第八章多元函数微分学

第八章 多元函数微分学【考试要求】1．了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）．会求二元函数的定义域．2．理解偏导数、全微分的概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件． 3．掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法． 4．掌握复合函数一阶偏导数的求法． 5．会求二元函数的全微分． 6．掌握由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数(,)z z x y =的一阶偏导数的计算方法．7．会求二元函数的无条件极值．【考试内容】一、多元函数的概念1．多元函数的定义设D 是n 维空间的点集，如果对于每个点12(,,,)n P x x x D ∈L，变量u 按照一定法则总有确定的值与之对应，则称u 是变量1x 、2x 、L 、n x 的n 元函数（或点P 的函数），记为12(,,,)n uf x x x =L 或 ()u f P =．当2n =时，即为二元函数的定义，一般记为(,)z f x y =．2．二元函数的几何意义设D是二元函数(,)z f x y =的定义域，则空间点集{(,,)(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈称为二元函数(,)z f x y =的图形，一般情况下，它在空间表示一张曲面．二、二元函数的偏导数1．一阶偏导数设二元函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，当自变量y 保持定值不变时，若极限0(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆ 存在，则称此极限值为函数(,)zf x y =在点(,)x y 处对x 的偏导数，记作(,)x f x y ，zx∂∂ 或 x z （(,)x f x y ' 或 x z ' 也可）． 类似可定义函数(,)zf x y =在点(,)x y 处对y 的偏导数(,)(,)limy f x y y f x y y∆→+∆-∆ ，记作(,)y f x y ，zy∂∂ 或 y z （(,)y f x y ' 或 y z ' 也可）． 当00(,)(,)x y x y =时，称00(,)x f x y 为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数值；类似地称00(,)y f x y 为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数值． 2．二阶偏导数设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,)x z f x y x∂=∂，(,)y z f x y y ∂=∂，那么在D 内(,)x f x y 、(,)y f x y 都是x 、y 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数(,)z f x y =的二阶偏导数，按照对变量求解次序的不同有下列四个二阶偏导数：22(,)xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭，2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 2(,)yx z z f x y x y y x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，22(,)yy z zf x y y y y ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭． 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数．如果函数(,)z f x y =的两个混合偏导数2zx y∂∂∂及2z y x∂∂∂在区域D 内连续，那么在该区域内两个混合偏导数一定相等．此时，求函数(,)z f x y =的二阶混合偏导数时就与次序无关了．三、二元函数的全微分1．全微分的定义设二元函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)zf x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，而仅与x 、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，而A x B y ∆+∆称为函数(,)z f x y =在点(,)x y 处的全微分，记作dz ，即dz A x B y =∆+∆．如果函数(,)zf x y =在区域D 内各点处都可微分，那么称函数在D 内可微分．当(,)z f x y =在点(,)x y 处可微时，有z A x∂=∂，z B y∂=∂，故全微分z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂．2．可微分的条件（1）必要条件：如果函数(,)zf x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 的偏导数z x∂∂、z y∂∂必定存在，且函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分为z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂． （2）充分条件：如果函数(,)zf x y =的偏导数z x ∂∂、zy∂∂在点(,)x y 连续，则函数(,)z f x y =在该点处可微分．二元函数(,)z f x y =连续、偏导数存在与可微之间的关系为：偏导数连续⇒函数可微⇒函数连续 或 偏导数连续⇒函数可微⇒偏导数存在． 说明：二元函数(,)zf x y =连续、偏导数存在与可微之间的关系非常重要，必须记住．四、二元函数复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形如果函数()ut ϕ=及()v t φ=都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(),()]zf t t ϕφ=在点t 可导，且有dz z du z dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂ ． 式中导数dzdt称为全导数． 2．多元函数与多元函数复合的情形如果函数(,)u x y ϕ=及(,)v x y φ=都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数，函数(,)zf u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕφ=在点(,)x y 的两个偏导数都存在，且有z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ， z z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ． 