8-4多元函数微分学
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u ( x, y), v ( x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12
f2 2
x yx y
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又如,z f ( x,v), v ( x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
z
y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
例4. 设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w , 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令u x y z , v x yz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 ( x y z, x yz)
2w xz
f12 x y
f22 x y
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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例1. 设z eu sin v , u x y , v x y ,求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
,
0,ห้องสมุดไป่ตู้
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f ( t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
r
r r
2
u 2
sin cos r2
u sin2
r r
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2u
x2
同理可得
u
2sin cos r2
u r
sin2 r
2u y2
2u r 2
sin2
2
2u r
sin
cos r
2u 2
cos 2 r2
2u x2
2u y2
2u r 2
u
2sin cos r2
u
)2
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已知 u u cos u sin
u
x r
r
ux
(2)
2u x2
((uu)) rx xx
cos
( u ) x
sin r
( u cos u sin ) cos
r r
r
r
x yx y
注意利用 已有公式
( u cos u sin ) sin
为简便f起11见
y, (引x 入 z记) f号12
f1xy2uzf
,f22f12
y
f22 f , u v
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例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
(1) u u r x r x
(当 在二、三象限时, arctan y )
x
u
r
第四节
第八章
复合函数的求导法则Chain Rule
一元复合函数
求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
tt
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z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 ) t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
x yx y
u cos u sin
r
r
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u u r u y r y y
r y
y, r
y
1
1
x
(
y x
)2
x x2 y2
u r
y r
u
x r2
u sin u cos
r
r
u
r
x yx y
(
u x
)2
(
u y
)2
(
u r
)2
1 r2
(
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y)e x2 y2 x4 sin2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2
ye
x2
y2
z
2
2ze
x2
y
2
z
2
x2
cos
y
2 ( y x4 sin y cos y )e x2 y2 x4 sin2 y
xy
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例3. 设 z uv sin t , u et ,v cos t , 求全导数 dz .
u cos2 r r
1 r2
2u 2
1 r2
r
r
(
r
u) r
2u 2
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二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f (( x, y), ( x, y))的全微分为
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
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例2. u f ( x, y, z) e x2 y2z2 , z x2sin y,求 u , u x y
解: u f x x
2
xe
x2
y 2 z 22ze
x2
y2
z
2
2
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
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说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
u2v u2 v
2
dt
解: d z z du
z
d t u d t
t
z
vet
cos t
e t (cos t sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
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第八章 多元函数微分学习题解
第八章多元函数微分学习题解第八章多元函数微分学习题解第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyx f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)xx f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210yx -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）zx y=-解：要使表达式有意义，必须0x y ≥， ∴ {(,)|}D x y x y =≥★★（3）22ux y=+解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）22ln()1x z y x x y=-+--解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）2210y x y x y→→+知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
8多元函数微分学专题解析
专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。
1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。
1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8—1 多元函数的基本概念1。
填空题:(1）若yx xy y x y x f tan ),(22-+=,则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x-== （3）若)0()(22 y yy x x y f +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x x yy x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________（7）函数xy z arcsin =的定义域是________________ (8）函数xy x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2。
求下列极限：(1）xy xy y x 42lim0+-→→班级： 姓名： 学号：(2) x xy y x sin lim0→→（3) 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→微积分练习册[第八章］ 多元函数微分学3.证明0lim 22)0,0(),(=+→y x xy y x4。
证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在班级： 姓名: 学号：5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0)处是否连续？为什么？微积分练习册[第八章] 多元函数微分学习题 8—2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题（1）设y x z tan ln =，则__________________,=∂∂=∂∂yz x z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂y z x z ； （3)设zy x u =,则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ；（4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x z yz x z (5）设z yx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x 2。
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8 (4)
5. 证明函数 u = ϕ(x − ct) +ψ (x + ct) 满足弦振动方程:
证 因为
c2
∂2u ∂x2
=
∂2u ∂t 2
.
6
∂u = ϕ′(x − ct) ⋅1 +ψ ′(x + ct) ⋅1 = ϕ′(x − ct) +ψ ′(x + ct) , ∂x
∂2u ∂x2
=
∂ ∂x
[ϕ ′( x
dt ∂x dt ∂y dt 1 − (x − y)2
1− (x − y)2
=
3
−
3t 2
= 3(1− t2 ) .
