Ch8多元函数微分学 基础练习
多元函数微分学练习题及答案
三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
高数下课件 ch8习题课
=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0， 所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+
高数多元函数微分学
设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有 对 x
y 的 偏 导 数 ， z f (u,v,w ) 在 对 应 点 (u,v,w ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则
合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学 数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解 令 ux,vsixn ,zuv
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要 明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、 是 y的函.数
复合二阶偏导：
CH8多元函数微分学
z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
CH8多元函数微分学
(完整版)多元函数微分学测试题及答案
第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。
第八章 多元函数微分练习题
5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、 函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy
多元函数微分学练习题及解答
xy
1
ex cos y 8、 lim
x, y0,01 x y
[解]：函数 z ex cos y 在 0, 0点连续，故 lim ex cos y e0 cos 0 1 。
1 x y
x,y0,01 x y 1 0 0
教材 P63 页习题 9-1 第 6 大题求极限。
xy
9、讨论函数
x
f22
x y2
x2
f11
2x2 y2
f12
x2 y4
f22
2x y3
f
2
。
20、设
f
具有连续导数，
z
xy
xf
y x
，证明
x
z x
y
z y
xy
z
[证明]：
z x
y
f
y x
x
f
y x
y x2
y
f
y x
y x
f
y x
z y
x
x
f
y x
1 x
x
f
y x
x
z x
y
高等数学（B）—多元函数微分学复习题
1、 二元函数 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处的两个偏导数存在是 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处连
续的 ______ 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：无关条件，
2、 如果函数 z f x, y 的两个混合偏导数 2 z , 2 z 在区域 D 内
26、求 3x2 y2 z2 16 在 1, 2, 3处的切平面与 xoy 面夹角的余弦
y
5）
2z y 2
x sin x
第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题
第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。
2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。
3．11lim0-+→→xy xy y x = 。
二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。
（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。
（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。
三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。
1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
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（1） x 2 y 2 z 2 4z 0 ，求 z x ， z y ；
（2） z x y (z) ， 可导，求 z y / zx ．
5．求下列函数的二阶偏导数：
（1） z ye xy ；
（2） z 1 x y x 2 y 2 ；
7．（1）依题意，记 S 为所用材料的面积，则目标函数与约束条件依次为
S 2 r 2 2 rh 2 r(r h), r 2h V0
Lr 4 r 2 h 2 rh 0
记
L 2 r 2 2 rh ( r 2h V0 ) ， 令
（2）某企业的产出 z 与投入 x 及 y 的函数关系为 z 5x 2 y 3 ，在 x y 5 的条件下，
试确定投入量 x 及 y 的比例，使得企业的产出 z 达到最大，并求出最大产出． 参考解答
1．（1）对 x 、 y 无任何限制，因而 D 是 xoy 平面．
（ 2 ） 由 对 数 定 义 知 ， 定 义 域 D = {(x, y) 1 x y 0, x R, y R} ， 即 直 线
（2） z x 1 2x, z xx 2, z xy z yx 0 ，
z y 1 2 y, z yy 2 ．
（3） z x 2xy 3 , z xx 2 y 3 , z xy 6xy 2 ， z y 3x 2 y 2 , z yy 6x 2 y, z yx 6xy 2 ．
得 zx
1
1 y
(
z)
,
zy
(z) 1 y (z)
，故 z y
/ zx
(z)．
5．（1） z x y 2e xy , z y e xy xye xy (1 xy)e xy ， z xx y 3e xy , z yy xe xy (x x 2 y)e xy ， z xy 2 ye xy y 3e xy ye xy (2 y 2 ) ， z yx ye xy ( y xy 2 )e xy ye xy (2 y 2 ) ．
x dy (ln y)dx ． y
（3） z x 2xy 3 , z y 3x 2 y 2 ，故 dz 2xy 3dx 3x 2 y 2dy ．
（4） z x
1( y
x )x
2
1 xy
,
zy
x(
1 y
)y
1 2y
x
，
y
故 dz 1 dx 1 x dy ． 2 xy 2 y y
（4） zx ln(1 y),
z xx 0,
z xy
1， 1 y
zy
x, 1 y
z yy
(1
x y)2
,
z yx
1 1 y
．
6．（1）由 z x b, z y c ，故 dz bdx cdy ． （2） dz d (x ln y) xd (ln y) (ln y)dx
y ( y)2
1 x2
y x2 y2
；
x
x
zy
1 1 ( y)2
1 x
( y)y
x2
x
y2
．
x
3．（1） z x 2x ，故 z x (1, 1) 2 ，同理， z y (1, 1) 2 ．
（2）因为，故 z x (0,
0)
（3） z x 2 y 3 ；
6．求下列函数的全微分：
（1） z a bx cy ；
（4） z x ln(1 y) . （2） z x ln y ；
（3） z x 2 y 3 ；
（4） z x ． y
7．应用题：
（1）使用铁皮作一个圆柱形的密封桶，设容积为定数V0 ，试确定桶的高 h 和桶底的半 径 r ，以使所用材料最省？
1 x y 0 上方的点集．
（ 3 ） 由 1 x2 0 及 1 y2 0 ， 得 定 义 域 是 正 方 形 区 域 ：
{(x, y) 1 x 1, 1 y 1, x R, y R} ．
（4）由 | x | | y | 1 ，得定义域是由 x y 1 及 x y 1这四条直线围成的
3．求下列函数在指定点的偏导数：
（1） z x 2 y 2 ，求 z x (1, 1) ；
（4） z arcsin( | x | | y | ) ．
（2） z xe xy ； （4） z arctan y ．
x
（2） z sin x ln( y 1) cos y ln(1 x) ，求 zx (0, 0) 及 z y (0, 0) ．
Ch8 多元函数微分学 基础练习
1．求下列函数的定义域：
（1） z 1 x y ；
（2） z ln(1 x y) ；
（3） z 1 x 2 1 y 2 ；
2．求下列函数的偏导数：
（1） z x3 y 2 ；
（3） z ln(x 2 y 4 1) ；
正方形区域．
2．（1） z x 3x 2 y 2 , z y 2x3 y ．
（2） z x e xy xye xy , z y x 2e xy ．
（3） z x
1
2x x2
y4
,
zy
1
4y3 x2
y4
．
（4） z x
1
1 ( y)2
y
(
1 x
)x
1
Lh
2 r
r2
0
，解得
L r 2h V0 0
dz ( x, dx
0)
x0
1 1 x
x0
1；又由于
z(0, y) 0 ，故 z y (0, 0) 0 ．
4．（1）方程两边对 x 求偏导，得 2x 2zz x 4z x 0 ，解得
zx
x 2
z
．同理，
zy
y 2
z
．
（2）方程两边分别对 x 及 y 求导，得 z x 1 y (z)z x , z y (z) y (z)z y ，解