高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.7 定积分的简单应用 含解析
定积分的简单应用
预习课本P56～59，思考并完成下列问题
(1)利用定积分求平面图形的面积时，需要知道哪些条件？
(2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积？
[新知初探]
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f (x )在[a ，b ]上是连续函数，由直线y ＝0，x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积为S .
f (x )的符号 平面图形的面积与定积分的关系
f (x )≥0 S ＝??a b
f (x )d x f (x )<0
S ＝－??a b f (x )d x
(2)一般地，如图，如果在公共的积分区间[a ，b ]上有f (x )>g (x )，那么直线x ＝a ，x ＝b 与曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积为S ＝??a b
[f (x )－g (x )]d x .
[点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则
定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解．
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝??a b
v (t )d t .
3．力做功
(1)恒力做功：一物体在恒力F (单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s ，则力F 所做的功为W ＝Fs .
(2)变力做功：如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a
F (x )d x .
[点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系
如果做变速直线运动物体的速度－时间函数为v ＝v (t )，则物体在区间[a ，b ]上的位移为定积分??a b
v (t )d t ；物体在区间[a ，b ]上的路程为??a b
|v (t )|d t .
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y ＝x 3与直线
x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为??01
x 3d x ＋??12
(2－x )d x .( ) (2)曲线
y ＝3－x 2与直线
y ＝－1围成的图形面积为??－2 2
(4－x 2)d x .( )
(3)速度是路程与时间的函数关系的导数．( )
(4)一个物体在2≤t ≤4时，运动速度为v (t )＝t 2－4t ，则它在这段时间内行驶的路程为
??24
(t 2－4t )d t .( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．曲线y ＝cos x ????0≤x ≤3π
2与坐标轴所围成的图形面积是( ) A ．2 B ．3 C.5
2 D ．4
答案：B
3．已知做自由落体运动的物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( )
A.13gt 20
B. gt 20
C. 12gt 20
D.14gt 20
答案：C
4．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车所前进的路程为________．
答案：405
利用定积分求平面图形的面积
[典例] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．
[解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组?????
y 2＝2x ，
y ＝－x ＋4，
求出交点坐标为A (2,2)和B (8，
－4)．
法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为
S ＝S 1＋S 2＝2??02
2x d x ＋??28
()2x －x ＋4d x ＝
423x 3220＋????223x 32－12x 2＋4x 82
＝18.
法二：
选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为 S ＝??2－4????4－y －y
2
2d y ＝????4y －y 22－y
3
62－4＝18.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．
(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：
①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．
(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． [活学活用]
求曲线y ＝e x ，y ＝e －
x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．
解： 如图，由?????
y ＝e x ，y ＝e －x
，
解得交点为(0,1)， 所求面积为S ＝?
?0
1(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －
x )10＝e ＋1e －2.
求变速直线运动的路程、位移
[典例] 有一动点P 从原点出发沿x 轴运动，在时刻为t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求
(1)t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程和点P 的位移； (2)经过时间t 后又返回原点时的t 值． [解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点沿x 轴正方向运动， 当t >4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 离开原点后运动的路程 s 1＝??04(8t －2t 2)d t －??46
(8t －2t 2)d t ＝?
???4t 2－23t 3??? 4
0－?
???4t 2－23t 3???
6
4＝128
3
. 当t ＝6时，点P 的位移为??06
(8t －2t 2)d t ＝?
???4t 2－23t 3???
6
0＝0.
(2)依题意，??0t
(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－2
3
t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，
因为t ＝0对应于点P 刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6为所求，
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
[活学活用]
一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，求点在t ＝4 s 时的位置及经过的路程．
解：在t ＝4 s 时该点的位移为 ??04
(t 2－4t ＋3)d t ＝????13t 3－2t 2＋3t ???
4
＝4
3
(m)． 即在t ＝4 s 时该点距出发点4
3
m.
又因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0.
所以在t ＝4 s 时的路程为s ＝??01 (t 2－4t ＋3)d t －??13 (t 2－4t ＋3)d t ＋??34
(t 2－4t ＋3)d t ＝
????t 3
3－2t 2＋3t ???
1
－????t 33－2t 2＋3t ???