1− (3t − t3 )2 1− (3t − t3 )2 1− (3t − t3 )2
(3) du = ∂u + ∂u ⋅ dy + ∂u ⋅ dz = y + (x + z) ⋅ ex + y ⋅ cos x dx ∂x ∂y dx ∂z dx
(3) 将中间变量 xy2 , yz2 依次编号为1, 2 , 则
∂u ∂y
=
f1′
⋅
∂ ∂y
(
xy
2
)
+
f2′
⋅
∂ ∂y
(
yz
2
)
=
f1′ ⋅ 2xy +
f2′ ⋅ z2
= 2xyf1′+ z2 f2′ ,
∂ 2u ∂y 2
=
∂ ∂y
(2
xyf1′
+
z2 f2′)
=
∂ (2xy) ⋅ ∂y
f1′
+
+ 2y2
−
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
第6章 多元函数微分学4-8导学解答(6.1.6 方向导数6.1.7 梯度)
6.1 多元函数微分的基本概念6.1.6 方向导数 6.1.7 梯度一、相关问题1.一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ (问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．)2.假设你在攀登一座形状满足方程2210000.010.02z x y =--的山峰，且正处在坐标为（60，100，764）的位置。
（1）为了最快到达山顶，此时你应选择哪个方向进行？（2）如果沿上所确定的方向进行，初始的上升角度是多少？二、相关知识1.函数的方向导数有什么几何意义？2.函数的方向导数与函数的连续、可导、可微之间有什么关系？3.函数的梯度有何几何意义？4.函数的梯度与方向导数有什么区别和联系？三、练习题1.求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。
解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l.131691234||222==++=→l 1312cos ,133cos ,134cos ===γβα 1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以 ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 2.已知函数(,)f x y 在000(,)P x y 点的偏导数存在，且00(,)x f x y m '=，求(,)f x y 在0P点沿x 轴负方向的方向导数。
解 过0P 点沿x 轴负方向作射线L ，在0P 点的邻域内射线L 上取一点00(,)P x x y +∆，则000000(,)(,)l i m P P f x x y f x y PP →+∆-00000(,)(,)l i m x f x x y f x y x∆→+∆-=∆ 0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y m x∆→+∆-'==-=--∆ 所以(,)f x y 在0P 点沿x 轴负方向的方向导数为m -．3.问函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值．解 {}{}22,,,2,x y z gradu u u u y z xyz xy '''=={}2,4,1M gradu=-是方向导数在点P 取最大值的方向， {}2,4,1M gradu =-=4.问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。
《数学分析》第四章多元函数微分学
《数学分析》第四章多元函数微分学《数学分析》第四章多元函数微分学主要涉及多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。
多元函数微分学是微积分的一个重要分支，掌握了多元函数的微分学理论，将能够深入研究多元函数的性质、求解极值问题以及应用于物理、经济等领域。
第四章首先介绍了多元函数的导数。
多元函数的导数与一元函数类似，是函数在其中一点附近的变化率。
导数的定义也与一元函数的导数相似，但多元函数的导数是一个向量，称为梯度。
在多元函数中，梯度的方向是函数值增长最快的方向。
然后，第四章讨论了多元函数的偏导数。
偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数。
偏导数的计算方法与求一元函数导数的方法相似，只需将其他自变量视为常数。
多元函数的偏导数可以通过偏导数的存在性与连续性判断函数的可导性，并可应用于求函数在其中一点的切线方程、法向量等问题。
接着，第四章介绍了多元函数的全微分。
全微分是多元函数在其中一点附近的近似线性变化量，是多元函数的微分的推广。
全微分可以近似地表示函数在其中一点的微小变化。
全微分的计算方法与一元函数的微分类似，但需要考虑多个自变量的变化。
最后，第四章讨论了多元函数的极值。
多元函数的极值点与一元函数的极值点类似，是函数取得极大值或极小值的点。
通过求解多元函数的偏导数，可以得到函数的驻点。
通过求解偏导数的二阶导数，可以判断函数在驻点处的极值性，并应用于优化问题的求解。
在实际应用中，多元函数微分学可用于研究空间曲线的切线与法平面，解决最优化问题，研究约束条件下的极值问题等。
例如，在经济学中，多元函数微分学可用于分析生产函数的边际产出与边际成本，在物理学中，可用于研究位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
总之，多元函数微分学是微积分领域中的一个重要分支，它深入研究了多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。
掌握了多元函数微分学理论，将能够深入研究多元函数的性质、解决最优化问题，并应用于实际问题中。
多元函数的微分学
z
M
尔 滨
上式分母同除以 t,
T
工 程 大 学
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
x
t
t
t
M
o
y
微 当M M , 即t 0时 ,
积 分
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
分 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
分
法平面方程为
( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )( z z0 ) 0
－理学院工科数学教学中心－
2.曲线由一般方程给出的情形
哈 尔 滨
设空间曲线方程为L:
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
M(x0, y0, z0)为
T { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
n
T
M
－理学院工科数学教学中心－
F ( x(t ), y(t ), z(t )) 0 为什
么
哈 尔
将上式两端对 t 在M 0点求导有
滨 工
Fx ( x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )z(t0 ) 0