江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：突破练2
突破练(二)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝(cos C，cos A)．(1)若m∥n，c＝3a，求角A；(2)若m·n＝3b sin B，cos A＝45，求cos C的值．解(1)∵m∥n，∴a cos A＝c cos C.由正弦定理得sin A cos A＝sin C cos C，化简得sin 2A＝sin 2C.∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，∴A＋C＝π2，∴B＝π2，在Rt△ABC中，tan A＝ac＝33，A＝π6.(2)∵m·n＝3b cos B，∴a cos C＋c cos A＝3b sin B. 由正弦定理得sin A cos C＋sin C cos A＝3sin2B，从而sin(A＋C)＝3sin2B.∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sin B，从而sin B＝1 3，∵cos A＝45>0，A∈(0，π)，∴A∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A＝35.∵sin A>sin B，∴a>b，从而A>B，B为锐角，cos B＝22 3.∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－45×223＋35×13＝3－8215.2．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明 (1)连接AC 1并交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1. 又因为F 为AC 的中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1， 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE .又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC . (2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ， F 为AC 的中点，所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE 得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△P A1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(－6，0)，A2(6，0)，椭圆C1的离心率e＝2 2.设椭圆C2的方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，则b＝ 6.因为ba＝1－e2＝22，所以a＝2 3.所以椭圆C2的方程为y212＋x26＝1.(2)证明设P(x0，y0)，y0≠0，则y2012＋x206＝1，从而y2＝12－2x20.将x＝x0代入x26＋y23＝1得x206＋y23＝1，从而y2＝3－x202＝y204，即y＝±y02.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝y02，即H(x0，y02)．所以kA1P·kA2H＝y0x0－6·12y0x0＋6＝y202(x20－6)＝12－2x202(x20－6)＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△P A1A2的垂心．4．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC ＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求S 1S 2的最小值．解 (1)S 1＝12a sin θ·a cos θ＝14a 2sin 2θ，设正方形边长为x ，则BQ ＝xtan θ，RC ＝x tan θ， ∴xtan θ＋x tan θ＋x ＝a ，∴x ＝a 1tan θ＋tan θ＋1＝a sin 2θ2＋sin 2θ，S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin 2θ2＋sin 2θ2＝a 2sin 22θ4＋sin 22θ＋4sin 2θ，(2)当a 固定，θ变化时，S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin 2θ＋sin 2θ＋4，令sin 2θ＝t ，则S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋t ＋4(0＜t ≤1)，利用单调性求得t ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2min ＝94.5．已知函数f (x )＝a ln x －1x (a 为常数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ≥1时，f (x )≤2x －3恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2.又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直， 所以f ′(1)＝a ＋1＝2，即a ＝1. (2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜－1a ， 所以f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ；由f ′(x )＜0，得x ＞－1a ，所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(3)设g (x )＝a ln x －1x －2x ＋3，x ∈[1，＋∞)， 则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2.令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0， 当a ≤1时，h (x )＝－2x 2＋ax ＋1的对称轴x ＝a4＜1，h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (1)＝a －1≤0， 所以g ′(x )≤0，g (x )在[1，＋∞)上是减函数， 所以g (x )≤g (1)＝0，即f (x )≤2x 2－3恒成立． 当a ＞1时，令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1＝0，得x 1＝a ＋a 2＋84＞1，x 2＝a －a 2＋84＜0，当x ∈[1，x 1)时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， g (x )在[1，x 1)上是增函数；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0， g (x )在(x 1，＋∞)上是减函数．所以0＝g (1)＜g (x 1)，即f (x 1)＞2x 1－3，不满足题意．综上，a 的取值范围为a ≤1.6．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有S n 3＝(S n )3成立，求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a 1，a 2的值； (ⅱ)求数列{a n }的通项公式．解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为S 3n ＝(S n )3对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎨⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0. 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2.当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，S n 3＝(S n )3成立； 当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以S n 3＝(S n )3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1. (2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}， 故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数．所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1.又S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·3n －1－12＝3n －1. 而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.。
江苏省2015届高三理科数学二轮专题整合52份
专题一 函数与导数、不等式 ....................................................................................................... 2 专题二 三角函数与平面向量 ....................................................................................................... 26 专题三 数 列................................................................................................................................. 42 专题四 立体几何........................................................................................................................... 53 专题五 解析几何........................................................................................................................... 59 专题六 概率与统计....................................................................................................................... 79 专题七 附加题（选作部分） ....................................................................................................... 83 专题八 数学思想方法................................................................................................................. 109 补偿练 1 集合与简易逻辑 ........................................................................................................ 125 补偿练 2 函数与导数(一) ......................................................................................................... 128 补偿练 3 函数与导数(二) ......................................................................................................... 132 补偿练 4 不等式................................................................................. 135 补偿练 5 三角函数与三角变换 ................................................................................................ 140 补偿练 6 平面向量与解三角形 ................................................................................................ 145 补偿练 7 数 列........................................................................................................................ 150 补偿练 8 立体几何.................................................................................................................... 153 补偿练 9 解析几何.................................................................................................................... 157 补偿练 10 统计与概率.............................................................................................................. 161 补偿练 11 复数、程序框图 ...................................................................................................... 165 规范练(一) 三角问题 ................................................................................................................ 171 规范练(二) 立体几何问题 ........................................................................................................ 174 规范练(三) 解析几何问题 ........................................................................................................ 178 规范练(四) 实际应用问题 ........................................................................................................ 181 规范练(五) 数列问题 ................................................................................................................ 185 规范练(六) 函数与导数问题 .................................................................................................... 189 突破练(一) .................................................................................................................................... 193 突破练(二) .................................................................................................................................... 200 突破练(三) .................................................................................................................................... 206
2015届高考理科数学二轮复习：提能专训2 数形结合思想Word版含解析