五、二元函数隐函数的求导法则1．二元方程确定一元函数的情形设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，且00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()yf x =，它满足条件00()y f x =，并有x yF dydx F =- ．2．三元方程确定二元函数的情形设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)zf x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有x zF z x F ∂=-∂ ，y zF zy F ∂=-∂ ． 六、二元函数的极值1．二元函数极值的相关概念设函数(,)z f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 为D 的内点．若存在0P 的某个邻域0()U P D ⊂，使得对于该邻域内异于0P 的任何点(,)x y ，都有00(,)(,)f x y f x y < ，则称函数(,)f x y 在点00(,)x y 有极大值00(,)f x y ，点00(,)x y 称为函数(,)f x y 的极大值点；若对于该邻域内异于0P 的任何点(,)x y ，都有 00(,)(,)f x y f x y > ，则称函数(,)f x y 在点00(,)x y 有极小值00(,)f x y ，点00(,)x y 称为函数(,)f x y 的极小值点．极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点． 2．二元函数取得极值的必要条件设函数(,)zf x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处具有极值，则有00(,)0x f x y = ， 00(,)0y f x y = ．说明：使(,)0x f x y =，(,)0y f x y =同时成立的点00(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点．由上述必要条件可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点． 3．二元函数取得极值的充分条件设函数(,)zf x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =，令00(,)xx f x y A =，00(,)xy f x y B=，00(,)yy f x y C =，则(,)f x y 在点00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：（1）20AC B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值； （2）20AC B -<时没有极值；（3）20ACB -=时可能有极值，也可能没有极值（即无法确定）．利用此条件，具有二阶连续偏导数的函数(,)z f x y =的极值求解步骤如下：（1）解方程组(,)0x f x y =，(,)0y f x y =，求得一切实数解，即求得所有的驻点；（2）对于每一个驻点00(,)x y ，求出二阶偏导数的值A 、B 和C ； （3）定出2AC B -的符号，按照上述结论判定00(,)f x y 是不是极值．说明：讨论函数的极值时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，则由函数取得极值的必 要条件可知，极值只可能在驻点处取得．然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点．例如函数z=00(,)x y 处的偏导数不存在，但该函数在点00(,)x y 处却有极大值．因此，在考虑函数的极值问题时，除了 考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．【典型例题】【例8-1】求下列函数在指定点处的偏导数． 1．(1)yzx =+，求12x y z x==∂∂ ，12x y z y==∂∂ ．解：因1(1)y z y x x -∂=+∂，故 21122(11)4x y z x-==∂=+=∂．因(1)ln(1)yz x x y ∂=++∂，故 212(11)ln(11)4ln 2x y z y==∂=++=∂．2．22ln()z x x y =+，求11x y z x==∂∂ ， 11x y zy==∂∂ ．解：因22222222222ln()ln()z x x x y x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++，故11ln 22x y z x==∂=+∂ ．因222222z y xy x y x y x y ∂=⋅=∂++，故1221211111x y z y ==∂⋅⋅==∂+ ． 【例8-2】求下列函数的偏导数． 1．arctan1x yzxy +=- ．解：2221(1)()()1(1)111zxy x y y xxy x x y xy ∂--+-=⋅=∂-+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，由变量x 与y 的对称性，可得211z y y ∂=∂+ ．2．sin sin x ze y = ．解：sin sin cos sin cos sin x x z e x y x ye x∂=⋅⋅=∂ ，sin cos x ze y y∂=∂ ．3．ln(z x =+ ．解：(1z x ∂=+=⋅∂=，z y ∂==∂ ．4．(1)y zxy =+ ．解：121(1)(1)y y z y xy y y xy x--∂=+⋅=+∂ ，ln(1)ln(1)[][ln(1)]1y xy y xy z x e e xy y y y xy ++∂∂==⋅++⋅∂∂+ (1)[ln(1)]1y xyxy xy xy=++++ ．5．222u xy yz zx =++ ．解：22u y zx x∂=+∂，22u xy z y ∂=+∂，22u yz x z ∂=+∂． 6．yzu x= ．解：1y zu y x x z-∂=∂，1ln ln y yz z u x x x x y z z∂=⋅=∂， 22ln ln ()y y z z u y y xx x x z z z∂=⋅-=-∂ ． 【例8-3】求下列函数的所有二阶偏导数． 1．ln()x y ze e =+ ．