3
1
＋????t 33－2t 2＋3t ??? 4
3
＝4(m).
求变力做功
[典例] 一物体在变力F (x )＝?
????
2x ＋4，0≤x ≤2，
x 2＋2x ，2≤x ≤5，
(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝5处，求变力所做的功．
[解] 变力F (x )所做的功为 W ＝??02
(2x ＋4)d x ＋??25
(x 2＋2x )d x
＝(x 2＋4x ) ??
?
2
＋????13x 3＋x 2???
5
2
＝12＋60＝72(J)．
求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝??a
b F (x )d x 计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [活学活用]
在弹性限度内，用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ，求变力F 做的功．
解：设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )＝kx (k >0)，当x ＝10 cm ＝0.1 m 时，F (x )＝200 N ，
即0.1k ＝200，得k ＝2 000，故F (x )＝2 000x ， 所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是
W ＝??0 0.1
2 000x d x ＝1 000x 2??
?
1
＝10(J)．
层级一 学业水平达标
1．在下面所给图形的面积S 及相应的表达式中，正确的有( )
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．③④
解析：选D ①应是S ＝??a b
[f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝??08
22x d x －??48
(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.
2．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0 s 到t ＝3 s 时间段内的位移是( )
A ．31 m
B ．36 m
C ．38 m
D ．40 m
解析：选B S ＝??03
(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)30＝33＋32＝36(m)，故应选B.
3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－3 C.323
D.353
解析：选C S ＝??-3 1
(3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－13－1＝5
3，F (－3)＝－9＋9－9＝－9.
∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝32
3
.故应选C.
4．由y ＝x 2，y ＝1
4x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )
A.14
B.12
C.13
D ．1
解：选A 图形如图所示，
S ＝??01x 2d x －??011
4x 2d x ＝??013
4x 2d x
＝14x 310＝14
. 5．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成的图形面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10
D ．9
解析：选B 由????? y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得????? x ＝0，y ＝0或????? x ＝2，y ＝2或?????
x ＝－2，y ＝－2.
∵两函数y ＝x 3
－3x 与y ＝x 均为奇函数，
∴S ＝2??02[x －(x 3－3x )]d x ＝2·??02
(4x －x 3)d x ＝2?
???2x 2－14x 4???
2
0＝8，故选B.
6．若某质点的初速度v (0)＝1，其加速度a (t )＝6t ，做直线运动，则质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．
解析：v (2)－v (0)＝??02
a (t )d t ＝??02
6t d t ＝3t 2??
?
2
＝12，
所以v (2)＝v (0)＋3×22＝1＋12＝13. 答案：13
7．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是______．
解析：S ＝??0
10
1＋t d t ＝23(1＋t )32 ???
10
＝23???
?
1132－1. 答案： 23???
?
1132－1 8．由y ＝1
x
，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为________．
解析：画出曲线y ＝1
x (x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示的阴影部分面积．
∴S ＝??121
x d x ＝ln x ??
?
2
1
＝ln 2－ln 1＝ln 2.
答案：ln 2
9．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．
解：由?
????
y ＝x ＋3，
y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0及x ＝3.
从而所求图形的面积
S ＝??03
[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝??03
(－x 2＋3x )d x ＝????－13
x 3＋32x 2???
3
0＝9
2
. 10. 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；
(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解：(1)∵y ＝f (x )是二次函数且f ′(x )＝2x ＋2， ∴设f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又f (x )＝0有两个等根，
∴4－4c ＝0，∴c ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.
(2)y ＝f (x )的图象与两坐标所围成的图形的面积S ＝??-10
(x 2＋2x ＋1)d x ＝1
3x x 3＋x 2＋
x ???
-1
＝13
. 层级二 应试能力达标
1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )
A ．8 J
B ．10 J
C ．12 J
D ．14 J
解析：选D 由变力做功公式有：W ＝??13
(4x －1)d x ＝(2x 2－x ) ??
?
3
1
＝14(J)，故应选D.
2．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝
3
6t
，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )
A.12
B ．3－
3
2
2 C ．6＋
3 2
D ．6－32
解析：选D ??36
36t d t ＝6t ??
?
6
3
＝6－32，故应选D.