提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2014·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2014·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22. 3．(2014·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2014·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案] B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2014·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M 经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2014·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( )A.613B.365C.65D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“优美图象”．下列函数的图象为“优美图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，因为y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，因为x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排除C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，根据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2014·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2si n πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.10．(2014·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B[解析] 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2014·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，显然在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，因为函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2014·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观察得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2014·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________． [答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.∵CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2014·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P .(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x 2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1. 又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2014·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a∈R .(1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0，∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0，∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32，x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增；x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减；∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln x x 2有唯一正实数根，令φ(x )＝－x －ln x x 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2x x 4＝x －1＋2ln x x 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增．即φ(x)≥φ(1)＝－1，又当x→0时，φ(x)→＋∞，而当x→＋∞时，φ(x)→0且φ(x)<0，故满足条件的实数a的取值范围为：{a|a≥0或a＝－1}．。
2015届高考数学(理)二轮复习过关测试：专题3 突破高考数学解答题——数列word版含答案
专题三 突破高考解答题——数列(时间：45分钟 分值：60分)解答题(本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．(12分)[2013·长春四调] 数列{a n }满足a n －2a n －1＝n ·2n (n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1a n，当数列{b n ＋λn }为递增数列时，求正实数λ的取值范围．2．(12分)[2013·洛阳统考] 已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q ＞1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N ﹡)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .3．(12分)[2013·浙江金丽衢十二校一联] 已知等差数列{a n }满足a 3＝10，a 5－2a 2＝6.(1)求a n ；(2)数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1（n 为奇数），12a n －1（n 为偶数），T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .4．(12分)[2013·海口二模] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a n ＝S n ＋2n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列{a n ＋2}是等比数列；(3)求数列{na n }的前n 项和T n .5．(12分)[2013·佛山质检] 数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n a n，求数列{c n }的前n 项和T n .专题三 突破高考解答题——数列1．(1)a n ＝(n 2＋n )·2n －1 (2)(2，＋∞)2．(1)a n ＝3n (2)b n ＝2n －1－3n －1，S n ＝－12(3n －1)＋n 2 3．(1)a n ＝4n －2 (2)T 2n ＝4n －13＋2n 2－n 4．(1)a 1＝3，a 2＝8，a 3＝18 (2)略 (3)T n ＝(5n －5)·2n －n 2－n ＋55．(1)a n ＝2n ，b n ＝3n －1 (2)T n ＝5－3n ＋52n。
江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练(50个全部附答案)
江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（1）班级 学号 姓名1．设集合{}{}2223050A x x x B x x x =--=-≤，≥，则()A B =R______．2．在平面直角坐标系中，已知向量AB = (2，1)，向量AC = (3，5)，则向量BC 的坐标为 ． 3．在中,已知, 则 ．4．已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为 ． 5．在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为 ．6．函数的单调减区间为 ．7．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 ．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ． 9． 已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<． ()y f x =的部分图象，如图所示，P 、Q 分别为该图象相邻的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ，点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，则tan APQ ∠= ． 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5．设c n ＝⎩⎨⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 8＞c n (n ∈N*，n ≠8)，则实数p 的取值范围是 ．ABC ∆sin :sin :sin 2:3:4A B C =cos C =2()(1)xf x x x e =++()x R ∈开始 结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第4题）xy P R QAO11．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好，设AB =x 米． （1）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （2）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．（1）若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０；（2）若C =0，{}n a 是首项为1的等差数列，设20142211111i i i P a a =+=++∑，求不超过P 的最大整数的值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（2）班级 学号 姓名1．已知a ，b 是实数，且b 2+（4+i ）b +4+a i=0（其中i 是虚数单位），则|a +b i|的值是 ．2．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ．ABCD（第11题）P3．如果双曲线的两个焦点分别为F 1（0，3）和F 2（0，3），其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为 ．4．底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2． 5．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ． 6．若关于x 的不等式组2220,2(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解集的集合为{－2}，则实数k 的取值范围为 ．7．在平面直角坐标系中，不等式00x y x y x a+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数）表示的平面区域的面积为8，则23x y x +++的最小值为 ．8．如图所示，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)f x x x x=+>的图 像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ．9．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在C （0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（23π ,1）时，则OP OC⋅为 ． 11．如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF CE .求证：⑴平面BCEF ⊥平面ACE ；⑵直线DF 平面ACE ．AB C DOEF（第11题图）P O xy1 1C12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 26＋y 22＝1．（1）若P 是椭圆C 上的动点， M 点的坐标为(1，0)，求PM 的最小值及对应的点P 的坐标；（2）过椭圆C 的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l交x 轴于点N ，证明：ABFN 是定值，并求出这个定值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（3）班级 学号 姓名1．已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实 数x = ．2．如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果 是 ．3．过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满 足3a b =的直线方程为 ．4．若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ．5．已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ．6．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ． 7．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ．8．已知抛物线22(y px p =＞0)与双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 .9．在平面直角坐标系xOy 中，60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ． 10．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第7个数应是 .11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知函数()sin(2)6f x x π=- 满足：对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2）若a BC 边上的中线AM 长的取值范围．12．已知函数()ln f x x x a x =--．（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值； （2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．136547891015141312112江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（4）班级 学号 姓名1．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z -，若2z +z -= 3 + 4i ，则z = ．2．已知集合，集合，若命题“”是命 题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．3．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为2222212341(16)4s x x x x =+++-，则数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数为 ．4．在边长为6的等边△ABC 中，点M 满足，则等于 ．5．将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍（纵坐标保持不变），得函数()y f x =的图象，则()f x 的一个解析式为 ． 6．直线x +a 2y +1=0与直线(a 2+1)x - by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值是 .7．四面体的四个面的面积分别为、、、，记其中最大的面积为，则的取值范围是_ ．8．平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ．9．已知函数2()ln f x a x x =-，若对区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．函数f （x ）=sin 2x +23cos 2x ﹣3，函数g （x ）= mcos （2x ﹣6π）﹣2m +3（m ＞0），若存在x 1，x 2[0,]4π∈，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数m 的取值范围是 ．11．如图，在四棱锥S —ABCD 中，侧棱SA =SB =SC =SD ，底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于O 点． （1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若E 为BC 中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，并保持PE ⊥AC ，试指出动点P 的轨迹，{|5}A x x =>{|}B x x a =>x A ∈x B ∈a 2BM MA =CM CB ⋅1S 2S 3S 4S S SSi i341∑=xOy C )0,0(12222>>=+b a by a x F l B BF 1d F l 2d 126d d =C SCBAD O E并证明你的结论．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)26,2(． （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M 设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（5）班级 学号 姓名1．若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ．2．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍， 则实数m = ．3．如图所示程序框图，输出结果是 ．4．已知实数1,,2a b 成等差数列，且0ab >， 则1ab -的取值范围为 ．5．将一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色 的概率是 ．6．设向量，若，则等于 ．7．己知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y =a 1x 与圆 （x ﹣2）2+y 2=1的两个交点关于直线x +y +d =0对称，则S n = .8．已知中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若的面积为S ，且等于 ．9．过点(1 0)P -，作曲线C ：e x y =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个切 点1n T +．则点1n T +的坐标为 ．10．如图放置的正方形ABCD ，AB =1，A ，D 分别在x 轴、y 轴 的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是 ．11．如图，在六面体中，，，.求证：（1）； （2）.12．对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”．