解：因1x xx yxy z e e x e e e e ∂=⋅=∂++，1y yx y x yz e e y e e e e ∂=⋅=∂++，故()()()2222x x y x xxx yx yx y x y e e e e e z e e x x e e e e e e ++-⋅⎛⎫∂∂=== ⎪∂∂+⎝⎭++，()()2222xx y x yxyx y x y z z e e e e x y y x y e e e e e e +⎛⎫∂∂∂-⋅====- ⎪∂∂∂∂∂+⎝⎭++，()()()2222y x y y yyx yx yxy xy e e e e e z ee y y e e eeee++-⋅⎛⎫∂∂===⎪∂∂+⎝⎭++ ．2．yxe ze= ．解：因y y xe y xe yz e e ex+∂=⋅=∂，y y xe y xe y z e xe xe y +∂=⋅=∂， 故()222y y y xe y xe y y xe yz e e e e x x+++∂∂==⋅=∂∂， ()22(1)(1)y y y xe y xe y y y xe yz z e e xe xe e x y y x y+++∂∂∂===⋅+=+∂∂∂∂∂，()22(1)(1)y y y xe y xe y y y xe yz xe xe xe x xe e y y+++∂∂==⋅+=+∂∂ ． 【例8-4】求下列函数的全微分．1．x z xy y=+ ．解：因1z y x y ∂=+∂，2zx x yy ∂=-∂，故 21()()z z xdz dx dy y dx x dy x y y y∂∂=+=++-∂∂ ． 2．2sin()zx y =+ ．解：因22cos()zx x y x∂=+∂，2cos()z x y y ∂=+∂，故 222cos()cos()z zdz dx dy x x y dx x y dy x y∂∂=+=+++∂∂ ．【例8-5】设sin uz e v =，而u xy =，v x y =+，求z x ∂∂和z y∂∂． 解：sin cos 1(sin cos )u u u z z u z v e v y e v e y v v x u x v x∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂[sin()cos()]xy e y x y x y =+++，sin cos 1(sin cos )u u u z z u z v e v x e v e x v v y u y v y∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ [sin()cos()]xy e x x y x y =+++．【例8-6】设arcsin()zx y =-，而3x t =，24y t =，求dzdt ．解：38dz z dx z dy t dt x dt y dt ∂∂=+=+∂∂==．【例8-7】求下列函数的偏导数（其中f具有二阶连续偏导数）．1．22(,)zf xy x y = ．解：令2u xy =，2v x y =，则 (,)z f u v =．为了表达简便，引入以下符号：1(,)(,)u f u v f u v '=，2(,)(,)v f u v f u v '=，11(,)(,)uu f u v f u v ''=， 12(,)(,)uv f u v f u v ''=，21(,)(,)vu f u v f u v ''=，22(,)(,)vv f u v f u v ''=，这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第一个变量v 求偏导数． 根据复合函数的求导法则，有22121222z f u f v f y f xy y f xyf x u x v x∂∂∂∂∂''''=+=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ ， 22121222z f u f v f xy f x xyf x f y u y v y∂∂∂∂∂''''=+=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ ． 2．(23,)w f x y z xyz =++ ．解：类似上例，根据复合函数的求导法则，有12121wf f yz f yzf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ， 121222wf f xz f xzf y∂''''=⋅+⋅=+∂ ， 121233wf f xy f xyf z∂''''=⋅+⋅=+∂ ． 【例8-8】求下列方程所确定的函数的导数或偏导数． 1．方程2sin 0x y e xy +-= 确定了函数()y y x =，求dy dx． 解：设2(,)sin x F x y y e xy =+-，则22cos 22cos x x x y F dy e y e y dx F y xy xy y --=-=-=-- ． 2．方程ln arctany x = 确定了函数 ()y y x =，求dydx．解：设221(,)ln arctan ln()arctan 2y y F x y x y x x=-=+-，则222222221()2()1x xy x y F y x y x x y x+=-⋅-=+++，2222222112()1y y y x F y x y x x y x-=-⋅=+++ ，故2222x y x yF dy x y x y y x dx F x y x y +++=-=-=--+ ．3．方程20x y z ++-= 确定了函数 (,)z z x y =，求z x ∂∂和z y∂∂．解：设(,,)2F x y z x y z =++-，则1x z yz F zx F ∂=-===∂-，1y z F zy F ∂=-===∂-．4．方程3x y ze e e xyz ++= 确定了函数(,)z z x y =，求z x ∂∂和zy∂∂．解：设(,,)3xy z F x y z e e e xyz =++-，则3333x xx z zz F z e yz yz e x F e xy e xy ∂--=-=-=∂-- ， 3333y yy z zz F z e xz xz e y F e xy e xy∂--=-=-=∂-- ． 【例8-9】求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值．解：先解方程组 22(,)3690(,)360xy f x y x x f x y y y ⎧=+-=⎪⎨=-+=⎪⎩ ， 求得驻点(1,0)、(1,2)、(3,0)-、(3,2)-． 再求出二阶偏导数(,)66xx f x y x =+，(,)0xy f x y =，(,)66yy f x y y =-+．在点(1,0)处，21260AC B -=⋅>，又0A >，故函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f =-；在点(1,2)处，212(6)0AC B -=⋅-<，所以(1,2)f 不是极值；在点(3,0)-处，21260ACB -=-⋅<，所以(3,0)f -不是极值；在点(3,2)-处，212(6)0AC B -=-⋅->，又0A <，所以函数在(3,2)-处有极大值(3,2)31f -=．【例8-10】求函数32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值．