Ch8多元函数微分学 基础练习
（1） x 2 y 2 z 2 4z 0 ，求 z x ， z y ；
（2） z x y (z) ， 可导，求 z y / zx ．
5．求下列函数的二阶偏导数：
（1） z ye xy ；
（2） z 1 x y x 2 y 2 ；
7．（1）依题意，记 S 为所用材料的面积，则目标函数与约束条件依次为
S 2 r 2 2 rh 2 r(r h), r 2h V0
Lr 4 r 2 h 2 rh 0
记
L 2 r 2 2 rh ( r 2h V0 ) ， 令
（2）某企业的产出 z 与投入 x 及 y 的函数关系为 z 5x 2 y 3 ，在 x y 5 的条件下，
试确定投入量 x 及 y 的比例，使得企业的产出 z 达到最大，并求出最大产出． 参考解答
1．（1）对 x 、 y 无任何限制，因而 D 是 xoy 平面．
（ 2 ） 由 对 数 定 义 知 ， 定 义 域 D = {(x, y) 1 x y 0, x R, y R} ， 即 直 线
（2） z x 1 2x, z xx 2, z xy z yx 0 ，
z y 1 2 y, z yy 2 ．
（3） z x 2xy 3 , z xx 2 y 3 , z xy 6xy 2 ， z y 3x 2 y 2 , z yy 6x 2 y, z yx 6xy 2 ．
得 zx
1
1 y
(
z)
,
zy
(z) 1 y (z)
，故 z y
/ zx
(z)．
5．（1） z x y 2e xy , z y e xy xye xy (1 xy)e xy ， z xx y 3e xy , z yy xe xy (x x 2 y)e xy ， z xy 2 ye xy y 3e xy ye xy (2 y 2 ) ， z yx ye xy ( y xy 2 )e xy ye xy (2 y 2 ) ．
x dy (ln y)dx ． y
（3） z x 2xy 3 , z y 3x 2 y 2 ，故 dz 2xy 3dx 3x 2 y 2dy ．
（4） z x
1( y
x )x
2
1 xy
,
zy
x(
1 y
)y
1 2y
x
，
y
故 dz 1 dx 1 x dy ． 2 xy 2 y y
（4） zx ln(1 y),
z xx 0,
z xy
1， 1 y
zy
x, 1 y
z yy
(1
x y)2
,
z yx
1 1 y
．
6．（1）由 z x b, z y c ，故 dz bdx cdy ． （2） dz d (x ln y) xd (ln y) (ln y)dx
y ( y)2
1 x2
y x2 y2
；
x
x
zy
1 1 ( y)2
1 x
( y)y
x2
x
y2
．
x
3．（1） z x 2x ，故 z x (1, 1) 2 ，同理， z y (1, 1) 2 ．
（2）因为，故 z x (0,
0)
（3） z x 2 y 3 ；
6．求下列函数的全微分：
（1） z a bx cy ；
（4） z x ln(1 y) . （2） z x ln y ；
（3） z x 2 y 3 ；
（4） z x ． y
7．应用题：
（1）使用铁皮作一个圆柱形的密封桶，设容积为定数V0 ，试确定桶的高 h 和桶底的半 径 r ，以使所用材料最省？
1 x y 0 上方的点集．
（ 3 ） 由 1 x2 0 及 1 y2 0 ， 得 定 义 域 是 正 方 形 区 域 ：
{(x, y) 1 x 1, 1 y 1, x R, y R} ．
（4）由 | x | | y | 1 ，得定义域是由 x y 1 及 x y 1这四条直线围成的
3．求下列函数在指定点的偏导数：
（1） z x 2 y 2 ，求 z x (1, 1) ；
（4） z arcsin( | x | | y | ) ．
（2） z xe xy ； （4） z arctan y ．
x
（2） z sin x ln( y 1) cos y ln(1 x) ，求 zx (0, 0) 及 z y (0, 0) ．
Ch8 多元函数微分学 基础练习
1．求下列函数的定义域：
（1） z 1 x y ；
（2） z ln(1 x y) ；
（3） z 1 x 2 1 y 2 ；
2．求下列函数的偏导数：
（1） z x3 y 2 ；
（3） z ln(x 2 y 4 1) ；
正方形区域．
2．（1） z x 3x 2 y 2 , z y 2x3 y ．
（2） z x e xy xye xy , z y x 2e xy ．
（3） z x
1
2x x2
y4
,
zy
1
4y3 x2
y4
．
（4） z x
1
1 ( y)2
y
(
1 x
)x
1
Lh
2 r
r2
0
，解得
L r 2h V0 0
dz ( x, dx
0)
x0
1 1 x
x0
1；又由于
z(0, y) 0 ，故 z y (0, 0) 0 ．
4．（1）方程两边对 x 求偏导，得 2x 2zz x 4z x 0 ，解得
zx
x 2
z
．同理，
zy
y 2
z
．
（2）方程两边分别对 x 及 y 求导，得 z x 1 y (z)z x , z y (z) y (z)z y ，解
多元函数微分学练习题及答案
三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ， 也是所 求函数的最大值点， 所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
高数下课件 ch8习题课
=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0， 所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+
高数多元函数微分学
设 u ( x , y ) 、v ( x , y ) 、w w ( x , y ) 都 在 点 ( x , y ) 具 有 对 x
y 的 偏 导 数 ， z f (u,v,w ) 在 对 应 点 (u,v,w ) 具 有 连 续 偏 导 数 ， 则
合 函 数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
z 2eu2v
v
z
dv e x
dx
u
x
v
d dx z u zd du x vzd dx veu2v(cox s2ex)
es ixn2ex(co xs2ex)
例2 求 d xsinx ( x 0) dx
这CH是8多幂元指函数函微分学 数的求导
可利用对数求导,可不可以用链式法则?