ABC ∆ABC ∆()222,tan S a b c C =+-则1111ABCD A B C D -11//AA CC 11A B A D =AB AD =1AA BD ⊥11//BB DD ABCD D 1C 1B 1A 1M江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（6）班级 学号 姓名1．设集合}2,1{=A ，则满足}3,2,1{=B A 的集合B 共有 个．2．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 3．已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ．4．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ． 5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若在正方体内（包括边界）任取一点M ，则四棱锥M －ABCD 的体积不小于81的概率是 ． 6．如右流程图所给的程序运行的结果为S =132，那么判断框 中应填入的关于k 的判断条件是 ．（图中“=”表示赋值） 7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且5,a =3,sin 2sin b C A ==，则sin A = ．8．若以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．9．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应的函数与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出了四个函数与对应的变换： (1) f (x )=(x -1)2, T 1将函数f (x )的图像关于y 轴对称； (2) f (x )=2x -1-1，T 2将函数f (x )的图像关于x 轴对称；(3) f (x )=1+x x，T 3将函数f (x )的图像关于点(-1,1)对称； (4) f (x )=sin(x +3π)，T 4将函数f (x )的图像关于点(-1,0)对称．其中T 是f (x )的同值变换的有_______．(写出所有符合题意的序号)10．定义域为的函数的图象的两个端点为A ,B , M (,)x y 是()f x 图象上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数[],a b ()y f x =()()()1,1x a b R ON OA OB λλλλλ=+-∈=+-向量MN k ≤上“k 阶线性近似”，若函数上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为_______．11．某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为 ),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为．(1)试分别求出函数、的表达式；(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?12．已知(2,0),(2,0),A B C D -点、依次满足12,()2AC AD AB AC ==+．（1）求点D 的轨迹；（2） 过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（7）班级 学号 姓名1． 设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i = ．()[],f x a b 在[]112y x x=+在，ABCD AB BC CD BC 2t 312t ≤≤AOD 1C cos 1y x =-O BC 1()h t 2C 98OBC 2()h t 1()h t 2()h t O BCA DCBO xy2．一个样本有五个数组成，且这五个数按a ，99，b ，101，c 的顺序组成等差数列，则这个样本的标准差为 ．3．已知点A 、B 、C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则AB BC BC CA ⋅+⋅+CA AB ⋅的值是 ．4．关于x 的不等式0)1)(2(<--ax a x 的解为ax 1>或a x 2<，则实数a 的取值范围为 ． 5．如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①∥平面；②与平面相交； ③AD ⊥平面；④平面⊥平面． 其中正确结论的序号是 ．6．已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 .7．已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，则的取值范围是______．8．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上，若在圆C 上存在一点Q ，使得60OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为 .9．已知等差数列的首项为，公差为，若 对恒成立，则实数的取值范围是 ．10．如图，椭圆的左、右焦点为，上顶点为A ，离心率为，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若，则直线的斜率为________．11．如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．1111ABCD A B C D -1D C 11A ABB 11A D 1BCD 1D DB 1BCD 11A ABB 2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩21212,,x x R x x ∃∈≠12()()f x f x =a O ABCD M N BC CD 1MN ≤OM ON ⋅{}n a 1212233445a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅2221n n a a t n +-≥⋅*n N ∈t 22221(0)x y a b a b+=>>12,F F 12112:2:1PF A PF F S S ∆∆=1PF ABCD D 1A 1B 1C 1O Ay xF 1F 2PABCDA 1B 1C 1D 112．设函数*∈-++-+-=N n nx x x x x f nn n ,)1(321)(32 ． （1）试确定)(3x f 和)(4x f 的单调区间及相应区间上的单调性;（2）说明方程0)(4=x f 是否有解,并且对任意正偶数n ,给出关于x 的方程0)(=x f n 的解的一个一般结论,并加以证明．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（8）班级 学号 姓名1．直线(1)2x m y m ++=-与28mx y +=-垂直的充要条件是m = ． 2．如果复数2()3bib i-∈+R 的实部与虚部互为相反数，则b = ． 3．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况， 随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介 于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成 五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……; 第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布 直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组 的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8， 则调查中随机抽取了 个学生的百米成绩．4．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，S 为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．5．由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ． 6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，bx x x f +=2)())1(,1(f A l 023=+-y xxy B B´ A A´OD D´ (第10题图)若数列的前项和为，则的值为 ． 7．设双曲线的中心O 关于其右焦点的对称点为G ，以G 为圆心作一个与双曲线的渐近线相切的圆，则双曲线的右准线与圆G 的位置关系是 ．8．在△ABC 中，已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +，若,,a b c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则2abc 的最大值为 ． 9．已知向量(cos ,sin )OA λαλα=，(sin ,cos )OB ββ=-，其中O 为坐标原点，若||2||BA OB ≥对任意实数α、β都成立，则实数λ的取值范围是 ．10．如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ．11．请你设计一个纸盒．如图所示，ABCDEF 是边长为30cm 的正六边形硬纸片，切去阴影部分所示的六个全等的四边形，再沿虚线折起，正好形成一个无盖的正六棱柱 形状的纸盒．G 、H 分别在AB 、AF 上，是被切去的一个四边形的两个顶点，设 AG =AH =x (cm)．（1）若要求纸盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？（2）若要求纸盒的的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求此时纸盒的高与底面边长的比．12．已知数列的前项和为．（1）若数列是等比数列，满足，是，的等差中项，求数列的通项公式； （2）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．})(1{n f n n S 2013S A BCDEFGH江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（9）班级 学号 姓名1．函数(1)()coscos22x x f x -=的最小正周期为 ． 2． 已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，则数据1a ，2a ，3a ， 4a ，5a 的方差为 ．3．根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ． 4．已知三个数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 .5．已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ． 6．若5sin(),413x π-=且0,4x π<<则cos 2cos()4x x π+= ．7．如图，将一边长为4的正方形纸片按照图中的虚线所示的 方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .8．直线l 与函数sin ([0,])y x x π=∈的图象相切于点A ，切//l OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 于x 轴交于B 点，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC ⋅= ． 9．在平面直角坐标系xOy 中，设点11P x y ，、22Q x y ，，定义：()d P Q ，12x x 12y y ． 已知点10B ，，点M 为直线220x y 上的动点，则使()d B M ，取 最小值时点M 的坐标是 ． 10．设x ，y 是正实数，且x +y =1，则2221x y x y +++的最小值是 ．组号 分组频数 频率 第一组[)230,23580.16图1第7题 0102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←(第3题)11．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．数列{}n b 中，11b =，它的第n 项n b 是数列{}n a 的第1n b -项(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）若对任意的*n ∈N ，不等式2123111111111n m m b b b b +++⋅⋅⋅+<-+++++恒成立，试求m 的取值范围．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练（10）班级 学号 姓名1．若复数(a +i )(1－2i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a = ． 2．已知a 为第二象限角，且4sin 5α=，则tan α= ． 3则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．4．已知数列{n a }满足1a =1，且对任意的正整数m 、n ，都有2012m n m n a a a +=++，则a 2014 - a 2013= ．5．已知实数x ,y 满足不等式组若目标函数取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为 ． 6．用计算机随机产生的有序二元数组(x ，y )满足11,22,x y -<<⎧⎨-<<⎩对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算22x y +的值，记“(x ，y )满足221x y +<”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ．7．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ====，则函数()2()f x yg x +=的图象在x =5处的切线方程为 ．8．已知集合22{|230},{|0}A x x x B x ax bx c =-->=++≤，,,a b c R ∈，且0ac ≠，若(3,4]A B =，A B R =，则22b aa c+的最小值为 ． 9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线P A 、PB 斜倾角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+= ．10．将函数（）的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为 .11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若32AB BC ⋅=-，且b =a +c 的值； （2）求2sin sin A C -的取值范围．12．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点P 到两个焦点的距离的和为6，焦距为,A B 分别是椭圆的左右顶点． （1）求椭圆的标准方程；3322-++-=x x y []2,0∈x θθθ（2）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值；（3）设(,)(0)C x y x a <<为椭圆上一动点，D 为C 关于y 轴的对称点，四边形ABCD 的面积为()S x ，设2()()3S x f x x =+，求函数()f x 的最大值．江苏南通2015高考数学二轮冲刺小练参考答案（1）1．(]03，； 2．（1，4）； 3．； 4．38； 5．3 6．(或闭区间)； 7．13 ； 8．2212016x y +=； 9．10．(12，17)．11．解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<．设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x-=-+⇒=-，12x <<．记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x =--23()2x x=-+≤-当且仅当x =∈(1，2)时，S 1米，宽为2（2）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．于是，3222142(2)02x S x x x x -+'=--==⇒=． 关于x 的函数2S在上递增，在上递减．所以当x =时，2S 取得最大值．米，宽为212．解⑴因为{n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n dna n n d An Bn C +-++-=++，即2111()()()022d d A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． ⑵因为{}n a 是首项为1的等差数列，由⑴知，公差1d=，所以n a n =．(1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++， 所以111111111(1)(1)(1)(1)2015122334201420152015P =+-++-++-+++-=-， 所以，不超过P 的最大整数为2014．（2）1．22；2．；3．23；4．33；5．1126．[3,2)-；7．642-；8．216； 9．6π； 10．32． 11．解：⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ． ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径，所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ， 所以BD 平面ACE ．因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ，因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ，所以平面BDF 平面ACE ，14-(2,1)--因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．12．解：（1）设点P 坐标为（x ，y ），则x 26＋y 22＝1．因为点M 的坐标为（1，0），所以PM 2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋2－x 23＝2x 23－2x ＋3＝23(x －32)2＋32，x ∈[－6，6]．所以当x ＝32时，PM 的最小值为62，此时对应的点P 坐标为（32，±52）．