解：先解方程组 2(,)260(,)3120x y f x y x f x y y =-+=⎧⎨=-=⎩ ， 求得驻点(3,2)、(3,2)-．再求出二阶偏导数(,)2xx f x y =-，(,)0xy f x y =，(,)6yy f x y y =．在点(3,2)处，2240ACB -=-<，所以(3,2)f 不是极值；在点(3,2)-处，2240AC B -=>，又20A =-<，所以函数在(3,2)-处有极大值(3,2)30f -=．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数是(,)f x y 在该点可微分的（ ）（A ）必要而不充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要且充分条件 （D ）既不必要也不充分条件 解：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数(,)zf x y =在点00(,)x y 处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故选项（A ）正确．2．（2008年，3分）已知xyz e =，则zx∂=∂（ ）（A ）xy ye （B ）xy xe （C ）xyxye （D ）xye解：因()xyxy xy z e e y ye x x∂∂==⋅=∂∂，故选项（A ）正确． 3．（2007年，3分）设22x y z e+=，则dz =（ ）（A ）222()x y e xdx ydy ++ （B ）222()x y e xdy ydx ++ （C ）22()x y e xdx ydy ++ （D ）22222()xy e dx dy ++解：因222x y z xex+∂=∂，222x y z ye y +∂=∂，z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂， 故222222222()x y x y x y dz xe dx yedy exdx ydy +++=+=+，选项（A ）正确．二、填空题 1．（2010年，2分）“函数(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂、zy∂∂在点(,)x y 存在”是“函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分”的 条件．解：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数(,)zf x y =在点(,)x y 处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故“函数(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂、zy ∂∂在点(,)x y 存在”是“函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分”的必要非充分条件．三、计算题1．（2010年，5分）求由方程0ze xyz -=所确定的二元函数(,)zf x y =的全微分dz ．解：先求二元函数(,)zf x y =的偏导数．设(,,)z F x y z e xyz =-，则由二元函数的隐函数存在定理可知，x z z z F z yz yz x F e xy e xy ∂-=-=-=∂--，y z z z F z xz xz y F e xy e xy∂-=-=-=∂--，故z z z z yz xz dz dx dy dx dy x y e xy e xy∂∂=+=+∂∂--． 2．（2009年，5分）求函数sin 2yy w x e =++的全微分．解：因1wx ∂=∂，1cos 22y w y e y ∂=+∂， 故全微分1(cos )22y w w y dw dx dy dx e dy x y ∂∂=+=++∂∂． 3．（2008年，5分）求二元函数33z x y xy =+的全微分．解：因232zx y y x∂=+∂，323z x xy y ∂=+∂，故 2332(2)(3)z zdz dx dy x y y dx x xy dy x y∂∂=+=+++∂∂．4．（2007年，5分）设222(,,)uf x y z x y z ==++，2sin z x y =，求u x ∂∂，uy∂∂． 解：此题为二元函数的复合函数求偏导数问题，其中x 和y 既是自变量又是中间变量，故32222sin 24sin u f f z x z x y x x y x x z x∂∂∂∂=+⋅=+⋅=+∂∂∂∂， 2422cos 2sin 2u f f z y z x y y x y y y z y∂∂∂∂=+⋅=+⋅=+∂∂∂∂． 5．（2006年，4分）设22sin()ln(2)z xy x xy y =+-+，求(2,0)dz．解：因(2,0)(2,0)2222cos()12zx y y xy xx xy y ⎡⎤∂-=+=⎢⎥∂-+⎣⎦， (2,0)(2,0)22224cos()2124z x y x xy yx xy y ⎡⎤∂-+-=+=+=⎢⎥∂-+⎣⎦， 故(2,0)(2,0)(2,0)zzdzdx dy dx dy xy∂∂=+=+∂∂．6．（2006年，4分）求22(,)(2)3x y f x y e x y -=-+的极值．解：令2222(2)2(22)0x y x y x y x f e x y e x e x y x ---=-+⋅=-+=，2222(2)(4)(24)0x y x y x y y f e x y e y e x y y ---=--+⋅-=--+= 可解得，函数(,)f x y 的驻点为(0,0)和(4,2)--．再求二阶偏导数，2222(22)(22)(242)x y x y x y xx f e x y x e x e x y x ---=-++⋅+=-++， 22(22)(22)(4)4x y x y x y x y xy f e x y x e x e y ye ----=--++⋅+=-=-， 2222(24)(44)(284)x y x y x y yy f e x y y e y e x y y ---=-+-⋅-+=-+-．在点(0,0)处，(0,0)2xxA f ==，(0,0)0xyB f ==，(0,0)4yyC f ==-，故22(4)0AC B -=⋅-<，故函数在(0,0)处没有极值．在点(4,2)--处，2(4,2)6xxA f e ---==-，2(4,2)8xyB f e ---==，2(4,2)12yyC f e ---==-，故24472640AC B e e ---=->，又0A <，故函数在(4,2)--处有极大值，极大值为2(4,2)83f e ---=+．7．（2005年，5分）设2yxz =，求dz ．解：因22ln 22ln 2()2y yx x z y y x x x∂=⋅-=-∂，1ln 22ln 22y y x x z y x x ∂=⋅=∂， 故 2ln 2ln 222y yx xz z y dz dx dy dx dy x y x x∂∂=+=-+∂∂．。