3．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )
A.160
3 m B.803 m C.40
3
m D.203
m 解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝??02
(40－10t 2)d t ＝?
???40t －103t 3???
2
＝80－
803＝160
3
(m)．故选A. 4．(山东高考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．42 C ．2
D ．4
解析：选D 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义
可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为??0
2(4x －x 3)d x
＝????2x 2－14x 4???
2
＝4.
5．椭圆x 216＋y 2
9＝1所围区域的面积为________．
解析：由x 216＋y 29＝1，得y ＝±3
4
16－x 2.
又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S ＝4??0
4
3
4
16－x 2d x ＝3??04
16－x 2d x. 由y ＝
16－x 2，得x 2＋y 2＝16(y ≥0)．
由定积分的几何意义知??0
416－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝4和曲线x 2＋y 2＝16(y ≥0)
及x 轴所围成图形的面积，
∴?
?0
416－x 2d x ＝1
4×π×16＝4π，∴S ＝3×4π＝12π.
答案：12π
6.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为____________．
解析：∵S 阴＝2??01
(e －e x )d x ＝2(e x －e x ) ??
?
1
＝2，
S 正方形＝e 2，∴P ＝2
e 2.
答案：2
e
2
7．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．
解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
求交点坐标：由?????
xy ＝1，
y ＝3，得??
???
x ＝1
3，y ＝3，
故A ????13，3；由?
????
xy ＝1，y ＝x ， 得????? x ＝1，y ＝1或?????
x ＝－1，
y ＝－1(舍去)， 故B(1,1)；由?????
y ＝x ，y ＝3
得?
????
x ＝3，
y ＝3，故C(3,3)，
8．函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x ，若f(x)为实数集R 上的单调函数，且a ≥－1，设点P 的坐标为(b ，a )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .
解：当a ＝0时，由f (x )在R 上单调，知b ＝0.
当a ≠0时，f (x )在R 上单调?f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，
∴?
????
Δ＝4b 2＋36a ≤0，a ≥－1.∴a ≤－1
9b 2且a ≥－1.
因此满足条件的点P (b ，a )在直角坐标平面xOy 的轨迹所围成的图形是由曲线y ＝－1
9x 2
与直线y ＝－1所围成的封闭图形．
联立?????
y ＝－19x 2，y ＝－1，
解得????? x ＝－3，y ＝－1或?????
x ＝3，
y ＝－1，如图，
其面积S ＝?
?3－3
????1－19x 2d x ＝????x －x 3
27???
3
-3
＝(3－1)－(－3＋1)＝4.
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin x
D ．2sin α＋cos x
解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．
2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )
A.????0，π4∪????3π
4，π B ．[0，π) C.????π4，3π4
D.????0，π4∪???
?π2，3π
4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是????0，π4∪???
?3π
4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．
4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ???
?0， 22 B.
????22，＋∞ C. ?
???－∞，－22，???
?0， 22 D.??
??－
22， 0，?
???0， 22 解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤2
2时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减
区间为???
?0，
22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0
D ．－1
解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝1
2，f (0)＝0，f (1)＝－1，
f ????12＝32－1
2＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.
6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.
7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )
A.????－310，6
7 B.????－85，－316 C.????－83
，－116 D.????－∞，－310∪???
?6
7，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，
要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即????103a ＋1????－7
6a ＋1<0，解得a <－310或a >6
7
. 故选D.
8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )
解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0
9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>1
2，则满足2f (x ) 的x 的集合为( ) A ．{x |－1 B ．{x |x <1} C ．{x |x <－1或x >1} D ．{x |x >1} 解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>1 2， ∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x ) 10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台 D ．9千台 解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值． 11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b ) D ．af (b )＞bf (a ) 解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )． 12．若函数f (x )＝sin x x ，且0 x 2 ，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a >b B ．a C ．a ＝b D ．a ，b 的大小不能确定 解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin x x 2 ，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x . ∵0 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f (x )＝1 3x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝2 3. 答案：2 3 14．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________. 解析：S ＝??0a x d x ＝23x 32a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝4 9. 答案：49 15．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈????－π2，π 2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0， 故f (x )在????－π2，π 2上是增函数， ∵π 2