（2）由a 2＝6，b 2＝2，得c 2＝4，即c ＝2，从而椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2，0)，右准线方程为x ＝3，离心率e ＝63． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点H （x 0，y 0），则x 126＋y 122＝1，x 226＋y 222＝1，所以x 12－x 226＋y 12－y 222＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 03y 0． 令k ＝k AB ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，则x N ＝ky 0＋x 0＝23x 0．因为F (2，0)，所以FN ＝|x N －2|＝23|x 0－3|．因为AB ＝AF ＋BF ＝e (3－x 1)＋e (3－x 2)＝2 63|x 0－3|．故AB FN ＝263×32＝6．即ABFN为定值6．（3）1．0；2．3；3．310x y ++=或12y x =-；4．6π； 5．815； 6．12n -；7．2；81； 9．3π 10．2014． 11．解（1）由题意，△对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， △()sin(2)6f x x π=-的最大值为()f A ，当()f x 取得最大值时，22,62x k k πππ-=+∈Z ，即,3x k k ππ=+∈Z ，△,3A k k ππ=+∈Z ，又△A 是三角形的内角，即0A π<<，△3A π=．（2）△AM 是BC 边上的中线，△在△ABM 中，2232cos 4AM AM AMB c +-∠=， △在△ACM 中，2232cos 4AM AM AMC b +-∠=， △ 又△AMB AMC π∠=-∠，△cos cos AMB AMC ∠=-∠，△＋△得 222324b c AM +=-．由余弦定理222222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-=，△2222032b c b c bc +<+-=≤，△2236b c <+≤，△23944AM <≤32AM <≤．12．解（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>，所以()f x 在[1,]e 上单调增,2max ()()1f x f e e e ∴==--.（2）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； （ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立．令ln ()xh x x x=-，则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >．因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()x g x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-， 则1()20e x x x'=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞．（4）1．1 + 4i ；2．；3．2； 4．24； 5．()π2sin 3y x =-；6．2； 7．(]；8．； 9．[10,)+∞；10．[，2]．11．证 （1）∵底面ABCD 是菱形，O 为中心．∴AC ⊥BD ，又∵SA =SC ，∴AC ⊥SO ，而SO BD =O ，∴AC ⊥面SBD ．（2）取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ，则动点P 的轨迹即是线段MN ．证明如下：连结EM 、EN ，∵E 是BC 中点，M 是SC 中点，∴EM //SB ，同理EN //BD ． 又∵AC ⊥平面SBD ∴AC ⊥SB ，∴AC ⊥EM ，同理AC ⊥EN ，又EM EN =E ，∴AC ⊥平面EMN ，因此，当P 点在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ． P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP ．12．解⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b =+，消去a 可得，422530b b --=， 解得23b=或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．⑵设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012yk =，1212y k x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值． （5）1．{1,1}-；2．14-；3．6；4．(,1)-∞-；5．49；6．；7．2n ﹣n 2；8．；9．()e n n ，；10．2． 11．证明：（1）取线段的中点，连结、，因为，，所以，．又，平面， 所以平面．而平面，所以.（2）因为，平面，平面， 所以平面．又平面，平面平面，所以．同理得， 所以．12．解（1）在数列}{n a 中，取1=n，则23122a a a ==+，不满足条件①， 所以数列}{n a 不具有“m 性质”；在数列}{nb 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”． （2）由于数列}{n c 是各项为正数的等比数列，则公比0>q ，将413=c 代入=3S 473323=++c qc q c 得，0162=--q q ，解得21=q 或31-=q （舍去）所以11=c ，121-=n n c ，1212--=n n S5a <3432,3343-BD M AM 1A M 11A D A B =AD AB =BD AM ⊥1BD A M ⊥1AMA M M =1AM A M ⊂、1A AM BD ⊥1A AM 1AA ⊂1A AM 1AA BD ⊥11//AA CC 1AA ⊄11D DCC 1CC ⊂11D DCC 1//AA 11D DCC 1AA ⊂11A ADD 11A ADD 111D DCC DD =11//AA DD 11//AA BB 11//BB DD对于任意的*N n ∈，122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ，且2<n S 所以数列}{n S 满足条件①和②，所以数列}{n S 具有 “m 性质”．（6）1．4；2．15；3．1；4．±；5．58； 6．10k ≤（或11k <）；7；8．1,1)2； 9．①③④； 10．． 11．解：(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D 的坐标为，所以点到的距离为,而,则对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D 的坐标为 所以点到的距离为,而,所以(2)因为 ,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值为，又,而 ,所以当时,取得最大值为，因为 ,所以, 故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米。
2015年高考理科数学(全国通用)二轮专题配套word版练习12份
目录选择题的解法 (1)概率与统计 (12)函数与导数 (26)活用“审题路线图”，破解高考不再难 (40)集合与常用逻辑用语 (59)解答题的八个答题模板 (65)解析几何 (95)立体几何 (107)三角函数、解三角形、平面向量 (121)数列、不等式 (131)填空题的解法 (140)推理与证明、复数、算法 (149)选择题的解法【题型特点概述】高考数学选择题主要考查对基础知识的理解、基本技能的熟练程度、基本计算的准确性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识、解决数学问题的能力．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法一直接法直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2解析 对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a对任意n ∈N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.答案 A思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．将函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象分别向左平移m (m >0)个单位、向右平移n (n >0)个单位所得到的图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则|m －n |的最小值为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3答案 C解析 函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位可得y ＝sin 2(x ＋m )＝sin(2x ＋2m )的图象，向右平移n (n >0)个单位可得y ＝sin 2(x －n )＝sin(2x －2n )的图象．若两图象都与函数y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )的图象重合，则⎩⎨⎧2m ＝π3＋2k 1π，2n ＝－π3＋2k 2π，(k 1，k 2∈Z )即⎩⎨⎧m ＝π6＋k 1π，n ＝－π6＋k 2π.(k 1，k 2∈Z )所以|m －n |＝|π3＋(k 1－k 2)π|(k 1，k 2∈Z )，当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝π3.故选C.方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例2 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1D.3∶1解析 (1)取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选C.(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有1C AA B V -＝1A ABC V -＝1113ABC A B C V -，故选B.答案 (1)C (2)B思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B. 2 C ．1 D.12答案 A解析 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 方法三 排除法(筛选法)例3 函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析容易判断函数y＝x sin x为偶函数，可排除D；时，y＝x sin x>0，排除B；当0<x<π2当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.答案 A思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图形可以是()答案 B解析 研究函数y ＝2|x |，发现它是偶函数，x ≥0时，它是增函数，因此x ＝0时函数取得最小值1，而当x ＝±4时，函数值为16，故一定有0∈[a ，b ]，而4∈[a ，b ]或者－4∈[a ，b ]，从而有结论a ＝－4时，0≤b ≤4，b ＝4时，－4≤a ≤0，因此方程b ＝g (a )的图形只能是B. 方法四 数形结合法(图解法)在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0， 得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|关于x＝1对称，2|又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫1x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，2|且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.答案 C思维升华本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－ 3答案 B解析由y＝1－x2，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项．当其斜率为－3时，直线l的方程为3x＋y－6＝0，点O到其距离为|－6|3＋1＝62>1，不符合题意，故排除D选项．选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B ．1 C.74D ．2 解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形． 阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．答案 C思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －39－mB.m －3|9－m |C.13 D ．5答案 D解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan θ2，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tanθ2也为一确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tanθ2>1.1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力．概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________． 答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示) 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2>k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案 99.5%6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________． 答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n－1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！. (3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种． 答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n nb n (n ∈N *)． 通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n. ②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . ③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错． [问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1解析 T r ＋1＝C r 6x6－r (－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1. 4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.ξ 0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xx答案209解析 根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是： ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解 由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解 由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)． 答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解 记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形， 所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ， 因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点 据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解 在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解 对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点 没有分清是排列还是组合． 正解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误!未找到引用源。
【金版教程】高考理科数学二轮复习训练：题型突破练——客观题专练
