点P 作PG 丄BC 于G . ???四边形ABCP 为菱形， ? BC=PA=PB=PC .
? △ PBC 为等边三角形.
在 Rt △ PBG 中，/ PBG=60°, PB=PA=x , 2 3 PG= —
x
2品
/
PG 旳73
〒
sin / PBG= ，即
—.
PB 2 x
解之得：x= ± 2 (负值舍去).
? PG= ., '3 , PA=BC=2. .............................. 4 分 易知四边形 OGPA 是矩形，PA=OG=2, BG=CG=1 , ? OB = OG — BG=1 , OC = OG+GC=3 .
? A (0,厉),B (1, 0) C ( 3, 0). ......................... 6 分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c .
?二次函数关系式为：
.3 2
4 3 :-
y
x x
3 . ............................ 9 分
3
3
解之得：a=f , b =彗,c=.3 .
②解法一：设直线 BP 的解析式为：y=ux+v ,据题意得:
a b c 0
据题意得： 9a 3b c 0
c .3
u v 0
2u v 、3
解之得： u= 3 , v= 3-3 .
?直线BP 的解析式为：y 为x 3 3 .
过点A 作直线AM // PB ，则可得直线 AM 的解析式为：y Vx . 3 .
解方程组:
y 3x 3
_ /曰人 0
y 92 节x
E 曲
y1 3
过点C 作直线CM // PB ,则可设直线 CM 的解析式为：y
x 2 7
y 2 8,3
、3x t .
? 0=3 3 t .
? t 3 3 .
?直线CM 的解析式为：y .3x 3「3.
y
八
图2
??? A (0, J 3 ), C ( 3, 0)显然满足条件.
延长AP 交抛物线于点 M ，由抛物线与圆的轴对称性可知， PM=PA .
A
_
又??? AM // BC , ? S PBM S PBA — S YPABC ? 二点 M 的纵坐标为,3 .
2
又点M 的横坐标为 AM=PA+PM =2+2=4 . ???点M （4，乙3 ）符合要求.
点（7, 8,3 ）的求法同解法一.
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个，
分别为：（0，品）,（3, 0）, （4, J 3 ）, （ 7, 8 頁）. ................ 12 分 解法三：延长 AP 交抛物线于点 M ，由抛物线与圆的轴对称性可知， PM = PA .
又??? AM // BC ,
1
?- S PBM S PBA
S YPABC .?点 M 的纵坐标为 .3 .
2
3 2 4,3 即 x x . 3
. 3 .
3 3
解得：x — 0 （舍）,x 2 4 .???点M 的坐标为（4, 3）.
点（7, 8. 3 ）的求法同解法一.
综上可知，满足条件的 M 的坐标有四个：（0, J 3 ）, （3, 0）, （4, J3 ）,
（7,
8/3 ）.
y .3x 3.3
解方程组：
y
Jx 2心
x 得
3
3
综上可
知， 满足条件的 M 的坐标有四个，
x i 3
y i 0
x 2 4
丫2 、、
3
12分
解法二：??? S PAB
S PBC
—S Y PABC ，
2
分别为：
(0，灵),(3, 0), (4，/ ), ( 7, 8品)?