解 令 ux,vsixn ,zuv
z x
z u
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
仍为u、v的二元函数
观点要 明确！
即:
z u
fu
f1
u v
vzfv f2
u v
从而也x、 是 y的函.数
复合二阶偏导：
CH8多元函数微分学
z z u z v
x u x v x
f1
u x
f
2
v x
2z x 2
z x x
x
个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
链式法则如图示
CH8多元函数微分学
(完整版)多元函数微分学测试题及答案
第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。
第八章 多元函数微分练习题
5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、 函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy
多元函数微分学练习题及解答
xy
1
ex cos y 8、 lim
x, y0,01 x y
[解]：函数 z ex cos y 在 0, 0点连续，故 lim ex cos y e0 cos 0 1 。
1 x y
x,y0,01 x y 1 0 0
教材 P63 页习题 9-1 第 6 大题求极限。
xy
9、讨论函数
x
f22
x y2
x2
f11
2x2 y2
f12
x2 y4
f22
2x y3
f
2
。
20、设
f
具有连续导数，
z
xy
xf
y x
，证明
x
z x
y
z y
xy
z
[证明]：
z x
y
f
y x
x
f
y x
y x2
y
f
y x
y x
f
y x
z y
x
x
f
y x
1 x
x
f
y x
x
z x
y
高等数学（B）—多元函数微分学复习题
1、 二元函数 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处的两个偏导数存在是 z f x, y在点 P0 x0 , y0 处连
续的 ______ 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：无关条件，
2、 如果函数 z f x, y 的两个混合偏导数 2 z , 2 z 在区域 D 内
26、求 3x2 y2 z2 16 在 1, 2, 3处的切平面与 xoy 面夹角的余弦
y
5）
2z y 2
x sin x
第八章 多元函数的微分法及其应用 练习题
第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。
2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。
3．11lim0-+→→xy xy y x = 。
二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。
（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。
（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。
三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。
1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。
1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
多元函数微分法及其应用习题
多元函数微分法及其应用习题一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元连续函数的性质多元函数连续的概念全微分概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则高阶偏导数偏导数概念全微分形式的不变性隐函数求导法则多元函数的极值微分法在几何上的应用1、区域（1）邻域（2）区域连通的开集称为区域或开区域．（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性6、多元连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．7、偏导数概念８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９、全微分概念函数连续函数可导函数可微偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.以上公式中的导数称为全导数.11、复合函数求导法则无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.12、全微分形式不变性13、隐函数的求导法则隐函数的求导公式14、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面切线方程为法平面方程为(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为15、方向导数记为三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度与方向导数的关系16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点极值点注意条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题例1解例2解例3解于是可得,例4解例5解例6解分析:得测验题测验题答案设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.设为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）.当时，元函数统称为多元函数.定义设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称为函数当，时的极限，记为（或这里）.定义设元函数的定义域为点集是其聚点且，如果则称元函数在点处连续.设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为同理可定义函数在点处对的偏导数，为记为，，或.，，或.如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，记作，，或.同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.函数的二阶偏导数为如果函数在点的全增量可以表示为，其中A,B不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即=.定理如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：．如果及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算..隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有，.隐函数存在定理3设、在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）在点不等于零，则方程组、在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，，它们满足条件,，并有定理如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有，其中为轴到方向L的转角．（其中）定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为.设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；（3）时可能有极值.又,，令第二步对于每一个驻点，求函数极值的一般步骤：第三步定出的符号，再判定是否是极值. 求出实数解，得驻点.第一步解方程组求出二阶偏导数的值.拉格朗日乘数法要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由解出，其中就是可能的极值点的坐标. 选择题:二元函数的定义（A）；（B）；（C）；（D）.2、设,则().（A）；（B）；（C）；（D）.3、().(A)0；(B)1；(C)2；(D).4、函数在点处连续,且两个偏导数存在是在该点可微的().（A）充分条件,但不是必要条件；（B）必要条件,但不是充分条件；（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件,也不是必要条件.5、设则在原点处().(A)偏导数不存在；(B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D)可微.6、设其中具有二阶连续偏导数.则().(A)；(B)；(C)；(D).7、曲面的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=(). (A)；(B)；(C)；(D).8、二元函数的极值点是().(A)(1,2)；(B)(1.-2)；(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).9、函数满足的条件极值是().(A)1；(B)0；(C)；(D).10、设函数在点的某邻域内可微分,则在点处有().二、讨论函数的连续性，并指出间断点类型.三、求下列函数的一阶偏导数:1、；2、；3、.四、设,而是由方程所确的函数,求.五、设,其中具有连续的二阶偏导数,求.设,试求和.设轴正向到方向的转角为求函数在点(1,1)沿方向的方向导数,并分别确定转角使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零.求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.九、在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积.一、1、A；2、B；3、B；4、B；5、D；6、C；7、A；8、A；9、D；10、B.二、(1)当时,在点函数连续；(2)当时,而不是原点时,则为可去间断点,为无穷间断点.三、1、,；2、.3、.四、.五、.六、七、八、九、切点.。
多元函数微分学习题及详细解答
C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)