题型打破练 —— 客观题专练客观题专练 (一 )建议用时： 45 分钟一、选择题：本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设全集 U ＝ R ， A ＝ { x|x(x － 2)<0} ， B ＝ { x|1－ x>0} ，则 A ∩(?U B)等于 ()A ． { x|x ≥ 1}B ．{ x|1 ≤x<2}C ． { x|0<x ≤1}D ． { x|x ≤ 1}答案 B分析由题意可得 A ＝(0,2)， B ＝ (－ ∞， 1)，则 A ∩(?U B)＝[1,2) ．2．已知复数 z 知足1＋ z＝ 1－ z ，则 z 的虚部为 ( )i A ． iB ．－ 1C ． 1D ．－ i答案 C分析由已知得 － 1＋ i－ 1＋－1＋ z ＝ (1－ z)i ＝ i －i z ，则 z ＝＝2＝ i ，虚部为1＋ i1.3．以下说法正确的选项是( )①若 sin α<0，则 α是第三或四象限的角；π ②若 α< ，则 cos α<1；2③已知 sin θ·tan θ<0，则角 θ位于第二、三象限；④1 sin α2，则2< 2A ．③C ．①④π 7 2k π＋6<α<2k π＋ 6π， k ∈Z .B ．①②③D ．①③④答案Aπ 分析sin α<0，则 α是第三、四象限角或α终边在 y 轴负半轴上，故①不正确； α＝－ 2π<，21但 cos α＝ 1，故②不正确；③正确；1 sin α2 1 21 π 5π，2<＝2，故 sin α> ，则 2k π＋ <α<2k π＋2266k ∈ Z ，故④不正确．应选 A.4． [2015 衡·水一模 ]已知向量 a ＝ (1， n)， b ＝ (－ 1， n)，若 2a － b 与 b 垂直，则 n2的值为 ()A． 4 B ．1C． 2D． 3答案D分析2a－b＝(2,2n)－ (－1， n)＝ (3， n)， (2a－b) ·b＝(3 ，n) ·(－ 1，n)＝－ 3＋ n2＝0， n2＝ 3.5．已知等比数列{ a n} ，且 a3＋ a5＝π，则 a2a4＋ 2a3a5＋ a4a6的值为 ()A．π2B ．ππC． 4D．2－4答案B分析由 a3＋ a5＝π，又 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝ a32＋2a3a5＋a52＝(a3＋ a5)2，故 a2a4＋ 2a3a5 2＋ a4a6＝π.6．运转下边的程序，假如输出的S＝2014，那么判断框内是 () 2015A． k≤ 2013? C． k≥ 2013?答案B B．k≤2014? D． k≥ 2014?分析当判断框内是k≤n？时，S＝ 1 ＋1 ＋＋1＝1－1，若 S＝2014，1×22×3n n＋n＋12015则 n＝ 2014.7．[2015 ·阳质监沈 (一)] 已知某个几何体的三视图以下图，依据图中标出的尺寸(单位：cm) 可得这个几何体的体积是()43A. 3 cm83B.3 cm3C． 3 cmD． 4 cm3答案B分析由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为 2)、高为 2的四棱锥．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V＝83.3 cmy≤x8．已知实数 x，y 知足拘束条件x＋y≤1，则 z＝ 2x＋ y 的最大值为 ()y≥－ 13A． 3 B.23C．－2D．－ 3答案A分析画出可行域，如图暗影部分所示．由z＝2x＋ y，知 y＝－ 2x＋ z，当目标函数过点(2，－ 1)时直线在 y 轴上的截距最大，为 3，所以选 A.19．[2015 长·春质监 (二 )] 已知函数 f(x)＝ 3sinxcosx＋2cos2x，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得的图象对于原点对称，则φ的最小值为()π5πA. 6B. 6π5πC.12D.12答案C分析由题意 f(x)＝ sin 2x＋π，将其图象向右平移φ(φ>0) 个单位后所得图象对应的解6析式为 g(x)＝ sinππ，即φ＝kππ，则 2φ－＝ kπ(k∈Z )＋，所以x－φ＋66212(k∈Z )，又φ>0πφ的最小值为12.应选 C.10． [2015 山·西四校联考 (三 )] 在正三棱锥 S－ ABC 中， M 是 SC 的中点，且 AM ⊥ SB，底面边长 AB ＝22，则正三棱锥S－ ABC 的外接球的表面积为()A． 6π B ．12πC． 32πD． 36π答案B分析如图，取CB 的中点 N，连结 MN ， AN，则 MN ∥SB.因为 AM⊥ SB，所以 AM ⊥MN .由正三棱锥的性质易知SB⊥AC，联合AM⊥ SB知SB⊥平面SAC，所以SB⊥ SA， SB⊥SC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SA⊥ SC，所以正三棱锥S－ ABC 为正方体的一个角，所以正三棱锥S－ABC 的外接球即为正方体的外接球．由AB＝ 2 2，得 SA＝ SB ＝SC＝2，所以正方体的体对角线为 2 3，所以所求外接球的半径 R＝ 3，其表面积为 4πR2＝12π，应选 B.11．已知双曲线x2y2F(2,0)，设 A， B 为双曲线上对于原点2－ 2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为a b对称的两点， AF 的中点为 M， BF 的中点为 N，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，若直线 AB 斜率为37，则双曲线的离心率为 ()7A. 3B. 5C． 2D． 4答案 C分析设点 A( x0，y0)在第一象限．∵原点O 在以线段 MN 为直径的圆上，∴OM⊥ ON，又∵ M、N 分别为 AF 、BF 的中点，∴ AF ⊥ BF，即在 Rt△ ABF 中， OA＝ OF ＝2，∵直线 AB斜率为3 7，∴ x ＝73x2y279222 7， y＝，代入双曲线2222＋ b ＝ 4，得 a 0202a－b＝ 1得4a－4b＝1，又 a＝ 1， b2＝ 3，∴双曲线离心率为 2.12．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时， f(x)＝ x2，当 x>0 时， f(x＋ 1)＝ f(x)＋ f(1)，若直线 y＝kx 与函数 y＝ f(x)的图象恰有7 个不一样的公共点，则实数k 的取值范围为()A． (22－ 2,26－ 4) B ． (3＋ 2，3＋ 6)C． (2 2＋2,26＋ 4) D ． (4,8)答案A分析由 x>1 时， f(x＋1) ＝f(x)＋ f(1) 可得：当 x∈[n，n＋ 1]，n∈N*时， f(x)＝ f(x－1) ＋1＝f(x－ 2)＋2＝＝ f(x－ n)＋ n＝ (x－ n)2＋ n.因为函数 y＝ f( x)是定义在R上的奇函数，所以其图象对于原点对称，所以要使直线 y＝ kx 与函数 y＝ f(x)恰有 7 个不一样的公共点，只要知足当x>0 时，直线 y＝kx 与函数 y＝ f(x)恰有 3 个不一样的公共点即可．作出x>0时函数y＝f(x)图象，由图可知，当直线 y＝ kx 与曲线段 y＝ (x－ 1)2＋ 1， x∈[1,2]相切时，直线与函数y＝ f(x)恰有5 个不一样的公共点．与曲线段y＝ (x－ 2)2＋ 2，x∈ [2,3] 相切时，直线与函数y＝ f(x)恰有 9个公共点，若恰有 7 个，则介于此二者之间．由直线方程y＝ kx 与 y＝ (x－ 1)2＋ 1， x∈[1,2]消去 y 得 x2－(2 ＋ k) x＋2＝ 0，因为相切，所以＝ (2＋ k)2－8＝ 0，又 k>0，所以 k＝2 2－ 2.由 y＝ kx 与 y＝ (x－2)2＋2， x∈ [2,3] 消去 y 得 x2－ (4＋ k)x＋6＝ 0，因为相切，所以＝ 0，得到 k＝ 2 6－ 4.∴k 的取值范围为 (2 2－ 2,2 6－ 4)．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．13．从编号为001,002，， 500 的 500 个产品顶用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大挨次为007,032，，则样本中最大的编号应当为________．答案482分析由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32－ 7＝25 个，共20 个组，故样本中最大的编号应当为500－ 25＋ 7＝ 482.14． [2015长·春质监 (三 )] 已知定义在R上的偶函数f(x)在 [0，＋∞)上单一递加，且f(1)＝0，则不等式 f(x－ 2) ≥0的解集是 ________．答案 (－∞， 1]∪ [3，＋∞)分析由题知 x－ 2≥1或 x－ 2≤－1，∴不等式的解集是 (－∞， 1]∪ [3，＋∞)．3R(R 15．在锐角△ ABC 中，角A，B， C 所对的边分别为a， b，c， bcosC＋ ccosB＝为△ ABC 外接圆半径 )且 a＝ 2， b＋ c＝ 4，则△ ABC 的面积为 ________．答案3分析因为bcosC＋ ccosB＝3R，得 2sinBcosC＋ 2sinCcosB＝ 3，33，即 sinA＝.sin(B＋ C)＝2 2由余弦定理得：a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA，即 4＝b2＋ c2－ bc，∴ 4＝ (b＋ c)2－ 3bc，∵ b＋c＝ 4，∴ bc＝ 4，1∴ S△ABC＝2bcsinA＝3.21y 在第一象限内图象上一点2 16． [2015 辽·宁五校联考 ]抛物线 x ＝(a i,2a i )处的切线与 x2轴交点的横坐标志为 a i＋1，此中 i ∈N*，若 a2＝ 32，则 a2＋ a4＋ a6等于 ________．答案42分析令 y＝ f(x)＝ 2x2，则切线斜率k＝ f′(a，切线方程为 y－ 2a2＝ 4ai)＝4a i ii(x－a i)，令y1＝ 0 得 x＝ a i＋1＝2a i，由 a2＝ 32 得 a4＝ 8， a6＝ 2，所以 a2＋ a4＋ a6＝ 42.客观题专练 (二 )建议用时： 45 分钟一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1－ i为纯虚数，此中i 是虚数单位，则实数 m 的值是 ()1．已知复数 z ＝ m ＋ iA ． 1B ．－ 1C ． 2D ．－ 2答案 A分析z ＝ 1－i － m － ＝ m －1－ 2 m ＋是纯虚数，所以m ＝ 1.＝m －m ＋ im ＋m ＋ 12．若全集 U ＝ R ，会合 A ＝ { x||2x ＋ 3|<7} ，B ＝ { x|y ＝ log 2 (x 2－ 4)} ，则 A ∩B ＝()A ． { x|x<－5 或 x>－ 2}B ． { x|－ 5<x<－ 2}C ． x>－ 5D ． x<－ 2答案 B分析因为， A ＝ { x||2x ＋ 3|<7} ＝ { x|－ 5<x<2} ， B ＝ { x|y ＝ log 2(x 2 － 4)} ＝ { x|x 2－ 4>0} ＝{ x|x>2 或 x<－ 2} ，所以 A ∩B ＝ { x|－ 5<x<－ 2} ，应选 B.3．已知 a ， b 是实数，则 “a>0 且 b>0”是 “a ＋b>0 且 ab>0”的 ( )A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件答案 C分析“a>0 且 b>0”能够推出 “a ＋ b>0 且 ab>0”，反之也成立．4． [2015 辽·宁质监 (一 )]抛物线 y ＝ 4ax 2(a ≠ 0)的焦点坐标是 () A ． (0， a)B ．( a,0)11 ， 0C. 0， 16aD.16a答案 C分析将 y ＝4ax 2( a ≠ 0)化为标准方程得 x 2＝ 1y(a ≠ 0)，所以焦点坐标为 0， 1 ，所以16a4a选 C.5．西藏一爬山队为认识某座山山高y(km) 与气温 x(℃ )之间的关系，随机统计了 5 次山高与相应的气温，并制作了比较表以下：气温 (℃)17 14 9 －1 －4山高 (km)2434386480由表中数据，获得线性回归方程^99 km 处的y ＝－ 3x ＋ a ， a ∈R ，据此数据预计山高为气温是 ()A ．－ 10 ℃B ．－9 ℃C ．－8℃D ．－7℃答案 A分析由题意得 x ＝ 17＋ 14＋ 9－ 1－4＝ 7，5y ＝ 24＋34＋ 38＋64＋ 80^5＝ 48，则 x ， y 代入线性回归方程得a ＝ 69，故有 y ＝－ 3x ＋^69，所以当 y ＝99 时有 x ＝－ 10，应选 A.6． [2015 山·西四校联考 (三 )]若 x 6＋1n的睁开式中含有常数项，则n 的最小值等于xx()A ． 3B ．4C ． 5D ． 6答案Cr6 n － r1 rr1515分析因为 T r ＋1＝ C n (x )x x ＝ C n x6n － 2 r ，当 T r ＋ 1 是常数项时， 6n － 2 r ＝ 0，即 n＝ 5r ，故 n 的最小值为5，应选 C.47．已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ，B ，C 的对边，且 ( b － c)(sinB ＋ sinC)＝ (a － 3c)sinA ，则角 B 的大小为 ()A ． 30°B ．45°C ． 60°D ． 120 °答案 A分析由正弦定理a ＝ b＝ c及 (b － c)(sinB ＋sinC)＝ (a －3c)sinA 得 (b － c)(b ＋ c)sinA sinB sinC2222 22cosB ＝a 2＋ c 2－b 2＝ (a － 3c)a ，即 b －c ＝a － 3ac ，所以 a ＋ c － b ＝ 3ac ，又因为，所2ac以 cosB ＝ 3，所以 B ＝30°.应选 A. 28．[2015 长·春质监 (三 )] 已知直线 y ＝ 2 2(x － 1)与抛物线 C ：y 2＝ 4x 交于 A ，B 两点，点→ →M( － 1， m)，若 MA ·MB ＝ 0，则 m ＝ ()2A. 2B. 21C.2 D ． 0答案B分析 由直线与抛物线的方程可得A(2,2 2)，B1 2 → →，－，∵ M(－ 1，m)，且MA ·MB ＝20，∴ 2m 2－ 2 2m ＋1＝ 0，解得 m ＝2，应选 B.29．履行以下图的程序框图，输出 z 的值为 ( )A ．－ 1008 ×2015B ． 1008 ×2015C ．－ 1008 ×2017D ． 1008 ×2017答案 A分析第一次运转时， 11S ＝ 1，a ＝ 2；第二次运转时， S ＝ 1＋ 2，a ＝3；第三次运转时， S2 211＝ 21＋ 2＋ 3， a ＝ 4；第四次运转时， S ＝ 21 ＋2＋3 ＋4， a ＝5； ，以此类推，第 2015 次运转时 S ＝11 ＝－ 1＋ 2015 ×2015 ＝2 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋2015， a ＝ 2016，恰巧知足a>2015， z ＝ log 2 1＋2＋ 3＋4＋ ＋2015 2 2－ 1008×2015.π对 x ∈R 恒成立，且f π10．已知函数 f(x)＝sin(2 x ＋ φ)，此中 φ∈ (0,2 π)，若 f(x) ≤f 6 2<f( π)，则 f(x)的单一递加区间是 ()π 2πA. k π＋ 6， k π＋ 3 (k ∈ Z )π πB. k π－ 3， k π＋6 (k ∈ Z )π C. k π， k π＋ 2 (k ∈ Z )D. k π－ π， k π(k ∈ Z )2答案Bπ π π分析 由 f(x) ≤f 6? f6 ＝ ±1? sin φ＋ 3 ＝ ±1，①又由 fπ2 <f( π)?sin( ＋πφ)<sin(2 ＋πφ)? 2sin φ>0 ，②因为 φ∈ (0,2 π)，由①②可得ππ，于是可求得增区间为 B.φ＝ ，所以 f( x)＝ sin2x ＋ 6611．过双曲线x 2 y 2 222的两条切线，切点分别为a 2－2＝ 1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 x＋y ＝abA ，B ，双曲线左极点为 M ，若∠ AMB ＝ 120 °，则该双曲线的离心率为 ()A. 2B. 3C ． 3D ． 2答案 D分析如图，依据对称性，∠ AMO ＝∠ BMO ＝60°，∴△ AMO 为等边三角形，∴∠ FAM ＝∠ MFA ＝30°，∴ FM ＝ OM ＝ a ，∴ OF ＝ 2OM ，∴ c ＝ 2a ，∴ e ＝ ca ＝ 2.12． [2015 太·原一模 ]已知函数 f(x)＝ lnx ＋ tan α0<α< π的导函数为 f ′(x)，若方程 f ′(x)2 ＝ f(x)的根 x 0 小于 1，则 α的取值范围为 ()π ππA. ，2B. 0，34π ππC. ，4 D. 0，46 答案 A分析 ∵ f( x)＝ ln x ＋ tan α，∴ f ′(x)＝ 1，令 f(x)＝ f ′(x)，得 ln x ＋ tan α＝1，即 tan α＝ 1－xx x 1 － ln x ，明显 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递减，而当 ＋ln x ．设 g(x)＝x →0 时， g(x) →＋∞，∴要 xπ π π .使知足 f ′(x)＝ f(x)的根 x 0<1，只要 tan α>g(1) ＝ 1，又∵ 0<α< ，∴ α∈ ， 22 4二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．13． [2015 陕·西质检 (一 )] 已知向量1， e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－ e2与 b＝ e1 e＋λe2共线，则λ＝________.1答案－2分析因为 a 与 b 共线，所以 a＝x b，x＝2，λx＝－ 11故λ＝－2.14． [2015 大·连双基测试]五人随机站成一排，甲、乙两人不相邻的概率是________．答案3 5分析所求概率P＝A 33A 4235＝ .A 5515． [2015 南·昌一模 ]已知直三棱柱ABC－ A1B1C1中，∠ BAC＝ 90°，侧面 BCC 1B1的面积为 2，则直三棱柱ABC－ A1B1C1外接球表面积的最小值为 ________．答案4π分析以下图，设 BC， B1C1的中点分别为 F， E，则知三棱柱ABC － A1 B1C1外接球的球心为线段 EF 的中点 O，且 BC·EF ＝2.222＝BC 2＋EF 2＝BC 2＋EF2 1设外接球的半径为 R，则 R ＝ BF＋OF224≥ ×2BC×EF＝ 1，当4且仅当 BC＝ EF ＝ 2时取等号．所以直三棱柱ABC－ A1B1 C1外接球表面积的最小值为2 4π×1＝ 4π.16．[2015 ·春高三质监长(二 )] 已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝ f(x－ 4)，又在区间 [0,2] 上 f(x)23＝－x －2x ＋5，0≤x ≤1.函数 g(x)＝12|x|＋ a ，若 F(x)＝ f(x)－ g(x)恰巧有 4 个零点， 则 a 的－2x ＋ 2 x ， 1<x ≤2取值范围是 ________．答案192， 8分析由题意可知 f(x)是周期为4 的偶函数，其图象的一条对称轴为直线x ＝ 2.若 F(x)g f ，解得 a ∈ 2， 19 .恰有 4 个零点，有fg8客观题专练 (三 )建议用时： 45 分钟一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知全集 U ＝ R ，会合 A ＝ { x|x 2 >x ＋2} ，B ＝ { x|log 2x>1} ，则以下关系正确的选项是 ( )A ． A ∪B ＝ RB ．A ∩B ＝ AC ． A ∪ (?U B)＝ RD ． ( ?U A)∪B ＝ R答案C分析 A ＝ (－ ∞，－ 1)∪ (2，＋ ∞)， B ＝ (2，＋ ∞)，∴ ?U A ＝ [－ 1,2] ， ?U B ＝ (－ ∞，2]，∴ A ∪ B ＝ (－∞，－ 1) ∪(2，＋ ∞)，A ∩B ＝ (2，＋ ∞)＝ B ，(?U A)∪ B ＝ [－ 1，＋ ∞]，A ∪ (?U B)＝ R ，应选 C.a －2i＝ 1－bi ，则 a － b ＝ ()2．已知 i 为虚数单位， a ，b ∈ R ，若 1＋i A ． 2 B ．1 C ． 0 D ．－ 1答案 B分析a ＝1＋b 由已知得 a － 2i ＝ (1＋ i)(1－ bi) ＝(1＋ b)＋ (1－ b)i ，∴，解得 a ＝4，b－2＝ 1－ b＝ 3，∴ a －b ＝ 1，应选 B.3．[2015 陕·西质检 (二 )] 已知数列 { a n } 知足 a 1＝ 15，且 3a n ＋ 1＝3a n － 2.若 a k ·a k ＋ 1<0，则正整数 k ＝ ()A ． 21B ．22C ． 23D ． 24答案C分析3a n ＋ 1＝3a n －2?2? { a n } 是等差数列，则 a n ＝47 2 ，a n ＋ 1＝ a n －3－ n.∵ a k ＋ 1·a k <03 347 245 2 45 47，∴ k ＝ 23，应选 C. ∴ 3 － 3k 3 －3k <0 ，∴ 2 <k< 24．某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为()16 A ． 6B. 320 22 C. 3 D. 3答案C分析由三视图可得， 该几何体是由一个正方体截去两个小三棱锥而获得的几何体，∴1 120.应选 C.V ＝ 2×2×2－ 2× × ×2×2 ×1＝3325． [2015 郑·州质量展望 (一 )]已知点 P(a ， b)是抛物线 x 2＝ 20y 上一点，焦点为F ，|PF|＝ 25，则 |ab|＝ ()A ． 100B ．200C ． 360D ． 400答案 D分析依题意得b ＋ 5＝ 25 ，由此解得 |a|＝ 20， b ＝ 20， |ab|＝ 400，选 D.a 2＝ 20b1 25π )6．已知 sin α－ cos α＝，则 cos－ α＝ (54113A. 50B.50 3749 C.50D.50答案D1124 2 5π分析∵ sin α－cos α＝ 5，∴两边平方得 1－2sin αcos α＝ 25，∴ sin2α＝ 25，∴cos 4 － α5π1＋ cos －2α1＋ sin2α 492＝2＝2＝ 50，应选 D.7． [2015 ·北八校联考湖 (二 )]以下说法正确的选项是()A ． “x<0”是 “ ln x(＋ 1)<0 ”的充要条件B ． “? x ≥2， x 2－ 3x ＋ 2≥0”的否认是 “? x<2 ， x 2－3x ＋ 2<0”C ．采纳系统抽样法从某班按学号抽取5 名同学参加活动，学号为 5,16,27,38,49 的同学均被选出，则该班学生人数可能为602D ．在某项丈量中，丈量结果X 听从正态散布 N(1，σ)(σ>0) ，若 X 在 (0,1)内取值的概率为 0.4，则 X 在 (0,2)内取值的概率为 0.8答案 D分析 A 中应为必需不充足条件； B 中命题的否认为 “? x ≥2， x 2－ 3x ＋2≥0”；C 错； D对．＝ 2014，b ＝ 2015，且 b ＋－b ∈ －1， 1， 1 (此中8．已知数列 { b n } 共有 8 项且知足 b 18n 1n 3n ＝ 1,2， ， 7)，则这样的数列 { b n } 共有 ()A ．7个B ．252 个C ． 210 个D ．35 个答案 B分析记 b n ＋ 1－ b n ＝ d n (n ＝ 1,2， ， 7)，则 d 1＋ d 2＋ ＋ d 7＝ 1.∴ d 1 ，d 2， ，d 7 取值分别是 1， 1，1，－ 1，－ 1,1,1 中的一个、或是1， 1， 1， 1， 1， 1，－ 1 中的一个、或是－1，33 33333 3 3－ 1，－ 1,1,1,1,1 中的一个．∴共有 C 37C 24＋ C 67＋ C 37＝210＋ 7＋35＝ 252 个．应选 B.9．[2015 ·水一模衡 ]若当 x ∈ R 时，函数 f(x)＝ a |x|一直知足 0<|f(x)| ≤1，则函数 y ＝ log a 1x的图象大概为 ( )答案 B分析 因为当 x ∈ R 时，函数 f(x)＝a |x|一直知足 0<|f(x)|≤1，所以 0<a<1 ，则当 x>0 时，函数 y ＝ log a 1＝－ log a x ，明显此时函数单一递加，应选B.xc － bsinA，则 B ＝10．已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为＝a ，b ，c ，且 c － a sinC ＋sinB()π πA. 6B.4π 3π C.3D. 4答案 C分析 依题意得 (c － b)(c ＋ b)＝ ( c － a)a ，即 c 2＋ a 2－ b 2＝ ac,2accosB ＝ ac ， cosB ＝ 1.又2π0<B<π，所以 B ＝ ，选 C.311． [2015 西·安八校联考 ] 已知 0<m<n<1，且 1<a<b ，以下各式中必定成立的是 ( )A ． b m >a nB ．b m <a nbabaC ． m >nD ． m <n答案 D分析 ∵ f( x)＝ x a (a>1)在 (0，＋ ∞)上为单一递加函数，且 0<m<n<1，∴ m a <n a，又∵ g(x)＝ m x (0<m<1) 在 R 上为单一递减函数，且 1<a<b ，∴ m b <m a .综上， m b <n a ，应选 D.12．[2015 ·郑州质量展望 (一 )] 设函数 f 1(x)＝ x ，f 2(x)＝ log 2015x ，a i ＝i(i ＝ 1,2， ，2015) ，2015记 I k ＝ |f k (a 2)－ f k (a 1)|＋ |f k (a 3) － f k (a 2)|＋ ＋ |f k (a 2015)－ f k (a 2014)|， k ＝ 1,2，则 ()A ． I 1<I 2B ．I 1＝I 2C ． I 1>I 2D ． I 1 与 I 2 的大小关系没法确立答案A分析依题意， f 1(a i ＋ 1) － f 1(a i )＝ a i ＋ 1－ a i ＝ i ＋ 1 － i ＝ 1，所以 I 1＝ |f 1(a 2)－ f 1(a 1 )|＋2015 2015 20152014|f 1(a 3) － f 1( a 2)| ＋＋ |f 1( a 2015) － f 1(a 2014)| ＝ 2015 .f 2(a i ＋1) － f 2 (a i ) ＝ log 2015a i ＋1 － log 2015a i ＝log 2015i ＋ 1 － log 2015 i>0 ， I 2 ＝ |f 2(a 2) － f 2(a 1)| ＋ |f 2(a 3) － f 2(a 2)| ＋＋ |f 2(a 2015)－ f 2(a 2014)| ＝ 2015 2015 log 20152－ log 2015 1 ＋ log 2015 3 － 2015 201520152 ＋ ＋ log 20152015 2014 ＝ 1，所以 I 1<I 2，选 A.log 20152015－ log 201520152015二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．313．已知向量 a ， b 知足 |b |＝3， a 在 b 方向上的投影是 2，则 a ·b ＝ ________. 答案92分析设 a 与 b 的夹角为 θ，因为 a 在 b 方向上的投影是3，即 |a |cos θ＝ 3，所以 a ·b ＝223 9.|a | ·|b |cos θ＝3× ＝ 2214．若曲线 y ＝ aln x(a ≠ 0)与曲线 y ＝ 1x 2 在它们的公共点P(s ，t)处拥有公共切线， 则s＝2et________.答案 2 e分析对曲线 y ＝ aln x 求导可得 y ′＝a ，对曲线 y ＝ 1x 2求导可得 y ′＝x，因为它们在公x2e e 共点 P(s ， t)处拥有公共切线，所以a ＝ s，即 s 2＝ ea ，又 t ＝ aln s ＝1s 2，即 2ealn s ＝ s 2，将s e2es 2＝ ea 代入，得 s ＝ e ， a ＝ 1， t ＝ 1，所以 s＝ 2e.2tx ≤015． [2015 河·北名校结盟质监 (二 )]设点 P(x ， y)知足条件 y ≥0，点 Q(a ， b)( a ≤0，y ≤2x ＋2→ →O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是b ≥ 0)知足 OP ·OQ ≤1恒成立，此中________ ．答案12分析不等式组在平面直角坐标系中所表示的地区如图暗影部分所示．因为→ → OP ·OQ ＝→ →ax ＋ by ，所以由 OP ·OQ ≤1得： ax ＋ by ≤ 1设.目标函数为： z ＝ ax ＋ by ，要使 ax ＋ by ≤1恒成立， 必定有：－a ＋ 0×b ≤1 a ≥－ 11－ 1≤a ≤00×a ＋ 2×b ≤1?b ≤?1 .a ≤02a ≤00≤b ≤b ≥02b ≥0此不等式组在座标平面内所表示的地区是长为1，宽为1的矩形，面积为122.x 2 y 2a 216．已知双曲线 a 2 － b 2 ＝ 1(a>0 ， b>0) 的右焦点为 F ，直线x ＝ c 与其渐近线交于 A ， B两点，且△ ABF 为钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案(1， 2)bx2y2by ＝± x分析a双曲线2－2 ＝1(a>0，b>0) 的渐近线方程为y ＝ ± x ，联立2，不如设 Aabaax ＝ ca2ab a2aba2在第一象限， B 在第四象限，解得 ，，－c ，设直线 x ＝ c 与 x 轴交于点 D. A c c ， Bc 因为 F 为双曲线的右焦点，所以F(c,0)．因为△ ABF 为钝角三角形，且 |AF |＝|BF |，所以∠AFB>90 °，所以∠ AFD >45 °，即 |DF |<|DA|，所以 c －a 2<ab，即 b<a ，c 2－ a 2<a 2，所以 c 2<2a 2，c ce 2<2， e<2，又 e>1，所以双曲线的离心率的取值范围是1<e<2.客观题专练 (四 )建议用时： 45 分钟一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知全集为x2R ，会合A＝{ x|2≥1}，B＝{ x|x－3x＋2≤0}，则A∩(?R B)＝()A． { x|x≤ 0} B ．{ x|1 ≤x≤ 2}C． { x|0 ≤x<1 或 x>2} D ． { x|0 ≤x<1 或 x≥ 2}答案C分析A＝ { x|x≥0}，B＝ { x|1 ≤x≤2}，?R B＝{ x|x<1 或 x>2} ，∴ A∩(?R B) ＝{ x|0 ≤x<1 或 x>2} ．2．若复数 z 知足 z(1 ＋i) ＝ 4－2i(i 为虚数单位 )，则 |z|＝ ()A.2B.3C.5D.10答案D分析z＝ 4－ 2i＝－－＝1－ 3i， |z|＝10.＋－1＋ i3． [2015 ·宁五校联考辽] 以下选项中，说法正确的选项是()A．命题“? x∈R， x2－x≤0”的否认是“? x∈R，x2－x>0”B．命题“p∨q 为真”是命题“p∧q 为真”的充足不用要条件C．命题“若 am2≤bm2，则 a≤b”是假命题1πD．命题“在△ ABC 中，若 sinA< ，则A<”的逆否命题为真命题26答案C分析 A 中命题的否认是：? x∈R， x2－ x>0，故 A 不对； B 中当 p 为假命题、 q 为真命题时， p∨ q 为真， p∧ q 为假，故 B 不对； C 中当 m＝0 时， a， b∈R，故 C 的说法正确；1πD 中命题“在△ ABC 中，若 sinA<2，则 A<6”为假命题，所以其逆否命题为假命题．应选C.4．在某电视台举办的“宝贝秀”栏目中，共有7 位评委对甲、乙两名宝贝的才艺表演进行打分，打出的分数记录成以下的茎叶图(m，n是数字 0,1,2 ，， 9 中的一个 )，在去掉一个最高分和一个最低分以后，甲、乙两名宝贝得分的均匀分分别为x， y，则 () A． x>yB． x<yC． x 与 y 的大小关系与m 的值相关D． x 与 y 的大小关系与m， n 的值都相关答案B分析x＝ 81＋ 80＋ m＋ 85＋ 84＋ 85＝415＋ m，y＝5584＋ 84＋ 86＋ 84＋ 87425，因为 m 是数字 0,1,2 ，， 9 中的一个，所以415＋ m<425，5＝5所以 x<y.5．函数 f( x)＝ 3cosωx＋ 3sinωx(ω>0)在一个周期上的图象以下图，此中 A 为图象的最高点， B、 C 是图象与 x 轴的交点，且△ ABC 为正三角形，则ω的值为 () 11A. 3B.4ππC.4D.3答案C分析f(x) ＝ 3cosωx＋ 3sinωx＝ 2 3sinωx＋π.其周期T＝2πT＝π3，∴ BC＝2.又△ ABCωω为正三角形，所以BC 边上的高为π3π3ππsin60 ＝°2ω，由2ω＝ 23可得ω＝.ω46．过抛物线 y2＝ 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于A、B 两点， O 为坐标原点．若 |AF|＝ 3，则△ AOB 的面积为 ()2A. 2B. 232C. 2D． 22答案C分析 易知焦点 F(1,0)，准线 l ：x ＝－ 1.设 A(x 1， y 1) ，B(x 2 ，y 2 )．则 x 1＋ 1＝ 3，∴ x 1＝ 2，∴ y 1＝ 2 2.即 A(2，22) ．所以直线 AB 的方程为 y ＝2 2(x －1) ．y ＝2 2x －，1，－ 2解y 2＝ 4x ，可得 B 点坐标为 B 2. 所以 S AOB ＝ SAOF ＋S 1 132 BOF ＝ ×1×2 2＋ ×1×2＝.△△ △2227．四位同学乘同一列火车， 火车有 10 节车厢， 则起码有两位同学上了同一节车厢的概率为()629A. 125B.125 997C.1000D.12答案A12 23 24 1 23C 4A 10 ＋ C 4A 10＋ C 4A 10 ＋ C 4A 1010 ×9×8×762分析2 ＝ 62 . 另解： P ＝ 1－ . P ＝4104＝125101258．如图是某几何体的三视图，此几何体的最长一条棱的长是 11，此棱的主视图，侧视图，俯视图的射影长分别为10， a ， b ，则a ＋ 2b 的最大值是()A ． 4B ．2 10C．2 15D．42答案C分析由题意可知a2＋ b2＝ 12，令a＝ 2 3cosθ，b＝ 2 3sinθ，a＋2b＝ 23(cosθ＋ 2sinθ)＝ 215sin( θ＋φ) ≤215，应选 C.x＋ y≤1z＝y的取值范9．[2015 陕·西质检 (一 )] 设 x，y 知足拘束条件x＋ 1≥0，则目标函数x－ y≤1x＋ 2围为 ()A． [－ 3,3] B ．[ －3，－ 2]C． [ －2,2]D． [2,3]答案C分析依据拘束条件作出可行域，可知目标函数z＝y在点 A(－ 1，－ 2)处获得最小x＋ 2值－ 2，在点 B(－ 1,2)处获得最大值2，应选 C.10．[2015 贵·阳监测 ] 如图，点 E，F 分别是正方体ABCD －A1B1C1D1的棱 AB，AA 1的中点，点 M，N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线 MN 有 () A．0条B．1 条C．2 条D．无量多条答案 B分析 假定存在知足条件的直线MN ，如图，成立空间直角坐标系，不如设正方体的棱长为 2，则 D 1(2,0,2) ， E(1,2,0) ，设→ →M(x ， y ， z)， D 1M ＝ mD 1E(0< m<1)，∴ (x －2， y ， z － 2)→＝ m(－ 1,2，－ 2)， x ＝ 2－ m ， y ＝ 2m ，z ＝2－ 2m ，∴ M(2－ m,2m,2－ 2m)，同理，若设 C 1N ＝ → → nC 1F (0<n<1)，可得 N(2n,2n,2－n) ，MN ＝ (m ＋ 2n － 2,2n － 2m,2m － n)．又∵ MN ⊥平面 ABCD ，2 m ＋ 2n － 2＝ 0m ＝3 ，即存在知足条件的直线 MN ，且只有 1 条．应选 B. ∴ ，解得2n － 2m ＝0 2n ＝ 31－ 3，－ 1<x ≤011．已知函数 g(x)＝ x ＋1，若方程 g(x)－ mx － m ＝ 0 有且仅有两个不等x 2－ 3x ＋2， 0<x ≤1的实根，则实数 m 的取值范围是 ()A. － 9，－ 2 ∪ [0,2]B. －11，－ 2 ∪ [0,2]4 4C. － 9，－ 2 ∪ [0,2) D. －11，－ 2 ∪ [0,2)4 4答案C分析 令 g(x)－ mx － m ＝ 0 得 g(x)＝ m(x ＋ 1)，原方程有两个相异的实根等价于两函数y＝ g(x)与 y ＝ m( x ＋1)的图象有两个不一样的交点． 当 m>0 时，易知临界地点为 y ＝ m(x ＋ 1)过点 (0,2) 和(1,0)，分别求出这两个地点的斜率 k 1＝ 2 和 k 2＝ 0，由图可知此时m ∈ [0,2) ．当 m<0时，设过点 (－1,0)向函数 g(x)＝1－ 3，x ∈ (－1,0] 的图象作切线的切点为(x 0，y 0 )，则由函x ＋1－1＝ y 01x 0 ＋2 x 0＋ 1数的导数为g ′(x)＝－2得，解得x ＋y 0＝1 － 3x 0＋ 1x 0＝－193，得切线的斜率为 k 1＝－ 4，而过点 (－ 1,0)，(0，－ 2)的斜率为 k 1＝－ 2，由y 0＝－32图知此时 m ∈ －9，－ 2 ，∴ m ∈ －9，－ 2 ∪ [0,2) ．44x 2 y 212．[2015 唐·山统考 ] 椭圆 C ：2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点为 F ，若 F 对于直线3x ＋y ＝ 0a的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆C 的离心率为 ()13－ 1 A. 2B. 23 C. 2 D. 3－1答案Dn － 3＝－ 1m ＋ c分析设 A(m ， n)，则，m － c ＋ n ＝ 03×22解得 A c ，322c 2 3c 22 2 c ，代入椭圆方程中，有4a ＋4b ＝ 1，∴ b 2c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2b 2，∴ (a 2－ c 2)c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2( a 2－ c 2)，∴ c 4－ 8a 2c 2＋ 4a 4 ＝ 0，∴ e 4－8e 2 ＋4＝ 0，∴ e 2＝ 4±2 3，∴ e ＝ 3－ 1.应选 D.二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在答题卷中的横线上．13．[2015 兰·州双基过关 ]设向量 a ，b 知足 |a ＋b |＝ 10，|a － b |＝ 6，则 a ·b ＝________. 答案 1分析因为 |a ＋ b |2 ＝ a 2＋ 2a ·b ＋ b 2＝ 10①， |a － b |2＝ a 2－ 2a ·b ＋ b 2 ＝ 6 ②，①－②得4a ·b ＝ 4，所以 a ·b ＝ 1.14． [2015 洛·阳统考 ]履行下边的程序，若输入的x ＝ 2，则输出的全部x 的值的和为________ ．答案 126分析剖析程序框图可知， 问题等价于在 [2,100] 上求全部 2 的整数次幂的和， 进而易得输出的全部 x 的值的和为 2＋4＋ 8＋ 16＋ 32＋ 64＝ 126.15．察看下边两个推理过程及结论：(1)若锐角 A ， B ， C 知足 A ＋ B ＋ C ＝ π，以角 A ， B ， C 分别为内角结构一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可获得等式：sin 2A ＝ sin 2 B ＋ sin 2C － 2sinBsinCcosAπ Aπ Bπ Cπ π－＋ －＋－＝ π，以角 － A ， －(2)若锐角 A ，B ，C 知足 A ＋ B ＋ C ＝π，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2B πC 2A 2B 2 ， 2－2 分别为内角结构一个三角形，依照正弦定理和余弦定理能够获得等式 cos 2＝ cos 22C B C A .则若锐角 A ， B ， C 知足 A ＋ B ＋ C ＝ π，以角 π－ 2A ，π－ 2B ，π－＋ cos － 2cos ·cos 2 sin 2 2 22C 分别为内角结构一个正三角形，类比上边推理方法，能够获得一个等式是________．答案 sin 22A ＝ sin 22B ＋ sin 22C ＋ 2sin2Bsin2Ccos2A分析若锐角 A ，B ，C 知足 ( π－ 2A)＋ ( π－ 2B)＋( π－ 2C)＝ 3π－ 2(A ＋ B ＋ C)＝ π，则以角π－ 2A ， π－2B ， π－ 2C 分别为内角结构一个三角形，依照余弦定理和正弦定理能够获得等式： sin 22A ＝ sin 22B ＋ sin 22C ＋ 2sin2Bsin2Ccos2A.16．已知数列 { a n } 的首项 a 1＝ 1，前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2S n －1 ＋1(n ≥2，且 n ∈ N * )，数列 { b n } 是等差数列，且b 1＝ a 1，b 4＝ a 1＋ a 2＋ a 3.设c n ＝ 1，数列 { c n } 的前 n 项和为 T n ，则b n b n ＋1T 10＝________.10 答案21分析解法一：数列 { a n } 的首项 a 1＝ 1，前 n 项和为 S n ，且 S n ＝2S n － 1＋ 1(n ≥2，且 n ∈N * )，∴当 n ＝2 时， a 1＋ a 2＝ 2a 1＋1，∴ a 2＝ 2，当 n ≥3时， a n ＝S n － S n － 1＝2S n － 1－ 2S n － 2＝ 2a n－ 1，又 a 2＝ 2a 1，∴ a n ＝ 2a n － 1(n ≥2，且 n ∈ N * )，数列 { a n } 为首项为 1，公比为 2 的等比数列， ∴ a n ＝2n －1，a 3＝ 22＝ 4.设数列 { b n } 的公差为 d ，又 b 1＝ a 1＝ 1，b 4＝ 1＋ 3d ＝ 7，∴ d ＝ 2，b n ＝ 1＋ (n － 1) ×2 ＝ 2n － 1 ， c n ＝ 1 ＝1＝11－ 1 ，∴T 10＝ 1 n －2n ＋ 1b n b n ＋ 1 n ＋2 2n － 1 21＋ 1－1＋ ＋1 － 1＝ 11 ＝10 1－3352×10－ 1 2×10＋ 1 21－21 21.解法二：∵数列 { a n } 的首项 a 1＝ 1，前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ 2S n －1＋ 1(n ≥2，且 n ∈N * )，∴当 n ＝ 2 时， a 1＋ a 2＝ 2a 1＋ 1，∴ a 2＝ 2，当 n ＝3 时， a 1＋ a 2＋ a 3＝2a 1＋ 2a 2＋ 1，∴ a 3＝ 4. 设数列 { b n } 的公差为 d ，又 b 1＝ a 1＝ 1，b 4＝ 1＋ 3d ＝7，∴ d ＝2， b n ＝ 1＋ (n －1) ×2＝ 2n － 1，c n ＝1 ＝1 ＝11－ 1，n －n ＋b n b n ＋12 2n －1 2n ＋ 1∴ T 10＝ 111 1 ＋ ＋ 1－1 1 1 102 1－ 3＋ － 2×10－ 12×10＋ 1 ＝2 1－21 ＝21.3 5客观题专练 (五 )建议用时： 45 分钟一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．[2015 ·山三模唐 ]会合 A ＝{ － 1,0,1,2,3} ，B ＝ { － 2，－ 1，0,1} ，则图中暗影部分表示的会合为 ()A ． { －1,0,1}B ． {2,3}C ． { － 2,2,3}D ． { －1,0,1,2,3}答案 B分析可知图中暗影表示的会合为 (?I B) ∩A ＝ {2,3} ，应选 B.2． [2015 陕·西质检 (一 )]已知复数 z 1＝ 2＋ i ， z 2＝ 1－ 2i.若 z ＝z 1，则 z ＝ ()z 2A. 4＋ i B.4－ i5 5 C ． iD ．－ i答案 D分析1 2＋ i＋＋＝5i＝ i ， z ＝－ i ，应选 D.z ＝ z ＝＝5z 2 1－ 2i5 3． [2015 兰·州双基过关 ] 若 tan θ>0，则 ( )A ． sin θ>0B ．cos θ>0C ． sin2θ>0D ． cos2θ>0答案 C分析因为 tan θ>0，所以 sin θ>0 ，则 sin2θ＝2sin θcos θ>0 ，应选 C.cos θ4． [2015 贵·州七校联考 (一 )]已知双曲线 x 2 ＋my 2＝ 1 的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是 ()A ． 4B ．－ 141C.4D．－ 4答案B分析由双曲线的方程知 a＝ 1，b＝－1，又 b＝ 2a，所以－1＝ 2，解得 m＝－1，m m4应选 B.→→ →→→ →5．在△ ABC 中，AB＝ 4，∠ ABC ＝30°，D 是边 BC 上的一点，且 AD·AB＝AD ·AC，则 AD ·AB 的值为 ()A． 0B．－ 4C． 8D． 4答案D分析→→→→→→→→ →→→由 AD ·AB＝ AD·AC，得 AD ·(AB－ AC)＝ 0，即 AD·CB＝0，所以 AD ⊥ CB，即 AD ⊥→→ ＝AD·AB·cosCB .又 AB＝ 4，∠ ABC＝ 30°，所以 AD ＝ABsin30 ＝°2，∠ BAD＝ 60°，所以 AD ·AB 1∠ BAD ＝ 2×4×＝ 4.应选 D.26．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的暗影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在暗影部分的概率是()12A. πB.π34C.πD.π答案Aππ－ cos|0分析由几何概型，得∫0 2 ＝1，应选 A.P＝sinxdx＝＝2π2π2ππ7．某几何体的三视图以下图，则该几何体的外接球的体积为()A. 3π B ． 4π C ． 4 3π D ． 32 3π答案 C分析 由三视图可知，该几何体是从棱长为2 的正方体上切下的，它的外接球直径为2 3，所之外接球的体积为4 3π( 3)＝ 4 3π.3a 1 a 2 3 2sinx 的图象向左平移 n(n>0)8．定义运算：＝ a 1a 4－ a 2a 3 .将函数 f(x) ＝a 3 a 4cosx cos2x个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 ()π5πA.3B.12π 7π C.2D.12答案 Bπ分析 由新定义可知 f(x) ＝ 3cos2x － sin2x ＝ 2cos 2x ＋6 ，将函数 f(x) 的图象向左平移n(n>0) 个单位长度后获得 y ＝2cos 2x ＋ 2n ＋ π 的图象，该函数为偶函数，则 π6 2n ＋ ＝ k π(k ∈6 k π π 5πZ )，即 n ＝ 2 － 12(k ∈ Z )，故取 k ＝1，所以 n 的最小值为 12，应选 B.9．[2015 贵·州八校联考 (二)] 若二项式 (3－ x)n (n ∈ N * ) 中全部项的系数之和为a ，全部项的系数的绝对值之和为 b ，则 b ＋a的最小值为 ()a b5 A ． 2B.213 9 C. 6D.2答案 B分析 令 x ＝ 1，a ＝ 2n ，令 x ＝－ 1，b ＝ 4n，b ＋a＝ 2n＋ 1n ，令 t ＝ 2n，t ≥2，b ＋a＝ 2n＋ 1na b 2 a b 21 1 5＝ t ＋ t ≥2＋2＝ 2，当 t ＝ 2 时获得．选B.10． [2015漳·州八校联考(三 )] 如图，棱长为1 的正方体ABCD － A 1B 1C 1 D 1 中， P 为线段A 1B 上的动点，则以下结论错误的选项是( )A ． DC 1⊥ D 1PB ．平面 D 1A 1P ⊥平面 A 1APC ．∠ APD 1 的最大值为 90° D ． AP ＋ PD 1 的最小值为 2＋ 2答案 C分析对于 A 选项，∵ DC 1⊥面 A 1D 1CB ，∴ DC 1⊥ D 1 P ，对于 B 选项，∵ D 1A 1⊥面 A 1AB ，∴平面 D 1A 1P ⊥平面 A 1AP.对于 D 选项，把△ ABA 1，沿 A 1B 睁开与矩形 A 1BCD 1 在同一平面 上，则 A 1D 1＝A 1A ＝ 1，∵∠ AA 1D 1＝135°，所以 AP ＋ PD 1 的最小值为睁开的同一平面上 AD 1的长＝ 12＋ 12－ 2·1·1·cos135°＝ 2＋ 2，应选 C.211．过抛物线 y ＝ 2x 上一点 P 作与直线 x ＋ y ＋ 5＝ 0 的夹角为 45°的直线 l ，设两直线的交点为 Q ，则线段 PQ 的长度的最小值是 ()A ． 9B ．1812 9 C. 5 D.2答案D分析 由题意可知， y 2＝ 2x.设与直线 x ＋ y ＋5＝ 0 平行且与抛物线相切的直线为x ＋y ＋ c＝ 0，将其变形为 x ＝－ c － y ，代入 y 2＝ 2x ，得 y 2＝ 2(－c － y)，即 y 2＋ 2y ＋2c ＝ 0， ＝ 4－ 8c1＝ 0，解得 c ＝1.直线 x ＋ y ＋ 5＝ 0 与直线 x ＋ y ＋1＝ 0 的距离 d ＝5－2＝29，因为直线 x ＋ y22 2 29＋ 5＝ 0 与 PQ 的夹角为 45°，所以 |PQ |min ＝ 2.12． [2015 唐·山统考 ]设函数 f(x)＝ax 3－x ＋ 1(x ∈ R )，若对于随意 x ∈ [ － 1,1] 都有 f( x) ≥0，则实数 a 的取值范围为 ()A ． (－ ∞， 2]B ．[0，＋ ∞)C ． [0,2]D ． [1,2]答案 C分析∵ f( x)＝ ax 3－ x ＋1，∴ f ′(x)＝3ax 2－1，当 a<0 时，f ′(x)＝ 3ax 2－ 1<0 ，f(x) 在[ －1,1] 上单一递减， f(x)min ＝ f(1) ＝ a<0，不切合题意．当 a ＝0 时， f(x)＝－ x ＋ 1，f(x)在 [－ 1,1] 上单一递减， f(x)min ＝ f(1) ＝ 0，切合题意．当 a>0 时，由 f ′(x)＝3ax 2－ 1≥0，得 x ≥1或 x ≤－ 1 ，3a 3a当 0<1 11上单一递加，在 －1 ， 1上单3a <1，即 a> 时， f(x) 在 － 1，－3 3a3a 3af － ＝－ a ＋ 1＋ 1＝ 2－ a ≥0调递减，在1， 1 上单一递加，∴1＝ a1 3－ ，3af1＋1≥03a3a3aa ≤241∴a ≥，∴ <a ≤2；27 31a>3当1 1 上单一递减， f(x)min ＝ f(1) ＝ a>0，切合题意．≥1，即 0<a ≤ 时， f(x)在 [ － 1,1]3a3综上可得： 0≤a ≤2.二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．13．已知 a ∈ － 3π， sin α＝ 2＋ cos2α 2 ， 0 5，则 α＝ ________.答案－ 7π6分析 2sin 21或 sin α＝－ 3(舍去 )．又 α∈－3π，所以 α＝－α＋ 5sin α－ 3＝ 0，sin α＝ ， 0 227π 6.314．[2015 ·州质量展望郑 (一 )] 已知等比数列 { a n } ，前 n 项和为 S n ，a 1＋ a 2＝ ，a 4＋a 5＝ 6，则 S 6＝ ________.答案634。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：7-2计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列(必做部分)
第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列1．(2010·江苏卷)已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．证明 (1)设三边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ，b ，c 是有理数，b 2＋c 2－a 2是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性， ∴b 2＋c 2－a 22bc 必为有理数，∴cos A 是有理数． (2)①当n ＝1时，显然cos A 是有理数；当n ＝2时，∵cos 2A ＝2cos 2A －1，因为cos A 是有理数，∴cos 2A 也是有理数；②假设当n ≤k (k ≥2)时，结论成立，即cos kA 、cos(k －1)A 均是有理数． 当n ＝k ＋1时，cos(k ＋1)A ＝cos kA cos A －sin kA sin A ＝cos kA cos A －12[cos(kA －A )－cos(kA ＋A )] ＝cos kA cos A －12cos(k －1)A ＋12cos(k ＋1)A解得：cos(k ＋1)A ＝2cos kA cos A －cos(k －1)A∵cos A ，cos kA ，cos(k －1)A 均是有理数， ∴2cos kA cos A －cos(k －1)A 是有理数， ∴cos(k ＋1)A 是有理数． 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 是有理数．2．记⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2n 的展开式中，x 的系数为a n ，x 2的系数为b n ，其中n∈N *.(1)求a n ；(2)是否存在常数p ，q (p ＜q )，使b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 2n ，对n ∈N *，n ≥2恒成立？证明你的结论．解 (1)根据多项式乘法运算法则，得 a n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n . (2)计算得b 2＝18，b 3＝732.代入b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 2n ，解得p ＝－2，q ＝－1.下面用数学归纳法证明b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝13－12n ＋23×14n (n ≥2且n ∈N *)①当n ＝2时，b 2＝18，结论成立． ②设n ＝k 时成立，即b k ＝13－12k ＋23×14k ， 则当n ＝k ＋1时， b k ＋1＝b k ＋a k 2k ＋1＝13－12k ＋23×14k ＋12k ＋1－122k ＋1＝13－12k ＋1＋23×14k ＋1.由①②可得存在常数p ＝－2，q ＝－1使结论对n ∈N *，n ≥2成立．3．(2014·泰州中学调研)已知多项式f (n )＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n . (1)求f (－1)及f (2)的值；(2)试探求对一切整数n ，f (n )是否一定是整数？并证明你的结论． 解 (1)f (－1)＝0，f (2)＝17.(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n ，f (n )是整数．①当n ＝1时，f (1)＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，结论成立，即f (k )＝15k 5＋12k 4＋13k 3－130k 是整数，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝15(k ＋1)5＋12(k ＋1)4＋13(k ＋1)3－130(k ＋1)＝C 05k 5＋C 15k 4＋C 25k 3＋C 35k 2＋C 45k ＋C 555＋C 04k 4＋C 14k 3＋C 24k 2＋C 14k ＋C 442＋C 03k 3＋C 13k 2＋C 23k ＋C 333－130(k ＋1)＝f (k )＋k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1.根据假设f (k )是整数，而k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1显然是整数．∴f (k ＋1)是整数，从而当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①、②可知对一切正整数n ，f (n )是整数． (i)当n ＝0时，f (0)＝0是整数(ii)当n 为负整数时，令n ＝－m ，则m 是正整数，由(i)知f (m )是整数，所以f (n )＝f (－m )＝15(－m )5＋12(－m )4＋13(－m )3－130(－m )＝－15m 5＋12m 4－13m 3＋130m ＝－f (m )＋m 4是整数．综上，对一切整数n ，f (n )一定是整数．4．(2012·江苏卷)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111， 于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列是因此E(ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.5．(2014·无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝7 10.(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E(ξ)．解设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，只会一项的人数是(7－2x)人．(1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝710，∴P(ξ＝0)＝310，即C27－2xC27－x＝310.∴(7－2x)(6－2x)(7－x)(6－x)＝310，解得x＝2.故文娱队共有5人．(2)P(ξ＝1)＝C12·C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110，ξ的概率分布列为∴E(ξ)＝0×310＋1×35＋2×110＝45.6．(2014·徐州质检)一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．(1)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；(2)求该人两次投掷后得分ξ的数学期望Eξ.解(1)“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C.则P(A)＝50100＝12，P(B)＝P(C)＝25100＝14.因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为P 4(3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝14.(2)两次投掷得分ξ的得分可取值为0,1,2,3,4则： P (ξ＝0)＝P (C )P (C )＝116；P (ξ＝1)＝C 12P (B )P (C )＝2×14×14＝18； P (ξ＝2)＝C 12P (A )P (C )＋P (B )P (B )＝516； P (ξ＝3)＝C 12P (A )P (B )＝14；P (ξ＝4)＝P (A )P (A )＝14.∴E (ξ)＝0×116＋1×18＋2×516＋3×14＋4×14＝52.。
2015年高考理科数学江苏卷及答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式:圆柱的体积公式:V Sh =圆柱,其中S 是圆柱的底面积,h 是高圆锥的体积公式:13V Sh =圆锥,其中S 是圆锥的底面积,h 是高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中的横线上.1.已知集合{1,2,3}A =,{2,4,5}B =,则集合AB 中元素的个数为 . 2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 3.设复数z 满足234i z =+（i 是虚数单位）,则z 的模为 . 4.根据如图所示的伪代码,5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球, 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .6.已知向量a (2,1)=,b (1,2)=-,若m a +n b (9,8)=-(,)m n ∈R ,则m n -的值为 .7.不等式224xx-<的解集为 .8.已知tan 2α=-,1tan()=7αβ+,则tan β的值为 .9.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .10.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .11.设数列{}n a 满足11a =,且*11()n n a a n n +-=+∈Ν,则数列1{}na 的前10项的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .13.已知函数()|ln |f x x =,20,01,()|4|2,1,x g x x x ⎧=⎨--⎩＜≤＞则方程|()()|1f xg x +=实根的个数为 .14.设向量a k πππ(cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k =+=⋅⋅⋅,则11(k =∑a k a k+1)的值为 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在ABC △中,已知2AB =,3AC =,60A =︒. （Ⅰ）求BC 的长; （Ⅱ）求sin2C 的值.16.（本小题满分14分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =,设1AB 的中点为D ,11B C BC E =.求证:（Ⅰ）DE平面11AA C C ;（Ⅱ）11BC AB ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为1l ,2l ,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到1l ,2l 的距离分别为5 千米和40 千米,点N 到1l ,2l 的距离分别为20 千米和2.5 千米,以2l ,1l 所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2ay x b=+（其中a ,b 为常数）模型. （Ⅰ）求a ,b 的值;（Ⅱ）设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . （ⅰ）请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; （ⅱ）当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------18.（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数32()=(,)f x x ax b a b ++∈R , （Ⅰ）试讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）若b c a =-（实数c 是与a 无关的常数）,当函数()f x 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞,求c 的值.20.（本小题满分16分）设1a ,2a ,3a ,4a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列, （Ⅰ）证明:12a ,22a ,32a ,42a 依次构成等比数列;（Ⅱ）是否存在1a ,d ,使得1a ,22a ,33a ,44a 依次构成等比数列?并说明理由;（Ⅲ）是否存在1a ,d 及正整数n ,k 使得1n a ,2n k a +,23n k a +,54n ka +依次构成等比数列?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A .（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,在ABC △中,AB AC =,ABC △的外接圆O 的弦AE 交 BC 于点D .求证:ABD AEB △∽△.B .（本小题满分10分）选修4—2:矩阵与变换已知,R x y ∈,向量a 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值.C .（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为2πsin()404ρθ+--=,求圆C 的半径.D .（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 解不等式||223x x ++≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π2ABC BAD ∠=∠=,2PA AD ==,1AB BC ==.（Ⅰ）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;（Ⅱ）点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.23.（本小题满分10分）已知集合{1,2,3}X =,*{1,2,3,,}()n Y n n =⋅⋅⋅∈Ν,设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除a ,a X ∈,}n b Y ∈,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数. （Ⅰ）写出(6)f 的值;（Ⅱ）当6n≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）答案解析数学ⅠA B中的元素个数为A B，再明确元素个数集合并集及其运算11BC CC C =1ACB C C =，，所以1BC AB ⊥∥平面1AA C(0,)⎫+∞⎪⎭时，，(0,)+∞上单调递增，在2,0),3a ⎛-+∞ ⎝,0)，2,3a ⎛- ⎝333)1,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上()0g a <，且在31,,2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30≥因此c =()33),3,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．综上（Ⅰ）分类讨论，利用导数的正负，即可得出()f x 的单调性；数学Ⅱ(附加题)21A.【答案】见解析【解析】证明：因为AB AC =，所以ABD C ∠=∠．又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠，标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．uuu ruuu r。
高考数学(理科)二轮复习【专题2】三角变换与解三角形(含答案)
第2讲 三角变换与解三角形考情解读 (1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系或诱导公式结合．(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明．4．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.热点一 三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×(－63)＝6－326＝2－24.热点二 解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0.(1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab ，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34.∴△ABC 面积最大值为34.思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破． 几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba 等于( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332 D ．3 3 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ， 即sin B sin A ＝2，b a ＝sin B sin A＝ 2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.热点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里，所以△ACD 是等腰直角三角形．所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)．在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)． 因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案 6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”．故cos C 的最小值为6－24.押题精练1．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论： ①tan Atan B＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中一定正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 D解析 依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cos A ＋B22cos2A ＋B 2＝sin (A ＋B )1＋cos (A ＋B )＝sin C 1＋cos (A ＋B )＝sin C . ∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确； 对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p . (1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1，∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210 B.7210C ．－210或7210D ．－7210答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，∴α＋π4∈(34π，54π)，∵sin(α＋π4)＝35，∴cos(α＋π4)＝－45，∴cos α＝cos(α＋π4－π4)＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12C.15D.14 答案 D解析 由正弦定理：c a ＝sin C sin A＝3，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14.4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365 B.3365C.1365D.6365或3365答案 A解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3答案 D解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 －255解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________.答案 4解析 由sin A cos C ＝3cos A sin C 得：a 2R ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c 2R ， ∴a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22， 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2b a 2－c 2＝b 22，∴b ＝4. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315解析 因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315. 10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos ∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．三、解答题11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26. 12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值． 解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38， 所求最大值为－38.。
江苏省2015高考理科数学二轮专题整合：规范练1三角问题
规范练(一) 三角问题1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1)．(1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值． 解 (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0，所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得|a －b | ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋1)2＝6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0，又cos 2 θ＋sin 2 θ＝1，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 解得sin θ＝35，cos θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2c a .(1)求B ；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值．解 (1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin C sin A ，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin C sin A ，即sin (A ＋B )cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A .因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为0<C <2π3，所以π6<C ＋π6<5π6.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6 ＝26＋16.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b .(1)求证：B ≤π2； (2)当AB →·BC →＝－2，b ＝23时，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ＝a 2＋c 2－12(a ＋c )22ac ＝12(a －c )22ac ≥0，∴B ≤π2(当且仅当a ＝c 时取得等号)．(2)解 ∵AB →·BC →＝－2，∴ac cos B ＝2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12，∴a 2＋c 2＝16， 又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3.4．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，a cos C ＋3c sin A －b －c ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝3，求33S ＋3cos B cos C 取最大值时S 的值． 解 (1)由正弦定理，得sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin B －sin C ＝0，∴sin A·cos C＋3sin A·sin C－sin (A＋C)－sin C＝0，sin A·cos C＋3 sin A·sin C－sin A cos C－cos A sin C－sin C＝0，∴3sin A·sin C－cos A·sin C－sin C＝0，又sin C≠0，∴3sin A－cos A＝1，即2sin (A－π6)＝1，∴sin (A－π6)＝1 2，∵－π6＜A－π6＜5π6，∴A－π6＝π6，∴A＝π3.(2)∵bsin B＝csin C＝asin A＝332＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，由(1)知C＝2π3－B，∴33S＋3cos B cos C＝33·12bc sin A＋3cos B cos C＝33·12·2sin B·2sin C·32＋3cos B cos C＝sin B sin C＋3cos B cos C＝sin B·sin (2π3－B)＋3cos B·cos (2π3－B)＝34sin 2 B＋12sin2B－32cos2B＋34sin 2B＝34sin 2B＋12·12(1－cos 2B)－32·12(1＋cos 2B)＋34sin 2B＝3＋14(3sin 2B－cos 2B)＋1－34＝3＋12sin (2B－π6)＋1－34∵0＜B＜2π3，∴－π6＜2B－π6＜7π6，∴当2B－π6＝π2，即B＝π3时，原式取得最大值，此时S＝12(3)2×sinπ3＝32×32＝334.。